<\/p>\n
Es de sobra conocido c\u00f3mo la \u00faltima revoluci\u00f3n de la f\u00edsica, la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, fue consecuencia de un par de art\u00edculos de Max Planck que trataban de deducir la distribuci\u00f3n espectral de la radiaci\u00f3n del cuerpo negro a partir de principios fundamentales, como la entrop\u00eda.<\/p>\n
Los dos art\u00edculos se publicaron en Annalen der Physik, uno, en el volumen 1 (1900), pag. 719, y el segundo en en volumen 4, (1901) pag. 553.<\/p>\n
El resultado fue la propuesta de que la energ\u00eda total de un conjunto de N resonadores<\/b>, cada uno con energ\u00eda fija U, se pudiese escribir como un m\u00faltiplo entero de elementos de energ\u00eda del mismo tama\u00f1o e<\/i><\/b> (cuantos de energ\u00eda).<\/p>\n
He escrito resonador en negrita, porque es el t\u00e9rmino que utiliza Planck, cuando especifica que trata de analizar la distribuci\u00f3n de energ\u00eda en el el espectro normal (de emisi\u00f3n, se supone, aunque esto Planck no lo especifica) que emite un resonador irradiado que oscila de manera monocrom\u00e1tica con una energ\u00eda de oscilaci\u00f3n U. (Tampoco especifica Planck que el oscilador debe estar cargado el\u00e9ctricamente, para poder emitir radiaci\u00f3n). La palabra resonador<\/b> ser\u00e1 importante como veremos al final de este post.<\/p>\n
Planck (que incluso en 1900 no acababa de estar convencido de la existencia de los \u00e1tomos) decide tratar de derivar la ley de distribuci\u00f3n de la radiaci\u00f3n del cuerpo negro a partir del concepto de entrop\u00eda. Y se le ocurre postular la entrop\u00eda de un \u00fanico resonador, cuya energ\u00eda U fluct\u00faa en el tiempo debido a fluctuaciones en el campo electromagn\u00e9tico a que est\u00e1 sometido.<\/p>\n
La entrop\u00eda es un concepto colectivo, no estando definida para un sistema f\u00edsico elemental. \u00bfQu\u00e9 entrop\u00eda tiene un oscilador arm\u00f3nico simple? Una part\u00edcula que se mueve de manera ca\u00f3tica puede ser susceptible de recibir una asignaci\u00f3n de entrop\u00eda, pero para que se mueva de manera ca\u00f3tica es imprescindible que interaccione con otras muchas, de manera que ya no es una<\/b> \u00fanica part\u00edcula.<\/p>\n
Planck, vista la imposibilidad de asignar entrop\u00eda a un<\/b> resonador, introduce un conjunto de N resonadores exactamente iguales que no interaccionan entre s\u00ed, pero cuyas energ\u00edas individuales U fluct\u00faan: U = U(t) y por lo tanto son distintas de una constante, aunque esto no lo dice. La energ\u00eda del conjunto ser\u00e1 NU(t) aunque esto tampoco lo especifica.<\/p>\n
As\u00ed, en cualquier momento, la energ\u00eda de cada resonador ser\u00e1, no U, sino Ui, con i=1,N.<\/p>\n
Luego introduce una probabilidad W de que el conjunto de N resonadores tenga la energ\u00eda NU (es decir, aunque no lo especifica, NU(t), o mejor Suma a i de Ui.)<\/p>\n
Es dif\u00edcil entender cual puede ser esa probabilidad.<\/p>\n
Entonces, dejando de lado su afirmaci\u00f3n de que la energ\u00eda del conjunto es UN<\/sub><\/span>=NU, propone que UN<\/sub><\/span>=Me<\/i><\/b>, donde M es un n\u00famero natural y e<\/em> <\/strong>una energ\u00eda elemental, un cuanto de energ\u00eda. <\/p>\n Ahora propone repartir M de todas las posibles maneras de forma que ya cada resonador no tenga la energ\u00eda U, sino Mi e. <\/i><\/b><\/p>\n Sea <\/span>R = (N+M-1)!\/(N-1)! M! <\/span>el n\u00famero de formas posibles de dividir el n\u00famero natural M entre N resonadores. Ahora Planck propone que la entrop\u00eda del conjunto de N resonadores, que por hip\u00f3tesis tienen cada uno la energ\u00eda Ui venga dada por<\/p>\n SN<\/sub><\/span> = k ln(R)<\/p>\n lo cual tiene sentido. Un conjunto de N resonadores todos con la misma energ\u00eda, tendr\u00eda entrop\u00eda cero. Si empiezan a moverse cada uno con una energ\u00eda distinta y adem\u00e1s esa energ\u00eda cambia en el tiempo, la entrop\u00eda crece hasta un valor m\u00e1ximo (un s\u00f3lido que se convierte en gas cuyos \u00e1tomos o mol\u00e9culas interaccionan entre s\u00ed).<\/p>\n Ahora hace Planck un truco. Desarrollando los factoriales, y despejando M en NU = Me<\/i><\/b>,<\/p>\n es decir M=NU\/e<\/i><\/b><\/p>\n SN<\/sub><\/span> = k ln(R) = k { (N+M) ln(N+M) -N ln(N) -M ln(m)} = k {(N+(NU\/e<\/i><\/b>) ln(NU\/e<\/i><\/b>)-N ln(N)-(NU\/e<\/i><\/b>) ln(NU\/e<\/i><\/b>)<\/p>\n o<\/p>\n SN<\/sub><\/span> = k N{ (1 + (U\/e<\/i><\/b>)) ln (1 + (U\/e<\/i><\/b>)) -(U\/e<\/i><\/b>) ln (U\/e<\/i><\/b>))<\/p>\n y puesto que hemos supuesto que SN<\/sub><\/span> = NS<\/p>\n S = k { (1 + (U\/e<\/i><\/b>)) ln (1 + (U\/e<\/i><\/b>)) -(U\/e<\/i><\/b>) ln (U\/e<\/i><\/b>)) . (1)<\/p>\n Es asombroso como por un lado U<\/span>N<\/sub><\/span>=Me<\/i><\/b>, y por otro U<\/span>N<\/sub><\/span>=NU, con U un n\u00famero fijo. \u00bfEs (1) la entrop\u00eda S(U) o es S(Ui)?. Parece que para Planck es S(Ui), pero no lo dice. <\/span><\/p>\n A partir de la expresi\u00f3n para la entrop\u00eda de un resonador se obtiene sin mucho esfuerzo la distribuci\u00f3n correcta de Wien de frecuencias de la radiaci\u00f3n del cuerpo negro y su dependencia con la temperatura. <\/p>\n Para ello Planck ha introducido la hip\u00f3tesis de que cada resonador tiene una energ\u00eda fija, y simult\u00e1neamente <\/span>ese resonador puede tener energ\u00edas variables Mi<\/span> e<\/i><\/b> <\/span>donde <\/span>e<\/i><\/b> <\/span>es un cuanto elemental de energ\u00eda, no de la radiaci\u00f3n, sino de los resonadores.<\/p>\n La idea de Planck, de utilizar un n\u00famero natural M para el c\u00e1lculo de la entrop\u00eda, es que no es posible encontrar una probabilidad para N resonadores si la energ\u00eda es continua, pues la probabilidad, al fin y a la postre de todas las definiciones, es esencialmente el n\u00famero (discreto) de casos favorables dividido por el n\u00famero (discreto) de casos posibles. <\/p>\n Todo esto se resuelve much\u00edsimo mejor y de manera rigurosa utilizando la ecuaci\u00f3n de Schroedinger (cl\u00e1sica) para potenciales centrales de tipo 1\/r, cuyas energ\u00edas negativas, de enlace, est\u00e1n cuantizadas por la propia naturaleza de esa ecuaci\u00f3n cl\u00e1sica, de manera que la absorci\u00f3n y emisi\u00f3n de radiaci\u00f3n solo puede hacerse por resonancia<\/strong>, en n\u00fameros enteros, en cuantos de energ\u00eda, lo que genera la distribuci\u00f3n de Wien. <\/span>La emisi\u00f3n de radiaci\u00f3n ac\u00fastica en cuerdas tensas (guitarra, viol\u00edn, piano) tambi\u00e9n se produce por resonancia<\/strong> en frecuencias enteras. <\/p>\n Es curioso que Planck, que utiliza la palabra resonador en todo su art\u00edculo, no reflexione sobre la resonancia de esos resonadores bajo la radiaci\u00f3n que ocupa todo el espacio vac\u00edo de materia entre paredes ennegrecidas que es el cuerpo negro.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Es de sobra conocido c\u00f3mo la \u00faltima revoluci\u00f3n de la f\u00edsica, la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, fue consecuencia de un par de art\u00edculos de Max Planck que trataban de deducir la distribuci\u00f3n espectral de la radiaci\u00f3n del cuerpo negro a partir de principios fundamentales, como la entrop\u00eda. Los dos art\u00edculos se publicaron en Annalen der Physik, uno, en el volumen 1 (1900), pag. 719, y el segundo en en volumen 4, (1901) pag. 553. 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