{"id":50924,"date":"2006-11-14T13:46:00","date_gmt":"2006-11-14T13:46:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2006\/11\/14\/50924.aspx"},"modified":"2006-11-14T13:46:00","modified_gmt":"2006-11-14T13:46:00","slug":"veo-veo-%c2%bfque-ves","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2006\/11\/14\/50924","title":{"rendered":"VEO, VEO \u00bfQU\u00c9 VES?"},"content":{"rendered":"
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<\/p>\n<\/div>\n

Esta exposici\u00f3n<\/a> presenta una colecci\u00f3n de figuras geom\u00e9tricas que aparecen en las investigaciones de la disciplina matem\u00e1tica cl\u00e1sica llamada Geometr\u00eda Algebraica<\/a>. Esta se propone estudiar ecuaciones algebraicas como x2<\/sup>
+y2<\/sup>+z2<\/sup>=1 o y2<\/sup>+z3<\/sup>=z4<\/sup>+x2<\/sup>z2<\/sup>. Tales ecuaciones surgen en muchas circunstancias en matem\u00e1ticas, inform\u00e1tica, f\u00edsica, ingenier\u00eda y en contextos industriales. Su perfecta comprensi\u00f3n es crucial en los problemas respectivos.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 significa resolver una ecuaci\u00f3n? Esto requiere un minuto de explicaci\u00f3n. Recordamos que un punto en el espacio viene dado por sus tres coordenadas x, y, z. Estos tres n\u00fameros representan la ubicaci\u00f3n del punto con respecto a un punto origen, como una l\u00e1mpara en un cuarto viene localizada por sus tres distancias a las paredes y al suelo.<\/div>\n

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Elegimos un tal punto, por ejemplo el punto P con coordenadas (3,-1,2). En la ecuaci\u00f3n dada, podemos sustituir las variables x, y, z por los tres n\u00fameros y verificar si se da la igualdad. En nuestra segunda ecuaci\u00f3n y2<\/sup>+z3<\/sup>=z4<\/sup>+x2<\/sup>z2<\/sup>, la expresi\u00f3n de la izquierda nos da (-1)2<\/sup>+23<\/sup>=1+8=9. La expresi\u00f3n de la derecha nos da 24<\/sup>+32<\/sup>22<\/sup>=16+9×4=16+36=52. Concluimos que las dos expresiones no coinciden al sustituir los n\u00fameros. Se dice que el punto P no satisface la ecuaci\u00f3n o que no es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

Otros puntos s\u00ed satisfacen la ecuaci\u00f3n, por ejemplo los puntos (1,1,1) o (-1,2v3,2), como se verifica inmediatamente, salvo errores de c\u00e1lculo. De estos puntos soluci\u00f3n, de hecho, hay muchos, aunque no todos los puntos del espacio son soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n, como vimos antes. <\/p>\n

Poni\u00e9ndose en el espacio de tres dimensiones –es el espacio donde vivimos– podemos, al menos te\u00f3ricamente, pegar una peque\u00f1\u00edsima bola de cola (es decir, una cola-bola) en todos los puntos soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n. Alisando un poco esta monta\u00f1a de bolitas, el objeto que obtendremos es una superficie como un pa\u00f1uelo o una capa de nieve. Se llama la superficie algebraica asociada a la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

Ejemplos son la superficie de una esfera o de un salvavidas o de un cono. Son tambi\u00e9n soluciones de ecuaciones algebraicas.<\/p>\n

Ahora empieza el juego: \u00bfqu\u00e9 figura sale al escoger tal o cual ecuaci\u00f3n? E, inversamente, \u00bfc\u00f3mo elegir la ecuaci\u00f3n para obtener tal o cual figura?<\/p>\n

En la exposici\u00f3n<\/a> se ven algunos protagonistas de este juego (que, obviamente, no s\u00f3lo es un juego, tiene importantes implicaciones en muchos campos). Se indica junto al dibujo la ecuaci\u00f3n que lo define (salvo en casos muy complicados, donde la ecuaci\u00f3n es tan larga que no cabr\u00eda en el cuadro). <\/p>\n

Como las ecuaciones algebraicas presentan a menudo el n\u00facleo de un problema dif\u00edcil, es transcendente comprender bien las formas geom\u00e9tricas que pueden ocurrir en las superficies asociadas.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 ves? P\u00e1sense por la exposici\u00f3n e intenten describir las muchas facetas que animan estas superficies. \u00bfQu\u00e9 ves? Se ven colinas, valles, cortes, picos, intersecciones, c\u00faspides, agujeros, aristas, cantos y muchas cosas mas, en diversas configuraciones y combinaciones.<\/p>\n

Dos caracter\u00edsticas se observan inmediatamente. Las figuras son bastante sencillas y naturales (porque las ecuaciones son las m\u00e1s sencillas). Esparcen una belleza reconcentrada. Y en algunos puntos la superficie no es tan agradable al tacto: pincha. Al tocarla podr\u00edamos cortarnos, o no es c\u00f3moda para sentarse encima. Estos puntos, que se llaman las singularidades de la superficie, son los lugares donde la superficie no es lisa como el pompis de un beb\u00e9 o una duna de arena en la playa. Son los puntos m\u00e1s interesantes, porque corresponden, en el problema matem\u00e1tico que hay detr\u00e1s, a las rupturas, a los saltos y, en el extremo, a las cat\u00e1strofes. Lo que vemos s\u00f3lo es la visualizaci\u00f3n de un fen\u00f3meno m\u00e1s profundo algebraico y anal\u00edtico, la no diferenciabilidad de una funci\u00f3n en un punto.<\/p>\n

<\/div>\n

Algunas palabras sobre los autores y el modo de producci\u00f3n de los dibujos.<\/b>
Somos un grupo de matem\u00e1ticos en la Universidad de Innsbruck<\/a>, situado en la provincia monta\u00f1osa del Tirol<\/a>, en Austria. La idea de producir estos cuadros se nos ocurri\u00f3 durante nuestras investigaciones en geometr\u00eda algebraica al enterarnos de que muchos matem\u00e1ticos se quedaban sorprendidos cuando ve\u00edan qu\u00e9 pinta ten\u00edan las superficies sobre las cuales estaban trabajando te\u00f3ricamente desde hac\u00eda mucho tiempo. <\/p>\n

Los dibujos en cuesti\u00f3n se produjeron con el programa POV-Ray, que se puede obtener gratuitamente<\/a> en la red (no es nuestro programa). Es un programa que emite un rayo virtual desde una posici\u00f3n fija (la c\u00e1mara) y lo interseca con la superficie. Se toma nota del punto (o de los puntos) de intersecci\u00f3n y se pasa al siguiente rayo. As\u00ed, el programa reconstruye una cantidad enorme de puntos en la superficie que, despu\u00e9s, permite visualizar el objeto con sus colores, curvaturas, sombras y reflejos.<\/p>\n

Nuestra (modesta) contribuci\u00f3n es la selecci\u00f3n de la posici\u00f3n de la c\u00e1mara, de las luces, de la textura y de algunos par\u00e1metros m\u00e1s (la transparencia, el borde, los \u00e1ngulos, el ambiente, …). Parece simple, pero en general requiere mucho tiempo para llegar a un dibujo satisfactorio.<\/p>\n

Si quiere saber m\u00e1s o pedir reproducciones de los dibujos, entren en contacto con nosotros dirigi\u00e9ndose por favor a la pagina web<\/a>. Gracias por su atenci\u00f3n.<\/p>\n

Herwig Hauser
Institut f\u00fcr Mathematik
Universit\u00e4t Innsbruck, Austria
www.hh.hauser.cc<\/a><\/p>\n

Contacto:
Adolfo Quir\u00f3s
Departamento de Matem\u00e1ticas<\/a>
Universidad Aut\u00f3noma de Madrid<\/a>
adolfo.quiros@uam.es<\/a><\/div>\n

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Esta exposici\u00f3n presenta una colecci\u00f3n de figuras geom\u00e9tricas que aparecen en las investigaciones de la disciplina matem\u00e1tica cl\u00e1sica llamada Geometr\u00eda Algebraica. Esta se propone estudiar ecuaciones algebraicas como x2+y2+z2=1 o y2+z3=z4+x2z2. Tales ecuaciones surgen en muchas circunstancias en matem\u00e1ticas, inform\u00e1tica, f\u00edsica, ingenier\u00eda y en contextos industriales. Su perfecta comprensi\u00f3n es crucial en los problemas respectivos. \u00bfQu\u00e9 significa resolver una ecuaci\u00f3n? Esto requiere un minuto de explicaci\u00f3n. Recordamos que un punto en el espacio viene dado por sus tres coordenadas x, y, z. 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