Matemáticas y sus fronteras

“Deseo simplemente que, en un tema que concierne tan directamente al bienestar de la raza humana, no se tome ninguna decisión sin el conocimiento que puede proporcionar un breve análisis y cálculo.”

Daniel Bernoulli, 1760

La viruela fue uno de los azotes de la humanidad, llegando a convertirse en una de las principales causas de mortandad en muchos países. La viruela está causada por un virus de ADN, llamado Variola Major. Se tiene conocimiento de que la viruela estaba ya presente en Europa durante la Edad Media, pero fue en el siglo XVII cuando comenzó a causar graves problemas y en el siglo XVIII resultara una enfermedad endémica. Durante el periodo comprendido entre 1761 y 1796, se atribuyen a la viruela, solo en Londres, de 3000 a 15000 muertes anuales, convirtiéndose en un azote para los niños con una tasa de mortalidad entre el 20 y el 30%.

Virus de la viruela

Una manera de combatir la viruela ya había sido desarrollada en China e India, y consistía en implantar parte de una pústula de un infectado a un individuo sano mediante una incisión; esa incisión se cerraba y se dejaba al individuo que desarrollara de una manera más leve la enfermedad. Esto se llamaba variolización o variolación, y era una especie de protovacuna. Esta técnica llegó a Inglaterra desde Turquía, gracias a la esposa de su embajador en ese país, Lady Montague. Debido a varios éxitos con gente de la nobleza, el método se hizo bastante popular.

Lady Mary Wortley Montagu

Aquí es donde intervino Daniel Bernouilli. Este científico es uno más de la increíble familia matemática de los Bernouilli. Daniel nació en Groninga, Países Bajos, donde su padre, Johann Bernoulli era entonces profesor de Matemáticas. En 1705, su padre consigue una plaza en la Universidad de Basilea, su ciudad natal, y allí se trasladó con su familia.

Daniel Bernouilli estudió Medicina en Basilea, pero a la vez aprendió en casa Matemáticas. Terminó sus estudios de Medicina en 1721, y en 1726 aceptó la oferta de Catalina I de Rusia para ocupar una plaza de profesor en la recién fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde permaneció ocho años y coincidió con Leonhard Euler. Después, volvió como profesor a Basilea y, finalmente, ocupó la cátedra de su padre. Digamos, aunque esta es otra historia, que mantuvo un duro enfrentamiento con él mismo; los Bernouilli eran grandes científicos, pero amantes también de la fama que no gustaban compartir ni con sus hijos.

Daniel Bernouilli

Daniel Bernoulli se interesó por la viruela y publicó en 1760 un artículo en Mércure de France defendiendo el método de variolización. Para ello usó el cálculo de probabilidades, resultados que presentó a la Academia de Ciencias de París con la memoria “Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir”. El trabajo de Bernouilli es pionero en la formulación de un modelo matemático, la utilización de los datos disponibles hasta la época e incluso la estimación de los parámetros del modelo a partir de los datos. ¡No está mal para 1760!

La respuesta la obtuvo de Jean le Rond D’Alembert y fue publicada en 1761, mientras que la memoria de Daniel Bernouilli no lo fue hasta 1766. Debemos decir en honor a la verdad que la polémica suscitada entre ellos ayudó a enfocar el problema matemático de una manera sustancial. El modelo de Daniel Bernouilli era bastante sencillo y estaba basado en la probabilidad de contraer la viruela y en la de supervivencia del individuo una vez infectado, bajo la hipótesis de que un individuo solo se infectaría una vez al quedar inmunizado en uno u otro caso. Hay que tener en cuenta también la probabilidad de muerte por otras causas. Con unos cálculos no muy complicados, Daniel Bernouilli fue capaz de calcular el porcentaje de individuos en riesgo a una cierta edad x. Esto le permitió comparar las esperanzas de vida con y sin vacuna (matemáticamente debía comparar dos integrales), con 3 años más en el primer caso (de 24 a 27 años). Cuando consideraba que al vacunar hay también muertes, obtenía un resultado también favorable.

Sin embargo, su propuesta de implantar la vacunación general en Francia a los niños no tuvo éxito, y no necesariamente porque alargar la vida 3 años no fuese un aliciente. Se debe a otro gran matemático, el francés Jean le Rond d´Alembert, que se opuso a la propuesta de Daniel Bernouilli. Jean le Rond D’ Alembert no rebatió los argumentos matemáticos de Daniel Bernoulli, simplemente señaló que la teoría de probabilidades no se podía aplicar a temas como éste, es decir, antepuso los derechos individuales frente a los del Estado, ya que cada persona debería poder decidir una u otra cosa porque las circunstancias individuales eran muy diferentes a diferentes edades: maximizar la esperanza de vida puede no ser un criterio racional para un individuo. Como decía Jean le Rond d´Alembert, “no debemos sacrificar un bien presente por la esperanza de uno mayor en el futuro pero incierto”. Parafreaseando a Einstein, d’Alembert: no quería dejar la vida de los franceses en manos de los dados.

Esto a pesar del apoyo público de personajes como Voltaire, que sufrió la viruela, y que escribió a favor de Daniel Bernouilli en sus Cartas Filosóficas:

Se afirma inadvertidamente en los países cristianos de Europa que los ingleses son tontos y locos. Tontos, porque dan a sus hijos la viruela para evitar que la cojan; y locos, porque sin querer comunican un cierto y terrible moquillo a sus hijos, simplemente para prevenir un mal incierto.

Paradójicamente, en estas semanas de vorágine informativa y científica, los dos trabajos más influyentes en la opinión pública (el estudio de Imperial College que convenció a Boris Johnson de adoptar medidas de confinamiento, y el reciente de Oxford que sitúa la cifra de infectados en España en 7 millones) son modelos probabilísticos inspirados por el modelo SIR que describimos en Las Matemáticas del Coronavirus Covid-19. Así, la intuición de Daniel Bernouilli acerca del valor de la teoría de probabilidades para entender la epidemia es hoy más vigente que nunca.

En la actualidad, la inmensa mayoría de la población es consciente de la eficacia de una buena campaña de vacunación y la viruela, por ejemplo, ha sido declarada la primera enfermedad erradicada de la historia (y de cuya erradicación se cumplen 40 años). Estos días se acumulan muchos esfuerzos para combatir el coronavirus incluso desde las matemáticas. No obstante, para conseguir una vacuna contra Covid-19 tendremos que esperar algo más de un año hasta que esté lista. Esta pandemia debería hacer reflexionar a esa minoría de antivacunas por cuya causa enfermedades prácticamente erradicadas están volviendo a resurgir. Ahora tenemos un virus nuevo, contra el que nuestros sistemas inmunológicos están fabricando anticuerpos, pero frente al cual probablemente solo ganaremos, a largo plazo, la batalla definitiva con una vacuna adecuada.

 —

Mario Castro Ponce (Universidad Pontificia Comillas), Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)

La historia se repite

A lo largo de la historia, la humanidad ha afrontado epidemias de diversas magnitudes, algunas devastadoras, como la llamada plaga de Atenas, en el año 430 a.C., en plena Segunda Guerra del Peloponeso. No se conoce la naturaleza de la plaga, pero según el historiador Tucídides, que la contrajo y sobrevivió, la ciudad de Pericles tardó 50 años en recuperarse y, durante esa época, la desesperanza fue tal que sus habitantes perdieron la fe en los dioses y en las leyes ante una inminente muerte. Según Tucídides, la plaga vino de Etiopía y pasó luego a Egipto, Libia y Grecia. Incluso los espartanos que asediaban Atenas se retiraron por el temor a la epidemia.

La peste negra asoló Europa y Asia en el siglo XIV, siendo probablemente la pandemia más terrible que ha sufrido la humanidad; su pico se produjo entre los años 1347 y 1353, y sólo en Europa se registraron 25 millones de víctimas, ¡la tercera parte de su población!, y entre 40 y 60 millones en África y Asia. Se cree que su origen fue de nuevo África y los cálculos indican que se extendió ferozmente por Asia y Europa. Las consecuencias sociales fueron enormes y, posiblemente, fue una de las principales causas del fin de la Edad Media.

Otro episodio terrible está asociado a la mal llamada gripe española de 1918, que acabó con 25 millones de vidas en todo el mundo en sus primeros seis meses (aunque algunas fuentes llegan hasta los 100 millones en total). Comenzó en Estados Unidos, en los campamentos militares donde los soldados eran preparados antes de ser enviados a Europa durante la Primera Guerra Mundial. La gripe se extendió pronto a Francia, Italia y Alemania, y después a España, país neutral que informó a través de sus periódicos del tema sin censuras, al contrario de los países en guerra. Estudios recientes han identificado el virus causante como un virus aviar.

En tiempos recientes hemos asistido a la emergencia del sida, de la gripe aviar de 2009 o del ébola, mientras que regiones enteras del planeta sufren de manera habitual desde hace décadas, incluso siglos, enfermedades como la malaria, el dengue o, más recientemente, el zika. Hemos temblado con las noticias de pandemias causadas por virus de animales, como el SARS (murciélagos en China) y el MERS (murciélagos en Arabia Saudí). Estos dos últimos casos son producidos por coronavirus; es decir, virus que padecen algunos animales y que, en algún momento, sufren una mutación que les permite atacar también a los humanos (a veces por una especie intermedia).

En nuestros días, conocemos al enemigo bastante mejor que los atenienses o los europeos de la Edad Media gracias, en particular, a tres grandes contribuciones de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX: la teoría germinal de las enfermedades del francés Louis Pasteur; la identificación del virus del tabaco del ruso Dimitry Ivanovski, usando el filtro Chamberland-Pasteur; y la invención del microscopio electrónico, que desde 1931 permite fotografiar al enemigo.

Aunque el SARS-nCoV-2 (inicial y comúnmente conocido como Covid-19) es un nuevo virus y nos pone ante un nuevo desafío, no resulta totalmente desconocido por pertenecer a la familia de los coronavirus (Figura 1). No obstante, la pandemia que ha generado no sólo tiene que ver con los aspectos biológicos del virus sino, quizá con mayor importancia, con aspectos sociales y demográficos.

Figura 1: Coronavirus y sus características espínulas en forma de corona.

Es verdad que las matemáticas no curan enfermedades directamente, pero sí ayudan a explicar cómo se extiende un cáncer o propaga una epidemia, o a medir la efectividad de una vacuna o testar la de un medicamento. En ocasiones, las matemáticas ayudan modestamente a comunicar mejor o incluso a simular escenarios que ayuden a la toma de decisiones. Las herramientas que están más cercanas a estos problemas son las ecuaciones diferenciales y los modelos estocásticos, pero también la teoría de juegos, big data, machine learning y, en general, el análisis de datos juegan ya un papel relevante, especialmente cuando queremos incluir los aspectos de las conductas sociales.

SARS-CoV-2 y las matemáticas

En estos momentos de angustia en torno al infame coronavirus, llegan voces desde distintos campos de la ciencia tratando de echar una mano para entender o mitigar la pandemia. En un mundo de biotecnología parece extraño acudir a las matemáticas para resolver los enigmas que el SARS-CoV-2 nos plantea. Esto se debe a que, normalmente, no se concibe la conexión entre las matemáticas y la realidad más allá de “contar con los dedos” como aprendimos a hacer de niños.

Para probar al lector que esto no es así, seamos osados y ¡contemos con los dedos! Imaginemos que cuando acabe todo fuésemos capaces de determinar quién contagió a quién. El lector podría ser el primer portador del virus y haber estrechado la mano o tosido delante de otras 3 personas que se contagiaron a su vez. Luego, cada una de estas tres personas habrían contagiado a otras 3 (y ya van 1+3+9) que, por avatares de la vida, habrían propagado la infección a otras 3 (es fácil contar: 1+3+9+27). Matemáticamente, esto se conoce como progresión geométrica o, como se repite en los medios estos días, crecimiento exponencial. En epidemiología, ese número 3 se conoce como ritmo (o factor) reproductivo básico, R₀, y representa el número medio de contagios propagados por cada persona contagiada. Este número tiene que ser mayor que 1 para que haya epidemia y, como parece natural, cuanto mayor es, más explosiva será la epidemia. Por poner unos ejemplos, el sarampión tiene un valor R₀ entre 12 y 18, y el ébola y la gripe común entre 2 y 3. Con R₀ no somos capaces de medir cómo de letal es un virus, sólo cómo de infeccioso ha sido en una cierta población. A partir de los datos de China, se observa que SARS-CoV-2 tiene un factor R₀ estimado en 2,68 (aunque sospechamos que, en el caso de Italia o España, R₀ podría ser mayor).

Las medidas de higiene y distanciamiento social que sufrimos en estos días permiten hacer decrecer R₀ y, por tanto, mitigan el impacto de la propagación de SARS-CoV-2. Para cuantificar este impacto, proponemos utilizar un modelo matemático (y sus variantes) ya existente propuesto por el escocés Anderson Gray McKendrick en el año 1926, conocido como modelo SIR de epidemias. Con los términos SIR se hace énfasis sobre los tres estados de un individuo ante la enfermedad – susceptible (sano), infectado (infeccioso con capacidad para contagiar a otros) y removido (recuperado e inmune a nuevas infecciones, o fallecido) –, así como su evolución  S -> I -> R en el tiempo. Los estados dan lugar a tres compartimentos – o subpoblaciones de individuos susceptibles, infectados y removidos – que permiten clasificar a los individuos de la población en cada instante de tiempo.

En términos del modelo SIR, la propagación de SARS-CoV-2 está vinculada al sistema de ecuaciones diferenciales para las proporciones s(t) de susceptibles, i(t)  de infectados y r(t) de removidos respecto al tamaño N de la población (que se asume constante) dado por

donde β es la tasa de infección y α es la tasa de recuperación, en el supuesto de las proporciones iniciales s(0)= s₀ >0, i(0)=1- s₀ >0 y  r(0)=0. En lenguaje cotidiano, la primera ecuación nos dice que la velocidad con la que decrece el número de susceptibles es proporcional al producto s(t) i(t), donde este producto se puede interpretar como la probabilidad de que una persona susceptible se encuentre con una infectada y el parámetro β mide la probabilidad de que el contagio sea exitoso. Es interesante entender que β tiene tanto que ver con el número promedio de “encuentros” entre personas susceptibles e infectadas, como con el resultado de esa infección. Como discutiremos más adelante, esto tiene implicaciones en las políticas de aislamiento y de higiene.

Una sencilla interpretación de los signos de las derivadas de  s(t), i(t) y r(t), garantiza que la proporción de individuos susceptibles disminuirá (s(t)≤ s₀)  hacia su valor final s_∞=   lim _t→∞⁡ s(t)  y la proporción de removidos se incrementará hacia un valor final r_∞=   lim _{t→∞ ⁡}r(t) mientras que, en ambos casos, existan individuos infectados. Por el contrario, la proporción de infectados aumentará si βs(t)>α  y disminuirá si βs(t)<α.

La principal propiedad del modelo SIR, aplicado a SARS-CoV-2 o a cualquier otro patógeno, es que la propagación de la enfermedad termina con el paso del tiempo (es decir, la enfermedad es no endémica) ya que

Sin embargo, hay que distinguir dos posibles comportamientos hasta que se produzca la extinción de la enfermedad dependiendo del factor reproductivo básico, que en el modelo SIR se expresa como R₀=β⁄α:

-       Cuando R₀ < 1 (en promedio, un individuo infectado se recupera antes de transmitir la enfermedad), la relación s(t)≤1<1⁄R₀ garantiza que la proporción de infectados disminuye desde el primer momento (i(t)≤1-s₀) y la enfermedad desaparece con rapidez. En tal caso, la máxima proporción de infectados durante un episodio de la enfermedad se observa en el instante inicial, i_max=1-s₀.

-       Cuando R₀ > 1 (en promedio, un individuo infectado transmite la enfermedad antes de recuperarse), la proporción de infectados podría decrecer desde el primer momento (i(t)≤1-s₀) si s₀ < 1/R₀, mientras que podría aumentar inicialmente hasta la máxima proporción

y luego decrecer hasta la extinción cuando s₀ > 1/R₀. En este segundo caso, tiene sentido hablar de epidemia y el pico de la infección se alcanza cuando la proporción de susceptibles coincide con el umbral crítico α/β, es decir, en el instante de tiempo t_max > 0 que verifica s(t_max) = 1/R₀. Como mencionamos con anterioridad, el coronavirus SARS-CoV-2 tiene un valor de R₀ próximo a 2,68, por lo que si toda la población fuese susceptible al virus (ésto no sabemos si es así a día de hoy), el virus podría infectar simultáneamente a casi un cuarto de la población si no aplicamos ninguna medida de precaución o control.

La magnitud de  i_max  – pequeña o grande – es fundamental para determinar si los recursos sanitarios son suficientes o no ante la propagación de SARS-CoV-2. Para ello, basta traducir la capacidad del sistema sanitario en términos de un número i* que refleje sus limitaciones (por ejemplo, en términos de la proporción de camas hospitalarias en UCI disponibles para atender a una población de  individuos), y concluir que los recursos son suficientes si se tiene  i_max  ≤ i* o, por el contrario, son insuficientes cuando i_max  > i*.

¿Qué hacer si se prevé que los recursos sanitarios no serán suficientes?

Para entender cómo podemos revertir una situación de alarma, i_max  > i*, en otra aceptable, i_max  ≤ i*, es importante hablar de dos conceptos y la relación entre ellos:

1. La velocidad exponencial de crecimiento
2. Las medidas de contingencia

Para complementar nuestros comentarios sobre R₀ y la noción de velocidad exponencial de crecimiento de una epidemia, nos fijamos en la proporción j(t) = i(t) + r(t) de individuos afectados por la enfermedad hasta el instante t (si se estuviesen realizando tests masivamente en la población, esta proporción debería coincidir con los datos que aparecen en los medios asociada a los “casos confirmados”); a partir de esta proporción, podemos estimar el número acumulado de fallecidos, dado por ρNj(t), donde ρ es el índice de letalidad de la enfermedad. En concreto, el valor ρ=0,023 estimado en China refleja que el porcentaje de fallecidos entre los afectados por SARS-CoV-2 es el 2,3%. Matemáticamente, se puede encontrar una expresión explícita para la fracción de afectados:

que muestra que la proporción j(t) es inversamente proporcional a e^-βt, de manera que el número acumulado de afectados Nj(t) se incrementará a la misma velocidad que el valor de e^-βt decrezca cuando el tiempo t se incremente.

Como j(t) es una función creciente del tiempo y sus valores mínimo y máximo son 1-s₀ (en el instante de aparición del patógeno) y 1-s_∞ (en el instante de extinción), con 0 < 1-s₀ < 1-s_∞ ≤ 1 , su crecimiento no es siempre del mismo tipo. En concreto, existirá un intervalo de tiempo donde la velocidad del crecimiento de j(t) aumenta hasta alcanzar su valor máximo. Para determinar ese intervalo, traducimos la velocidad de crecimiento de j(t) en términos de su derivada

y determinamos su valor máximo como función de j(t), dentro del rango 1-s₀ ≤ j(t) ≤ 1 . Desde la Figura 2 es sencillo llegar a la conclusión de que la máxima velocidad de crecimiento se alcanzará cuando j(t) = 1/2 y lo habrá hecho en un instante de tiempo antes del cual la velocidad de crecimiento crece hasta su valor máximo β/4  y, después del cual, la velocidad comienza a decrecer progresivamente.

Figura 2: La velocidad de crecimiento de j(t) (es decir, dj(t)/dt) como función de j(t).

Desde lo anterior, es claro que la curva del número acumulado de afectados  por SARS-CoV-2 no se suavizará hasta que el 50% de la población no se haya visto afectada por la epidemia, siempre que la epidemia no se haya extinguido antes.

En el supuesto de que SARS-CoV-2 siga propagándose, ¿cómo podemos suavizar la curva del número acumulado de afectados? La respuesta se encuentra entre nuestras observaciones anteriores:

Minimizando el valor máximo β/4 de la velocidad de crecimiento.

Eso significa “disminuir la tasa de contacto entre individuos” para hacer posible disminuir la tasa de transmisión β, en el mismo sentido que el factor reproductivo básico R₀. En este punto, toman sentido las medidas de distanciamiento social, así como medidas profilácticas (uso de guantes, mascarillas, lavado de manos) dictadas por los Gobiernos de los países afectados por SARS-CoV-2.

Pongamos un ejemplo para poner de manifiesto las repercusiones de una medida de contingencia, como el distanciamiento forzoso de los ciudadanos, ante la enfermedad Covid-19 asumiendo que el valor R₀ = 2,68 del factor reproductivo – publicado en la revista científica Lancet– es correcto; en ese caso, la tasa de contagio estimada es  β = 0,19 días ^-1 y el tiempo medio de transmisión es, aproximadamente, 1/β= 5,26 días. Tomemos cuatro escenarios:

l  Escenario 1: Sin medidas de contingencia. Representa la propagación de SARS-CoV-2 sin medidas de control, es decir,  β = 0,19 días ^-1 y R₀ = 2,68.

l  Escenario 2: Medidas de contingencia leves. Se ponen en práctica medidas de control de baja intensidad (β’ = 90%  β) que conducen a R₀ = 2,39.

l  Escenario 3: Medidas de contingencia moderadas. Se ponen en práctica medidas de control de intensidad media (β”= 80%  β)  que conducen a R₀ = 2,13.

l  Escenario 4: Medidas de contingencia severas. Se ponen en práctica medidas de control de alta intensidad (β”’= 50%  β))  que conducen a R₀ = 1,33.

Figura 3: Variación de la proporción de infectados i(t) en función de la intensidad de las medidas de contingencia.

Figura 4: Variación de la proporción de individuos afectados j(t) en función de la intensidad de las medidas de contingencia.

Figura 5: Tiempo transcurrido hasta alcanzar el pico de infección  t_max   y proporción máxima de individuos simultáneamente infectados  i_max en función de la intensidad de las medidas de contingencia.

Observando detenidamente las Figuras 3 y 5, es claro que el pico de infección, en términos de la máxima proporción _imax de infectados, disminuye a la vez que el instante t_max de ocurrencia del pico de infección se incrementa cuando se ejecutan medidas de control más severas; en tal caso, una adecuada especificación del umbral i*  de capacidad límite de los recursos sanitarios permitirá definir medidas de contingencia concretas, sin que resulten ser excesivas para los ciudadanos. El incremento del número de días desde el inicio de los contagios hasta alcanzar el pico de infección también permite dar cabida al desarrollo de tratamientos paliativos (antivirales) y acercarnos a la fecha en la que una vacuna pueda estar disponible y ayude a poner fin definitivamente a la epidemia.

Además, la imposición de medidas de contingencia más restrictivas hace que la franja [1-s₀,1-s_∞]  de variación de la proporción de individuos afectados j(t) en la Figura 4 se contraiga, al decrecer su valor límite 1-s_∞, lo cual permitirá disminuir el impacto de la enfermedad, medido en términos del número de individuos que se verán afectados.

Es importante observar que la tasa de recuperación α se ha mantenido constante en el ejemplo, reflejando que no existe tratamiento específico o vacuna que permite mejorar el tiempo medio de recuperación. Por ello, todos los esfuerzos de lucha frente a SARS-CoV-2 están orientados hacia la disminución de la tasa de contagio β.

El modelo y sus limitaciones

No queremos engañar al lector: el modelo SIR es un modelo inicial – la comunidad  científica anglosajona usa el término toy model para referirse a un modelo de partida que progresivamente es mejorado – y nuestro anterior ejemplo es ideal. Con seguridad, ambos estarán muy alejados de una realidad que, por ahora y hasta que la pandemia de SARS-CoV-2 se estabilice, no conoceremos con detalle. En ese momento, las estimaciones de las tasas de contagio y de recuperación serán más precisas y el modelo se verá seriamente modificado por la necesidad o no de distinguir entre susceptibles, infectados-asintomáticos, infectados-sintomáticos, recuperados-infecciosos y recuperados (incluyendo a los fallecidos) si se confirman los diferentes indicios epidemiológicos en ese sentido. Incluso el modelo podría ser estructurado por edades y patologías previas para reflejar diferentes niveles de letalidad de la enfermedad, e incluso modificado cuando una vacuna efectiva sea conocida. Otros caminos no tan evidentes y que merecen ser explorados consistirían en asumir que los parámetros del modelo son cambiantes (debido a medidas políticas, al temor de los ciudadanos frente a las noticias, …). O, por poner otro ejemplo, la suposición de que el contagio es proporcional a s(t) i(t) debería modificarse para reflejar la compleja red social de contactos; en particular, se sabe que la mayoría de los ciudadanos se mueven en círculos de contactos pequeños, pero algunos individuos, llamados superpropagadores, son capaces de llevar la enfermedad de una ciudad a otra o, como en el caso de SARS-CoV-2, de un continente a otro.

No nos cabe ninguna duda de que, para conseguir un modelo predictivo suficientemente preciso para el estudio de SARS-CoV-2, será necesario realizar un esfuerzo multidisplicinar entre epidemiólogos, inmunólogos, neumólogos, bioestadísticos y matemáticos, entre otros. Desde el lado de las matemáticas y, en general, de todas las ramas de la ciencia, ya existen algunas iniciativas para desarrollar modelos más precisos que permitan evaluar cuantitativamente el impacto de estas medidas.

Hasta ese momento, los autores esperan haber convencido al lector – inclinado o no hacia las matemáticas- de la importancia de esforzarnos en hacer disminuir la tasa de contagio β, es decir, de respetar el consejo

¡Quédate en casa!

 —

Mario Castro Ponce (Universidad Pontificia Comillas), Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)

Estaba repasando uno de los libros de Julio Rey Pastor, La ciencia y la técnica en el descubrimiento de América, en la que el matemático riojano debate tanto sobre la ciencia en esos tiempos de Cristobal Colón como en las consecuencias que el descubrimiento tuvo para la propia ciencia, y me encontré con la sección que dedica a las matemáticas. Esta lectura ha motivado esta entrada, que es más que nada, una reflexión sobre la de Rey Pastor.

Julio Rey Pastor traza el panorama de las ciencias y las tecnologías, algunas bastante desarrolladas (construcción de barcos, cartografía, cosmografía, geodesia), y deja para el final a las Matemáticas. Sus primeras frases son elocuentes:  “No fue nunca la ciencia pura predilecta de los españoles, que prefirireon estudiar las ciencias como medio y no como fin: la técnica antes que la ciencia; y en este sentido sería el pueblo hispánico el más consecuente herededro de la tradición romana.”

Julio Rey Pastor

Rey Pastor echa en falta la incorporación de las nuevas matemáticas, el álgebra, que ha venido desde la India vía los matemáticos árabes (que no se limitan a transmitirla sino que hacen contribuciones excepcionales), en la que la Escuela de Traductores de Toledo desempeña un papel esencial, pero que fructifican después en Italia y en Alemania, pero no en Francia y España, ancladas en las matemáticas clásicas de los griegos.

Pedro Ciruelo

Y se refiere a los “matemáticos españoles de la Sorbona” y a que no le extraña por tanto su éxito en esa universidad en los comienzos del siglo XVI. Esos matemáticos son primero Pedro Ciruelo y Juan Martínez Guijarro, desde 1500, y más tarde se incorporan Gaspar Lax, Miguel Francés y el portugués Álvaro Tomás. Efectivamente, Pedro Ciruelo marchó a la Sorbona en 1492 y allí scribió un tratado de Aritmética (Tractatus arithmeticae practice, 1495), retornando en 1502 a España donde terminó en la recién creada Universidad de Alcalá de Henares. Y Juan Martínez (Silíceo) se fue a estudiar a París en 1498, a los 21 años, llegando a ser profesor; volvió a Salamanca y se hizo sacerdote, llegando a ser nombrado cardenal (ahí tenemos a un cardenal matemático). También publicó su propia Ars Arithmetica, y en París.

Cardenal Silíceo

Gaspar Lax estudió primero en Zaragoza y luego en París, donde fue profesor, volviendo luego a Zaragoza. Allí tuvo como alumnos al famoso Miguel Servet, que era sobrino suyo, pero también a Juan Luis Vives. Es interesante el episodio de la contratación de Lax por la Universidad de Huesca, que lo fichó por varios años con unas condiciones económicas extraordinarias, tal era su fama. Como no, Lax escribió una Aritmética. Miguel Francés es otro de los estudiantes en París, luego fue profesor en Salamanca, y aunque de la altura matemática de los anteriores, su situación económica era la contraria a Lax, teniendo que  aprobar la universidad en varias ocasiones subsidios excepcionales para ayudarle (aunque se sospecha que no era tan pobre como decía).

Gaspar Lax

Alváro Tomás (o Thomaz) fue un lisboeta que viajó a París a estudiar teología y matemáticas, famoso por su Liber de triplici motu, muy alabado por Rey Pastor, y relacionado con los llamados “calculadores de Oxford” y que abrieron parte del camino de Isaac Newton. A pesar de la consideración que tuvo en su época, Tomás es todavía muy desconocido tanto en Portugal como España.

Es sorprendente el elenco de mentes brillantes pasando por esa época por una universidad tan prestigiosa como la Sorbona de París, y esto merecería un estudio a fondo que actualice lo que uno puede encontrar disperso en artículos y obras a las que se puede aceder por internet. No tengo constancia de este estudio, y si algún lector tiene más información, le agradecería que me lo hiciera saber.

El juicio de Rey Pastor es quizás muy extremo, pero parece que lo que se dio en llamar el “Arte Mayor”, el Álgebra, no estaba en boga, aunque ya Luca Pacioli había publicado su “Summa” en 1494. Seguiremos investigando sobre este apasionante tema.

_

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

The world keeps on getting smaller and smaller
And everything comes back full circle, full circle
Six degrees of separation
We all know someone else
It all comes full circle
It all comes full circle.

“Full circle”, No Doubt

El psicólogo Stanley Milgram desarrolló en sus tiempos en la Universidad de Harvard sus experimentos para analizar el grado de conectividad e introdujo el concepto del mundo pequeño y la teoría de los seis grados de separación.

Este experimento de Milgram tuvo mucho eco en su momento, y sugería que la sociedad es una red de mundo pequeño, que solo había seis grados de separación entre dos personas en el mundo.

Milgram no se refirió a estos seis grados, pero este tema venía de más atrás. Parece ser que el escritor húngaro Frigyes Karinthy, inspirado por Guglielmo Marconi, escribió un cuento Cadenas (Láncszemek) sobre el reto de encontrar una persona que no estuviese conectada a él por otras cinco entre medias. Más tarde, el matemático Manfred Koche y el sociólogo Ithiel de Sola Pool iniciaron una colaboración en París en la que también participaba Milgram, y escribieron el artículo “Contacts and Influences”, a comienzos de los años 1950, artículo que se publicó en 1978. En este manuscrito ya se abordaban las ideas matemáticas detrás de estos temas de conectividad.

Frigyes Karinthy

Cuando Milgram volvió de París, inició su experimento, que estaba basado en cartas que debían comectar dos personas: si la primera conocía a la segunda, le enviaba la carta para ser devuelta a Milgram; en otro caso, la enviaba a alguien que podía conocer al destinatario, y así sucesivamente. Aunque el exprimento tuvo sus problemas, la media de contactos estaba entre 5 y 6, de ahí que se acuñara lo de los seis grados de separación (que por cierto, era la creencia de los ciudadanos de Budapest que inspiró el cuento de Karinthy).

Stanley Milgram

Desde entonces, el interés por el tema se desbordó, tanto en lo que se refiere a nuevos experimentos a semejanza del de Milgram (ahora con las nuevas tecnologías de la comunicación), como a modelos teóricos de redes como el de los matemáticos Duncan J. Watts y Steven Strogatz, de la Universidad de Cornell en 1998. Ese modelo fue generalizado por Jon Kleinberg, quién recibió la medalla Nevanlinna en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Madrid en 2006.

Paul Erdös

Una década antes que Milgram, el matemático Paul Erdös había estudiado redes de este tipo, pero desde un punto de vista abstracto. Así, Erdös probó que si el número de enlaces era pequeño, entonces la red estaba fragmentada,  pero si se aumentaba mucho la cantidad de enlaces, entonces la red o el grafo estaba prácticamente conectado globalmente, es decir, la distancia entre nodos es muy pequeña. En 1994, unos estudiantes inventaron el juego “seis grados de Kevin Bacon”: conectar un actor con Kevin Bacon por medio de actores de reparto de sus películas. El resultado fue sorprendente y generalizable a cualquier par de actores. Se trata de un “mundo pequeño”, porque hay un gran agrupamiento de actores. Si lo hacemos a la manera abstracta de Erdös, y los nodos de la red están conectados solo con sus vecinos, tendremos que poner enlaces alaeatorios para conseguir reducir la distancia. Es la idea de que lso enlaces débiles (los aleatorios) son los que aumentan la conctividad. Es lo que el sociólogo estadounidense Mark Granovetter llamó “la fortaleza de los enlaces débiles”.

El siguiente video contiene una magnífica descripción de la teoría de los seis grados:

y este contiene una explicación del propio Steven Strogatz

Los seis grados de separación han sido objeto de canciones y películas, como  “Babel” (2006), ganadora de un Óscar o “Six Degrees of Separation” (1993).

Las distancias sociales del coronavirus

Pero si el mundo es pequeño, y cada vez se hace más reducido ya que las redes sociales consiguen que estemos hablando de los cuatro o cinco grados de separación, nos encontramos en una situación en la que se nos pide separarnos más. En efecto, la epidemia del coronavirus COVID-19 exige que nos mantengamos distanciados a fin de reducir la tasa de contagios. Las simulaciones publicadas hace unos días en el Washington Post sobre el coronavirus explicando a qué velocidad se expande el virus de acuerdo con las medidas de los Gobiernos es muy clarificadora. Como se dice en el artículo: “Eso es matemática, no profecía. La propagación puede reducirse, explican los profesionales de la salud pública, si las personas respetan el “distanciamiento social” evitando los espacios públicos y limitando sus movimientos.”

Este video (elaborado por The Washington Post) y embebido en el artículo Una simulación muestra cómo las restricciones del movimiento ayudan a ‘aplanar la curva’ del virus, de Eldiario.es explica de una manera muy simple la importancia del aislamiento.

Hagamos caso, ya tendremos tiempo de volver al mundo pequeño. De momento, para terminar con música, he aquí la canción de No Doubt

_

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Como todos los años, al llegar estas fechas, el Presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Artes, Hans Petter Graver, ha anunciado la concesión del Premio Abel 2020 a los matemáticos Hillel Furstenberg y Grigori Margulis, por “su trabajo pionero en el uso de métodos desde la teoría de probabilidad y los sistemas dinámicos en la teoría de grupos, la teoría de números y la combinatoria”.

El Premio Abel fue creado el 1 de enero de 2002, para premiar el trabajo de investigación sobresaliente en el campo de las matemáticas. El premio conlleva una importante dotación económica de 7,5 millones de coronas noruegas.

Caminos aleatorios

El premio conmemora la figura de uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Niels Abel, al que nos hemos referido en varias ocasiones en Matemáticas y sus fronteras. La selección del premiado se hace por un Comité de cinco matemáticos, presididos por el matemático noruego Hans Munthe-Kaas.

Hiller Furnstenberg

Hillel Furstenberg nació en Berlín en 1935, de familia judía que pudieron emigrar en 1939 a los Estados Unidos. Su padre falleció en el viaje y Furstenberg creció huérfano en Nueva York. Como anécdota que muestra su valía, decir que cuando publicó su primer artículo, la comunidad matemática pensó que era un pseudónimo de un grupo de matemáticos, a la vista de las múltiples áreas que contenía. Tras una vida profesional en diferentes universidades, se trasladó a Israel en 1965, a la Universidad Hebrea de Jerusalén. Es notable su influencia en esta universidad, líder con la de Oxford en la consecución de becas del European Research Council. Fursterberg también posee el premio Wolf.

Grigori Margulis

Grigori Margulis es un afamado matemático originario de la Unión Soviética (nació en Moscú en 1946), hasta que se trasladó a los Estados Unidos. Margulis ya fue galardonado con la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Helsinki en 1978, aunque no se le permitió viajar a recoger su premio debido al antisimetismo de la Unión Soviética. En 1991 pudo finalmente viajar a los Estados Unidos y conseguir un puesto en la Universidad de Yale, en donde sigue desde entonces. En 2005 consiguió el Premio Wolf.

Aunque Furstenberg y Margulis no colaboraron nunca formalmente, si se han influido de manera sustancial.  La Academia Noruega destaca el suos de los métodos probabilísticos y los llamados caminos aleatorios para resolver problemas en muchas áreas de las matemáticas. Su trabajo es teórico, pero ha tenido y tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchos campos, como la economía o la computación.

Un camino aleatorio (random walk en inglés) es un objeto matemático que describe un camino consistente en una sucesión de pasos aleatorios. Para dar un ejemplo, si nos ponemos en la recta de los enteros, podemos ir desde el 0 una unidad a la derecha o una unidad a la izquierda, de manera aleatoria. Podemos pensar también en una molécula moviéndose en un gas, o el precio de un producto que va fluctuando.

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Las consecuencias de la epidemia coronavirus nos obliga a una cuarentena en nuestros hogares, muchos de ellos con niños y niñas en edad escolar que se han quedado sin sus clases habituales por un periodo que puede prolongarse desde los quince días iniciales a más de un mes. Estas circunstancias sobrevenidas han cogido de improviso a los profesores, que a duras penas están tratando de proporcionar materiales de trabajo a distancia. En esta entrada vamos a comentar algunas iniciativas nacionales e internacionales que puedan echar una mano.

Una de las lecciones que debemos aprender de esta crisis es que nuestros centros no están preparados para esa enseñanza a distancia. Los recortes en educación en la época de la llamada “crisis económica” fueron brutales, y si algo se puede constatar es que muchos centros educativos poseen material informático obsoleto, y no se ha entrenado a todo el profesorado en estos temas con la constancia deseable. Por otra parte, la enseñanza a distancia requiere que en los hogares exista una buena conexión a internet lo que tampoco está generalizado. Y la situación es mucho peor en los pueblos más pequeños.Así que, una vez pasada la crisis del coronavirus, las autoridades competentes deberían hacer un estado de la cuestión e invertir lo necesario.

Pero vayamos a lo prometido. En redes sociales hay mucho profesorado que está poniendo, de una manera encomiable, sus recursos a disposición de todos. A esto podemos añadire los diferentes blogs con contenidos matemáticos (como este mismo) que cualquiera puede usar. Pero me voy a referir en primer lugar a tres importantes iniciativas, que están a disposición de todos gratuitamente en internet:

NRICH, Enriching Mathematics, es una iniciativa británica.

Plantea problemas matemáticos de todo tipo, ordeandos por diferentes intervalos de eaddes. Está en inglés, pèro es una buena manera de matar dos pájaros de un tiro.

PHET, un proyecto de la Universidad de Colorado, fundado por el Premio Nobel de Física Carl Weiman.

Está en varios idiomas, también en español, y contiene simulaciones interactivas para aprenfder matemáticas y f´ísica, como un laboratorio sin salir de casa.

La main a la pâte, un proyecto de la Academia de Ciencias Paris.

Es un programa interactivo, incluyendo varias ciencias, y con versión en español.

En la web de la Federación de Profesores de Matemáticas (FESPM),  se pueden encontrar también mucha documentación sobre problemas y juegos matemáticos. Además, al ser una federación, se pueden encontrar materiales en las diferentes lenguas de nuestro país.

Finalmente, la colección Miradas Matemáticas , una iniciativa de la FESPM con el Instituto de Ciencias Matemáticas y la editorial Catarata, ofrece hasta ahora once libros de interés para cualquier alumno o profesor de la disciplina.

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

ππHoy es 14 de marzo de 2020, 3,14 si usamos la manera anglosajona de contar los días del año, la aproximación decimal más popular del número π, y por eso los matemáticos de todo el mundo nos pusimos de acuerdo para solicitar que en ese día se conmemorara el Día Internacional de las Matemáticas, día proclamado por la UNESCO. Digamos que es un día merecido y no solo por el interés de π.

En esta página web  se pueden econtrar los más de 1000 eventos que se han organizado en unos 100 países del mundo, atendiendo a la llamada de la Unión Matemática Internacional (IMU en sus siglas inglesas). Algunos de estos eventos tendrán las dificultades derivadas de la pandemia ocasionada por el coronavirus, pero ni eso será capaz de enfriar el entusiasmo de los matemáticos. Cada año se elegirá un tema que para 2020 es “Matemáticas en todos los sitios”.

William Oughtred

La pregunta que nos podemos hacer es: ¿por qué π? ¿Qué tiene de especial este número que tanto fascina a matemáticos y no matemáticos? La primera vez que nos encontramos a π en nuestras vidas es en la escuela cuando aprendemos a calcular la longitud de una circunferencia, 2πr, donde r es el radio. Con más formalidad matemática diríamos que π es la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro (como sentenció Euclides). Es una de las maravillas de las matemáticas, nos sirven para probar esta afirmación, que es la que ha dado el símbolo a π, por la palabra griega perímetro. El primero en usar esta notación fue el inglés William Oughtred, aunque fue el matemático galés William Jones el que la propuso en 1706. Como casi siempre, Leonhard Euler la popularizó en su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748.

Johann Heinrich Lambert

, Carl Louis Ferdinand von Lindemann

Y una vez constatado esta verdad geométrica, debemos conocer su valor numérico. Esto ha sido un empeño desde la más remora antigüedad. Ya en la Biblia se la da el valor aproximado de 3. En el Libro de los Reyes, se describe como Salomón hizo construir su palacio, y se puede leer:

“Hizo fundir asimismo un mar de bronce de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos”.

Digamos que un mar (de bronce) era una pila de agua para las abluciones.

El Mar de Bronce de Salomón

Los antiguos egipcios le dieron el valor aproximado de 3,16 (en el papiro de Rhind), y en la antigua Mesopotamia se le daba el valor de 3 o 3,125 en otros casos. Pero fue el genio de Arquímedes (siglo II a.C.) el que comenzó a aproximar de una manera sistemática el valor de π, construyendo polígonos inscritos y circunscritos a un círculo dado. 500 años más tarde, Ptolomeo ya lo calculaba con más precisión: 3,1416. Los chinos y los indios también hicieron aproximaciones parecidas.

Aproximaciones del matemático chino Liu Hui

De estas aproximaciones, puramente geométricas como la de Arquímedes, se pasó a las analíticas, en cuanto el cálculo diferencial se fue desarrollando (existen formas maravillosas de escribir el número π como suma de series). Y ahí comenzó una carrera que dura hasta nuestros días para calcular más y más números de la expresión decimal de π, especialmente cuando los ordenadores aumentaron de manera extraordinaria nuestra potencia de cálculo.

Todo este esfuerzo sabiendo que es inútil, nunca conoceremos la expresión decimal completa de este maravilloso número. Sabemos, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761, que es un número irracional, es decir, no se puede expresar como una fracción, y por lo tanto su expresión decimal no termina nunca. También sabemos que es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros, tal y como demostró en 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann. Sin embargo, seguiremos calculando más y más números decimales de π, buscando el milagro irracional en uno de los números más irracionales.

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

En una reciente conferencia sobre las propiedades y utilidades de los triángulos que impartí en la sede de la Real Academia de Ciencias en Madrid, uno de los asistentes llamó mi atención en el turno de preguntas sobre los triángulos que usaban los antiguos aborígenes canarios. A pesar de ser asiduo visitante de Canarias, no había nunca reparado en ello, así que para satisfacer mi curiosidad he buscado información y aquí, en esta entrada, se recogen algunos de los hallazgos.

Pintaderas canarias

Las llamadas pintaderas canarias son una especie de sellos de barro cocido (también se han encontrado algunos de madera), que fabricaban los guanches. Aunque no se conoce con exactitud para que se utilizaban, se cree que eran una especie de identificación, un sello que se imprimía en el cierre de barro húmedo de un granero colectivo, o incluso, como elementos ornamentales cuando se coloreaban con tintes naturales. El uso de sellos semejantes en las poblaciones bereberes del Norte de África, aboga por esa primera interpretación, ya que la población canaria es de procedencia bereber.

Estas pintaderas están presentes en yacimientos de toda la isla de Gran Canaria, con antigüedades que van desde el siglo I hasta el XVII. Debemos recordar aquí que el término guanche se refiere solo a los aborígenes de Tenerife, aunque el uso popular haya extendido el nombre a todas los habitantes de las Islas Canarias. Tienen formas geométricas, como triángulos y círculos, y llevan en su mayoría un mango con un agujero perforado, para poder colgarlas. Las fabricaban artesanos, y algunos han querido ver algo más que estética en sus formas, al considerar que podrían contener información matemática.

Uno de los debates sobre las pintaderas se refiere al nombre. Podría ser que en un principio el hallazgo de restos de tinte podría haber llevado a pensar que eran útiles de pintar, imprimiendo marcas en el cuerpo a modo de tatuajes, pero más bien el nombre puede haber sido adquirido del que se aplicaba en América Central a sellos similares

Para los interesados en saber más cosas sobre las pintaderas, les remitimos al Museo de la Naturaleza y el Hombre, al Museo Canario y a la Cueva Pintada de Gáldar, que poseen una amplia colección catalogada. Un artículo de interés es este

G. Marcy: El verdadero  destino  de  las  “pintaderas”  de  Canarias .—“La  vraie  destination  des  “pintaderas”  des   lies   Canafies”.   Tirada   aparte   del   “Journal   de   la   Société  des  Africanistes”,  tomo  X,  1940,  (págs.  163-180).

He encontrado además este artículo

José Juan Bolaños, María Luisa Oliveras: Etnomatemáticas y Pintaderas Canarias. Journal of Mathematics & Culture, ICEM 4 Focus Issue, páginas 1-15.

Esta es una tesis interesante sobre el tema, en la que se hace un estudio geométrico de las pintadera:

José Molina González: Las pintaderas de terracota de Gran Canaria. Estudio morfotecnológico y funcional. Tesis doctoral. Universidad de Las palmas de Gran Canaria. Noviembre 2015. 295 páginas.

Se puede ver como las simetrías y la repetición de patrones son la base para la construcción de pintaderas. Por ejemplo, esto muestra una sucesión de triángulos enfrentados por los vértices

O este diseño cíclico de círculos concéntricos con segmentos transversales y con simetría rotacional:

Pero también hay motivos geométricos que corresponden a teselaciones, como esta en rombos

E incluso se podrían relacionar algunas con las propiedades de los números triangulares, como estas

En definitiva, unos objetos apasionantes que invitan al estudio más profundo y nos conectan con esos primeros habitantes de las Canarias, envueltos siempre en un halo de misterio.

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Desde la publicación de mi libro La engañosa sencillez de los triángulos (De la fórmula de Herón a la criptografía) he impartido varias conferencias sobre el mismo, en diferentes contextos, y en cada una han surgido nuevos temas que en su día no se trataron en el libro pero que podían haber sido parte de su contenido. Una muestra más de lo acertado del título. En esta entrada trataremos una de estas curiosas propiedades de los triángulos.

Consideremos un triángulo arbitrario, y sobre él los siguientes nueve puntos:

• los puntos medios de los tres lados del triángulo,
• los pies de las alturas del triángulo,
• los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo.

Y recordemos que el ortocentro del triángulo es el punto en el que cortan las tres alturas.

Nuestro teorema dice que existe una circunferencia que pasa por esos nueve puntos, tal y como muestra la siguiente figura:

Hay muchas otras propiedades sorprendentes de esta circunferencia, pero nos vamos a limitar a contar algunas cosas sobre su historia. Se atribuye el descubrimiento al matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), profesor en la Universidad de Erlangen. Su resultado está contenido en su libro Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, publicado en 1822. Su teorema original no incluye los nueve puntos, sino solo seis, ya que no consideró los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo. Este teorema fue también probado poco después por los matemáticos franceses Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet. Pero fue otro matemático francés, Olry Terquem (1782-1862), quién completó el resultado con los nueve puntos.

Karl Feuerbach

A pesar de la belleza de este resultado, la vida de Karl Feuerbach fue corta y muy difícil. Hijo de un afamado jurista, Paul Feuerbach, en una familia de once hijos, todos muy brillantes. Karl destacó pronto por sus habilidades en matemáticas y física, pero se metió en problemas muy joven. Miembro de una organización estudiantil de carácter político, fue arrestado junto con otros 19 compañeros. Creía que solo su muerte podría liberar al resto de compañeros e intentó suicidarse en un par de ocasiones. Finalmente fue liberado y continuó con las matemáticas; consiguió un empleo en Erlangen como profesor, pero su salud mental estaba muy tocada. Un día apareció en clase con una espada desenvainada y amenazó con cortar la cabeza de cada estudiante de la clase que no podía resolver las ecuaciones que había escrito en la pizarra. Después de este episodio se retiró permanentemente. Dejó que su cabello, barba y uñas crecieran sin control, no daba señales de reconocimiento a sus visitantes, murmuraba en voz baja sin que se le entendiera. Pocos años después, fallecía en Erlangen.

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Hoy se ha anunciado el Premio Fronteras del Conocimiento en la categoría de Ciencias Básicas, que han recaído en Charles Bennett, Gilles Brassard y Peter Shor por sus “contribuciones sobresalientes a las áreas de la computación y la comunicación cuánticas”, según el acta del jurado.

Los Premios Fronteras del Conocimiento han llegado a su duodécima edición, con un enorme prestigio. La relevancia de un premio científico se mide por tres parámetros: la cuantía del premio (no tan necesaria, y si no, recuerden las medallas Fields); la categoría de los premiados; y la calidad del jurado. La cuantía en este caso es relevante (400.000 euros) pero son la estricta selección de los premiados por un jurado de grandes científicos ayudado por otro del CSIC que filtra a los mejores candidatos, lo que ha conseguido que estos premios de la FBBVA se hayan convertido en muy deseados en el ámbito internacional.

Como muestra, los premiados de este año. Se ha producido una extraordinaria conjunción y complementariedad de resultados. Por una parte, en un trabajo conjunto que comenzó en 1979, Bennett y Brassard, físico químico e informático respectivamente, inventaron la criptografía cuántica, que garantiza la inviolabilidad física de las comunicaciones; en efecto, la criptografía cuántica, que se basa en las propiedades de la mecánica cuántica y no en las propiedades matemáticas, es capaz de detectar si un tercer agente está interfiriendo en nuestra comunicación. Por otra parte, Peter Shor, matemático, descubrió que un hipotético ordenador cuántico convertiría en inservibles los sistemas de criptografía convencional en los que se basan la seguridad y la privacidad de las comunicaciones actuales en internet. Es decir, cuando exista un auténtico ordenador cuántico, las comunicaciones solo estarán seguras gracias a la criptografía cuántica.

La criptografía cuántica se basa en el principio de superposición cuántica, que determina que un sistema físico (por ejemplo, un electrón) está simultáneamente en todos sus estados posibles, y es solo cuando se efectúa una medida cuando se observa solo uno de esos estados. Esto es lo que permitiría detectar una interferencia ya que se rompería este principio. Bennett y Brassard presentaron su resultado en un trabajo hoy conocido simplemente como BB84, por sus iniciales y el año.

Pero fue Shor el que dio un impulso definitivo al trabajo de Bennet y Brassard. La criptografía habitual está basad en la dificultad de descomponer un número muy grande en sus factores primos. Shor probó que esto estaría al alcance de un ordenador cuántico.

Las matemáticas

Aunque hemos dicho que la criptografía cuántica se basa en los principios de la mecánica cuántica y no en principios matemáticos, es bueno recordar que la cuántica se describe en términos matemáticos, mediando el análisis funcional, la teoría de operadores y las ecuaciones en derivadas parciales (baste recordar el ya clásico trabajo de John von Neumann de 1932 Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica.) Por otra parte, Peter Shor es un matemático que ya fue distinguido en 1998 con la medalla Nevanlinna en el Congreso Internacional de Matemáticos de Berlín, y con el Premio Gödel en 1999, por el descubrimiento de su algoritmo.

Biografías de los premiados

Reproducimos las biografías de los premniados elaborada por la FBVVA a la que agradecemos la información que nos han proporcionado.

Charles H. Bennett (Nueva York, Estados Unidos, 1943) se graduó en Química en la Universidad Brandeis (Waltham, Massachusetts, Estados Unidos) en 1964 y se doctoró en Física Química en la Universidad de Harvard en 1971. En 1972 se incorporó a IBM Research, donde continúa en la actualidad. Entre 1984 y 1986 fue profesor visitante en el departamento de Ciencias Informáticas de la Universidad de Boston y, entre 1986 y 1987, investigador visitante en el MIT Lab de Ciencias Informáticas. Según Google Scholar, las publicaciones de Bennett se han citado en más de 78.000 ocasiones. Además de IBM Fellow desde 1995, es miembro de la Sociedad Americana de Física y de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos.

Charles H. Bennett

Gilles Brassard (Montreal, Canadá, 1955) se licenció en Ciencias Informáticas por la Universidad de Montreal en 1972, y en 1979 obtuvo el doctorado en Ciencia Computacional Teórica en la Universidad de Cornell. Desde 1988 es catedrático de la Universidad de Montreal, donde actualmente ostenta la Cátedra de Investigación de Canadá en Ciencia de la Información. Entre otras distinciones, es Doctor Honoris Causa por la Escuela Politécnica Federal de Zúrich, por la Universidad de Ottawa y por la Universidad de la Suiza italiana. Es fundador y director científico del centro interdisciplinario Institut Transdisciplinaire d’Information Quantique y ha sido editor jefe del Journal of Cryptology.

Gilles Brassard

Peter Shor (Nueva York, Estados Unidos, 1959) se licenció en Matemáticas en el Instituto Tecnológico de California en 1981 y se doctoró en el Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1985. Tras un año de investigación posdoctoral en Caltech, trabajó durante una década en AT&T Bell Laboratories y, entre 1996 y 2003, en AT&T Shannon Labs. En 2003 se incorporó al Instituto Tecnológico de Massachusetts como titular de la cátedra Henry Adams Morss y Henry Adams Morss Jr. de Matemáticas Aplicadas, institución donde dirige, además, el Comité de Matemáticas Aplicadas. En sus casi 40 años de trayectoria investigadora ha publicado más de 170 artículos en revistas especializadas.

Peter Shor

__

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).