Partículas e interacciones: dibujamos con Feynman
Por Paolo Benincasa (Investigador Postdoctoral en el IFT UAM-CSIC)
Empezamos nuestra visita guiada en el mundo de la física de partículas con el punto de vista que sigue siendo el más común hoy en día y, probablemente, el más general. Como mencioné en el post introductorio anterior, nuestra lupa se focalizará en la amplitud de difusión.
Los procesos que ocurren durante la colisión y que llevan desde las partículas iniciales a las finales pueden ser representados gráficamente a través de los diagramas de Feynman. Por ejemplo, la colisión de dos partículas, que indicaremos con 1 y 2, la cual produce otras dos partículas (3 y 4), puede representarse como se muestra a continuación:
El primer miembro de esta ecuación es simplemente una esquematización de la amplitud que se quiere calcular, donde las lineas exteriores representan las partículas que colisionan (identificadas por los números) mientras que el círculo indica que algo ocurre durante la colisión.
En el segundo miembro de la ecuación los diagramas de Feynman proporcionan una representación de lo que ocurre durante la colisión, o lo que es lo mismo, de cómo las partículas interacúan. Las líneas exteriores de cada diagrama siguen representando las partículas que colisionan, mientras que las interiores representan la propagación de otras partículas. Dichas partículas interiores se denominan virtuales y técnicamente se dice que están off-shell: esto significa que, a valores de energía genéricos, no son físicas (detectables). Sin embargo, existen valores de energía peculiares que les permiten convertirse en partículas físicas, es decir que pueden ser emitidas y detectables (en cuyo caso se dice que esas partículas van on-shell).
Si cada línea corresponde a una partícula, no es difícil entender que los vértices interiores de los diagramas representan la interacción entre las partículas. A cada uno de los elementos de los diagramas (líneas y vértices) está asociada una expresión matemática. En particular, la expresión matemática asociada a cada vértice depende de las partículas involucradas (y por lo tanto de la teoría que se quiere estudiar) y está caracterizada por una constante que mide la interacción entre ellas, llamada constante de acoplo y que en adelante indicaremos con k. Los diagramas de la primera línea de la ecuación anterior, caracterizados por dos vértices de tres partículas, tendrán un factor k², mientras que los diagramas de la segunda linea tendrán un factor k⁴. ¿Qué significa esto? Si k es un numero suficientemente pequeño, los términos con k² resultarán más grandes respecto a los términos con k⁴. Para dar una idea, imaginad que k = 1/100. Por consecuencia, los diagramas con k² contendrán un factor 1/10000 mientras que aquellos con k⁴ contendrán un factor 1/100000000, o lo que es lo mismo el segundo conjunto de diagramas puede ser visto como una pequeña corrección del primero.
Los puntos suspensivos indican que hay más términos (en general un número infinito de ellos) que son cada vez más y más pequeños. Esto significa que la representación de la colisión a través de los diagramas de Feynman es válida únicamente cuando las constantes de acoplo características de las interacciones en juego puedan ser consideradas suficientemente pequeñas. Este régimen se llama perturbativo y los diagramas dibujados arriba, en la primera línea de la ecuación, constituyen el nivel de árbol, que representa la aproximación semi-clásica de la amplitud, mientras que los de la segunda línea, incluyendo los codificados en los puntos suspensivos, constituyen el nivel de bucle, que representa las correcciones cuánticas del proceso de colisión.
Es posible escribir todos los diagramas de Feynman que necesitemos, y, en línea de principio, calcular nuestra querida amplitud a todos los ordenes perturbativos. Digo en línea de principio porque, a pesar de que la representación mediante diagramas parezca bonita y sencilla, hacer el cálculo a través de ella ha resultado de todo salvo fácil y, por ello, su simplificación ha sido un objetivo muy importante para los físicos: incluso considerando sólo el nivel de árbol, el número de diagramas que necesitamos sumar aumenta rápidamente aumentando el número de partículas involucradas en la colisión. Si además aumentamos los números de bucles, la cantidad de diagramas que se necesitaría considerar crece vertiginosamente.
En cualquier caso, no todo es sólo cuestión de cálculos. Los diagramas y su suma codifican de manera muy importante las propiedades de la teoría. La estructura de cada diagrama está dictada por dos hipótesis fundamentales que están detrás de la formulación teórica de las interacciones entre partículas: la localidad de las interacciones, es decir que ocurren en un punto, y la unitariedad, es decir que la suma de las probabilidades en los experimentos de colisión es igual a uno. En otras palabras, la descomposición de una amplitud en diagramas de Feynman deja ambas propiedades manifiestas. En los próximos capítulos veremos cómo precisamente esta característica nos impida leer y descubrir muchas otras propiedades físicas directamente de las amplitudes.