{"id":149121,"date":"2021-05-31T18:20:21","date_gmt":"2021-05-31T17:20:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=149121"},"modified":"2021-05-31T18:20:21","modified_gmt":"2021-05-31T17:20:21","slug":"geometria-material","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2021\/05\/31\/149121","title":{"rendered":"Geometr\u00eda Material"},"content":{"rendered":"

En esta entrada damos noticia de la monograf\u00eda cient\u00edfica Material Geometry. Grupoids in continuum mechanics<\/strong><\/a>, que acaba de ser publicada por la editorial World Scientific. El libro es una colaboraci\u00f3n con Marcelo Epstein, profesor de la Universidad de Calgary (Canad\u00e1) y V\u00edctor Manuel Jim\u00e9nez, profesor de la Universidad de Alcal\u00e1 de Henares.<\/p>\n

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Este libro es el primero en abordar de una manera directa las aplicaciones de las nociones de grupoide y algebroide de Lie a la mec\u00e1nica de medios continuos, y, de manera sorprendente, ha servido para introducir nuevos conceptos de uniformidad y homogeneidad en la disciplina, abriendo as\u00ed nuevos horizontes en conceptos tan relevantes en medios continuos.<\/p>\n

La teor\u00eda de grupos (que debe mucho a Evariste Galois) es una estructura matem\u00e1tica que formaliza las simetr\u00edas que puede poseer una figura geom\u00e9trica (las transformaciones que la dejan invariante) o las ra\u00edces de una ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica. Si a un grupo se le a\u00f1ade una estructura diferenciable, conseguimos un grupo de Lie, que por ejemplo sintetiza las simetr\u00edas que posee una ecuaci\u00f3n diferencial (tal y como prob\u00f3 Sophus Lie). Esas simetr\u00edas ayudan a la integraci\u00f3n de las ecuaciones, o dicho en lenguaje m\u00e1s directo, encontrar sus soluciones. En el caso de la mec\u00e1nica o la steor\u00edas de campos, las simetr\u00edas dan lugar a cantidades conservadas, es decir, cantidades que se conservan en el movimiento; este el contenido del famoso Teorema probado por Emmy Noether.<\/p>\n

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Heinrich Brandt<\/figcaption><\/figure>\n

Un grupoide es una generalizaci\u00f3n de un grupo; si en este \u00faltimo siempre se pueden multiplicar (o componer) dos elementos, esto no ocurre as\u00ed en un grupoide, donde los elementos tienen una cabeza y una cola y dos elementos s\u00f3lo se pueden multiplicar si la cabeza de uno coincide con la cola del otro. Podemos pensar esos elementos como flechas con principio y final, como en el dibujo que acompa\u00f1anos al texto.<\/p>\n

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El concepto de grupoide se debe a Heinrich Brandt (8 de noviembre de 1886, Feudingen – 9 de octubre de 1954, Halle, Sajonia-Anhalt), matem\u00e1tico alem\u00e1n. Estudi\u00f3 en la Universidad de Gotinga y, de 1910 a 1913, y en la de Estrasburgo. En 1912 se doctor\u00f3 con una tesis dirigida por Heinrich Martin Weber. Desde 1913 fue profesor ayudante en la Universidad de Karlsruhey desde 1921, profesor en Aquisgr\u00e1n. A partir de 1930 ocup\u00f3 la c\u00e1tedra de matem\u00e1ticas de la Universidad de Halle. Su paso por Estrasburgo tiene seguramente alguna relaci\u00f3n con la escuela que all\u00ed cre\u00f3 Charles Ehresmann. Brandtt no estaba motivado por la mec\u00e1nica sino por ciertas estructuras que aparec\u00edan en su trabajo de teor\u00eda de n\u00fameros no conmutativa.<\/p>\n

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Alan Weinstein<\/figcaption><\/figure>\n

El concepto de grupoide es unificador, y muy relevante en mec\u00e1nica. A principios de los a\u00f1os 90 del siglo XX, Alan Weinstein lanz\u00f3 lo que se conoce como \u201cPrograma de Weinstein\u201d, animando a la aplicaci\u00f3n de la teor\u00eda de grupoides de Lie a la mec\u00e1nica. Y en fecto, la teor\u00eda aparece de manera natural al estudiar la mec\u00e1nica discreta y los integradores geom\u00e9tricos. Pero tambi\u00e9n los objetos infinitesimales asociados a un grupoide de Lie, los llamados algebroides de Lie, son esenciales para desarrollar la teor\u00eda de Hamilton-Jacobi en sistemas nohol\u00f3nomos, esenciales en las ingenier\u00edas.<\/p>\n

Pero hay otra l\u00ednea de aplicaciones que Weinstein no consider\u00f3, y es que el concepto de grupoide tambi\u00e9n aparece en la mec\u00e1nica de medios continuos. En esta \u00e1rea se estudia un modelo unificado para la mec\u00e1nica de s\u00f3lidos deformables, s\u00f3lidos r\u00edgidos y fluidos sin tener en cuenta las posibles discontinuidades (de hecho, se supone que estas est\u00e1n distribuidas diferenciablemente y por eso se pueden aplicar las t\u00e9cnicas de la geometr\u00eda diferencial). Uno de los principales retos es determinar si un cuerpo est\u00e1 hecho del mismo material en todos sus puntos, es decir, si es uniforme. Para ello, Walter Noll propuso en la d\u00e9cada de 1960 una teor\u00eda alternativa al estudio de los continuos basada en la existencia de una ley constitutiva que depend\u00eda de las derivadas de las deformaciones de las que emanaban las propiedades materiales.<\/p>\n

El comparar la composici\u00f3n del cuerpo en puntos diferentes se traduce en probar la existencia de isomorfismos materiales, invariantes por la ley constitutiva. Se pod\u00eda establecer una operaci\u00f3n entre estos, aunque para componerlos se necesitaba que uno acabara donde comenzaba el otro. Y esta estructura es precisamente la de grupoide. Si incluimos la diferenciabilidad, tendremos un grupoide de Lie, una extensi\u00f3n natural de los grupos de Lie. Las propiedades de un cuerpo material, por lo tanto, se reflejan algebraicamente en el grupoide material.<\/p>\n

Este grupoide material nos sirve para introducir nuevos conceptos de uniformidad (como la uniformidad graduada), as\u00ed como el estudio de la homogeneidad o su falta, es decir, la caracterizaci\u00f3n de posibles defectos en el material de estudio, como las dislocaciones y disclinaciones en el sentido de Vito Volterra.\u00a0 Los resultados presentados en este texto han permitido desarrollar una teor\u00eda completa de fen\u00f3menos como el modelamiento de materiales, el envejecimiento o la morfog\u00e9nesis.<\/p>\n

Esperamos poder hablar m\u00e1s de estos temas en pr\u00f3ximas entradas.<\/p>\n

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Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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