{"id":93018,"date":"2008-05-27T04:40:00","date_gmt":"2008-05-27T04:40:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2008\/05\/27\/93018.aspx"},"modified":"2008-05-27T04:40:00","modified_gmt":"2008-05-27T04:40:00","slug":"invisibilidad-acustica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2008\/05\/27\/93018","title":{"rendered":"Invisibilidad Ac\u00fastica"},"content":{"rendered":"
El sonido y la luz son ondas. Y los cuerpos s\u00f3lidos interrumpen o distorsionan su paso. Si un \u00e1rea se cerca con un conglomerado de cilindros adecuadamente dise\u00f1ados, el sonido no chocar\u00e1 con ella (lo que producir\u00eda ecos a un lado del objeto, y zonas de sombra ac\u00fastica en el lado opuesto), sino que lo rodear\u00e1 y seguir\u00e1 su camino exactamente en la misma direcci\u00f3n que ten\u00eda antes de alcanzarlo. Esta noticia, recogida en diversos medios de comunicaci\u00f3n como El Pa\u00eds<\/a>, se hace eco de los estudios realizados por Daniel Torrent y Jos\u00e9 S\u00e1nchez-Dahesa, su director de tesis.<\/p>\n

A continuaci\u00f3n recogemos el art\u00edculo que Daniel Torrent nos ha enviado explicando los pasos que fueron dando para llegar a este descubrimiento tras su ponencia en la XIII Jornada SIMUMAT<\/a>: Problemas Inversos, Ondas e Invisibilidad.<\/p>\n

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Figura 1: Cristal S\u00f3nico Bidimensional (2D).<\/i><\/div>\n

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En Marzo de 2007 Cummer y Schurig publicaron un articulo en New Journal of Physics (http:\/\/www.iop.org\/EJ\/article\/1367-2630\/9\/3\/045\/njp7_3_045.html<\/a>) en el que explicaban como conseguir la invisibilidad ac\u00fastica. Este interesante fen\u00f3meno consiste en rodear un objeto con un \u201cmanto\u201d de modo que el sonido, cuando llega al objeto, en lugar de dispersarse, atraviesa el objeto como si all\u00ed no hubiera nada.
   
La propuesta de Cummer y Schurig tenia una caracter\u00edstica que dificultaba seriamente su realizaci\u00f3n practica, ya que, entre otras propiedades, era necesario que el \u201cmanto\u201d estuviera hecho de un material fluido con densidad de masa anis\u00f3tropa.
   
Es evidente que este tipo de materiales no existe en la naturaleza, por lo que deben \u201cfabricarse\u201d de forma artificial. Aunque ellos explicaron que un material con densidad de masa anis\u00f3tropa pod\u00eda existir, no dieron un modelo anal\u00edtico que permitiera dise\u00f1ar dicho material.<\/p>\n

Paralelamente mi director de tesis y yo est\u00e1bamos terminando un art\u00edculo en el que, casualmente, demostr\u00e1bamos que ciertos tipos de estructuras se pueden comportar como materiales con densidad de masa anis\u00f3tropa y, adem\u00e1s, est\u00e1bamos obteniendo las expresiones anal\u00edticas para la densidad de masa (http:\/\/www.iop.org\/EJ\/article\/1367-2630\/10\/2\/023004\/njp8_2_023004.html<\/a>).<\/p>\n

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Las estructuras en las que trabaj\u00e1bamos eran lo que se conoce con el nombre de \u201ccristales fon\u00f3nicos\u201d o \u201ccristales s\u00f3nicos\u201d bidimensionales (2D).  Estos \u201ccristales\u201d son simplemente disposiciones peri\u00f3dicas de centros dispersores de sonido, en el caso 2D dichos centros son cilindros met\u00e1licos (Figura 1) . Un cristal s\u00f3nico tridimensional (3D) consistir\u00eda en una distribuci\u00f3n peri\u00f3dica de esferas de un cierto material y un cristal unidimensional estar\u00eda formado por una serie de capas alternas de un material A y otro B.
   
La propagaci\u00f3n del sonido en este tipo de estructuras es compleja y es un campo de estudio muy activo en la actualidad. Sin embargo, cuando la longitud de onda del sonido es grande en relaci\u00f3n a la periodicidad de la red, el cristal se comporta como un medio homog\u00e9neo. Esto quiere decir que el sonido ya no distingue los centros dispersores como tales, sino que se propaga como si lo hiciera por un fluido homog\u00e9neo. Obtener los par\u00e1metros efectivos de dicho fluido ha sido el tema central de mi tesis.
Entre otras propiedades, la densidad efectiva de estas estructuras es en general anis\u00f3tropa, por lo que pensamos que quiz\u00e1 los cristales s\u00f3nicos eran un buen camino para realizar experimentalmente la invisibilidad ac\u00fastica.
   
Como las redes que est\u00e1bamos estudiando entonces eran redes 2D, est\u00e1bamos convencidos de que el manto de invisibilidad ac\u00fastica en dos dimensiones (que era la propuesta original de Cumer y Schurig) podr\u00eda ser propuesto con este tipo de redes. Sin embargo, estas estructuras presentaban dos caracter\u00edsticas que las hac\u00eda incompatibles con el material necesario para lograr la invisibilidad ac\u00fastica.
   
En primer lugar, el tensor de masa era un tensor con componentes constantes en coordenadas cartesianas, mientras que la invisibilidad ac\u00fastica requer\u00eda un tensor constante en coordenadas polares. Esto quiere decir que nuestras redes ten\u00edan una densidad constante si uno se mov\u00eda en la direcci\u00f3n x o y, mientras que la invisibilidad requer\u00eda que la densidad fuera constante si uno se mov\u00eda en la direcci\u00f3n radial o angular. Una forma de resolver esto ser\u00eda simplemente coger una pieza rectangular de nuestra red y darle forma circular, de modo que lo que antes era la direcci\u00f3n y ahora es la direcci\u00f3n radial, y lo que antes era la direcci\u00f3n x ahora es la direcci\u00f3n angular. Sin embargo esta no fue una buena opci\u00f3n ya que al deformar el material deform\u00e1bamos tambi\u00e9n la red peri\u00f3dica y, por lo tanto, las propiedades del medio efectivo tambi\u00e9n cambiaban.  Hab\u00eda que buscar otra soluci\u00f3n para \u201corientar\u201d el tensor.
   
La otra dificultad que se nos presentaba era, aparentemente, peor todav\u00eda. El tensor de densidad que requer\u00eda el manto de invisibilidad ten\u00eda una propiedad muy curiosa: una componente era el rec\u00edproco de la otra. Es decir, si en la direcci\u00f3n radial la densidad de masa era, por ejemplo, cien veces la densidad de masa del fluido que contiene el manto (aire o agua), en la direcci\u00f3n perpendicular esta densidad era 1\/100, es decir, 0.01 veces la densidad del medio de fondo. Si bien un material con una densidad de masa anis\u00f3tropa era poco intuitivo, un material con un tensor as\u00ed nos resultaba realmente dif\u00edcil de conseguir, ya que nuestras redes presentaban una caracter\u00edstica totalmente contradictoria con la que se requer\u00eda: si la densidad de los cilindros de la red era mayor que la del medio, las componentes del tensor efectivo eran ambas mayores que \u00e9ste. Y viceversa, si la densidad era menor, las componentes del tensor tambi\u00e9n lo eran. Parec\u00eda que, aunque est\u00e1bamos en el camino adecuado, \u00e9ste era largo y m\u00e1s complejo de lo que pens\u00e1bamos.
   
La cuesti\u00f3n de la orientaci\u00f3n del tensor la resolvimos dando un paso m\u00e1s en la teor\u00eda. Tratamos de obtener los par\u00e1metros efectivos de redes de \u201cdipolos\u201d (dos cilindros en la celda unidad), en lugar de redes simples. De modo que, para obtener el tensor orientado en la direcci\u00f3n radial y angular, simplemente ten\u00edamos que rotar el dipolo. Esta rotaci\u00f3n es un cambio mucho menos brusco que la deformaci\u00f3n total de la red, y parec\u00eda que se manten\u00edan, al menos de forma aproximada, las propiedades del medio efectivo.
   
Pero esta soluci\u00f3n de los dipolos todav\u00eda daba un tensor con ambas componentes mayores o menores que la densidad del medio. Esto suced\u00eda porque ambos cilindros en el dipolo eran iguales, ya que la soluci\u00f3n de las ecuaciones si los cilindros eran diferentes era muy compleja y no se pod\u00eda tratar de forma sencilla. Sin embargo, hab\u00eda un caso en el que si que se pod\u00eda.
   
Si los dos cilindros del dipolo eran iguales en radio, pero sus densidades relativas a la del medio fluido eran una la rec\u00edproca de la otra, las ecuaciones para los par\u00e1metros efectivos se pod\u00edan resolver de forma sencilla y, adem\u00e1s, las componentes del tensor efectivo eran una la rec\u00edproca de la otra. Por tanto el sistema de dipolos era la soluci\u00f3n al problema del tensor de densidad. Cuando ya parec\u00eda que el problema estaba resuelto, surgi\u00f3 otro que parec\u00eda impedir la realizaci\u00f3n de la invisibilidad ac\u00fastica.
   
Se trataba de una cuesti\u00f3n puramente topol\u00f3gica. Resulta que los par\u00e1metros efectivos del manto deb\u00edan variar radialmente, es decir, a medida que nos acercamos al objeto a ocultar el tensor de densidad deb\u00eda ser m\u00e1s grande en la direcci\u00f3n radial y m\u00e1s peque\u00f1o en la angular, y lo mismo suced\u00eda con la compresibilidad (la otra magnitud ac\u00fastica definiendo el manto). Esta dependencia radial se puede realizar de forma sencilla: variando el radio de los cilindros para obtener el valor deseado. Es un m\u00e9todo que ya hab\u00edamos usado en otros trabajos para realizar lentes de gradiente de \u00edndice y hab\u00eda funcionado. El problema ahora era que para obtener los valores adecuados de los par\u00e1metros efectivos necesit\u00e1bamos fracciones de llenado m\u00e1s altas de las que los cilindros pueden dar, ya que llega un momento en el que todos los cilindros se est\u00e1n tocando, y entonces quedan huecos por llenar. El valor m\u00e1ximo que de los par\u00e1metros efectivos cuando todos los cilindros se estaban tocando era mucho menor del que se necesitaba para conseguir la invisibilidad, por lo que parec\u00eda que no lo \u00edbamos a lograr, al menos con este m\u00e9todo.
   
Pensamos en utilizar dipolos de cilindros cuadrados, o formas similares, pero las ecuaciones eran intratables con nuestro m\u00e9todo de homogeneizaci\u00f3n, adem\u00e1s de que en ese caso girar el tensor era mucho m\u00e1s dif\u00edcil. Parec\u00eda que nosotros no pod\u00edamos llegar m\u00e1s lejos, as\u00ed que pensamos en escribir un art\u00edculo con el tema de los dos cilindros por celda unidad, y seguir probando cosas m\u00e1s adelante. Entonces lleg\u00f3 la soluci\u00f3n. Y result\u00f3 ser tan sencilla que nos pareci\u00f3 incluso trivial.<\/p>\n
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Figura 2: Sistema Multicapa de Invisibilidad Ac\u00fastica.<\/i><\/div>\n

Es dif\u00edcil explicar c\u00f3mo, pero nos dimos cuenta de que los cristales s\u00f3nicos unidimensionales tambi\u00e9n tienen una densidad de masa anis\u00f3tropa. Si constru\u00edamos un cilindro mediante capas alternas de un material A y otro B (figura 2), el cilindro efectivo era un cilindro anis\u00f3tropo con el tensor orientado en coordenadas polares. Adem\u00e1s las ecuaciones eran mucho m\u00e1s sencillas y pudimos demostrar que, si la densidad del medio A, relativa al medio de fondo, era la inversa de la densidad del medio B, las componentes del tensor tambi\u00e9n ten\u00edan esa propiedad. Este resultado es un cl\u00e1sico de los sistemas unidimensionales, pero debido a la dificultad de realizar mezclas de distintas capas de fluidos hab\u00eda pasado desapercibido. Sin embargo los cristales s\u00f3nicos permiten realizar dicha mezcla de fluidos,  por lo que pudimos demostrar que el sistema era tambi\u00e9n realizable1<\/sup> . <\/p>\n

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Figura 3: Simulaciones de Dispersi\u00f3n Ac\u00fastica. Arriba: Cilindro sin \u00abmanto\u00bb de invisibilidad. Abajo: Cilindro \u00abinvisible\u00bb.<\/i><\/div>\n

En la figura 3 podemos ver la diferencia que hay entre el campo dispersado por un cilindro cerca de una fuente puntual (arriba) y c\u00f3mo el cilindro se hace \u201cinvisible\u201d cuando lo rodeamos del sistema multicapa de fluidos especialmente dise\u00f1ado (abajo). Es evidente que la invisibilidad ac\u00fastica es realizable con materiales is\u00f3tropos (m\u00e1s f\u00e1ciles de encontrar en la naturaleza), a pesar de que la propuesta sigue siendo muy te\u00f3rica. Todav\u00eda queda mucho camino por delante para realizar \u00e9ste dispositivo de forma pr\u00e1ctica, pero sin duda alguna es posible.<\/p>\n

1 Este trabajo est\u00e1 pendiente de aceptaci\u00f3n en New Journal of Physics. <\/sup><\/p>\n

<\/p>\n

Por Daniel Torrent
Universidad Polit\u00e9cnica de Valencia<\/div>\n

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El sonido y la luz son ondas. Y los cuerpos s\u00f3lidos interrumpen o distorsionan su paso. Si un \u00e1rea se cerca con un conglomerado de cilindros adecuadamente dise\u00f1ados, el sonido no chocar\u00e1 con ella (lo que producir\u00eda ecos a un lado del objeto, y zonas de sombra ac\u00fastica en el lado opuesto), sino que lo rodear\u00e1 y seguir\u00e1 su camino exactamente en la misma direcci\u00f3n que ten\u00eda antes de alcanzarlo. Esta noticia, recogida en diversos medios de comunicaci\u00f3n como El Pa\u00eds, se hace eco de los estudios realizados por Daniel Torrent y Jos\u00e9 S\u00e1nchez-Dahesa, su director de tesis. 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Si un \u00e1rea se cerca con un conglomerado de cilindros adecuadamente dise\u00f1ados, el sonido no chocar\u00e1 con ella (lo que producir\u00eda ecos a un lado del objeto, y zonas de sombra ac\u00fastica en el lado opuesto), sino que lo rodear\u00e1 y seguir\u00e1 su camino exactamente en la misma direcci\u00f3n que ten\u00eda antes de alcanzarlo. Esta noticia, recogida en diversos medios de comunicaci\u00f3n como El Pa\u00eds, se hace eco de los estudios realizados por Daniel Torrent y Jos\u00e9 S\u00e1nchez-Dahesa, su director de tesis. 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