Matemáticas y sus fronteras

Mathématiques: Dessèchent le coeur.

Gustave Flaubert: Dictionnaire des idées reçues (1913)

Gustave Flaubert es un clásico, sin ninguna duda, pero lo que no conoce todo el mundo es que tenía una cierta curiosidad por las matemáticas. Me ha tocado leer recientemente en mi club de lectura El loro de Flaubert, una auténtica obra maestra de Julian Barnes, e investigando un poquito encontré la frase que inicia esta entrada del blog. Pero, ¿por qué este sentimiento sobre las matemáticas?

Gustave Flaubert

En una carta que Gustave Flaubert escribe a su hermana Caroline el 16 de mayo de 1841, le plantea un problema matemático:

“Ya que estás estudiando geometría y trigonometría, te voy a plantear un problema: Un barco está en el mar, salió de Boston cargado de algodón, tiene 200 toneladas. Está navegando hacia Le Havre, el mástil principal está roto, hay espuma en el castillo de proa, hay doce pasajeros, el viento sopla del N.S.E., el reloj marca las 3 de la tarde, es Mayo, …. ¿Cuál es la edad del capitán?”

Existe una versión más simple del problema de Flaubert:

“Un capitán posee 26 ovejas y 10 cabras. ¿Qué edad tiene el capitán?”

Las respuestas a este problema han sido de todo tipo, algunas muy ingeniosas tratando de ver la calificación que podría tener el capitán para llevar una carga como esa y de ahí deducir la edad mínima para que tuviese ese permiso. En fin, sabemos que el problema no tiene solución, porque a pesar de dar muchísimos datos, nada está relacionado con la edad del capitán. Esto queda muy claro en la carta original de Flaubert.

No cabe duda que Flaubert tenía sentido del humor. Pero volvamos a la frase inicial y a ese concepto de las matemáticas como una disciplina que “seca el corazón”. Esa frase aparece en el Diccionario de ideas recibidas,  que podría haber sido un apéndice en su obra inconclusa Bouvard et Pecuchet. ¿Era esa la idea que tenía Fluabert sobre las matemáticas?

Bouvard et Pécuchet, por Bernard Naudin, 1923.

Por otra parte, en Bouvard et Pecuchet, Raymond Quenau es el primero en señalar la ausencia de las matemáticas, el único saber ausente. Quenau dice:

“Es curioso constatar que, entre las ciencias que Bouvard y Pécuchet se comprometen a estudiar, las matemáticas son casi las únicas que no aparecen.  Sin embargo, podemos verlos intentando demostrar el teorema de Fermat, asombrados por la afirmación de que la recta es una curva y finalmente escandalizados por la distribución de los números primos.”

Digamos que Flaubert no la stenía en mala consideración si nos atenemos a la definición de Mecánica: Partie inférieure des mathématiques.

En el interesante artículo Le bourdon mathématique de Flaubert , de Francisco González Fernández, se puede encontrar un detallado análisis de lo que Flaubert pensaba de las matemáticas. Parece que no eran materia de su gusto, y así le escribe a su amigo Ernest Chevalier:

“Te escribo esto en en el aula de este buen Padre Gors que está disertando sobre el mayor común divisor, con un aburrimiento sin igual, que me aturde tanto que no puedo entender ni una gota, sólo puedo ver fuego en él.  Le ruego que no se olvide de enviarme sus cursos de matemáticas, física y filosofía.  Es sobre todo el primero el que realmente necesito, tendré que borronear algún papel con números, voy a tener suficiente para matarme…”

Y sigue otro día: “Tengo la ventaja de estar bajo la dirección del padre Gors, que hace raíces cuadradas. ¡Qué importa si es griego o cuadrado, la sopa es lamentable…”

Flaubert es expulsado y debe preparar el bachillerato solo, y se dedica a pedir apuntes de filosfía, física y matemáticas a su amigo, y dice:

“Hago física, y creo que esa parte la haré bien. Pero Todavía quedan esos demonios matemáticos (todavía estoy trabajando en las fracciones, y no conozco la tabla de multiplicar, prefiero la de Jay -un famoso restaurador de Rouen- que el de la multiplicación) y el griego”.

Probablemente lo que Flaubert no soportaba era la manera en que se enseñaban entonces las matemáticas, a las que les faltaba el corazón, lo que permite percibirlas de forma más humana, y por lo tanto, apreciarlas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Hace unos días varios medios periodísticos se hacían eco de un desarrollo informático que se decía capaz de generar nuevas conjeturas matemáticas usando la inteligencia artificial, bautizando al proyecto como “la máquina de Ramanujan”.

Srinivasa Ramanujan

La información venía de un artículo publicado en Nature:

Raayoni, G., Gottlieb, S., Manor, Y. et al. Generating conjectures on fundamental constants with the Ramanujan Machine. Nature 590, 67–73 (2021),

por varios estudiantes de investigadores del Instituto Tecnológico de Israel (más conocido como el Technion) coordinados por el profesor Ido Kaminer.

Ido Kaminer

En su página web, los creadores de la “máquina de Ramanujan” dicen:

“Constantes fundamentales como e y π son omnipresentes en diversos campos de la ciencia, como la física, la biología, la química, la geometría y la matemática abstracta. Sin embargo, desde hace siglos las nuevas fórmulas matemáticas que relacionan las constantes fundamentales son escasas y suelen descubrirse esporádicamente por intuición o ingenio matemático.”

Los autores sostienen que la Máquina de Ramanujan ha descubierto docenas de nuevas conjeturas. Conjeturas aquí son entendidas como fórmulas matemáticas que implican a esas constantes. Y lo que proponen a la comunidad matemática es tan simple como esto: aquí tienen las fórmulas, ahora ustedes lo tienen que probar. Y también invitan a desarrollar nuevos algoritmos. La zanahoria es que si usted prueba una de esas nuevas fórmulas o desarrolla nuevos algoritmos a partir de los suyos, la fórmula o el algoritmo llevará su nombre.

Srinivasa Ramanujan

Pero no todo parece tan idílico y han comenzado a surgir dudas y en algún caso, críticas muy duras. Por ejemplo, el matemático John Carlos Baez (Universidad de California en Riverside) publicó en su cuenta de twitter:

“Aquí están algunas de las fórmulas descubiertas por este algoritmo.  Será divertido ver lo que dirán los expertos en fracciones continuas de tipo Ramanujan. ¿Son consecuencias fáciles de resultados conocidos, o se necesitarán nuevas ideas para demostrarlos?”

Digamos que la historia no es reciente, este tuit es del 3 de julio de 2019. El blog Persiflage era muy duro en una entrada del 7 d ejulio de 2019:

“La idea de intentar automatizar los métodos para encontrar identidades es interesante. Pero si se quiere afirmar que se ha encontrado algo nuevo, se requiere alguna justificación. Para empezar, debería esperarse que al menos hicieras una búsqueda superficial en la literatura. ¿Tal vez incluso debería consultar a un experto? Si los autores se hubieran contentado con ser más modestos con sus afirmaciones, explicando simplemente que la automatización era su principal objetivo, y que sólo esperaban utilizar estas ideas para hacer nuevos descubrimientos, no habría tenido ningún problema con su artículo. Por supuesto, nadie se habría enterado del artículo.”

Y llegaba a calificar todo esto de un montaje y un fraude. Pero más recientemente, las críticas ya no son tan duras y el 11 de febrero de 2021 decía:

“No tenía intención de volver a hablar de la Máquina de Ramanujan, pero en los últimos días ha habido un aluvión de (intentos de) comentarios trolls en ese post, así que después de echar un breve vistazo a la última versión, he pensado en ofreceros mis actualizaciones. (Lo prometo por última vez). Probablemente lo más bonito que tengo que decir sobre el documento actualizado es que es mejor que el original. Mis quejas sobre el tono del documento siguen siendo las mismas, pero no creo que sea necesario que las repase aquí. En cuanto al mérito intelectual, creo que vale la pena hacer las siguientes observaciones. En primer lugar, sólo me refiero a las contribuciones a las matemáticas. En segundo lugar, lo que cuenta como una nueva conjetura no es realmente tan obvio como parece.”

Estaremos atentos a los posibles desarrollos de esta “máquina de Ramanujan” y el futuro próximo dirá si estamos ante un Ramanujan digital que como el original, deducía fórmulas que dejaron estupefactos a los matemáticos británicos. De momento, el creador del proyecto, Ido Kaminer, dice:

“Nuestros resultados son impresionantes porque al ordenador no le importa si demostrar la fórmula es fácil o difícil, y no basa los nuevos resultados en ningún conocimiento matemático previo, sino sólo en los números de las constantes matemáticas. En gran medida, nuestros algoritmos funcionan de la misma manera que el propio Ramanujan, que presentó resultados sin pruebas. Es importante señalar que el propio algoritmo es incapaz de demostrar las conjeturas que ha encontrado: en este punto, la tarea queda a cargo de matemáticos humanos”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

“El oído del virtuoso no demuestra nada cuando se trata de precisión matemática…”

Alexandre Vandermonde

Alexandre-Théophile Vandermonde nació en París el 28 de febrero de 1735. Su padre, Jacques-François Vandermonde, era cirujano mayor en la Compañía de Indias en Macao, donde contrajo matrimonio y nació su hijo Charles. A su vuelta a París, viudo, contrajo un segundo matrimonio del que nació Alexandre.

Declaración de los Derechos del Hombre y el Ciudadno en la Revolución Francesa

Si Charles siguió la carrera de su padre, este no fue el caso de Alexandre, que aunque realizó los estudios de derecho, era un apasionado de la música, y el violín su instrumento favorito. Su posición acomodada debido a la herencia paterna que asume a la muerte de su hermanastro fallecido en 1762, le permite dedicarse a los estudios que le apetecen. Frecuenta a los autores de la Enciclopedia, como Diderot y D´Alembert, y también a géometras como Fontaine y Dionis du Séjour

Su Mémoire sur la résolution des équations, presentado en 1770, le abre las puertas de la Academia de Ciencias en 1771, institución donde continuará su carrera matemática. En este trabajo también estudia la ecuación de quinto grado, y adelanta en cierto sentido los resultados posteriores de Evariste Galois.

Presentó en sus dos primeros años otros tres trabajos que representan la totalidad de su producción matemática. Esas obras fueron:

Remarques sur des problèmes de situation (1771), en donde estudió los movimentos de los caballos en el ajedrez. El problema es el siguiente: un recorrido de un caballo es una secuencia de movimientos de un caballo en un tablero de ajedrez de tal manera que el caballo visita cada casilla exactamente una vez. Si el caballo termina en una casilla que está a un movimiento de caballo de la casilla inicial (de modo que podría recorrer el tablero de nuevo inmediatamente, siguiendo el mismo camino), el recorrido es cerrado; de lo contrario, es abierto. Es un tipo de problema particular del de los caminos hamiltonianos. Este artículo tiene además la particularidad de ser un precedente de la yteoría de nudos, sobre la que afirmó:

“Cualesquiera que sean los giros de un sistema de hilos en el espacio, siempre se puede obtener una expresión para el cálculo de sus dimensiones, pero esta expresión será de poca utilidad en la práctica. El artesano que confecciona una trenza, una red o unos nudos se preocupará, no de las cuestiones de medida, sino de las de posición: lo que ve allí es la manera en que se entrelazan los hilos”

Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) fue sobre combinatoria;

Mémoire sur l’élimination (1772) sobre los fundamentos de la teoría de los determinantes. Curiosamente, aunque su nombre se asocia al llamado determinante de Vandermonde, no aparece tal cosa en su memoria.

Sobre la investigación matemática de Vandermonde existió en su época una cierta polémica, recibiendo muchas alabanzas de los grandes matemáticos pero también críticas. Más tarde, H.  Lebesgue dijo que “Vandermonde no se dio cuenta de la importancia de su propia investigación porque no había reflexionado lo suficiente. Si realmente tenía genio y fue más allá de su tiempo, su trabajo sólo puede entenderse a la luz de las investigaciones contemporáneas de Lagrange, y de las posteriores de Gauss, Abel o Galois.”

Pero no se dedicó solo a las matemáticas, Vandermonde fue un auténtico polímata, y la química entraba entre sus intereses. En 1777 publicó los resultados de los experimentos que había realizado con Bézout y el químico Lavoisier sobre las bajas temperaturas, en particular investigando los efectos de una helada muy severa ocurrida en 1776. Diez años más tarde, publicó dos trabajos sobre la fabricación de acero, con Monge y Bertholet, con el objeto de mejorar las bayonetas de los soldados.

De nuevo aparece su amor por la música. En 1778 se había propuesto construir un nuevo sistema de armonía, y construye una tabal de acordes que podía ser tocada con una máquina, mezclando sus habilidades de matemáticas, ingeniería y música. Y sigue trabajando sobre este tema, presentando una teoría mejorada usando las matemáticas.

Entrada del Conservatorio Nacional de Artes y Oficios

Es 1783 es nombrado conservador del “Cabinet des Mécaniques du Roi”, embrión del futuro Conservatoire des Arts et Métiers. Debemos decir también que Vandermonde desarrolló una gran actividad política, dentro de la Revolución francesa y fue en numerosas ocasiones encargado por la República de numerosas tareas relacionadas con casi cualquier tema que uno podría imaginar, incluso la salud.

Y no acaban aquí sus tareas. Juega un paper relevante en la Ecole normale, y en 1795 es propuesto como primer catedrático de economía política, el primero en la historia de Francia.  Aunque ya está en sus últimos momentos de su vida y la propia Ecole está a punto de desaparecer (renacerá en 1808). Fallece el 1 de enero de 1796, dicen algunos que de inanición.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Cuenta Proclo en sus Comentarios al primer libro de los Elementos de Euclides  que, cuando el rey Ptolomeo I le preguntó si había un camino más corto para aprender geometría que sustituyera a estudiar los Elementos, “Euclides respondió que no hay un camino real hacia la geometría”.

Euclides

La anécdota (como otras de Proclo, difíciles de contrastar) sirve perfectamente para ilustrar esta entrada. Ptolomeo I quiere atajar para llegar al conocimiento de la geometría, ahorrase el esfuerzo que suponía el estudio detallado de los Elementos. Y esta es una tentación que a veces puede asaltar a los que elaboran las leyes educativas y a los gobiernos que las promueven.

Siempre que se aprueba una nueva Ley Educativa (y desgraciadamente en nuestro país van ya demasiadas) la comunidad educativa se pone en alerta. Dos de los problemas más graves en el sistema educativo español son: la brecha de los resultados en los informes PISA (acrónimo en inglés del Programa para la Evaluación Integral de Alumnos) respecto a la media de los países de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE); y la alta tasa de abandono escolar entre los jóvenes de entre 18 a 24 años, y que aunque estos últimos años se ha reducido, todavía es del 17,3%, partiendo hace no pocos años de porcentajes superiores al 30%. Esta tasa de abandono es la mayor de los países de la Unión Europea.

¿Cómo reducir estos porcentajes? Pregunta que va ligada a la de cómo mejorar los resultados de nuestro sistema educativo (que no es exactamente la misma de cómo mejorar los resultados en PISA, aunque está obviamente relacionada con ella).

Las soluciones pasan por una mayor inversión en educación, que se debería utilizar para mejorar la formación inicial de los profesores de primaria y secundaria, especialmente en Matemáticas. En efecto, se observan unas grandes carencias, que afectan en las primeras etapas educativas creando un problema que se arrastra (y agrava) en los años subsiguientes. Inversión en la formación continua de todo el profesorado. Inversión en profesorado de refuerzo para ayudar a los alumnos que tengan más dificultades, y llevando a la práctica, con todas sus consecuencias, eso que ahora tanto se repite de “no dejar a nadie atrás”. Impulsando una Formación Profesional actualizada, que permita que los alumnos con dificultades o que no quieran seguir estudiando, puedam encontrar un empleo digno y cualificado, y manteniendo pasarelas para poder volver al Bachillerato y seguir a la universidad si deciden cambiar el rumbo de su formación.

La tentación del camino real es la de rebajar contenidos, especialmente en matemáticas, la prueba del algodón de cualquier sistema educativo; crear itinerarios donde las matemáticas y las ciencias apenas aparezcan y facilitar el paso de curso sin grandes problemas. Esta tentación está siempre latente, y debemos combatirla si vemos cualquier atisbo. Porque, al final, no será más que maquillaje, enmascarará el problema a corto plazo pero no lo resolverá a medio y largo término, ni dará buenos resultados en la comparativa internacional.

Nos jugamos mucho para el escenario tras-Covid,  tenemos una oportunidad de invertir buena parte de esos fondos europeos extra en acciones como la mejora del sistema educativo. Hagásmolo siguiendo el camino del esfuerzo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

En los últimos años, la figura de Alan Mathison Turing ha sido protagonista de muchos libros, en algún caso, novelas. Sus extraordinarios logros científicos que cambiaron nuestro mundo, unidos a un final trágico e injusto cuando todavía tenía muchos años por delante, le han convertido en un auténtico icono.

Hoy traemos a Matemáticas y sus fronteras la última novela inspirada en su vida, Murmullos, del autor británico Will Eaves. La ha publicado Alba Editorial, estupendamente traducida al español por Mariano Antolín Rato.

Si en Máquinas como yo, Ian McEwan exploraba la posibilidad de si una máquina sería capaz de entender y juzgar la complejidad moral de las decisiones de un ser humano, en un Londres donde Inglaterra ha perdido la guerra de las Malvinas y Turing sigue vivo y aparece en varias escenas, en nuestro libro de hoy, Will Eaves se permite entrar en la mente de Alec Pryor, un trasunto de Turing, mente alterada por los estrógenos que se le están administrando cumpliendo la condena por homosexualidad (por cometer «actos indecentes con otro hombre»).

Alec Pryor es, como Turing, un matemático y pionero de la informática en la Gran Bretaña anterior a los años 60, y sus pensamientos están narrados en primera persona.

Este formato narrativo le permite a Eaves conjeturar lo que Alan Turing podría haber pensado esos pocos años que transcurrieron desde su condena hasta su suicidio con una manzana envenenada con arsénico. Este formato narrativo le permite a Eaves conjeturar lo que Alan Turing podría haber pensado esos pocos años que transcurrieron desde su condena hasta su suicidio con una manzana envenenada con arsénico.

En ese periodo, Turing tenía que acudir semanalmente al hospital para recibir la correspondiente inyección de hormonas para producir la castración química. Recordemos que duarnte la Segunda Guerra Mundial, Turing rompió con su equipo el código de las máquinas nazis Enigma, contribuyendo a que los aliados ganasen la guerra y evitando miles de muertes al acortarla. Uno de los grandes logros de Will Eaves es la descripción de cómo el criptoanalista de Bletchley Park usa ahora su mente para cifrar y descifrar sus visiones causadas por los cambios que su cuerpo y su mente van experimentando.

En la vida real, Turing visitaba al terapeuta junguiano Franz Greenbaum. En la novela, Turing u Greenbaun se transforman en Alec Pryor y Stallbrook, Puesto que esta novela tiene ese sesgo a lo Carl Jung, Stallbrook aparece también como el director de la escuela a la que asistió Pryor. A lo largo del libro, la figura de su amado Christopher Morcom está también presente, ahora como Chris Molyneaux, que aquí fallece prematuramente por tuberculosis.

Pryor escribe en cada capítulo (o recibe) una carta de una misteriosa June Wilson, que no es más que la versión de Joan Clarke, fugazmente prometida de Turing en Bletchley Park.

Will Eaves

Sobre el autor

Will Eaves nació en Bath en 1967 y estudió en el King’s College de Cambridge.  De 1995 a 2011 fue el editor de Arte de The Times Literary Supplement. Desde 2011 es profesor asociado del Programa de Escritura de la Universidad de Warwick. Ha escrito dos libros de poesía y cinco novelas, entre ellas The Oversight (2001), Small Hours (2006) y Murmullo (2018), que fue finalista del Goldsmith Prize y ganadora del Wellcome Book Prize.  El autor vive actualmente en Brixton.

Les dejamos con una entrevista con el autor

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

El 20 de diciembre de 1906, sir Francis Galton publicó un breve artículo en la sección de Cartas al Editor de Nature con el título: “Cutting a Round Cake on Scientific Principles” (“Dividiendo una tarta redonda siguiendo principios científicos”). La comentamos en esta entrada porque es una auténtica curiosidad de un científico tan relevante como Galton.

Sir Francis Galton, 1840

Galton escribe:

NAVIDAD sugiere tartas, y estas el deseo por mi parte de describir un método de cortarlas que he ideado recientemente para mi propia diversión y satisfacción.  El problema a resolver era: “dado una tarta de te redonda de unas 5 pulgadas de ancho, y dos personas de moderado apetito para comerla, de qué manera debería dividirse para dejar un mínimo de superficie expuesta a secarse”. El método ordinario de cortar una cuña es muy defectuoso en este sentido. El resultado que hay que conseguir es cortar el pastel de forma que las porciones restantes encajen.

El texto incluye unas figuras

con este texto explicativo debajo:

Las líneas a trazos muestran el corte previsto. Las líneas rectas continuas muestran los cortes realizados. Los trozos se mantienen juntos mediante una banda elástica común que encierra el conjunto. En las figuras anteriores, cada una de las dos operaciones sucesivas elimina aproximadamente un tercio de la superficie del disco original.        

En consecuencia, las cuerdas (o los arcos) de las circunferencias de estas porciones deben ser iguales. La dirección de los dos primeros planos verticales de la sección no es importante; pueden pueden ser paralelos, como en la primera figura, o pueden encerrar una  cuña. Los cortes que se muestran en las figuras representan aquellos de dejar que la tarta dure tres días, cada operación sucesiva ha eliminado aproximadamente un tercio de la superficie del disco original. Una banda de goma común abraza el conjunto y mantiene los trozo unidos.

F.G.

Repartir tartas entre varios comensales es un problema matemático que da mucho juego, sobre todo si se quiere hacerlo de manera equitativa. Por ejemplo, en este video

se indica una manera de hacer el reparto cuando tenemos tres participantes, método generalizable a muchos más, lo que complicaría muchísimo el proceso. En el video no se trata en realidad de un problema de geometría, más bien de teoría de la elección.

Como hablamos de tartas redondas, la geometría si nos da pistas. Lo habitual es dividir la tarta en cuñas (sectores circulares) iguales, porque nos vamos a comer toda la tarta ya, y no tenemos la preocupación de Sir Francis Galton de que se reseque. Y para hacerlo, ya sabemos que los sectores circulares deben ser iguales, y si está presente un matemático, le pueden pedir que divida 360º entre el número de comensales (la broma usual). Y ya puestos, que calcule el área y el volumen de cada trozo resultante (pi en danza).

Pero si la tarta es muy grande, las cuñas pueden ser demasiado largas y poco manejables. En este artículo, Cómo cortar un pastel redondo grande para que salgan porciones decentes,  hemos encontrado una solución muy ingeniosa. Se trazan dos circunferencias, tal y como se ve en la figura, y se cortan las cuñas, pero ahora ya son más cortas, tal y como en el video. Con el centro, vale la sugerencia del video o dividirlo a su vez

Solo me queda pedirles que disfruten de la tarta.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Con el título de TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN ¿Cómo afecta al rendimiento del alumnado?, las Fundaciones ISEAK y COTEC han hecho público un informe  que, cuando menos, puede generar cierta polémica, aunque quizás sea un buen momento para reflexionar sobre el uso de las llamadas nuevas tecnologías en el aula.

La pregunta que se planteaba era esta: ¿Cómo afecta el uso de las tecnologías en las aulas a las competencias del alumnado adolescente? Y con un enfoque particular al caso de las matemáticas. Est estudio Es decir analiza no solo la influencia en general de la stecnologías, sino si los usosmás intensivos de la tecnología afectan de manera diferente a sus usos moderados.

El resumen de conclusiones es este:

Se divide al alumnado según la frecuencia de uso reportada: muy baja, baja, media, intensiva y muy intensiva. Los resultados evidencian que un uso bajo, medio y, en ocasiones, intensivo favorece el rendimiento matemático en comparación con un uso muy bajo. En cambio, un uso muy intensivo conlleva penalizaciones en todos los países y regiones españolas analizadas. En España, en términos de rendimiento matemático, el alumnado que hace un uso muy intensivo se situaría medio curso por debajo de quienes usan las tecnologías con muy baja frecuencia. Esta penalización es, por lo general, aún más negativa para el alumnado de menor nivel socio-económico y para el alumnado femenino, si bien el colectivo femenino es menos numeroso en la categoría de usuarios muy intensivos.

La U invertida

Las conclusiones son robustas,y esa forma de U invertida de la gráfica resiste todos los análisis.

Una de las preguntas obvias ante un estudio como este es a que tecnologías TIC nos estamos refiriendo. Es un tema que no queda claro al leer el informe. ¿Estamos hablando del uso de programas como Geogebra o similares? ¿Simples búsquedas por internet? ¿Cómo controla el profesor este uso de las TIC en las aulas?

Una conclusión del estudio me resulta particularmente significativa: Los  alumnos con mejores resultados en matemáticas en España son también quienes utilizan con menos frecuencia las TIC para fines educativos, tanto en casa como en el colegio. No me parece sorprendente, porque aunque en el estudio se informa que hay una correlación entre el mayor o menor uso de las TIC para el estudio y el ocio e internet, es evidente que las matemáticas requieren un tipo de enseñanza que implica de una manera diferencial el trabajo personal.

Otra de las conclusiones es que España muestra carencias en aquellas políticas que podrían tener un impacto más directo en el rendimiento del alumnado. Esto se manifiesta en que el porcentaje de centros en los que hay una implantación y una cultura de debate sobre el tema es muy bajo en comparación con otros países.

Los resultados del estudio de ISEAK y COTEC son, en cualquier caso, muy útiles y abren el camino para estudios posteriores que deebrán ser decisivos. Porque si nos hemos empeñado tanto en acercar las TIC a la enseñanza y los resultados no están siendo los esperados, es que algo está fallando y más vale que lo sepamos cuanto antes para poner en marcha los remedios necesarios.

Para terminar, quiero referirme a este estudio complementario en cierta medida del citado anteriormene, El impacto de las TIC en el aula desde la perspectiva del profesorado,  realizado por el Equipo de Desarrollo Organizacional (EDO)de la Universitat Autònoma de Barcelona, y financiado por la Fundación  Mapfre. Este estudio está enfocado en la otra parte de la foto, el profesorado. Creo que el estudio de ISEAK y COTEC debería extenderse a este colectivo, la pieza esencial del sistema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Hoy, 24 de enero, es el Día Internacional de la Educación, proclamado por la Asamblea General de las Naciones Unidas, en celebración del papel que la educación desempeña en la paz y el desarrollo.

La Resolución fue aprobada el 3 de diciembre de 2018 y dice muchas cosas, algunas de las cuáles vale la pena recordar, más todavía en esta época de dificultades provocadas por la pandemia de la Covid-19:

“Reconociendo que la educación desempeña un papel fundamental en la creación de  sociedades  sostenibles  y  resilientes  y  contribuye  al  logro  de  todos  los  demás Objetivos de Desarrollo Sostenible; aumenta la productividad de las personas y el potencial de crecimiento económico, desarrolla las competencias necesarias para el trabajo decente y las aptitudes profesionales necesarias para el desarrollo sostenible, en particular  en las esferas del  agua  y  el  saneamiento,  la  energía ecológica  y  la conservación de los recursos naturales, ayuda a erradicar la pobreza y el hambre, contribuye a mejorar la salud, promueve la igualdad entre los géneros y puede reducir la desigualdad, y promueve la paz, el estado de derecho y el respeto de los derechos humanos,

Reconociendo tambiénla importancia de adoptar medidas para garantizar una educación inclusiva y equitativa de calidad a todos los niveles —enseñanza preescolar, primaria,  secundaria,  terciaria  y  a  distancia,  incluida  la  formación  técnica  y profesional—para  que  todas  las  personas  puedan  acceder  a  oportunidades  de aprendizaje  permanente  que  las  ayuden  a  adquirir  los  conocimientos  y  aptitudes necesarios  para  aprovechar  las  oportunidades  que  se  les  presenten  de  participar plenamente en la sociedad y contribuir al desarrollo sostenible.”

En su página web, la ONU reconoce que todavía hoy, “262 millones de niños y jóvenes siguen sin estar escolarizados, 617 millones de niños y adolescentes no pueden leer ni manejan los rudimentos del cálculo; menos del 40 por ciento de las niñas del África Subsahariana completan los estudios de secundaria baja y unos 4 millones de niños y jóvenes refugiados no pueden asistir a la escuela.”

Evidentemente, es inaceptable.

Este día se celebrará el 25 de enero, y el tema de esta edición será “Recuperar y revitalizar la educación para la generación COVID-19”. No he visto muchas iniciativas en nuestro país a este respecto, lo que me llena de una gran preocupación.

Toni Morrison

Estos días he leído para mi club de lectura la que se considera la obra cumbre de la escritora norteamericana Toni Morrison, Beloved, publicada en 1987. La novela ganó el Premio Pulitzer de Ficción en 1988 y fue finalista del National Book Award el año anterior. Está considerada como una de las mejores novelas de la literatura en Estados Unidos. Beloved narra una dura historia de esclavitud (no se puede escribir con alegría sobre esta lacra que todavía hoy provoca muchos disturbios). Pero quisiera recordar que frente a aquellos esclavos que ponían en duda el aprendizaje, muchos de ellos los vieron como una manera de liberarse de las cadenas:

El amo le enseñó. Se ofreció a enseñarles a todos, pero solo mi papaíto quiso aprender. Grandma decía que los otros se negaron. Uno, que tenía un número en vez de un nombre, dijo que eso le embarullaría la cabeza, que le haría olvidar cosas que debía recordar para memorizar cosas que no debía. Pero mi papaíto decía: <<Si no sabes calcular te engañan. Si no sabes leer te pegan.>> A todos les parecía muy raro. Grandma no estaba segura, pero gracias a que mi papaíto sabía contar y calcular con papel y lápiz, logró comprar su libertad. Y Grandma decía que siempre lamentó no saber leer la Biblia, como los verdaderos predicadores. De manera que estaba bien que yo aprendiera y lo hice hasta que todo fue silencio y solo oía mi propia respiración y otra que volcó la jarra de leche que había en la mesa.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

El Merton College albergó a un grupo de estudiosos dedicados al cultivo de la física, la astronomía y las matemáticas, que son conocidos como “los calculadores de Merton”.

Merton College

El Merton College es uno de los colegios de la Universidad de Oxford en Inglaterra. Su fundación se remonta a la década de 1260 cuando Walter de Merton, canciller de Enrique III y más tarde de Eduardo I, redactó por primera vez los estatutos de una comunidad académica independiente y estableció una dotación económica. Es interesante saber que en este colegio las dotaciones se otorgaban directamente al director y a los becarios para que fuera autogobernado sin influencias externas.

Los principales “calculadores”, que escribieron en el segundo cuarto del siglo XIV, fueron Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton. Estos “calculadores” dedicaron mucho tiempo al estudio de la mecánica, tratando de encontrar las leyes que determinaban el movimiento de los cuerpos. Al hacerlo, anticiparon muchos desarrollos que después Galileo Galilei e Isaac Newton convirtieron en los resultados que contribuyeron a poner los cimientos de la ciencia moderna, especialmente en física y matemáticas.

Walter Merton

Entre los calculadores, el más destacado sea probablemente Thomas Bradwardine. Nació en Sussex, en 1290 (algunos autores señalan el 1295 o 1300), estudió en el Balliol College, de Oxford, y tras conseguir su título en 1321 pasó a formar parte delMerton College. Allí trabajó hasta 1335, y es en esa época cuando hizo sus contribuciones más relevantes, entre ellas el”Tractatus de proportionibus velocitatum in motibus”. El objetivo de esta obra era encontrar las leyes de la dinámica. Fue confesor del rey Eduardo III y lo acompañó en la guerra en Francia. A su vuelta a Inglaterra, ocupó varios cargos, y en 1349 los canónigos de Canterbury lo eligieron arzobispo, pero Eduardo III prefirió nombrar a su canciller John de Ufford. Ufford murió por la peste y Bradwardine ocupó su lugar, pero cuando volvía de recibir la confirmación del Papa Clemente VI en Aviñón, también sucumbió por la epidemia, sinendo enterrado en Canterbury.

Su influencia fue enorme, convirtiéndose en un célebre teólogo, que llegó a ser conocido como Doctor Profundus. Esa fama le hizo aparecer citado en Los cuentos de Canterbury de Geoffrey Chaucer:

“Con todo, yo no puedo llegaral fondo de la cuestión como aquel santo teólogo San Agustín, Boecio o el obispo Bradwardine y deciros si la divina presciencia de Dios constriñe necesariamente a uno a que realice cualquier acto en particular (cuando indico «necesariamente» quiero decir «sin más» o si uno está en situación de decidir libremente lo que hará o dejará de hacer, incluso cuando Dios sabe por anticipado que el acto en cuestión tendrá lugar antes de que ocurra o si el hecho de que lo sepa no constriñe en absoluto excepto por «necesidad condicional»). En tales problemas no entro en absoluto.”

Hoy sabemos (Newton dixit) que la fuerza que se aplica a un cuerpo le proporciona una aceleración en relación con su masa, es la llamada segunda ley de Newton, fuerza = masa x aceleración. Pero esto no estaba claro en esa época, en la que tampoco se conocía la noción de derivada (de nuevo Newton).

Bradwardine desarrolló sus ideas en el tratado De proportionibus velocitatum in motibus, publicado en 1328. Parece evidente lo que Aristóteles estableciera: el movimiento sólo puede ocurrir cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo superan las fuerzas de resistencia. Lo que Bradwardine intentaba dilucidar es cómo la velocidad de un cuerpo en movimiento depende de las fuerzas que actúan sobre él. Así, si V denota la velocidad, F la fuerza motriz y R la fuerza de resistencia, entonces ya Aristóteles decía que V debería ser proporcional al cociente F/R. Supongamos que en principio tenemos una fuerza F fijada, una resistencia R₀ tal que F> R₀  y una velocidad inicial V₀. Si V es proporcional a F/R y las velocidades fueran reduciéndose a la mitad en cada instante de tiempo y, en proporción las fuerzas de resistencia se doblaran, llegaríamos a un momento en que F<R_t.

Pero se podía considerar otro tipo de proporción, por ejemplo que reducir continuamente a la mitad V₀ se corresponde a tomar continuamente raíces cuadradas de F/R₀. En términos modernos, diríamos que V debería ser proporcional al logaritmo de F/R.

La “Ley de Bradwardine” fue ampliamente aceptada hasta finales del siglo XVI, pero como la formulación inicial de Aristóteles, era errónea. Fue Newton quien formuló la ley que hoy conocemos como verdadera.

Bradwardine es autor también de otras interesantes obras matemáticas. Creó una teoría de polígonos estelares regulares en su libro Geometria speculativa, de 1496. Recordemos como se construyen polígonos estrellados. Si a partir de los vértices de un polígono regular de p lados se unen sus vértices alternadamente, es decir, cada q vértices (orden q) sucesivamente hasta alcanzar el vértice inicial, se obtiene un polígono regular estrellado, cuyos lados y ángulos son todos iguales. La figura que se obtiene puede representarse mediante la expresión {p/q}. Por ejemplo, a partir de un pentágono regular (p = 5) puede trazarse una estrella de cinco puntas uniendo el primer vértice con el tercero (q = 2), el tercero con el quinto, el quinto con el segundo, el segundo con el cuarto y el cuarto con el primero. Se obtiene así el polígono estrellado {5/2}. Para generar un polígono estrellado, la fracción p/q debe ser irreducible, esto es, p y q han de ser primos relativos.

Los polígonos se pueden clasificar por orden y especie: dos polígonos son del mismo orden si tienen un número igual de lados mientras que dos polígonos son de la misma especie si la suma de sus ángulos es igual. Bradwardine probó resultados vcomo estos: el primer polígono estelar regular de la segunda especie es el polígono de cinco lados; la suma de los ángulos del polígono estelar de cinco lados es igual a los ángulos rectos; o el polígono es el primer polígono estelar regular de la tercera especie. Estableció además este principio general: el primer polígono estelar regular de cualquier especie se obtiene extendiendo los lados de la tercera figura constructible de la especie anterior.

En conjunto, la obra de Bradwardine es excepcional, y en cuanto a la ciencia su gran logro fue impulsar la idea de que las leyes naturales solo se pueden entender al expresarlas en una formulación matemática.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Siempre que puedas, cuenta

Sir Francis Galton

No es la primera vez que Francis Galton se asoma a Matemáticas y sus fronteras. En El matemático que quiso medir la inteligencia hablamos de sus estudios sociológicos y antropológicos  , y en La extinción de los apellidos entre la aristocracia victoriana y el número R sobre el ahora famoso número R en el caso de la transmisión vertical. Pero hoy nos centraremos en uno de sus diseños, la llamada máquina de Galton.

Galton nació en Birmingham, el 16 de febrero de 1822, y falleció en Haslemere, Surrey, el 17 de enero de 1911).  Se le puede calificar de polímata, porque sus intereses y actividades fueron de lo más variado y abarcaban la estadística, la sociología, la psicología, antropología, geografía, y muchas más cosas.

Galton fue pionero en la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias sociales y a la medicina, también a la meteorología. En realidad, fue por esas aplicaciones por lo que Galton se dedicó a estudiar la estadística. En las citadas entradas previas podemos encontrar muchos más detalles.

Sir Francis Galton

En Estadística nos interesa conocer los valores medios y como las mediciones se dispersan en torno a estos. A finales de 1860, Galton fue capaz de proponer la llamada desviación estándar. En su estudio de la distribución normal, Galton inventó una máquina que se llamó la Máquina (o Tablero) de Galton. Su objetivo era demostrar el teorema del límite central, en particular que, con una muestra lo suficientemente grande, la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Como comentamos, su curiosidad era conocer por qué ciertas características humanas, como la altura, en lugar de variar aleatoriamente dentro de una población, parecían variar dentro de una cierta estructura, una distribución normal. Galton quería precisamente era proporcionar una demostración práctica de por qué ocurre este hecho (aparte, por supuesto, de la demostración matemática, basada en el Teorema Central del Límite).

Diseño original de Galton

El Tablero de Galton consiste en un tablero vertical en el que se van intercalando filas de clavijas tal y como se muestra en la imagen. Ahora vamos dejando caer desde arriba cuentas o bolitas que van rebotando en las clavijas. Al golpearlas, pueden rebotar a la izquierda o hacia la derecha. Las cuentas acaban agrupándose en los recipientes de la base del tablero, y uno observa como las alturas de las columnas se aproxima a la curva de campana. La razón de esto es que hay muchas más formas de llegar a estos contenedores centrales que a los extremos. En efecto, aunque la probabilidad de ir a un lado o a otro es de ½, hay más maneras de irse hacia el centro que hacia los lados.

La fascinanción de Galton por la curva de campana queda de manifiesto en su libro Herencia Natural, publicado en 1889:

Orden en el Caos Aparente: Sé de casi nada tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de la Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada por los griegos y deificada, si hubieran sabido de ella. Reina con serenidad y en completo olvido en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es la multitud, y cuanto más grande es la anarquía aparente, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la irracionalidad. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos son tomados en mano y reunidos en el orden de su magnitud, una insospechada y más bella forma de regularidad demuestra haber estado latente todo el tiempo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).