{"id":93964,"date":"2008-06-06T10:42:00","date_gmt":"2008-06-06T10:42:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2008\/06\/06\/93964.aspx"},"modified":"2008-06-06T10:42:00","modified_gmt":"2008-06-06T10:42:00","slug":"las-matematicas-y-el-procesamiento-de-imagenes-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2008\/06\/06\/93964","title":{"rendered":"Las matem\u00e1ticas y el procesamiento de im\u00e1genes (I)"},"content":{"rendered":"
El procesamiento de im\u00e1genes y la visi\u00f3n por ordenador se han convertido en un \u00e1rea de investigaci\u00f3n importante debido al r\u00e1pido desarrollo de las nuevas tecnolog\u00edas. Sus aplicaciones se extienden desde la visi\u00f3n industrial a las im\u00e1genes m\u00e9dicas, las im\u00e1genes satelitales, el v\u00eddeo y el cine digitales y el arte. Esta investigaci\u00f3n est\u00e1 dirigida por las aplicaciones pero requiere de una discusi\u00f3n de sus fundamentos matem\u00e1ticos para poder organizar el cuerpo de las numerosas contribuciones y algoritmos, comprender su universalidad y los l\u00edmites de su aplicabilidad. <\/p>\n

La investigaci\u00f3n matem\u00e1tica puede y debe contribuir a todos los aspectos involucrados en el procesamiento de im\u00e1genes: tanto a la modelizaci\u00f3n como al desarrollo e implementaci\u00f3n num\u00e9rica de algoritmos, sin olvidar su an\u00e1lisis matem\u00e1tico. Para cubrirlos se requiere de aut\u00e9nticos equipos multidisciplinares que incorporen a ingenieros, inform\u00e1ticos, f\u00edsicos y matem\u00e1ticos. Los matem\u00e1ticos pueden aportar su experiencia en todos los aspectos; quisi\u00e9ramos se\u00f1alar expresamente que su formaci\u00f3n les permite abordar los problemas de modelizaci\u00f3n que tradicionalmente han sido objeto de mayor atenci\u00f3n por parte de otras comunidades. <\/p>\n

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Modelo Digital de Terreno generado a partir de curvas de nivel de 20 metros<\/sub><\/div>\n<\/div>\n

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Los campos de aplicaci\u00f3n del procesamiento de im\u00e1genes son numerosos y sin pretender ser exhaustivos podemos mencionar algunos de ellos: procesamiento de v\u00eddeo (con sus m\u00faltiples aplicaciones: vigilancia, control de tr\u00e1fico, seguimiento de objetos en movimiento, etc\u00e9tera) y la creaci\u00f3n de herramientas para la postproducci\u00f3n de cine digital, el \u00e1mbito de las im\u00e1genes m\u00e9dicas (reconstrucci\u00f3n, interpretaci\u00f3n y ayuda al diagn\u00f3stico), la fotograf\u00eda digital, la visi\u00f3n est\u00e9reo y la reconstrucci\u00f3n tridimensional a partir de secuencias de v\u00eddeo, la restauraci\u00f3n e interpretaci\u00f3n de las im\u00e1genes tomadas por sat\u00e9lites, el reconocimiento de formas y la b\u00fasqueda de im\u00e1genes en la web, la compresi\u00f3n de im\u00e1genes, el procesamiento de superf\u00edcies, la s\u00edntesis de im\u00e1genes y la simulaci\u00f3n para videojuegos y un largo etc\u00e9tera tanto en los temas de investigaci\u00f3n b\u00e1sica como en las aplicaciones. <\/p>\n

Estos campos de aplicaci\u00f3n y desarrollo de la actividad investigadora no se encuadran dentro de ninguna de las disciplinas tradicionales de las matem\u00e1ticas pero requieren de todas ellas.
\u00c9sta es la gran ventaja del procesamiento de im\u00e1genes ligada a su car\u00e1cter multidisciplinar, muchas por no decir todas las \u00e1reas de las matem\u00e1ticas tienen algo que decir: el c\u00e1lculo de variaciones, la modelizaci\u00f3n f\u00edsica apoyada en ecuaciones en derivadas parciales, la geometr\u00eda (diferencial, topol\u00f3gica, discreta …), la topolog\u00eda, las estructuras de datos, la estad\u00edstica, la teor\u00eda de procesos estoc\u00e1sticos, el an\u00e1lisis arm\u00f3nico y la teor\u00eda del muestreo, la teor\u00eda de la informaci\u00f3n, codificaci\u00f3n, el an\u00e1lisis num\u00e9rico y la optimizaci\u00f3n, la \u00f3ptica, la teor\u00eda del color, y en general, la f\u00edsica, sin olvidar los aspectos de ingenier\u00eda e inform\u00e1tica. Hemos mencionado estas \u00e1reas, pero podr\u00edamos sumar muchos \u00e1mbitos de experiencia en los que las im\u00e1genes se aplican. <\/p>\n

Por todo ello y sobre todo por sus numerosas aplicaciones este \u00e1rea va a adquirir un gran desarrollo en el futuro pr\u00f3ximo y es interesante observar los movimientos dentro de la comunidad matem\u00e1tica que se producen en los pa\u00edses de nuestro entorno que afectan tanto al n\u00famero creciente de investigadores dedicados a ello, como a la relaci\u00f3n con el mundo industrial y la creaci\u00f3n de nuevas empresas. <\/p>\n

A t\u00edtulo ilustrativo, vamos a describir en lo que sigue algunos de los campos de aplicaci\u00f3n mencionados m\u00e1s arriba sin que los temas elegidos signifiquen m\u00e1s que otros sobre los que pasaremos brevemente por razones de espacio. <\/p>\n

Algunos campos de aplicaci\u00f3n del procesamiento de im\u00e1genes <\/i><\/b><\/font><\/p>\n

a) Procesamiento de v\u00eddeo y cine digital <\/i><\/font><\/p>\n

El tr\u00e1nsito desde el cine y la televisi\u00f3n anal\u00f3gicas a la tecnolog\u00eda digital plantea una serie de problemas tecnol\u00f3gicos de inter\u00e9s pr\u00e1ctico. Los sistemas anal\u00f3gicos se caracterizan por tener m\u00e1s baja resoluci\u00f3n, niveles m\u00e1s elevados de ruido y artefactos y menor flexibilidad, los sistemas digitales permiten im\u00e1genes m\u00e1s n\u00edtidas con menores niveles de ruido y menos artefactos, siendo m\u00e1s robustas a la transmisi\u00f3n. <\/p>\n

La coexistencia de sistemas anal\u00f3gicos y digitales en TV y v\u00eddeo requiere el poder intercambiar los formatos de ambos sistemas seg\u00fan diferentes niveles de calidad y complejidad. A los formatos de producci\u00f3n hay que a\u00f1adir los formatos del receptor (sistemas de display<\/i>). Los receptores han de ser capaces de convertir el formato recibido en el formato del dispositivo de display, a ser posible en tiempo real. Estos formatos se definen por su muestreo espacio-temporal y su relaci\u00f3n de aspecto [3]<\/a>. La televisi\u00f3n usa un formato de muestreo llamado entrelazado mientras que los ordenadores personales usan el llamado muestreo progresivo. El uso del ordenador como pantalla de visualizaci\u00f3n plantea el debate entre el desarrollo algoritmos de des-entrelazado de v\u00eddeo o la producci\u00f3n de v\u00eddeo progresivo. La primera estrategia es de menor coste y permite la compatibilidad con los formatos tradicionales de la televisi\u00f3n. Se necesitan pues algoritmos eficientes que permitan la conversi\u00f3n de v\u00eddeo entrelazado a v\u00eddeo progresivo (IPC, Interlaced to Progressive Conversion<\/i>), el aumento de la resoluci\u00f3n espacial (scan-rate conversion<\/i>) y el aumento de la resoluci\u00f3n temporal (frame-rate conversion<\/i>). <\/p>\n

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Left, original scene. Next, our results for two night simulated scenes at 1 log cd\/m2 with different assumptions for the day illuminant:
D65  (middle) and D75 (right).<\/sub><\/p>\n



Some results with decreasing values of ambient luminance: 1, 0.6, 0.3, 0.1 and -0.1 log cd\/m2 , 5, 8, 10, 11 and 15 iterations of
diffusion respectively from left to right and from top to bottom.<\/sub><\/p>\n<\/div>\n

Por otra parte, en el contexto del cine, si bien la adquisici\u00f3n y exhibici\u00f3n siguen siendo primordialmente anal\u00f3gicas, en pel\u00edcula de 35mm, la etapa intermedia de postproducci\u00f3n es cien por cien digital en la mayor\u00eda de los casos. Y la tendencia adem\u00e1s es a migrar de pel\u00edcula de 35mm a v\u00eddeo digital de alta resoluci\u00f3n, por su menor costo, manteniendo la calidad de imagen y la apariencia del film<\/i>. <\/p>\n

Des-entrelazado:<\/font> El formato entrelazado es una forma de muestreo espacio-temporal.
Para evitar el parpadeo el ojo humano requiere una frecuencia temporal de unos 60 Hz lo que, con la resoluci\u00f3n espacial de 625 l\u00edneas y el ancho de banda de la TV anal\u00f3gica original, permitir\u00eda tan solo el display de unos 25 o 30 cuadros de imagen por segundo. Para resolver este problema cada cuadro se divide en dos campos, en el primero se muestrean las l\u00edneas pares y en el segundo las impares (o al rev\u00e9s). Dos campos consecutivos han de estar adquiridos en diferentes instantes de tiempo. El proceso de des-entrelazado es la operaci\u00f3n que permite pasar del formato de v\u00eddeo entrelazado al formato progresivo duplicando la densidad de muestreo en la dimensi\u00f3n vertical de la imagen y eliminando el aliasing espacio temporal. Mencionemos un hecho importante: el muestreo de v\u00eddeo no cumple las demandas del teorema de Shannon ya que no se ha procedido a un filtrado antes del sub-muestreo – lo que permitir\u00eda evitar el aliasing. La raz\u00f3n es que la degradaci\u00f3n del filtrado (blurring)<\/i> introducido ser\u00eda peor que el aliasing. Esta caracter\u00edstica dificulta el problema de la conversi\u00f3n de formatos que no puede abordarse con m\u00e9todos lineales de interpolaci\u00f3n. Los m\u00e9todos usados en la actualidad incorporan tanto la interpolaci\u00f3n espacial (que tiene en cuenta los contornos de la imagen) como la compensaci\u00f3n o adaptaci\u00f3n al movimiento y las restricciones dadas por el teorema generalizado del muestreo. \u00c9ste es un \u00e1mbito perfecto para el trabajo de un matem\u00e1tico, pudiendo abordarlo en dos frentes: el an\u00e1lisis de las restricciones f\u00edsicas impuestas por el proceso de adquisici\u00f3n de las im\u00e1genes con el objetivo de mejorar los modelos y determinar los m\u00e1rgenes de calidad que pueden obtenerse, y el desarrollo de algoritmos que incorporen las restricciones de funcionamiento en tiempo real. El trabajo [1]<\/a> contiene una revisi\u00f3n excelente sobre la relevancia del problema y las t\u00e9cnicas m\u00e1s comunes empleadas en los algoritmos de des-entrelazado. <\/p>\n

Aumento de resoluci\u00f3n espacial:<\/font> El aumento de resoluci\u00f3n espacial de una imagen a partir de varias de ellas tiene muchas aplicaciones adem\u00e1s de la conversi\u00f3n de formatos de v\u00eddeo [3]<\/a>, desde las im\u00e1genes m\u00e9dicas a las im\u00e1genes satelitales, pasando por la mejora de la calidad de impresi\u00f3n o las aplicaciones de v\u00eddeo-vigilancia donde interesa magnificar objetos (como matr\u00edculas de coche o caras) para reconocerlos. El aumento de resoluci\u00f3n es posible cuando se dispone de varias im\u00e1genes diferentes de la misma escena u objeto que cuando son registradas (puestas en el mismo sistema de referencia) presentan desplazamientos con precisi\u00f3n por debajo del p\u00edxel. Si estos desplazamientos existen y si adem\u00e1s hay aliasing presente, no podemos deducir una imagen a partir de la otra, lo que permite construir una imagen de mayor resoluci\u00f3n [16,<\/a>  17<\/a>]. Las secuencias  de v\u00eddeo, las im\u00e1genes adquiridas por sat\u00e9lites orbitando alrededor de la tierra, o diversas vistas de una escena adquiridas con una c\u00e1mara proporcionan las diferentes im\u00e1genes con el movimiento relativo necesario para construir una imagen de mayor resoluci\u00f3n. La estimaci\u00f3n del desplazamiento relativo entre las diversas im\u00e1genes (digamos k<\/i> de ellas de tama\u00f1o N<\/i> x M<\/i>) permite compensar ese desplazamiento, lo que proporciona k <\/i>x N<\/i> x M<\/i> valores en una ret\u00edcula irregular que hay que transformar en una imagen definida en una ret\u00edcula regular cuadrada. De lo dicho se deduce que este problema est\u00e1 ligado a muchos otros: el c\u00e1lculo del desplazamiento relativo entre dos im\u00e1genes, problemas de restauraci\u00f3n, de muestreo y de interpolaci\u00f3n, por destacar algunos de los ingredientes principales. <\/p>\n

Aumento de resoluci\u00f3n temporal:<\/font> Otro caso relevante en las aplicaciones es el del aumento de resoluci\u00f3n temporal de una secuencia de v\u00eddeo, ya sea para conversi\u00f3n de formatos (pasar de los 25 cuadros por segundo del sistema PAL a los 30 de NTSC, por ejemplo), o en postproducci\u00f3n para generar efectos como el de c\u00e1mara lenta [16,<\/a>  17<\/a>]. Problemas an\u00e1logos se plantean si queremos cambiar el aspect-ratio de la secuencia. <\/p>\n

Efectos en post-producci\u00f3n digital de cine:<\/font> Como mencionamos antes, la pr\u00e1ctica habitual es que la post-producci\u00f3n de cine se haga digitalmente a\u00fan cuando tanto el material original como el de exhibici\u00f3n sea pel\u00edcula anal\u00f3gica 35mm. El metraje filmado se escanea a alta resoluci\u00f3n, se procesa digitalmente, y se transfiere de nuevo a film para su proyecci\u00f3n en cines. Tanto el escaneado de alta resoluci\u00f3n como la transferencia a film son procesos muy costosos, pero que se justifican por la versatilidad que permite la post-producci\u00f3n digital frente a la cl\u00e1sica postproducci\u00f3n de laboratorio \u00f3ptico: procesos como el dosificado de color, zooms, re-encuadres, se pueden hacer digitalmente en mucho menos tiempo, con mucho mejores resultados y a un coste virtualmente independiente de la cantidad de pruebas (mientras que en efectos de laboratorio cada prueba tiene el costo -nada despreciable- de la impresi\u00f3n de una copia). Por otro lado hay efectos que s\u00f3lo se pueden hacer bien digitalmente: noche americana [3]<\/a>, eliminaci\u00f3n de objetos, dosificado no lineal de color, dosificado de color para objetos particulares de la secuencia, modificaci\u00f3n de la profundidad de campo, eliminaci\u00f3n de ruido y restauraci\u00f3n de pel\u00edculas rayadas (scratches<\/i>), restauraci\u00f3n de pel\u00edculas con color desva\u00eddo, etc. Ello plantea una necesidad real de buenos y eficientes algoritmos de segmentaci\u00f3n, tracking, restauraci\u00f3n (inpainting<\/i>), estimaci\u00f3n de la profundidad de la escena (depth from shading<\/i>), correcci\u00f3n de color, etc. ([18]<\/a>).<\/p>\n

<\/p>\n

 <\/p>\n

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<\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

Extra\u00eddo de Matem\u00e1ticas en la Frontera<\/a>
Por Vicent Caselles Costa <\/a>
Universitat Pompeu Fabra<\/a><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El procesamiento de im\u00e1genes y la visi\u00f3n por ordenador se han convertido en un \u00e1rea de investigaci\u00f3n importante debido al r\u00e1pido desarrollo de las nuevas tecnolog\u00edas. Sus aplicaciones se extienden desde la visi\u00f3n industrial a las im\u00e1genes m\u00e9dicas, las im\u00e1genes satelitales, el v\u00eddeo y el cine digitales y el arte. Esta investigaci\u00f3n est\u00e1 dirigida por las aplicaciones pero requiere de una discusi\u00f3n de sus fundamentos matem\u00e1ticos para poder organizar el cuerpo de las numerosas contribuciones y algoritmos, comprender su universalidad y los l\u00edmites de su aplicabilidad. 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