{"id":151131,"date":"2026-02-14T14:59:53","date_gmt":"2026-02-14T13:59:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/?p=151131"},"modified":"2026-02-20T20:45:36","modified_gmt":"2026-02-20T19:45:36","slug":"151131","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2026\/02\/14\/151131","title":{"rendered":"Empaquetando esferas"},"content":{"rendered":"

En su ensayo Strena seu de nive sex\u00e1ngula (El copo de nieve de seis \u00e1ngulos), <\/strong>Johannes Kepler plante\u00f3 su famosa conjetura de empaquetamiento, resuelta 300 a\u00f1os despu\u00e9s por Thomas Hales. A\u00f1os antes, Kepler hab\u00eda compartido correspondencia con el astr\u00f3nomo y matem\u00e1tico ingl\u00e9s Thomas Harriot acerca de la manera \u00f3ptima de apilar balas de ca\u00f1\u00f3n en la cubierta de un buque. Sir Walter Raleigh, de qui\u00e9n Harriot fue ayudante, le hab\u00eda planteado la cuesti\u00f3n cuando estaban planificando una expedici\u00f3n en 1585 rumbo a Virginia, a fin de establecer all\u00ed la primera colonia brit\u00e1nica.<\/p>\n

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Johannes Kepler<\/figcaption><\/figure>\n

La conjetura de Kepler establece que la mejor manera es la que usan los fruteros para las naranjas, poniendo cada naranja de la siguiente capa apoyada en el hueco de las cuatro naranjas que est\u00e1n justo debajo en la primera capa. Este m\u00e9todo minimiza el espacio dejado por los huecos entre las naranjas.<\/p>\n

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En geometr\u00eda, un empaquetamiento esf\u00e9rico <\/strong>es una disposici\u00f3n de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas de id\u00e9ntico tama\u00f1o, y el espacio suele ser un espacio eucl\u00eddeo tridimensional. Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas pueden generalizarse para considerar esferas desiguales, espacios de otras dimensiones (donde el problema se convierte en empaquetamiento de c\u00edrculos en dos dimensiones, o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o espacios no euclidianos, como el espacio hiperb\u00f3lico.<\/p>\n

Un problema t\u00edpico de empaquetamiento de esferas consiste en encontrar una disposici\u00f3n en la que las esferas ocupen la mayor parte posible del espacio. La proporci\u00f3n de espacio ocupado por las esferas se denomina densidad de empaquetamiento de la disposici\u00f3n<\/strong>. Dado que la densidad local de un empaquetamiento en un espacio infinito puede variar en funci\u00f3n del volumen sobre el que se mide, el problema suele consistir en maximizar la densidad media o asint\u00f3tica, medida sobre un volumen suficientemente grande.<\/p>\n

Kepler no ten\u00eda una prueba de la conjetura, y el siguiente paso lo dio Carl Friedrich Gauss (1831), quien demostr\u00f3 que la conjetura de Kepler es cierta si las esferas se colocan en una red regular. Esto significaba que cualquier disposici\u00f3n de empaquetamiento que refutara la conjetura de Kepler tendr\u00eda que ser irregular. Pero eliminar todas las disposiciones irregulares posibles es muy dif\u00edcil, y esto es lo que hac\u00eda que la conjetura de Kepler fuera tan dif\u00edcil de demostrar. Despu\u00e9s de Gauss, no se hicieron m\u00e1s progresos para demostrar la conjetura de Kepler en el siglo XIX. En 1900, David Hilbert la incluy\u00f3 en su lista de veintitr\u00e9s problemas matem\u00e1ticos sin resolver, formando parte del decimoctavo problema de Hilbert.<\/p>\n

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Carl Friedrich Gauss<\/figcaption><\/figure>\n

El siguiente paso hacia una soluci\u00f3n lo dio L\u00e1szl\u00f3 Fejes T\u00f3th, qui\u00e9n, en 1953, demostr\u00f3 que el problema de determinar la densidad m\u00e1xima de todas las disposiciones (regulares e irregulares) pod\u00eda reducirse a un n\u00famero finito (pero muy grande) de c\u00e1lculos. Esto significaba que, en principio, era posible una prueba por agotamiento. Como se dio cuenta Fejes T\u00f3th, un ordenador lo suficientemente r\u00e1pido podr\u00eda convertir este resultado te\u00f3rico en un enfoque pr\u00e1ctico del problema.<\/p>\n

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Fejes T\u00f3th<\/figcaption><\/figure>\n

En 1990, Wu-Yi Hsiang afirm\u00f3 haber demostrado la conjetura de Kepler. La demostraci\u00f3n fue elogiada por la Encyclop\u00e6dia Britannica y Science, y Hsiang tambi\u00e9n fue homenajeado en las reuniones conjuntas de la AMS-MAA. Wu-Yi Hsiang afirm\u00f3 haber demostrado la conjetura de Kepler utilizando m\u00e9todos geom\u00e9tricos.  Sin embargo, G\u00e1bor Fejes T\u00f3th (hijo de L\u00e1szl\u00f3 Fejes T\u00f3th) afirm\u00f3 en su rese\u00f1a del art\u00edculo: \u00abEn lo que respecta a los detalles, mi opini\u00f3n es que muchas de las afirmaciones clave no tienen pruebas aceptables\u00bb. Hales hizo una cr\u00edtica detallada del trabajo de Hsiang, a la que Hsiang respondi\u00f3. El consenso actual es que la prueba de Hsiang es incompleta.<\/p>\n

Siguiendo el enfoque sugerido por L\u00e1szl\u00f3 Fejes T\u00f3th, Thomas Hales, entonces en la Universidad de Michigan, determin\u00f3 que la densidad m\u00e1xima de todas las disposiciones pod\u00eda encontrarse minimizando una funci\u00f3n con 150 variables. En 1992, con la ayuda de su estudiante de posgrado Samuel Ferguson, se embarc\u00f3 en un programa de investigaci\u00f3n para aplicar sistem\u00e1ticamente m\u00e9todos de programaci\u00f3n lineal con el fin de encontrar un l\u00edmite inferior en el valor de esta funci\u00f3n para cada una de las m\u00e1s de 5000 configuraciones diferentes de esferas. Si se pudiera encontrar un l\u00edmite inferior (para el valor de la funci\u00f3n) para cada una de estas configuraciones que fuera mayor que el valor de la funci\u00f3n para la disposici\u00f3n c\u00fabica compacta, entonces se demostrar\u00eda la conjetura de Kepler.  Para encontrar los l\u00edmites inferiores para todos los casos, fue necesario resolver unos 100.000 problemas de programaci\u00f3n lineal.<\/p>\n

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Thomas Hales<\/figcaption><\/figure>\n

En 2005, Annals of Mathematics public\u00f3 un art\u00edculo de 100 p\u00e1ginas de Hales en el que describ\u00eda detalladamente la parte no inform\u00e1tica de su demostraci\u00f3n. Hales y Ferguson en varios art\u00edculos posteriores describieron las partes computacionales, y recibieron el Premio Fulkerson por sus esos art\u00edculos en el \u00e1rea de las matem\u00e1ticas discretas en 2009.<\/p>\n

En enero de 2003, Hales anunci\u00f3 el inicio de un proyecto colaborativo para producir una prueba formal completa de la conjetura de Kepler. El objetivo era eliminar cualquier incertidumbre restante sobre la validez de la prueba mediante la creaci\u00f3n de una prueba formal que pudiera verificarse con software de comprobaci\u00f3n de pruebas automatizado, como HOL Light e Isabelle. Este proyecto se denomin\u00f3 Flyspeck, una ampliaci\u00f3n del acr\u00f3nimo FPK, que significa \u00abFormal Proof of Kepler\u00bb (Prueba formal de Kepler). Al inicio de este proyecto, en 2007, Hales estim\u00f3 que producir una prueba formal completa llevar\u00eda alrededor de 20 a\u00f1os de trabajo. Hales public\u00f3 un \u00abplan\u00bb para la prueba formal en 2012; la finalizaci\u00f3n del proyecto se anunci\u00f3 el 10 de agosto de 2014. En enero de 2015, Hales y 21 colaboradores publicaron un art\u00edculo titulado \u00abA formal proof of the Kepler conjecture\u00bb (Una prueba formal de la conjetura de Kepler) en arXiv, en el que afirmaban haber demostrado la conjetura. En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics.<\/p>\n

En dimensiones superiores a tres, se conocen los empaquetamientos reticulares m\u00e1s densos de hiperesferas para 8 y 24 dimensiones. Se sabe muy poco sobre los empaquetamientos irregulares de hiperesferas; es posible que en algunas dimensiones el empaquetamiento m\u00e1s denso sea irregular. Esta conjetura se ve respaldada por el hecho de que, en ciertas dimensiones (por ejemplo, 10), el empaquetamiento irregular m\u00e1s denso conocido es m\u00e1s denso que el empaquetamiento regular m\u00e1s denso conocido.<\/p>\n

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Maryna Vazovska<\/figcaption><\/figure>\n

En 2016, Maryna Viazovska anunci\u00f3 una prueba de que el ret\u00edculo E8<\/sub> proporciona el empaquetamiento \u00f3ptimo (independientemente de la regularidad) en el espacio de ocho dimensiones. Poco despu\u00e9s, ella y un grupo de colaboradores anunciaron una prueba similar de que la red de Leech es \u00f3ptima en 24 dimensiones. Este resultado se bas\u00f3 en m\u00e9todos anteriores que mejor\u00f3 y que demostraban que estas dos redes est\u00e1n muy cerca de ser \u00f3ptimas. Antes de que la prueba fuera revisada y publicada formalmente, el matem\u00e1tico Peter Sarnak la calific\u00f3 de \u00absorprendentemente sencilla\u00bb y escribi\u00f3: \u00abBasta con empezar a leer el art\u00edculo para saber que es correcta\u00bb. Maryna Sergiivna Viazovska, nacida el 2 de diciembre de 1984, es una matem\u00e1tica ucraniana, actualmente profesora titular y catedr\u00e1tica de Teor\u00eda de N\u00fameros en el Instituto de Matem\u00e1ticas de la \u00c9cole Polytechnique F\u00e9d\u00e9rale de Lausanne en Suiza. En 2022 fue galardonada con la Medalla Fields por sus resultados.<\/p>\n

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Una reciente conferencia sobre este tema puede verse en<\/p>\n