{"id":150958,"date":"2025-06-27T09:57:30","date_gmt":"2025-06-27T08:57:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=150958"},"modified":"2025-06-27T09:58:07","modified_gmt":"2025-06-27T08:58:07","slug":"axiomatizar-el-sueno-fallido-de-los-matematicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2025\/06\/27\/150958","title":{"rendered":"Axiomatizar, el sue\u00f1o \u00bffallido? de los matem\u00e1ticos"},"content":{"rendered":"
\n

Wir m\u00fcssen wissen.<\/em>
\nWir werden wissen.<\/em><\/p>\n

David Hilbert<\/p><\/blockquote>\n

Uno de los grandes proyectos de los matem\u00e1ticos ha sido el de identificar axiomas, verdades indiscutibles, sobre los que construir todo el edificio de las matem\u00e1ticas. \u00bfEs posible conseguir tal ambicioso objetivo?<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Veamos la relevancia del proyecto. En Los Elementos<\/strong>, Euclides puso la primera piedra del proyecto. Identific\u00f3 una serie de axiomas de los cu\u00e1les, mediante razonamientos l\u00f3gicos, derivada proposiciones, teoremas y corolarios. En geometr\u00eda sus famosos cinco primeros axiomas dieron mucho juego a los matem\u00e1ticos que lo siguieron, especialmente el quinto: \u201cpor un punto exterior a una recta s\u00f3lo se puede trazar una paralela\u201d. Los sucesivos fallidos intentos de probar que este axioma se deduc\u00eda de los otro cuatro llev\u00f3 a D\u2019 Alembert a declarar este problema como \u201cel esc\u00e1ndalo de la geometr\u00eda elemental\u201d. La soluci\u00f3n lleg\u00f3 cuando J\u00e1nos Bolyai y Nikol\u00e1i Lobachevski probaron que una nueva geometr\u00eda (la hiperb\u00f3lica) surg\u00eda de considerarlo independiente al considerar que si se pod\u00eda trazar una. Y esto supuso una revoluci\u00f3n que nos llev\u00f3 a las geometr\u00edas no euclidianas.<\/p>\n

\"\"<\/a>
David Hilbert<\/figcaption><\/figure>\n

Otro gran matem\u00e1tico, David Hilbert, actualiz\u00f3 la tarea de Euclides. Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 supuestos que propuso en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie<\/strong> (Los Fundamentos de la Geometr\u00eda) como base para un tratamiento moderno de la geometr\u00eda euclidiana. Otros dos grandes matem\u00e1ticos siguieron m\u00e1s tarde esta tarea, Alfred Tarski y George Birkhoff, mejorando los logros de Hilbert. El objetivo era demostrar que la geometr\u00eda euclidiana es coherente, completa y decidible: cada frase es demostrable o refutable a partir de los axiomas, y disponemos de un algoritmo que decide para cualquier frase dada si es demostrable o no.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigaci\u00f3n en metamatem\u00e1ticas que se conoci\u00f3 como el programa de Hilbert<\/strong>. Quer\u00eda que las matem\u00e1ticas se formularan sobre una base l\u00f3gica s\u00f3lida y completa. Cre\u00eda que, en principio, esto podr\u00eda lograrse demostrando que todas las matem\u00e1ticas se deducen de un sistema finito de axiomas correctamente elegido; y que alg\u00fan sistema de axiomas de este tipo es consistente. El propio Hilbert escribi\u00f3:<\/p>\n

\u201cNo hablamos aqu\u00ed de arbitrariedad en ning\u00fan sentido. Las matem\u00e1ticas no son como un juego cuyas tareas est\u00e1n determinadas por reglas estipuladas arbitrariamente. Se trata m\u00e1s bien de un sistema conceptual dotado de una necesidad interna que s\u00f3lo puede ser tal y no de otro modo\u201d.<\/em><\/p>\n

Este intento de apoyar las matem\u00e1ticas axiomatizadas con principios definitivos, que pudieran desterrar las incertidumbres te\u00f3ricas, acab\u00f3 en fracaso. G\u00f6del demostr\u00f3 que cualquier sistema formal consistente que sea lo suficientemente potente como para expresar la aritm\u00e9tica b\u00e1sica no puede demostrar su propia completitud utilizando \u00fanicamente sus propios axiomas y reglas de inferencia. En 1931, su teorema de incompletitud demostr\u00f3 que el gran plan de Hilbert era imposible tal como estaba planteado.<\/p>\n

Sin embargo, como siempre ocurre en matem\u00e1ticas, el trabajo de Hilbert y sus colaboradores no cay\u00f3 en saco roto. La necesidad de comprender el trabajo de G\u00f6del condujo al desarrollo de la teor\u00eda de la recursividad y, posteriormente, a la l\u00f3gica matem\u00e1tica como disciplina aut\u00f3noma en la d\u00e9cada de 1930. La base de la inform\u00e1tica te\u00f3rica posterior, en la obra de Alonzo Church y Alan Turing, tambi\u00e9n surgi\u00f3 directamente de este problema en relaci\u00f3n con el problema de la parada. Pero esto es otra historia.<\/p>\n

_____________<\/p>\n

Manuel de Le\u00f3n<\/strong> (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wir m\u00fcssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert Uno de los grandes proyectos de los matem\u00e1ticos ha sido el de identificar axiomas, verdades indiscutibles, sobre los que construir todo el edificio de las matem\u00e1ticas. \u00bfEs posible conseguir tal ambicioso objetivo? Veamos la relevancia del proyecto. En Los Elementos, Euclides puso la primera piedra del proyecto. Identific\u00f3 una serie de axiomas de los cu\u00e1les, mediante razonamientos l\u00f3gicos, derivada proposiciones, teoremas y corolarios. En geometr\u00eda sus famosos cinco primeros axiomas dieron mucho juego a los matem\u00e1ticos que lo siguieron, especialmente el quinto: \u201cpor un punto exterior a una recta s\u00f3lo se puede\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[49655,36928,33595],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\nAxiomatizar, el sue\u00f1o \u00bffallido? de los matem\u00e1ticos - Matem\u00e1ticas y sus fronteras<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2025\/06\/27\/150958\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Axiomatizar, el sue\u00f1o \u00bffallido? de los matem\u00e1ticos - Matem\u00e1ticas y sus fronteras\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Wir m\u00fcssen wissen. 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