{"id":106966,"date":"2026-02-09T08:27:52","date_gmt":"2026-02-09T07:27:52","guid":{"rendered":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/?p=106966"},"modified":"2026-02-09T08:27:52","modified_gmt":"2026-02-09T07:27:52","slug":"la-mecanica-atomica-es-tan-clasica-como-el-movimiento-de-los-planetas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/2026\/02\/09\/106966","title":{"rendered":"La mec\u00e1nica at\u00f3mica es tan cl\u00e1sica como el movimiento de los planetas"},"content":{"rendered":"

En su art\u00edculo b\u00e1sico y revolucionario de Enero de 1926, Erwin Schroedinger tom\u00f3 finalmente al toro por los cuernos y se puso a investigar lo que deber\u00eda haber hecho Niels Bohr al aceptar el modelo planetario de Rutherford para el \u00e1tomo, es decir, las \u00f3rbitas de los electrones alrededor del n\u00facleo mediante las ecuaciones b\u00e1sicas de la Mec\u00e1nica.  El problema de Bohr eran los n\u00fameros naturales asignados emp\u00edricamente a las \u00f3rbitas, o m\u00e1s bien a los valores permitidos para las energ\u00edas de los electrones. Estos n\u00fameros naturales surgen en la mec\u00e1nica cl\u00e1sica en el problema de la oscilaci\u00f3n de las cuerdas vibrantes, o los modos de vibraci\u00f3n de cualquier instrumento musical, y como veremos aqu\u00ed, aparecen tambi\u00e9n directamente en el movimiento planetario.<\/p>\n

Este movimiento es el de uno o un conjunto de cuerpos (sin especificar)  que se mueven bajo una fuerza central derivada de un potencial cuya forma es (1\/r) donde r es la distancia ente un n\u00facleo o una estrella. Si \u0395 es la energ\u00eda de uno de esos cuerpos, su movimiento est\u00e1 descrito por la soluci\u00f3n de una serie de ecuaciones en derivadas parciales que se pueden englobar de una forma forma muy resumida mediante la m\u00e1quina u operador de Hamilton, y las ligaduras necesarias, como condiciones iniciales y de contorno, sin las cuales las ecuaciones no son m\u00e1s que s\u00edmbolos no operativos.  La ecuaci\u00f3n es <\/p>\n

H(r<\/strong>,\u2202S\/\u2202r<\/strong>) = E<\/em><\/p>\n

donde r<\/strong><\/em> es el vector de posici\u00f3n cuyo valor absoluto es r<\/em>.  S<\/em> es el s\u00edmbolo de la acci\u00f3n cuyo mejor significado es el mismo que el de la entrop\u00eda: Una herramienta humana que permite avanzar en la resoluci\u00f3n de problemas, otra palanca o m\u00e1quina. <\/p>\n

Schroedinger introduce ahora una nueva variable, la funci\u00f3n \u03c8 que ha llegado a ser el s\u00edmbolo de la mec\u00e1nica at\u00f3mica. <\/p>\n

\u03c8 = exp(S\/K).<\/em><\/p>\n

Elegimos que la funci\u00f3n \u03c8(r<\/strong>)<\/em> (dejando de lado, de momento, su dependencia en el tiempo) sea un\u00edvoca, diferenciable dos veces y continua.  <\/p>\n

en funci\u00f3n de \u03c8 la ecuaci\u00f3n de Hamilton se escribe ahora <\/p>\n

H(r<\/strong>,(K\/\u03c8)\u2202\u03c8\/\u2202r<\/strong>) =E<\/em>                                                                            (1)<\/p>\n

donde E es la energia del sistema.<\/p>\n

En coordenadas cartesianas   <\/p>\n

(\u2202\u03c8\/\u2202x)\u00b2 + (\u2202\u03c8\/\u2202y)\u00b2 + (\u2202\u03c8\/\u2202z)\u00b2 – (A\/K\u00b2)(E-B\/r)\u03c8\u00b2       =  0<\/em>         (2)<\/p>\n

donde  A<\/em> y B<\/em> son las constantes de cada problema, at\u00f3mico o planetario.                                                <\/p>\n

Una posible soluci\u00f3n de (1), sometida a las ligaduras necesarias, se puede encontrar pasando de coordenadas cartesianas a esf\u00e9ricas. La soluci\u00f3n para las coordenadas angulares es una funci\u00f3n arm\u00f3nica esf\u00e9rica Y(m,n)[\u03b8,\u03c6]<\/em> mientras que para la funci\u00f3n radial \u03c7(r)<\/em> se puede escribir la ecuaci\u00f3n<\/p>\n

d\u00b2\u03c7\/dr\u00b2 + (2\/r)d\u03c7\/dr + [CE + (D\/K\u00b2)(1\/r) -n(n+1)\/r\u00b2]\u03c7 =0 . n= 0,1,2, …  (3)<\/em><\/p>\n

Una ecuaci\u00f3n diferencial, no lineal (1\/r, 1\/r\u00b2)<\/em>, y con n\u00fameros naturales como par\u00e1metros. Estos n\u00fameros son consecuencia de las soluciones arm\u00f3nicas esf\u00e9ricas. Derivan de la ecuaci\u00f3n (2) que es v\u00e1lida para el potencial el\u00e9ctrico y el gravitatorio. Las condiciones de contorno (2, pues la ecuaci\u00f3n es de segundo orden) son que las soluciones sean finitas en r=0<\/em>, y para r<\/em> muy grandes.<\/p>\n

La constante D<\/em> representa las cargas activas del campo que mantiene el movimiento, como e\u00b2<\/em> para el campo el\u00e9ctrico y (Mm)<\/em> para el campo gravitatorio<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n se puede ir modificando utilizando funciones de prueba para \u03c7<\/em>. Para la energ\u00eda E >0<\/em> no hay ning\u00fan problema para resolver la ecuaci\u00f3n. Pero para los sistemas enlazados como el planetario, con E<0,<\/em>  la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n presenta problemas muy considerables. <\/p>\n

Para analizar las posible soluciones se precisa considerar la expresi\u00f3n <\/p>\n

(D\/K)\/(\u221a[-2mE])<\/em>  <\/p>\n

o<\/p>\n

D’\/\u221a-E<\/em><\/p>\n

englobando en D’<\/em> todas las constantes del campo y la masa de la entidad f\u00edsica que se mueve. <\/p>\n

Tras un desarrollo bastante largo que se puede encontrar en la referencia {1}, es decir, en el art\u00edculo original de Schroedinger, este llega a la conclusi\u00f3n de que la ecuaci\u00f3n para la funci\u00f3n radial \u03c7(r)<\/em> solo tiene soluci\u00f3n f\u00edsica si<\/p>\n

D’\/\u221a-E = l, l \u2208 N y l>n.<\/em>                                                                                                       (5)<\/p>\n

 esta condici\u00f3n lleva a <\/p>\n

E = (m\/2)(e\u00b2\/K)\u00b2  (1\/l)\u00b2<\/em> para el campo el\u00e9ctrico<\/p>\n

y<\/p>\n

E = (m\/2) (Mm\/k)\u00b2 (1\/l)\u00b2<\/em>  para el campo gravitatorio. <\/p>\n

Las condiciones cu\u00e1nticas derivan directamente de las funciones esf\u00e9ricas y de las condiciones de unicidad y finitud de las soluciones en r=0<\/em> y r<\/em> muy grande, y esto de las ecuaciones de Newton en la formulaci\u00f3n de Hamilton. <\/p>\n

No parece existir un \u00abmisterio\u00bb en la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, ni una separaci\u00f3n radical entre mec\u00e1nica cu\u00e1ntica y cl\u00e1sica. <\/strong><\/p>\n

En un pr\u00f3ximo post analizar\u00e9 las consecuencias de esta soluci\u00f3n de Schroedinger para las energ\u00edas de las trayectorias de las entidades f\u00edsicas en un campo central.<\/p>\n

{1}: E.Schroedinger. \u00abQuantisierung as Eigenwertproblem\u00bb . <\/em>Annalen der Physik<\/strong>, 384<\/strong>(4), 361\u2013376. https:\/\/doi.org\/10.1002\/andp.19263840404<\/a><\/p>\n

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En su art\u00edculo b\u00e1sico y revolucionario de Enero de 1926, Erwin Schroedinger tom\u00f3 finalmente al toro por los cuernos y se puso a investigar lo que deber\u00eda haber hecho Niels Bohr al aceptar el modelo planetario de Rutherford para el \u00e1tomo, es decir, las \u00f3rbitas de los electrones alrededor del n\u00facleo mediante las ecuaciones b\u00e1sicas de la Mec\u00e1nica.  El problema de Bohr eran los n\u00fameros naturales asignados emp\u00edricamente a las \u00f3rbitas, o m\u00e1s bien a los valores permitidos para las energ\u00edas de los electrones. Estos n\u00fameros naturales surgen en la mec\u00e1nica cl\u00e1sica en el problema de la oscilaci\u00f3n de las\u2026<\/p>\n","protected":false},"author":20,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/106966"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/users\/20"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=106966"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/106966\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":106982,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/106966\/revisions\/106982"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=106966"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=106966"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/medioambiente\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=106966"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}