Matemáticas y sus fronteras

“Y mientras allí estaba conmovido, yerto de miedo y lleno de inquietud por su estado, el fonóglobo de la mima empezó de pronto a hablarme en el dialecto de la teoría tensorial superior avanzada que usamos la mima y yo en lo cotidiano.”

Aniara, Harry Martinson

Reseñamos hoy un libro muy especial “Aniara”, de Harry Martinson, un poema épico sobre el destino de la humanidad, una obra que a veces se califica de ciencia-ficción, aunque es un poema conmovedor, una de las obras más singulares y emocionantes del siglo XX.

Las influencias científicas en el poema de Martinson impregnan toda la obra. Por ejemplo, el espacio curvado por la materia de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein inspira su imagen como “un tazón de cristal”,  y el mismo autor confesó la influencia de otro físico notable como Paul Dirac.

Estamos hablando de probablemente la obra cumbre de un poeta que no es un cualquiera. Puede que no sea tan conocido en España, pero Martinson recibió el Premio Nobel de Literatura en 1974. Un Nobel controvertido, porque él era miembro de la Academia Sueca, el primer académico procedente del mundo del proletariado, tal y como le solían calificar.

Harry Martinson

Martinson tenía otra influencia además de la ciencia, el mar. Durante su atribulada vida: huérfano de padre a los seis años, en una familia de siete hermanos, abandonados por su padre, pasó a ser adptado por varias familias campesinas que lo obligaron a trabajar duramente aparte de maltratarlo. No es de extrañar que a los dieciséis años se enrolara como navegante durante seis años sucesivamente en diecinueve barcos. De la ciencia y su experiencia marinera, surge Aniara, una navegación por el espacio exterior durante quince mil años.

Con su familia

Al leer Aniara he vislumbrado muchos contenidos matemáticos y reproduciré algunos de ellos. El principal problema para reconocerlos es que Martinson ha creado una rima interna que no puede traducirse a otros oidiomas, a la vez que ha inventado un gran cantidad de neologismos. Así que la traducción del original sueco, versificado en pentámetros yámbicos, a los que se añaden pentasílabos, endecasílabos, alejandrinos, siempre en forma consonante. La traductora ha optado finalmente por una versión en prosa, que así y todo, conserva un ritmo espectacular.

El argumento es conocido en las novelas de ciencia-ficción: Aniara es el nombre de la nave espacial (la golgondra) cuya misión es transportar a Marte a los últimos supervivientes de una Tierra devastada por una explosión nuclear. Después de una colisión con un asteroide, la nave se sale del sistema solar y queda eternamente perdida en el espacio sin fin. La nave está regida por la Mima (¿una inteligencia artificial?) que muere durante el viaje. El narrador, el Homero espacial, va contando todo lo que va sucediendo hasta el verso final.

Dibujo de Harry Martinson

Creo que Aniara merece que algunos matemáticos suecos lo leyeran y buscaran las matemáticas que contienen, que en la traducción apenas se intuyen. Aquí van unos fragmentos:

“Se agazapaban allí técnicos de todos los ramos que representaban la cuarta teoría tensorial, en tanto que los que mancillan el pensamiento puro se cubrían de gloria.

…

Sin embargo, como también para nosotros eran ajenos los tonos de aquella lengua tan alejada del país de las fórmulas, muy poco comprendíamos de las lecciones con las que quisimos tenderles una mano.”

Poema 31

“Pero aquí, fatalmente sujetos como estábamos al curso impuesto por la ley de la hipérbola, no podía desembocar su descubrimiento en nada fructífero, solo en un teorema que Isagel formuló con brillantez, pero que estaba condenado a venir con nosotros lejos, cada vez más lejos, hacia Lira, hasta desaparecer.”

Poema 39

“Un filósofo de la teoría numérica de conjuntos, y místico de la escuela alefnumérica, suele presentarse en la central Gopta con un cuestionario cumplimentado, se inclina discretamente ante Isagel, la lúcida, y se adentra luego en silencio en Aniara.

Isagel, que ve apropiada las cuestiones, coge el puñado de fórmulas y las codifica para la tercera posición racional de la mesa goptiana.

Y, transformado ya el grupo de fórmulas y una vez gopteada cuidadosamente la clase tensorial, las trasvasa al carro goptiano, antes de enjaezar a Robert, el ayudante espacial, el fiel rocín de nuestra liga de cerebros, para el arrastre de la carga de conjuntos numéricos.

Cuando el filósofo de conjuntos numéricos vuelve, Isagel le dice la verdad: que, a pesar de los muchos afanes de Robert, no hay gopta capaz de dar respuestas.

…

Y el señor Conjunto Numérico (así lo llamamos) , se inclina triste, humilde y silencioso y se aleja discretamente por las galerías de Aniara.”

Poema 47

En 2018 Aniara fue llevada al cine, con división de opiniones. Aquí pueden ver el trailer

También se transformó en una ópera estrenada el 31 de mayo de 1959 en Estocolmo.

El libro está publicado en 2015 por Gallonero en una cuidada edición que inclye un mapa indicando el trayecto de la nave.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Cuando Vaughan Jones tenía 5 años, hizo su primer descubrimiento matemático: “Estaba aprendiendo la tabla de la suma y me di cuenta de que si uno más uno es igual a dos, entonces 100 más 100 debe ser igual a 200 – algo que la gente desde entonces me ha dicho que era un paso no trivial para un niño de 5 años”.

Nos enteramos con tristeza del fallecimiento de Sir Vaughan Frederick Randal Jones, uno de los matemáticos más brillantes de nuestros tiempos, ganador de la medalla Fields de 1990 por sus sensacionales descubrimientos en álgebras de von Neumann y teoría de nudos. Esta entrada está dedicada a honrrar su memoria.

Vaughan Jones

Vaughan Jones nació en Gisborne, Nueva Zelanda, el 31 de diciembre de 1952. Su infancia y juventud transcurrieron en su país natal. Tras cursar sus estudios en la Universidad de Auckland, se trasladó a Ginebra con una beca suiza, donde realizó su tesis doctoral, defendida en 1979, bajo la dirección de uno de los grandes matemáticos suizos, André Haefliger. Su tesis fue galardonada con el Premio Vacheron Constantin. En 1980 se trasladó a la Universidad de California en Los Ángeles, y después en la Universidad de Pennsylvania. En 1985 fue nombrado profesor de nuevo en la Universidad de California, esta vez en Berkeley.

En su laudatio en el ICM de Kyoto, Joan Birman dijo que:

En 1984 Jones descubrió una sorprendente relación entre las álgebras de von Neumann y la topología geométrica. Como resultado, encontró un nuevo polinomio invariante para nudos y enlaces en el espacio tridimensional. Su invariante había pasado completamente desapercibido para los topólogosfa, a pesar de la intensa actividad en áreas estrechamente relacionadas durante los 60 años anteriores, y fue una completa sorpresa…

Sobre su manera de trabajar, Birman añadió:

Su forma de trabajar es informal, animando al intercambio libre y abierto de ideas. En los últimos años, Jones escribió cartas a varios matemáticos describiendo sus trabajos, pero no se sentía todavía preparado para enviarlos a publicar a una revista.

Esto no es habitual en un científico, siempre preocupados por la prioridad en los descubrimientos.

El trabajo de Jones es realmente espectacular. Su motivación era el deseo de entender la estructura matemática de dimensión infinita de la Mecánica Cuántica, así que estudió la estructura de las álgebras de operadores introducidas por John von Neumann, que en ese tiempo estaba dando resultados muy notables bajo la batuta de Alain Connes. Jones construyó un índice que comparaba una álgebra y una subálgebra, índice finito, probablemente la primera cantidad finita que comparaba dos cantidadess infinitos. Ese “índice de Jones” provocó una auténtica revolución en el campo de la teoría de operadores. Jones, además, partiendo de este descubrimiento, fue capaz de asociar un polinomio a un nudo (llamado ahora polinomio de Jones), que servía para distinguir entre nudos, uno de los problemas más relevantes en teoría de nudos. Estos resultados tuvieron también una gran influencia en la Teoría Cuántica de Campos.

Jones desarrolló a lo largo de su vida una serie de servicios a la comunidad como la Vicepresidencia de la Unión Matemática Internacional (2014-2017), o su participación en el Comité de Programa del ICM de Madrid en 2006 (donde tuve ocasión de conocerle). Además de la medalla Fields, ha recibido muchos reconocimientos: académico de la Royal  Society, de la Academia de Ciencias de EE.UU, de la American Mathematical Society, entre muchos otros. Sus dos grandes pasiones, además de las matemáticas, fueron el windsurf y el kiteboarding.

Tras su fallecimiento eeste 8 de septiembre, su escuela de Nueva Zelanda, la Auckland Grammar School en la que estudió desde 1966 a 1969, decidió que su bandera ondeara a media asta para honrar al que ha sido el matemático más brillante de la historia de Nueva Zelanda.

Vaughan Jones causó sensación en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1990 en Kyoto, al presentarse para su conferencia plenaria como medallista Fields con su camiseta de los All Blacks de Nueva Zelanda. En el ICM de 2018 en Río de Janeiro, los organizadores hicieron circular este montaje que recordaba el hecho así como su trabajo.

Les dejamos con una entrevista con Vaughan Jones

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

He leído en Quanta Magazine, esa espectacular revista digital de matemáticas (pero también con contenidos de Física, Biología y Ciencias de la Computación) un artículo que me ha llamado la atención y cuyo contenido me gustaría compartir con los lectores de Matemáticas y sus fronteras. La lectura del mismo me ha llevado, como ocurre siempre en estos casos, a investigar los resultados que allí se reflejan.

Dodecaedro

El artículo de Quanta Magazine se titula Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron, y lo firma Erica Klarreich. Recoge, de una manera sensacional, los resultados de estos dos artículos A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron,  de los matemáticos, Jayadev S. Athreya y David Aulicino, y este otro, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces, de Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper. Athreya es profesor en la Universidad de Washington, Aulicino trabaja en el Brooklyn College, y Hooper en el City College de Nueva York.

Jayadev S. Athreya

David Aulicino

Pat Hooper

El resultado que han obtenido ha sorprendido al colectivo matemático, ya que pocas novedades desconocidas se podían esperar de los dodecaedros.

Los cinco sólidos platónicos

Como sabemos, se pueden construir polígonos planos regulares de cualquier número d elados, no hay ninguna limitación. Pero no es así cuando nos pasamos al mundo tridimensional. Solo se pueden construir cinco poliedros con caras iguales y que sean polígonos regulares: tetraedro ( 4 triángulos equiláteros), cubo o hexaedro (6 cuadrados), octaedreo (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos regulares) y el icosaedro (20 triángulos equiláteros). La razón está en la fórmula de Euler C+V = A+2 (el número de caras más el número de vértices debe ser dos unidades mayor que el número de aristas).

Esta sorprendente realidad ha dado lugar a que estos sólidos, llamados a veces platónicos, sean objeto de supuestas propiedades mágicas o esenciales, como hemos ya comentado en otras entradas de este blog (veáse por ejemplo De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos).

Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper se han estudiado el siguiente problema sobre los sólidos platónicos:

Partiendo de un vértice en uno de ellos, ¿se puede trazar una trayetoria recta de manera que se vuelva al vértice de partida sin pasar por ninguno de los otros vértices?

Lo primero a dilucidar es lo que se entiende por una línea recta, y es esto: Una trayectoria en línea recta en la superficie de un poliedro es una línea recta dentro de una cara que se extiende únicamente sobre un borde de modo que cuando las caras adyacentes se aplanan la trayectoria forma una línea recta en el plano.

La respuesta es negativa (así se consideraba al menos) en todos los casos excepto en el dodecaedro, que hasta ahora era desconocido. La demostración ha requerido el uso de modernas técnicas geométricas así como de computación. Primero, Athreya y Aulicino, en su paper publicado en The Amer. Math. Monthly, probaron la existencia de un tal camino, y después con Hooper, elaboraron una teoría completa.

La idea fue considerar los desplegables o desarrollos de los sólidos platónicos. Como vemos en estas figuras,

se convierten en una red o grafo plano a partir del cuál, usando las identificaciones adecuadas, se reconstruyen los sólidos. Es algo que los estudiantes trabajan en las escuelas. Estos retículos poseen cada uno de ellos unas curvas de Teichmüller cuyas topologías calcularon. La curva de Teichmüller del dodecaedro desplegado tiene el género 131 con 19 singularidades cónicas y 362 cúspides. Esto les permite obtener que hay 31 maneras diferentes de conectar vértices por trayectorias rectilíneas (en realidad, geodésicas).

En este video, Jayadev S. Athreya explica sus resultados de una manera muy clara, lo recomiendo encarecidamente

En esta página web creada por David Aulicino, puede usted visualizar todas esas trayectorias de las que hablamos

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

En dos entradas previas hemos contado la historia de las dos primeras mujeres que fueron invitadas a presentar su investigación en un Congreso Internacional de Matemáticos (ICM en sus siglas inglesas). Por una parte, la historia trágica de Laura Pisati, invitada en Roma 1908 y fallecida días antes de impartir su charla; y la de Hilda Hudson, que si la pudo impartir en el ICM de Cambridge en 1912. Contaremos ahora las vicisitudes de la tercera pionera.

Emmy Noether

En el ICM de en 1924 (Toronto, Canadá), se invitó a 2 mujeres; en el de en 1928 (Bolonia, Italia), fueron 8; en 1932 (Zürich, Suiza),  fueron 12; y finalmente, antes del parón de la guerra, en 1936 (Oslo, Noruega), 4 matemáticas tuvieron el honor de ser invitadas a impartir una conferencia.

Un momento estelar de la participación femenina fue cuando Emmy Noether impartió la primera conferencia plenaria en un ICM. Debemos recordar que impartir una conferencia, bien invitada o plenaria, en un ICM es un gran honor para cualquier matemático. Emmy Noether ya había asistido con 26 años de edad al ICM de Roma en 1908, como acompañante de su padre, el matemático Max Noether, que si dio una charla. Y Emmy dio una de las conferencias invitadas en el ICM de 1928 en Bolonia, ya como profesora en Gotinga. Su conferencia plenaria en 1932 fue un hito; basta recordar que solo 60 años más tarde otra mujer repitió como plenaria, Karen Uhlenbeck (por cierto, la primera mujer galardonada con el Premio Abel en 2019, tras 19 varones).

Si tras la Segunda Guerra Mundial se produjeron cambios sociales de gran envergadura, esto pareció no afectar a nuestros colegas masculinos de entonces en los diferentes Comités de Programa, encargados de seleccionar cada cuatro años los conferenciantes. En efecto, pareciera como si las mujeres matemáticas hubieran desaparecido, y así en 1950 (Cambridge, EEUU) y 1954 (Amsterdam, Países Bajos) hubo una invitada en cada uno de los respectivos ICMs, ninguna en 1958 (Edimburgo, Reino Unido) y 1962 (Estocolmo, Suecia), y hay que esperar a 1966 (Moscú, Unión Soviética), con 1; 1970 (Niza, Francia), 2; y 1974 (Vancuver, Canadá), con 2. Realmente, cifras sorprendentes porque estamos hablando de un mundo en el que la mujer tenía ya muchas cosas que decir en la sociedad (quizás no en España, pero sí en países más avanzados y con regímenes políticos democráticos).

Queda mucho camino para alcanzar una igualdad, pero se han dado pasos imporatntes, como la creación de la Association for Women in Mathematics (AWM) en 1971, la toma de conciencia en los Comités Ejecutivos de IMU sobre este tema, la primera Presidenta de IMU en la figura de una respetada matemática como es el caso de Ingrid Daubechies y que dio un gran impulso, y la primera medalla Fields adjudicada a Maryam Mirkhazani en el ICM de Seúl de 2014. Como miembro del Comité Ejecutivo de IMU durante ocho años (2007-2014) y Presidente del ICM2006 de Madrid, puedo dar fé directamente que esta ha sido y es un tema que IMU se toma muy en serio. El camino se ha iniciado y no tiene vuelta atrás, pero que sea largo o corto va a depender de la actitud de los matemáticos masculinos, que siguen detentando la mayoría de los puestos que pueden no solo apoyar las iniciativas ya en marcha sino también impulsar otras nuevas y más incisivas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

- ¿Que sentido tiene este construir? -pregunta-. ¿Cuál es el fin de una ciudad en construcción sino una ciudad? ¿Dónde está el plano que siguen, el proyecto? -Te lo mostraremos apenas termine la jornada; ahora no podemos interrumpir -responden. El trabajo cesa al atardecer. Cae la noche sobre la obra en construcción. Es una noche estrellada. -Éste es el proyecto- dicen.

Italo Calvino, “Las ciudades invisibles”

Miradas Matemáticas, la colaboración editorial del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la editorial Catarata, lanzan su demitercer título, La geometría de las ciudades, de José María Sorando Muzás.

Este libro es una exploración de las ciudades desde la Antigüedad hasta la actualidad, y de cómo las matemáticas, y muy especialmente la geometría, han influido en sus formas. No es una mera descripción de los motivos matemáticos que uno puede encontrar en otras obras, sino que va mucho más allá, es una auténtica inmersión en como se han ido definiendo las ciudades a lo largo del tiempo.

Son muchas las razones que influyen en el nacimiento y en la forma que toma una ciudad. Motivos religiosos, optimización de los recursos para los ciudadanos y su mayor bienestar, defensa ante potenciales enemigos, mantenimiento de un orden social, nada es por azar en la historia de las ciudades. Es un auténtico “tour de force” histórico.

Sorando también nos muestra como las decisiones políticas y económicas han distorsionado en muchos casos proyectos que tenían como meta mejorar las condiciones de habitabilidad de los ciudadanos, y lo hace con dos ejemplos paradigmáticos, el Ensanche barcelonés del Plan Cerdá, o el barrio de Arturo Soria en Madrid. También nos informa de los proyectos utópicos que a lo largo de los tiempos se han ido proponiendo e incluso construyendo.

Esta exploración entre las urbes y la geometría permite a José María Sorando proponer diversas actividades, aplicables también como recursos de enseñanza y aprendizaje matemático, convirtiendo al libro en un instrumento de utilidad para profesores y estudiantes. El libro está escrito de una manera ágil, amena y contiene una enorme cantidad de información que hará las delicias de cualquier lector interesado.

El autor, José María Sorando Muzás, es natural de Zaragoza. Es licenciado en Matemáticas por la Universidad de esa ciudad (en 1978), con diploma de postgrado en Tecnologías de la Información Aplicadas a la Educación por la Universidad de Murcia (1989). Presenta una larga trayectoria (36 años) como profesor de secundaria. Es miembro de la FESPM a través de la Sociedad Aragonesa Pedro Sánchez Ciruelo de Profesores de Matemáticas, de la que fue fundador, Vicepresidente y Secretario. Su actividad como divulgador de las matemáticas es muy amplia, con conferencias, programa sde radio, artículos, y libros.

Entre sus obras más conocidas están “100 escenas de cine y t.v. para la clase de Matemáticas” (2 ediciones), “Aventuras matemáticas en el cine”, “Cine y matemáticas: Resolviendo problemas”, “Fotografía matemática” (coautor), “Matemáticas en tu mundo”, “Matemáticas de cine” y ahora “La geometría de las ciudades”.  En la página web http://matematicasentumundo.es/JMSorando.htmse pueden encontrar más detalles de sus actividades y obras, así como numerosos audios de entrevistas.

Miradas Matemáticas, como toda nueva colección y especialmente de unas nuevas características, ha necesitado un tiempo para irse consolidando, pero este último título es toda una declaración de principios. La colección ha venido para quedarse por muchos años, y en los próximos meses se irán produceindo nuevos lanzamientos que esperamos sean del interés de los lectores.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Las matemáticas, incluso más abstractas, permiten aplicaciones directas a numerosos campos, entre ellos la Biología y la Medicina. Se ha visto en esta pandemia de la Covid-19 la utilidad de los modelos epidemiológicos (SIR y derivados, cadenas de Markov, series temporales) basados en las ecuaciones diferenciales, la Estadística y los procesos estocásticos, pero no son los únicos.

Reidun Twarock

En esta entrada vamos a describir el trabajo realizado por la investigadora Reidun Twarock, nacida en Alemania pero que trabaja como bióloga matemática en la Universidad de York. Su trabajo trata de responder a la dificultad para encontrar remedios para las enfermedades que provocan. Este problema viene de la enorme capacidad de los virus para mutar, cambiando las estructuras que se usan para diseñar las drogas que los ataquen. El trabajo de Twarock y su equipo ha servido para conocer mejor esas estructuras, determinar sus limitaciones y conocer cómo se forman los virus, cómo evolucionan y cómo infectan a los organismos vivos que los albergan.

Como comentaba la propia Twarock en una reciente entrevista en 2019: “Mi trabajo sobre la estructura de los virus ha permitido una profunda comprensión de los ciclos de vida virales que sólo se podría lograr a través de la lente de la geometría viral. Un resultado muy emocionante es el descubrimiento del código de ensamblaje de los virus que ha anulado el paradigma existente en el ensamblaje de los virus y ha abierto nuevas vías para la intervención antiviral.”

Papillomavirus

En esa misma entrevista, cuenta cómo comenzó a interesarse por los virus: “En una conferencia de Física Matemática en París en 2002, asistí a una charla sobre virus icosaédricos por el biofísico Robijn Bruinsma de la UCLA. Como la simetría icosaédrica no es cristalográfica, me di cuenta de que las técnicas matemáticas en las que estaba trabajando en ese momento podrían desarrollarse aún más para aplicaciones en virología. Sin embargo, yo estaba demasiado involucrada con otros proyectos para actuar inmediatamente sobre esta observación. Trabajando con el matemático Walter Mazorchuk en la Universidad de Uppsala el verano siguiente, tuve la oportunidad de visitar al virólogo Lars Liljas en el Biomedicum. Llamó mi atención sobre el rompecabezas estructural de los virus cancerígenos que luego abordé en los próximos meses con mi formación en simetrías no cristalográficas y mosaicos aperiódicos. Este fue el comienzo de la Virología Matemática.”

Lo que sigue es un resumen de los principales resultados matemáticos y sus consecuencias para nuestra comprensión de los virus y la terapia antiviral, resumen recogido desde su artículo “Viruses and Geometry: Group, Graph and Tiling Theory Open Up Novel Avenues for Anti-Viral Therapy”, publicado en London Mathematical Society Impact150 Stories 1 (2016) 63-68. En concreto, el interés de Twarock está en el estudio de

1. Extensiones afines de grupos de Coxeter no cristalográficos y geometría del virus.

2. Teoría del mosaico viral en virología y bio-nanotecnología.

3. Cómo las transiciones de retículos proporcionan información sobre transiciones estructurales importantes para la infección.

4. Cómo nuevas aplicaciones de la teoría de grafos sirven para cambiar de paradigma en nuestra comprensión de cómo se ensamblan los virus.

5. Cómo nuevos modelos matemáticos para el ensamblaje de virus sustentan el desarrollo de una terapia antiviral.

En cada uno de estos apartados, la autora desarrolla las ideas que hay detrás y los artículos en donde se encuentran los resultados.

Una teselación de Penrose

Twarock conocía bien desde su tesis doctoral el mosaico de Penrose, y examinando la estructura del paporvaviridae, observó que mientras los virus icosaédricos agrupan sus proteínas en cápsides de cinco y seis, con un máximo de 12 grupos de 5, en este caso, hay 72 grupos de 5. El modelo de Twarock se asemejaba a un mosaico de Penrose envuelto alrededor de una esfera. Su descubrimiento permitió considerar no sólo la superficie del virus, como hasta entonces, sino su estructura tridimensional. Recordemos que estos patrones de las cápsides permiten ser generados como en las teselaciones simplemente preservando simetrías. La nueva visión tridimensional de Twarock supuso un avance extraordinario.

Concluimos esta entrada con una reflexión sobre la práctica inexistencia de investigadores y grupos de investigación con las características de Twarock, es decir, poseedores de una formación matemática sólida en campos como la biología y, en particular, la virología. Twarock originalmente estudió física y matemáticas en las universidades de Colonia y Bath, nada muy diferente a los bien establecidos dobles grados de varias de nuestras universidades. Su doctorado tampoco fue en biología, sino en modelos de confinamiento en mecánica cuántica, en la Universidad Técnica de Clausthal. Algo falta en nuestro sistema científico si no somos capaces de emular este tipo de investigación multidisciplinar.

Y les dejamos con una conferencia de Reidun Twarock

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)

Hemos contado en varias entradas anteriores cómo Sir Ronald Ross descubrió el papel clave de los mosquitos en la transmisión de la malaria, por lo que consiguió el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1902, pero son menos conocidos sus intentos de desarrollar lo que él llamó una “teoría de los eventos”.

Sir Ronald Ross en su laboratorio

Ross no debería haber sido seguramente el único en llevarse ese Nobel. Cuando volvió de la India, donde dio sus primeros pasos para entender la malaria, visitó en Londres al médico Patrick Manson, quien había descubierto cómo las filarias, unas lombrices parasitarias microscópicas, podían pasar a los mosquitos a través de la sangre que extraían de personas contagiadas. Y fue Manson quien dijo a Ross que los mosquitos podían contagiarse también de esta manera y transmitir las filarias. Esto sirvió como punto de partida para que Ross desarrollara su modelo de infección para la malaria, y su famosa ecuación (el Teorema del Mosquito) para buscar el control de la enfermedad controlando la población de mosquitos. Pero Ross tenía un punto débil, su preparación matemática, que había sido autodidacta. Esto le planteó muchas dificultades.

Sir Patrick Manson

Uno de los integrantes de la expedición en 1901 a Sierra Leona de Ross para poner en práctica su teoría, fue Anderson McKendrick, con quien debatió las matemáticas del modelo. McKendrick tuvo la fortuna de aliarse con William Kermack, más ducho en matemáticas, a causa de un hecho infausto. Kermack era químico y en un experimento en su laboratorio una explosión fortuita le dejó ciego. En su estancia en el hospital, usando su enorme capacidad memorística, se hacía leer artículos y libros, en particular de matemáticas, con lo que al darle el alta, pudo poner ese conocimiento al servicio de su trabajo en común con McKendrick, del que surgió el modelo SIR.

Pero Ross tenía en la cabeza teorías mucho más ambiciosas, lo que él denominó la teoría de los eventos. Tal y como explica Adam Kucharski en su reciente libro “Las reglas del contagio”, Ross pensaba que había dos tipos de eventos:

(a)   Aquellos que afectan a un individuo de manera independiente; por ejemplo, un accidente.

(b)  Aquellos que dependen de lo que ya ha ocurrido a otros, como en una epidemia.

En el primer caso, la curva correspondiente tendrá un crecimiento en relación con la probabilidad de que ocurra ese evento con una pendiente que se irá suavizando ya que el universo de individuos es reducido. En el segundo caso, habrá un crecimiento rápido, exponencial (pensemos en una enfermedad contagiosa), hasta alcanzar una meseta ya que habrá alcanzado a toda la población susceptible; en este caso, la curva tendrá forma de S (de hecho, esta es la forma de la llamada curva logística, introducida por el matemático belga Pierre François Verhulst en 1838 y años siguientes; fue A.J. Lotka quién señaló la similitud de las ecuaciones de Ross con la ecuación logística en su libro Elements of Physical Biology de 1925).

Queriendo profundizar en estas ideas, y consciente de sus limitaciones matemáticas, Ross pidió ayuda a una matemática notable, Hilda Hudson, quien publicó su primer trabajo de investigación a los diez años en la revista Nature. En la serie de tres artículos “An application of the theory of probabilities to the study of a priori pathometry, Parts I, II and III”, publicados en Proceedings of the Royal Society A, en 1916 y 1917, Hilda Hudson y Ross desarrollaron lo que denominaron la medida a priori del dolor (“pathometry” en su acepción inglesa), también denominada por el propio Ross como “teoría de eventos” o “epidemiología constructiva”.

El primer artículo es debido solo a Ross (para los otros dos ya pudo contar con la ayuda de Hilda Hudson) y en su introducción se puede encontrar algo importante y de la máxima actualidad como es lo siguiente:

“Es algo sorprendente que se haya hecho tan poco trabajo matemático sobre el tema de las epidemias y, de hecho, sobre la distribución de las enfermedades en general. El tema no sólo es de importancia inmediata para la humanidad, sino que está fundamentalmente relacionado con los números, mientras que vastas masas de estadísticas han estado esperando durante mucho tiempo un examen adecuado. Pero, más aún, muchos y, de hecho, los principales problemas de la epidemiología de los que dependen en gran medida las medidas preventivas, como la tasa de infección, la frecuencia de los brotes y la pérdida de inmunidad, apenas pueden resolverse por ningún otro método que no sea el del análisis.”

Y continúa sus argumentos con

“Por ejemplo, las enfermedades por infecciones pueden clasificarse en tres grupos: (1) enfermedades como la lepra, la tuberculosis y el cáncer, que fluctúan comparativamente poco de mes a mes, aunque pueden aumentar o disminuir lentamente en el curso de los años; (2) enfermedades como el sarampión, la escarlatina, la malaria y la disentería, que, aunque están constantemente presentes en muchos países, se recrudecen en epidemias a intervalos frecuentes; y (3) enfermedades como la peste o el cólera, que desaparecen por completo después de períodos de epidemias agudas.”

La pregunta que formulada está hoy en el corazón de las hipótesis básicas e iniciales de cualquier modelo de epidemias:

¿A qué se deben estas diferencias?

Como recuerda Paul E. M. Fine en su artículo de 1975, “Tropical Disease-A Challenge for Epidemiology”, probablemente estos artículos sean la mayor contribución desde la medicina tropical a la epidemiología contemporánea. Fine también analizó la reclamación de Ross sobre su prioridad en sus métodos, lo que es verdad. Es sin duda la primera aproximación al estudio de las epidemias a priori y no a posteriori, como habían hecho los investigadores hasta entonces.

Desgraciadamente, el estudio de Ross no continuaría adelante. Una de las razones se debió a que Hilda Hudson fuese reclutada en 1916 por el ejército británico para desarrollar modelos aeronáuticos con motivo de la Primera Guerra Mundial, siendo galardonada por ese trabajo con una Orden del Imperio Británico. Pero la segunda de las razones resulta ser decepcionante para un innovador: Ross tuvo que enfrentarse al desánimo que le produjo que las autoridades sanitarias ignoraran su trabajo. Como cuenta Adam Kucharski en su libro, las ideas de Ross fueron décadas después no sólo utilizadas en epidemiología, sino en otras áreas como la publicidad, las finanzas, la propagación de rumores, las redes sociales, Internet, etc., es decir, ámbitos donde los brotes de enfermedades, de desinformación, de violencia, de contagio financiero o de relaciones personales se propagan o se desvanecen influidos por leyes aleatorias ocultas que tratan de ser sometidas por las matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)

Con más frecuencia de lo que pudiéramos pensar, las matemáticas como disciplina y los matemáticos, como practicantes de la disciplina, aparecen en muchas novelas. El objetivo de esta entrada es tomar algunos ejemplos de lecturas recientes de los últimos dos o tres meses, no escogidas expresamente, para demostrar así mi afirmación.

En El revés de la trama, una de las mejores novelas de Graham Greene, el desencantado comandante de policía Henry Scobie, perdido en su destino en una axfisiante colonia británica en África Occidental durante la Segunda Guerra Mundial, reflexiona sobre su problemas de conciencia: “Estoy demasiado cansado para pensar: esto habría que analizarlo en un papel, como un problema de matemáticas, y la respuesta debería obtenerse sin dolor”.

Greene va más allá de lo práctico y revela un profundo pensamiento sobre las matemáticas: “Pensó que la verdad nunca había sido de auténtica utilidad para ningún ser humano; era un símbolo perseguido por los filósofos y los matemáticos.” E incluso aparecen las matemáticas de nuevo cuando Scobie habla con la que será más tarde su amante, Helen, salvada milagrosamente de un naufragio. Pregunta Scobie sobre su época de estudiante y responde Helen:

“- ¿Qué se le daba bien, aparte del baloncesto?

- Creo que era la segunda en matemáticas, pero nunca destaqué en trigonometría.”

En De un mundo que ya no está, la autobiografía inconclusa de Israel Yehoshua Singer, el autor recuerda a uno de sus tíos, Yosef, hermano de su madre, y primogéntito que desesperaba a su abuelo, un afamado rabino que esperaba traspasarle algún día el puesto. Yosef “era reputado por su brillante inteligencia y su sabiduría. Había adquirido muchos conocimientos directamente de los libros, y por cuenta propia aprendió tanto el idioma ruso como, sobre todo, el cálculo y el álgebra de las matemáticas. Siempre andaba con un trocito de tiza en la mano haciendo números sobre las paredes, mesas y bancos.” Y así pasaba los días el tío Josef, enfrascado en su cálculos, pero como era juez, a él acudían si la contienda exigía precisamente el uso de los mismos. Juntamos así el estereotipo del matemático despistado con la utilidad de las matemáticas.

En Niña de todos los países, una de las maravillosas novelas de Irmgard Keun, su protagonista, Kully, una niña que se ve abocada a viajar de un hotel a otro por la Europa previa a la Segunda Guerra Mundial ya que su padre, escritor, ha tenido que huir con ella y su madre de la Alemania nazi, habla del valor de las matemáticas:

“Ahora también se leer en el periódico las cotizaciones de las monedas, cambiar florines en zlotys y zlotys en francos belgas. De todas las matemáticas, eso es lo más importante. Hay que saber que es mil veces mejor tener diez dólars que un marco.”

De nuevo el valor práctico de las matemáticas para la vida cotidiana.

El libro que tengo ahora entre manos es Encuentro con libros, una selección de críticas literarias, prólogos y similares de Stefan Zweig. En el capítulo sobre la obra de Thomas Mann, Discurso y respuestas, Zweig afirma: “Los matemáticos aseguran que la aritmética, esa disciplina sobria, precisa, sometida a la servidumbre de los cálculos cotidianos, cambia por completo cuando gana abstracción y entra en la esfera intelectual, en la que goza de una prodigiosa libertad, allí, apartada de lo terrenal como la música, derrocha fantasía y embriaga los sentidos.” Y esta es una manera de describir la prosa de Mann. Y sobre la misma, continúa Zweig: “Su valor estriba en la distancia que media entre el autor y el objeto, una magnitud que puede describirse asumiendo los fundamentos de la geometría euclídea.”

Las matemáticas forman parte de nuestra vida probablemente con más intensidad que ninguna otra enseñanza que hayamos estudiado, y si están atentos, amigos lectores, lo descubrirán una y otra vez.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias)

En la entrada Hilda Hudson, la primera conferenciante en un Congreso Internacional de Matemáticos hicimos un ecorrido por la vida y trabajos de esta matemática británica que hizo historia como primera conferenciante invitada en un Congreso Internacional de Matemáticas. Pero su vida ofrece otros aspectos interesantes que exploraremos en esta y otras entradas.

Una de las facetas curiosas de Hilda Hudson eran sus pensamientos sobre la relación entre las matemáticas y Dios. Su artículo titulado “Mathematics and Eternity”, publicado en la revista “The Mathematical Gazette”, en enero de 1925, comienza así:

Para todos los que tenemos la creencia cristiana de que Dios es verdad, todo lo que es verdad es un hecho acerca de Dios, y las matemáticas son una rama de la teología. Las relaciones de los hombres con Dios y con el universo tienen un lado exacto, e incluso numérico, capaz de tratamiento científico, llamado matemáticas puras y aplicadas.

Y continúa

Así, la investigación es una búsqueda mística y apasionada. Todos los científicos saben esto, aunque la mayoría tiene una timidez innecesaria y no científica de admitirlo. Las pasiones inferiores pueden cegar los ojos y nublar el intelecto; pero la alta pasión por la verdad es iluminadora y estable, y en una forma u otra es el único poder que permite a los hombres despreciar deleites y vivir días laboriosos en la búsqueda del conocimiento. Vale la pena por una vez para desviar nuestras mentes de los aspectos profesionales y temporales de las matemáticas, a su relación con las cosas que son invisibles y eternas.

La idea de Hudson es la universalidad de las matemáticas (puras o aplicadas); son las mismas para el hombre que para Dios, ya que compartimos esa capacidad intelectual para conseguir una representación del mundo. Compara lo que pasa con otras ciencias: “Pero los pensamientos de las matemáticas puras son verdaderos, no aproximados o dudosos; puede que no sean los más interesantes o importantes de los pensamientos de Dios, pero son los únicos que conocemos exactamente.” Hudson afirma que un cristiano puede dedicar su vida a la investigación matemática sin debatir sobre su utilidad o no, porque “estamos pensando los pensamientos de Dios mismo”.

Una de las ideas de Hudson en este artículo es su idea de como los procesos de matemáticas puras y aplicadas tienen más en común de lo que aparece a primera vista, porque al final, la clave no es el pensamiento sino la iluminación. Recobra así esa idea de cómo los matemáticos “ven” la demostración como si se tratara de una particular epifanía.

Y Hudson considera también los problemas entre naciones, las diferencias entre géneros y razas, que podrían resolverse si nos basarámos en la búsqueda de la verdad como los matemáticos, o en la ftaternidad universal predicada por los cristianos.

La relación entre las matemáticas y la divinidad es algo muy frecuente  porque esta ciencia parece la única capaz de desentrañar la realidad y llegar a la verdad. No olvidemos que Ramanujan llegó incluso más allá al afirmar que era la diosa Namagiri quién ponía en su mente los teoremas, o el caso de los matemáticos místicos rusos, por citar solo dos ejemplos.

Los argumentos de Hudson son más propios de principios del siglo XIX que de la época en que el artículo fue escrito, y en algún momento, pecan de una gran ingenuidad, como cuando afirma que la Santísima Trinidad no es más que el Álgebra (1, 2 y 3) y que la reencarnación es asunto de la matemática aplicada. Pero sirva esta entrada para recordar una vez más que los matemáticos somos al final personas como todos, con nuestras creencias personales y nuestros aciertos y errores, aunque a veces a algunos les asalten ambiciones de transcendencia.

Hermann Schwarz

Terminamos la entrada con una anécdota sobre Hermann Schwarz (narrada por la propia Helen Hudson, que asistió a sus clases en Berlín):

El profesor Schwarz solía comenzar sus clases de cálculo diferencial diciendo que antes de que Dios creara el mundo, tuvo que aprender matemáticas; en primer lugar Él creó los números. Entonces el diablo vino y pidió uno para él, pero Dios no le dio ninguno, así que se llevó cero. Es por eso que es fácil probar que 1 = 2 dividiendo ambos lados de la ecuación por 0. Pero el profesor estaba equivocado en un punto: Dios no creó los números, que son tan viejos como él mismo, parte de su misma naturaleza.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias)

En la entrada dedicada a Helen Hudson citamos el caso de Laura Pisati, conferenciante invitada en el ICM 1908 de Roma y que falleció ocho días antes del inicio del congreso. Tratamos aquí de indagar algo más sobre su vida y trabajos.

En la página 44 de las Actas del ICM 1908 celebrado en Roma (sesión I del 8 de abril), se puede leer:

Il  Presidente  dà  quindi  la  parola   al  Prof.   MARCOLONGO,  il  quale  commemora  con  affettuose   parole  la  signorina   Dott.  LAURA   PISATI,   morta  nel  fiore  degli  anni  il  30  marzo  u.  s.,  mentre   si  preparava   a  recare  a  questo  Congresso  il’  suo  contributo  con  la  Comunicazione  iscritta  oggi nell’Ordine  del giorno:  « Saggio  di una teoria sintetica  delle  funzioni  di  variabile  complessa  ».

¿Quién era esta joven matemática de la que nunca había oído hablar? Comencé mi labor detectivesca por la red y encontré una relación con Giovanni Giorgi, un ingeniero civil con intereses matemáticos profundos (en las aplicaciones simbólicos a la electricidad y en la rtelatividad, tema este último en el que mantuvo una correspondencia continuada con Albert Einstein). Pero en una biografía sobre Giorgi, encuentro que “en 1900 le fue confiada, para el desarrollo de la tesis de grado en matemáticas, la señorita Laura Pisati. Entre los dos jóvenes nació como natural un amor intenso.” Giorgi era profesor de física y matemáticas en la Universidad de Roma. La biografía sigue: “Cuando a principios de 1908 los dos estaban a punto de celebrar su boda, Pisati murió. Siguieron años de profundo desaliento y abatimiento moral, actitudes que tuvieron como repercusión también una escasa actividad científica y técnica.”

Giovanni Giorgi

La otra fuente de información era el artículo A data analysis of women’s trails among ICM speakers, escrito por Helena Mihaljević y Marie-Françoise Roy, donde las autoras ya señalan la escasa información existente sobre Laura Pisati. Parece ser que nació en Ancona, en 1869 o 1870, y se graduó en matemáticas en la Universidad de Roma. También se sabe que había trabajado como profesora en la Escuela Técnica de Roma (Scuola Tecnica ” Marianna Dionigi’di Roma), una de las primeras escuelas para niñas en Roma. Defendió su tesis doctoral en 1903.

La historia se cierra (por el momento) en 1924, en otro ICM, este el de Toronto, al que Giorgi fue invitado y citó en su trabajo los resultados de Laura Pisati. Giorgio también fue invitado a los dos siguientes ICMs, en Bolonia en 1928 y en Zürich en 1932.

Sobre el trabajo matemático de Laura Pisati hay que decir que fue notable, a pesar de su corta historia. Era miembro del prestigioso Círculo Matemático de Palermo y de la Sociedad Alemana de Matemáticas. En Zentralblatt für Mathematik, se encuentran reseñados tres artículos (1906, 1907 y 1908), los dos últimos en el Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (entonces una de las revistas más importantes en el mundo) y de un libro, Elementi di geometria ad uso delle scuole medie inferiori. Su libro contiene demostraciones de teoremas clásicos, en su idea sobre la enseñanza de esta materia:

“…en las escuelas secundarias inferiores querer prescindir totalmente de la dirección formal sería un grave error. Las mentes de los alumnos en los primeros años son de naturaleza formalista… La enseñanza intuitiva de la geometría no es más fácil que la formal”

Su libro es uno de los que se citan habitualmente en los debates sobre la evolución de la enseñanza secundaria en Italia.

Su investigación se centraba en el análisis matemático, y tuvo que ser Roberto Marcolongo quién presentó sus resultados en el ICM de 1908 con el título: Saggio di una teoria sintetica delle funzioni di variabile complessa. Conocemos muy poco sobre esta mujer, y creemos que su memoria debería ser reinvidicada (ni una fotografía suya se puede encontrar en internet), como pionera que fue en unos momentos en los que para una mujer todo eran barreras para acceder a las matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias)