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\u00abDos planos tropicales y su recta intersecci\u00f3n\u00bb<\/SUP><\/DIV><\/DIV>
Seis meses de geometr\u00eda tropical en IMDEA Matem\u00e1ticas<\/FONT>
La geometr\u00eda tropical<\/A> es una rama bastante reciente, los primeros art\u00edculos en los que aparece as\u00ed no tienen m\u00e1s de diez a\u00f1os. Aunque, como siempre, se pueden encontrar trazas de esta disciplina en resultados ya conocidos de antiguo.
Su novedad relativa y lo llamativo del nombre hace que la gente se haga, inevitablemente, dos preguntas: \u00bfEso qu\u00e9 es? Seguida de \u00bfPor qu\u00e9 se le llama tropical?
Sobre tan exc\u00e9ntrico nombre, Speyer y Sturmfels, comentan en un art\u00edculo \u00abTropical mathematics<\/A>\u00bb que este nombre es un homenaje, de algunos matem\u00e1ticos franceses, al matem\u00e1tico brasile\u00f1o Imre Simon<\/A> por sus aportaciones al \u00e1lgebra min-plus.
Respecto a lo que es, se podr\u00eda decir que es la geometr\u00eda creada a partir del \u00e1lgebra min-plus. Pero esto no aclara nada. Digamos que es una geometr\u00eda en la que la caracter\u00edstica m\u00e1s relevante es que sustituye los objetos geom\u00e9tricos cl\u00e1sicos (rectas, c\u00f3nicas, superficies) por ciertos complejos poliedrales. Estos complejos poliedrales pueden verse como \u00abuna sombra\u00bb de los objetos cl\u00e1sicos. Lo curioso es que algunas propiedades geom\u00e9tricas se preservan al hacer esta sustituci\u00f3n, por lo que algunos problemas, que pueden ser complicados de resolver en geometr\u00eda cl\u00e1sica, se vuelven m\u00e1s sencillos en geometr\u00eda tropical. O al menos permiten ser tratados con t\u00e9cnicas de la combinatoria, ampliando las herramientas con las que cuenta el matem\u00e1tico a la hora de enfrentarse a los problemas.
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\u00abDos c\u00fabicas tropicales en el plano\u00bb<\/SUP>
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Ya se han cumplido seis meses de la serie de seminarios en geometr\u00eda tropical que se est\u00e1n impartiendo en la Fundaci\u00f3n IMDEA Matem\u00e1ticas. Diversos especialistas, nacionales e internacionales, han acudido para mostrar resultados y puntos de vista. Aqu\u00ed presentamos un resumen de lo que se cont\u00f3 en las mismas.
En enero, la serie de seminarios arrancan con las exposiciones de Ilia Itenberg<\/A> (U. Estrasburgo) y L. F. Tabera<\/A> (IMDEA Matem\u00e1ticas). El profesor Itenberg imparti\u00f3 dos seminarios titulados \u00abTropical Curves\u00bb y \u00abRecursive formulas for Welschinger invariants\u00bb. En estos seminarios se explicaron los conceptos b\u00e1sicos relativos a las curvas tropicales planas: c\u00f3mo se definen o c\u00f3mo determinar su grado y g\u00e9nero. Tambi\u00e9n explic\u00f3 la aplicaci\u00f3n de la geometr\u00eda tropical a problemas de geometr\u00eda enumerativa real y compleja. Mostrando un c\u00e1lculo tropical de los invariantes de Welschinger y Gromov-Witten en algunos contextos. Por su parte L. F. Tabera cont\u00f3 en su charla \u00abGeometric Constructions in Tropical Geometry\u00bb c\u00f3mo comparar construcciones geom\u00e9tricas en el plano complejo y tropical.
En febrero contamos con las conferenciantes Alicia Dickenstein<\/A> (U. Buenos Aires) y Mar\u00eda Jes\u00fas de la Puente (U. Complutense de Madrid). La profesora Dickenstein, en su conferencia \u00abTropical discriminants\u00bb cont\u00f3 como, dada una familia de polinomios, se le puede asociar un polinomio discriminante que captura los casos en los que las soluciones del sistema de polinomios es patol\u00f3gico. Mostr\u00f3 como la tropicalizaci\u00f3n de este discriminante puede ser calculada sin necesidad de calcular previamente el discriminante algebraico. Por otro lado, la profesora de la Puente dio una visi\u00f3n global de la geometr\u00eda tropical. Al ser una disciplina tan reciente, a\u00fan est\u00e1n bajo estudio y discusi\u00f3n los conceptos m\u00e1s elementales y, por el momento, no hay una \u00fanica definici\u00f3n de curva tropical o de grado de una curva. En esta charla aprendimos los distintos puntos de vista, c\u00f3mo se relacionan o las alternativas que hay.
La siguiente conferenciante fue Sonia Rueda<\/A> (U. Polit\u00e9cnica de Madrid), \u00abPolhyedral representations of invariant differential operators\u00bb, y que nos habl\u00f3 en abril sobre una aplicaci\u00f3n de la combinatoria a problemas fuera de ella. Mostrando los pol\u00edgonos que se esconden tras los anillos de operadores diferenciales invariantes bajo ciertas acciones en el espacio af\u00edn.
Erwan Brugall\u00e9<\/A> (U. Paris 6), con su charla \u00abFloor decomposition of tropical curves\u00bb mostr\u00f3 como extender las t\u00e9cnicas tropical planas de conteo de curvas de g\u00e9nero y grado fijado que pasan por una familia de curvas al caso en el que las curvas son espaciales. Por su parte, el profesor Francisco Santos <\/A>(U. Cantabria) habl\u00f3 sobre las distintas posibilidades combinatorias de colocar rectas tropicales en el plano y la relaci\u00f3n de estas posibilidades con las triangulaciones del producto de dos simplices en su seminario \u00abTriangulations of products of simplices and tropical geometry\u00bb.
Finalmente, en Junio, tuvimos la visita de M. Kerber<\/A> (T.U. Kaiserslautern) con el seminario \u00abA Riemann-Roch theorem in tropical geometry\u00bb, en el que generaliza una versi\u00f3n combinatoria del teorema de Riemann-Roch sobre grafos a un teorema de Riemman-Roch v\u00e1lido para curvas tropicales. As\u00ed como una posible interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica del mismo.
La geometr\u00eda tropical<\/A> es una rama bastante reciente, los primeros art\u00edculos en los que aparece as\u00ed no tienen m\u00e1s de diez a\u00f1os. Aunque, como siempre, se pueden encontrar trazas de esta disciplina en resultados ya conocidos de antiguo.
Su novedad relativa y lo llamativo del nombre hace que la gente se haga, inevitablemente, dos preguntas: \u00bfEso qu\u00e9 es? Seguida de \u00bfPor qu\u00e9 se le llama tropical?
Sobre tan exc\u00e9ntrico nombre, Speyer y Sturmfels, comentan en un art\u00edculo \u00abTropical mathematics<\/A>\u00bb que este nombre es un homenaje, de algunos matem\u00e1ticos franceses, al matem\u00e1tico brasile\u00f1o Imre Simon<\/A> por sus aportaciones al \u00e1lgebra min-plus.
Respecto a lo que es, se podr\u00eda decir que es la geometr\u00eda creada a partir del \u00e1lgebra min-plus. Pero esto no aclara nada. Digamos que es una geometr\u00eda en la que la caracter\u00edstica m\u00e1s relevante es que sustituye los objetos geom\u00e9tricos cl\u00e1sicos (rectas, c\u00f3nicas, superficies) por ciertos complejos poliedrales. Estos complejos poliedrales pueden verse como \u00abuna sombra\u00bb de los objetos cl\u00e1sicos. Lo curioso es que algunas propiedades geom\u00e9tricas se preservan al hacer esta sustituci\u00f3n, por lo que algunos problemas, que pueden ser complicados de resolver en geometr\u00eda cl\u00e1sica, se vuelven m\u00e1s sencillos en geometr\u00eda tropical. O al menos permiten ser tratados con t\u00e9cnicas de la combinatoria, ampliando las herramientas con las que cuenta el matem\u00e1tico a la hora de enfrentarse a los problemas.
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Ya se han cumplido seis meses de la serie de seminarios en geometr\u00eda tropical que se est\u00e1n impartiendo en la Fundaci\u00f3n IMDEA Matem\u00e1ticas. Diversos especialistas, nacionales e internacionales, han acudido para mostrar resultados y puntos de vista. Aqu\u00ed presentamos un resumen de lo que se cont\u00f3 en las mismas.
En enero, la serie de seminarios arrancan con las exposiciones de Ilia Itenberg<\/A> (U. Estrasburgo) y L. F. Tabera<\/A> (IMDEA Matem\u00e1ticas). El profesor Itenberg imparti\u00f3 dos seminarios titulados \u00abTropical Curves\u00bb y \u00abRecursive formulas for Welschinger invariants\u00bb. En estos seminarios se explicaron los conceptos b\u00e1sicos relativos a las curvas tropicales planas: c\u00f3mo se definen o c\u00f3mo determinar su grado y g\u00e9nero. Tambi\u00e9n explic\u00f3 la aplicaci\u00f3n de la geometr\u00eda tropical a problemas de geometr\u00eda enumerativa real y compleja. Mostrando un c\u00e1lculo tropical de los invariantes de Welschinger y Gromov-Witten en algunos contextos. Por su parte L. F. Tabera cont\u00f3 en su charla \u00abGeometric Constructions in Tropical Geometry\u00bb c\u00f3mo comparar construcciones geom\u00e9tricas en el plano complejo y tropical.
En febrero contamos con las conferenciantes Alicia Dickenstein<\/A> (U. Buenos Aires) y Mar\u00eda Jes\u00fas de la Puente (U. Complutense de Madrid). La profesora Dickenstein, en su conferencia \u00abTropical discriminants\u00bb cont\u00f3 como, dada una familia de polinomios, se le puede asociar un polinomio discriminante que captura los casos en los que las soluciones del sistema de polinomios es patol\u00f3gico. Mostr\u00f3 como la tropicalizaci\u00f3n de este discriminante puede ser calculada sin necesidad de calcular previamente el discriminante algebraico. Por otro lado, la profesora de la Puente dio una visi\u00f3n global de la geometr\u00eda tropical. Al ser una disciplina tan reciente, a\u00fan est\u00e1n bajo estudio y discusi\u00f3n los conceptos m\u00e1s elementales y, por el momento, no hay una \u00fanica definici\u00f3n de curva tropical o de grado de una curva. En esta charla aprendimos los distintos puntos de vista, c\u00f3mo se relacionan o las alternativas que hay.
La siguiente conferenciante fue Sonia Rueda<\/A> (U. Polit\u00e9cnica de Madrid), \u00abPolhyedral representations of invariant differential operators\u00bb, y que nos habl\u00f3 en abril sobre una aplicaci\u00f3n de la combinatoria a problemas fuera de ella. Mostrando los pol\u00edgonos que se esconden tras los anillos de operadores diferenciales invariantes bajo ciertas acciones en el espacio af\u00edn.
Erwan Brugall\u00e9<\/A> (U. Paris 6), con su charla \u00abFloor decomposition of tropical curves\u00bb mostr\u00f3 como extender las t\u00e9cnicas tropical planas de conteo de curvas de g\u00e9nero y grado fijado que pasan por una familia de curvas al caso en el que las curvas son espaciales. Por su parte, el profesor Francisco Santos <\/A>(U. Cantabria) habl\u00f3 sobre las distintas posibilidades combinatorias de colocar rectas tropicales en el plano y la relaci\u00f3n de estas posibilidades con las triangulaciones del producto de dos simplices en su seminario \u00abTriangulations of products of simplices and tropical geometry\u00bb.
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Por Luis Tabera
Investigador de IMDEA Matem\u00e1ticas
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