Matemáticas y sus fronteras

Como los habituales de este blog saben, soy un lector empedernido, vicio o virtud que cultivo desde que tengo uso de razón. Y en mi lectura de la serie del comisario Jean-Baptiste Ademsberg, de la premio Princesa de Asturias de las letras de 2018, Fred Vargas (seudónimo de Frédérique Audoin-Rouzeau), me he encontrado con una inesperada afición a los círculos y al número pi.

No es la primera vez que Vargas hablaba de círculos; en su debut con El hombre de los círculos azules (L’Homme aux cercles bleus) en 1991, un extraño personaje se entretenía en dibujar círculos en las calles de París colocando en su centro objetos cotidianos, algo inocente hasta que los círculos comenzaron a rodear algún que otro cádaver.

Fred Vargas

Pero es el tercer y último cuento de los incluidos en el libro Fluye el Sena (Coule la Seine), y titulado “Cinco francos unidad” (Cinq francs pièce), un estrambótico vendedor ambilante de esponjas de baño es testigo accidental de un intento de asesinato de una mujer en las calles de París. Y este es el nombre de tal singular personaje, Pi Toussaint. Cuando su madre puso su nombre en el registro, alguien puso una taza de café encima y del nombre (posiblemente Pierre) solo quedó Pi.

Adamsberg sabe que Pi tiene más información de la que está dando, y trata de convencerlo para que la suelte. Así llegamos a un diálogo extraordinario:

“ – De hecho – dijo súbitamente Pi, pasándose el saco de dormir de un brazo al otro -, yo también tengo ideas.

-       ¿Sobre qué?

-       Sobre los círculos. Es de nacimiento. Por ejemplo, el botón de su chaqueta, ¿tiene usted idea de su circunferencia?

Adamsberg se encogió de hombros.

-       No sé si me había fijado nunca en este botón.

-       Pues yo sí. Y diría que ese botón tiene un perímetro de cincuenta y un milímetros. “

Y ahora, una vuelta de tuerca. Como el comisario le quita importancia, Pi le recuerda:

“ – Tiene narices que un policía no vea que ésa es la clave del mundo. Cuando era pequeño, en la escuela de la Asistencia, me llamaban 3,14. ¿Entiende el chiste? ¿Pi = 3,14? ¿El diámetro del círculo multiplicado por 3,14 igual a la circunferencia? Pues bien, esa borma fue el chollo de mi vida. Así que ya lo ve, igual fue una gran suerte el que mi nombre se disolviera con el café. Me convertí en un número. Y no en un número cualquiera, ¡ojo!

-       Entiendo – dijo Adamsberg.

-       No puede usted hacerse una idea de todo lo que sé. Porque pi funciona con cualquier círculo. Lo dijo un griego en la antigüedad. Eran muy listos los griegos. “

Finalmente, Adamsberg consiga vencer la desconfianza de Pi y va obteniendo más información sobre la lumer, conectada al Ministerio del Interior, y de la que no se menciona, por confidencialidad, su nombre:

“- Bueno, pues entonces vamos a darle un número, como a mí. Será más caritativo que llamarla “la mujer”. Vamos a llamarla “4.21”, porque ha tenido mucha suerte.”

Y es que el “421” es un juego de dados muy popular en Francia.

Como ocurre con otras obras de Fred Vargas, este cuento se ha publicado como novela gráfica, con el título de Le Marchand d’éponges, ilustrado por Edmond Baudoin y publicado por la editorial J’ai Lu en 2013.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Mathieu Hubertus Josephus Schoenmaekers fue un matemático y teósofo neerlandés, nacido el 13 de diciembre de 1875 en la ciudad de Maastricht, y fallecido el 18 de diciembre de 1944 en Laren. No es un personaje tan conocido como los artistas que crearon el llamado movimiento De Stijl (El Estilo) que le debe mucho a su iniciativa e ideas.

Mathieu Hubertus Josephus Schoenmaekers

De Stijl o “El Estilo”, fue un movimiento conceptual que surgió en la segunda década del siglo XX, y que supuso un cambio profundo en la manera de entender y realizar el arte en general, no solo en la pintura, sino también en la escultura, la arquitectura, el diseño de muebles y el diseño gráfico.

Primer número de la revista De Stijl

El movimiento se basó en una revista del mismo nombre, que comenzó en 1917 y se publicó hasta 1931. La revista estaba coordinada por Theo van Doesburg, y sirvió como difusora del movimiento, al que pertenecieron pintores como Piet Mondrian, Vilmos Huszár, Georges Vantongerloo, Bart van der Leck, y arquitectos como Gerrit Rietveld, Robert van ‘t Hoff, Jan Wils y J. J. P. Oud.  Según cuenta el propio Theo van Doesburg en el primer número de la revista, “De Stijl fue una reacción al “Barroco Moderno” del movimiento de la Escuela de Amsterdam (arquitectura expresionista holandesa) con la revista Wendingen (1918-1931)”. En su apogeo De Stijl tenía 100 miembros y la revista tenía una circulación de 300 ejemplares.

Theo van Doesburg, autoretrato

Ya en 1915, Van Doesburg conoció a Piet Mondrian en una exposición en Masterdam. Mondrian se había trasladado a París en 1912, y visitaba los Países bajos cuando estalló la guerra, impidiendo así su regreso a París. Vivía en Laren, donde conoció a Bart van der Leck y al matemático y adepto a la teosfía M. H. J. Schoenmaekers. Este había publicado en 1915 un libro, Het nieuwe wereldbeeld (La nueva imagen del mundo), y en 1916, una segunda obra, Beginselen der beeldende wiskunde (Principios de las matemáticas plásticas). Estos dos libros fueron una influencia decisiva para el nacimiento de De Stijl. En efecto, Mondrian utilizó una gran parte de la terminología extremadamente de Schoenmaekers para las publicaciones en el periódico De Stijl.

Sus fundamentos matemáticos eran, pues, muy evidentes, basados en la exactitud que proporciona una ecuación o la propia geometría. Esa abstracción de las matemáticas se convertía en una reducción de la obra artística a lo esencial, y de ahí a la simplificación de las composiciones, que alcanzaba también a los propios colores utilizados: blanco, negro y los colores primarios (rojo, amarillo y azul). Esta concepción simplificadoría bebía también del dualismo, y de filósfos como Platón y Hegel.

Un esbozo de Theo van Doesbur

Mondrian acuñó el nombre de Nieuwe Beelding (Neo-Plasticismo) en 1917, y escribió una serie de doce artículos De Stijl. Escribe, “esta nueva idea plástica ignorará los detalles de la apariencia, es decir, la forma y el color natural. Por el contrario, debe encontrar su expresión en la abstracción de la forma y el color, es decir, en la línea recta y el color primario claramente definido”. De ahí su pintura con cuadrados y rectángulos, líneas rectas, horizontales o verticales, y la asimetría, combinados con los colores esenciales.

Composición de Piet Mondrian

Estas restricciones eran respetadas. De hecho, en 1925 Mondrian se retiró del grupo porque no estaba de acuerdo con que van Doesburg comenzara a utilizar elementos diagonales en sus obras.

Como curiosidad, decir que la banda americana The White Stripes publicó un album en 2000 con el título De Stijl, para honrar este movimiento del que mencionan haber sido una fuente de inspiración para su música. La portada es una muestra evidente de ese homenaje.

“En mi mente, tanto el country blues como el movimiento De Stijl representaban un nuevo comienzo de la música y el arte, quizás para el resto de la eternidad. Ambos rompieron sus respectivas artes hasta la médula. No se podía conseguir nada más simple y puro que la escuela de De Stijl”, decía Jack White en una entrevista en 2012.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

“Mi favorito es Alexander Grothendieck, tal vez porque él se consideraba a sí mismo un escritor y no sólo un matemático, y porque casi todo lo que sale en el libro con respecto a su vida es real, aunque parezca ficción. Me fascina su sensibilidad y su delirio en búsqueda de Dios, porque es algo que he vivido en carne propia.”

Benjamín Labatut

Asistimos en los últimos años a la publicación de libros que tratan temas científicos dentro de la literatura habitual, sin estar condenados, afortunadamente, a un género determinado. Un verdor terrible es uno de estos libros, y se trata de un libro extraordinario.

Un verdor terrible describe varios de los descubrimientos científicos que han conformado el siglo XX, aunque alguno de ellos, como el azul de Prusia (cianuro de hidrógeno) se remonta al siglo XVIII. Una de las características de estos logros es que muestran la dualidad inherente a la ciencia (y quien dice ciencia, dice su sinónimo, conocimiento). La ciencia puede ser usada para fines que mejoren nuestra vida o para servir a los más atroces desiginios de la maldad. El mejor ejemplo, el cianuro de hidrógeno que Fritz Haber empleó para fabricar el Zyklon que aniquiló a millones de judíos (incluso a miembros de su propia familia), pero el propio Haber había descubierto la síntesis catalítica del amoniaco a partir del hidrógeno y el nitrógeno, fundamental para desarrollar los fertilizantes que permitieron un cambio drástico en los cultivos y en el aumento de la población; por ese descubrimiento fue galardonado con el Premio Nobel de Química de 1918.

Alexander Grothendieck

Pero son otros los episodios directamente relacionados con las matemáticas los que queremos destacar ahora. Uno es el referido a Alexander Grothendieck, uno de los iconos de las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Su brillantez, su vida difícil, su honestidad rechazando cualquier privilegio, están descritos con la pasión requerida. Esa llama del genio de Grothendieck que lo llevó al delirio místico, y al aislamiento social, y probablemente a la locura final, pero dejando un legado de 70.000 páginas manuscritas que todavía tratamos de descifrar.

Karl Schwarzschild

Y que decir de ese episodio en el que el físico y matemático Karl Schwarzschild, sirviendo en el frente ruso durante la Primera Guerra Mundial, le escribe una carta a Albert Einstein el 22 de diciembre de 1915 comunicándole que había encontrado una solución exacta a sus ecuaciones, cosa que él no era capaz de hallar. Schwarzschild concluía su carta escribiendo: “Como ves, la guerra me trató con la amabilidad suficiente, a pesar de los fuertes disparos, para permitirme alejarme de todo y tomar este paseo en la tierra de tus ideas”. Y la respuesta de Einstein: “He leído su artículo con el máximo interés. No esperaba que uno pudiera formular la solución exacta del problema de una manera tan simple. Me gustó mucho su tratamiento matemático del tema. El próximo jueves presentaré la obra a la Academia con algunas palabras de explicación.” Esta carta ya no llegó al destinatario, fallecido el 11 de mayo de 1916 de una terrible enfermedad de la piel.

La mitad de este libro está dedicada a uno de los temas que todavía ocupa a matemáticos y físicos, y que probablemente los ocupraá duarnte mucha sdécadas más; hablamos de la mecánica cuántica. Labatut describe la lucha de ideas entre las dos versiones de la teoría, las de Erwin Schrödinger, la visión ondulatoria con su famosa ecuación, y la de Werner Heisenberg, con matrices. Esta lucha implicó a matemáticos y físicos de la época, y fue John von Neumann quién consiguió desarrollar una teoría unificada usando operadores en espacios de Hilbert.

Como se puede ver, 212 páginas llenas de pasión. Porque es imporatnte señalar el estilo de este libro. Si alguien ha leído las biografías de Stefan Zweig, o los libros de Patrick Deville o Éric Vuillard, reconocerá esa pasión. Un verdor terrible supone montarse en un caballo que cabalga sin descanso y te quita la respiración. Es de esos libro que uno no suelta hasta el final y se queda lamentando que ya haya terminado. Esperamos que Bejmaín Labatut siga escribiendo y publicando para nuestro deleite y conocimiento.

Benjamín Labatut

Sobre el autor (Fuente: Anagrama)

Benjamín Labatut nació en Rotterdam, Países Bajos, en 1980. Pasó su infancia en La Haya, Buenos Aires y Lima, y a los catorce años se estableció en Santiago de Chile. La Antártica empieza aquí, su primer libro de cuentos, fue publicado en México, donde ganó el Premio Caza de Letras 2009, concedido por la Universidad Autónoma de México (UNAM) y la editorial Alfaguara. En Chile apareció en 2012, y un año más tarde se alzó con el Premio Municipal de Santiago. Su segundo libro, Después de la luz, publicado en 2016 por la editorial Hueders, consta de una serie de notas científicas, filosóficas e históricas sobre el vacío, escritas tras una profunda crisis personal. Su tercer libro –Un verdor terrible–, además de en Anagrama, será publicado en 2020 por Suhrkamp (Alemania), Adelphi (Italia), Éditions du Seuil (Francia), Atlas Contact (Países Bajos), Pushkin Press (Reino Unido, Australia, Nueva Zelanda) y Elsinore (Portugal).

Aquí les dejo con la presentación del libro con Benjamín Labatut

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Una de las cuestiones más fascinantes en la actualidad es el debate sobre el arte hecho por ordenadores (o si se quiere, por algoritmos). Los artistas (especialmente los pintores) han recorrido un camino en cierta manera inverso, tratando de utilizar el mundo abstracto de las matemáticas para sus obras. Queremos recordar aquí el trabajo de una mujer pionera, Elena Asins, que usó el mundo de la razón para interpretar la realidad.

Elena Asins

Elena Asins Rodríguez nació en Madrid, el 2 de marzo de 1940.  Estudió en la Escuela de Bellas Artes de París, en la Universidad de Stuttgart (Semiótica con el profesor Max Bense), en la Universidad Complutense de Madrid (Centro de Cálculo), en The New School for Social Research (Nueva York) y en la Columbia University (Departament of Computer Science: Computer Art), donde fue invitada como Visiting Scholar para la investigación de la aplicación digital en las artes plásticas.

A lo largo de su dilatada carrera artística, Elena Asins investigó sobre el uso de la computación y los algoritmos en arte. Ya en los años sesenta participó en exposiciones con una obra basada en las formas geométricas. Colaboró con el Centro de Cálculo de la Universidad Complutense de Madrid, interesada siempre por la aplicación de los ordenadores a la creación artística. Allí coincidió con otros artistas  jóvenes, como José María Yturralde ,en un seminario dedicado a la generación de formas plásticas a través de computadoras. De hecho, la presencia de la lógica formal y la combinatoria están continuamente presentes en su obra. Sobre este tiempo, Elena Asins comenta: “Allí nos reunimos, en unos cuantos seminarios, músicos, matemáticos, científicos, pintores, arquitectos y toda  clase de gente. Todo aquello me formó y estructuró mi cabeza, fue de las mejores cosas que se han hecho en España de lo que yo conozca. Después, estuve asistiendo durante año  y  medio  a  todos  los seminarios.  No  me  hicieron  ningún  trabajo  con  ordenador, porque entonces el artista no tenía acceso directo a la máquina.”

Sus trabajos iniciales fueron en la pintura, pero también practicó la escultura, el dibujo, la poesía (poemas visuales), y la infografía.  En la imagen a continuación podemos ver el Canon 22 del malecón de Zarautz (un conjunto lineal y horizontal de 72 figuras de un metro cúbico cada una que ocupa una longitud total de 143m y una anchura de un metro). Sobre el Canon 22, la autora explica esto que informa sobre su manera de trabajar con los algoritmos: “Si vamos otra vez al Canon  22, hay figuras que encuentro bellas y hay  otras que francamente me parecen no bellas, son figuras que eliminaría si me guiase por criterios estéticos, pero no me guío por criterios de belleza sino por criterios de la lógica y de la ética matemática.”

Canon 22 en el malecón de Zarautz

En esa misma entrevista, con Joan Robledo-Palop en 2011 (“La desaparición de la imagen: Conversación con Elena Asins”. Forma: Revista d’estudis comparatius. Art, literatura, pensament. 4: 43–52.), la artista respondía así a la primera pregunta, en la que explica su teoría sobre los colores:

P: Quisiera comenzar nuestra conversación preguntándote sobre un concepto como  el de estructura y de qué modo puede estar relacionada la ausencia de color, o el blanco y el negro, con esta noción de la organización espacial.

Yo casi siempre he trabajado en papel. He trabajado o bien en blanco con línea negra o también en negro con línea blanca, casi han sido mis primeros trabajos. Era un trabajo en el cual me buscaba a mí misma, pero de esto hace tantos años que prácticamente no me acuerdo porque a los veintitrés ya comencé con la abstracción. Por otro lado, a mí, lo que me interesa es la esencialidad de la estructura, tener en la mano la base de toda construcción posible. Naturalmente, esto no te lo dan los colores, te lo da la estructura, el  modo de organizar el mundo, diríamos. La organización de elementos que producen un mundo, producen una estética. Un juego, en sentido wittgensteniano, que revela la verdad o la lógica de las cosas.

En otra entrevisra en El País Semanal en 2011, ante la pregunta del periodista, comenta su creencia en la papel de las matemáticas en la interpretación del mundo:

P: Uno no estudia matemáticas para sacar la cuenta del más allá. No sale.

El templo de Salomón estaba lleno de cálculos y medidas, no está tan lejos, no. Hay una lógica para creer. Debemos cultivar la ciencia de los números porque nuestros mayores crímenes son errores de cálculo. Eso es Pitágoras.

A lo largo de su vida, Elena Asins padeció durante años un olvido injustificado (decía: “Han tenido que venir nuevas generaciones para comprenderme”), y solo al final de la misma recibió un amplio reconocimiento a su carrera. Así, en 2006 recibió la Medalla de Oro al Mérito en las Bellas Artes; en 2011, el Premio Nacional de Artes Plásticas; y en 2012, el Premio Arte y Mecenazgo. “España no es una madre, es una madrastra: trata mal a los artistas, a los intelectuales”, decía en una entrevista en ABC en 2012.

Elena Asins falleció el 14 de diciembre de 2015, en un caserío en Azpíroz, pueblo de Navarra, a los 75 años de edad y donde vivía retirada y sola. Como declaró una vez: “Amo profundamente mi soledad, pero también me duele”.

Decía Elena Asins: “Bueno, de alguna manera las máquinas tienen su almita”. Quizás en un futuro próximo no seamos capaces de distinguir si el autor es una máquina, una IA, o un humano.

Les dejo con este video en el que explica brevemente su obra

Y con esta entrevista que no tiene ningún minuto desperdiciado

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Nos hacemos eco en Matemáticas y sus fronteras de la más reciente publicación de la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la Editorial Catarata. Se trata de Las matemáticas de la pandemia, obra de Manuel de León y Antonio Gómez Corral.

Las matemáticas juegan un papel destacado en la comprensión de las pandemias y en cómo combatirlas; nos ayudan a prevenirlas, a predecirlas y a controlarlas. De hecho, la emergencia de SARS-CoV-2 ha llenado los medios de términos técnicos cuyo origen y correcta interpretación están ligados a conceptos matemáticos.

El libro fue surgiendo desde la necesidad de explicarle al ciudadano de dónde salían esos conceptos que los medios y los políticos repetían una y otra vez: aplanar la curva, factor de reproducción, inmunidad de rebaño. Todos esos conceptos vienen de las matemáticas, pero están, como ocurre muchas veces con nuestra disciplina, ocultos.

Por ejemplo, el modelo SIR (Susceptibles, Infectados, Recuperados), surgido de la lucha contra la malaria, predice la evolución de los contagios mediante ecuaciones diferenciales;  en concreto, las que aparecen en la portada del libro junto a una descripción gráfica de cómo los individuos transitan entre los tres compartimentos o subpoblaciones básicos de susceptibles, infectados o recuperados. Es un modelo conceptualmente sencillo que debemos a los trabajos pioneros de Ronald Ross, Alexander McKendrick y William Kermack. Por supuesto, este modelo ha sido mejorado con nuevos compartimentos para incluir mortalidad, asintomáticos, periodos de cuarentena e incluso la vacunación anhelada en estos momentos frente al coronavirus SARS-CoV-2.

Pero las ecuaciones diferenciales no son los únicos instrumentos: las series temporales de una gran utilidad para conocer la evolución de una epidemia; o los procesos de Markov que, desde la actualidad, anticipan el futuro. Y decir que su inventor, Andrey Markov sólo tenía en mente su aplicación al acalorado debate que mantenía en aquellos momentos con el también matemático Pavel Nekrasov sobre la existencia o no del libre albedrío. Markov hizo su análisis sobre el Eugene Onegin de Alexander Pushkin.

También analizamos las leyes de Mendel a la luz de de las cadenas de Markov, y recordamos una aportación poco conocida para los matemáticos pero de gran relevancia de Godfrey Harold Hardy a la genética (el principio de Hardy–Weinberg). O los procesos de Galton-Watson, surgidos al analizar la potencial desaparición de los apellidos de la aristocracia inglesa, y que constituyen los procesos más famosos y aplicados a la transmisión vertical de una enfermedad o de la herencia genética entre padres e hijos. Y, cómo no, los problemas de la distancia social en el mundo pequeño, con la aportación de la teoría de redes a la transmisión de una epidemia.

Estos instrumentos matemáticos nos hacen saber en la práctica cuándo se producirá el número máximo de contagios para alertar a los hospitales o evitar desplazamientos y reuniones, decidir si una vacuna será útil o no, o conocer las reglas del contagio y la construcción de cortafuegos para proteger a la ciudadanía.

Si hemos conseguido acercar todo esto a los lectores para que comprendan mejor lo que estamos viviendo con esta pandemia (que no es la primera ni, desgraciadamente, será la última que padezca la humanidad), serán ellos los que nos los harán saber.

Sobre los autores

Manuel de León

Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

Manuel de León

Antonio Gómez Corral

Matemático y profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid. Sus intereses científicos se centran en las aplicaciones de los procesos estocásticos a problemas biológicos.

Antonio Gómez Corral

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Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid).

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r² se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S₄ el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S₄  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S₈ . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área S_n sea menor que E. Entonces el área del polígono será P_n = A – G_n, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Reseñamos en Matemáticas y sus fronteras el libro que con este provocativo título, Todo el mundo miente, ha publicado Capitán Swing en su colección de ensayo.

El subtítulo de este libro aclara mucho de su contenido: Lo que Internet y el Big data pueden decirnos sobre nosotros mismos. El libro es obra de Seth Stephens-Davidowitz, licenciado en Filosofía por la Universidad de Stanford, y doctor en Economía por Harvard. Escribe para The New York Times y es profesor en The Wharton School. Stephens-Dadidowitz ha trabajado también como científico de datos para Google, y ha publicado numerosos artículos de investigación en revistas especializadas. Vaya esto para garantizar que es un experto que conoce muy bien el tema de los datos en internet.

La tesis del autor es que vivimos en un mundo digital, la que aportamos continuamente millones de datos, y que estos dicen muchas cosas sobre nosotros mismos. Somos bastante sinceros con internet, mucho más que cuando accedemos a participar en una encuesta en la que nuestra identidad es conocida. Ese supuesto anonimato que nos proporciona internet consigue que mosremos nuestras verdaderas opiniones y nuestros deseos. Cuando hacemos una búsqueda en Google, Google sabe que somos nosotros porque la identidad de nuestro ordenador es conocida, pero nadie nos responde como si eso no fuera conocido; y nos c onfiamos.

Seth Stephens-Davidowitz

Toda esa información queda registarda, puede ser analizada con algoritmos matemáticos, y proporcionar una información precisa de nosotros como individuos. De ahí que si hacemos una determinada búsqueda, digamos un viaje al Caribe, en cualquier interacción con la red nos aparecerán anuncios de compañías aéreas y hoteles ofreciendo sus servicios. Pero esta es una cara de la moneda. Como defiende el autor, “nuestro historial de búsqueda es una herramienta poderosa que revela los miedos, deseos y comportamientos que nos impulsan”.  ¿Por qué no usar estos macrodatos para la investigación social? La gente en Internet acumula un promedio de 8 billones de gigabytes de datos por día. Esta enorme cantidad de información ofrece una ventana al comportamiento humano y a la toma de decisiones. Internet es el suero de la verdad, mediante el cúal vertemos al ciberespacio nuestras grandezas y nuestras miserias.

Este flujo de datos y su análisis puede ser usado para el bien o para el mal. Debemos estar conscientes de que las grandes corporaciones los usarán para conocer lo que nos interesa y ofrecer esos servicios, e incluso (y en el libro hay varios ejemplos, a que lo compremos a precios abusivos). Pero también (y nos da ejemplos) los ciudadanos podemos usar esa información para defendernos. Y nos advierte además del peligro de que los gobiernos puedan usar la información para controlarnos (tenemos ejemplos recientes de campañas políticas en Facebook o Twitter).

El análisis de datos se basa en las matemáticas, una razón más para que esta disciplina sea cuidada muy especialmente en cualquier sistema educativo. Y con las matemáticas y la ciencia de datos, puede que todavía estemos a tiempo de cambiar nuestra visión del mundo y hacerlo más sostenible y justo.

Les dejo con un video del autor

En este enlace se puede encontrar más información sobre el libro.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360^o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r² –x²

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c₀ , donde c₀  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c₀ r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c₀ (que no es más que el número π.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Hoy, 22 de octubre de 2020, se ha presentado el Libro Blanco de las Matemáticas, elaborado por la Real Sociedad Matemática Española (RSME) en colaboración con la Fundación Ramón Areces.

El objetivo de este Libro Blanco era elaborar un exhaustivo y riguroso análisis sobre la situación y el impacto de las matemáticas en España, estructurado en una serie de bloques (nueve), abarcando la educación en sus diferentes niveles (universitario y no universitario), la investigación, las salidas profesionales, el impacto socioeconómico, la igualdad de género, la divulgación, la internacionalización y los premios y reconocimientos.

El estudio ha sido coordinado por el profesor David Martín de Diego, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y Vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española, trabajando con cada uno de los nueve coordinadores de cada bloque. En total, son más de sesenta matemáticos de toda España los que han participado directamente en el libro.

No se trataba solo de hacer un análisis, sino también de elaborar una serie de conclusiones (aglutinando las que han venido de cada uno de los nueve bloques) y unas acciones a desarrollar. Uno de los grandes valores de este libro es que aporta análisis cualitativos y opiniones, pero también datos, y estos servirán en los próximos meses y años para que el debate posterior tenga bases sólidas con las que argumentar.

Coloquio sobre educación en la presentación del Libro Blanco

Las matemáticas están en España en un momento decisivo, viniendo de años en los que la disciplina ha conseguido resultados extraordinarios en la investigación, pero que sigue padeciendo problemas en la enseñanza secundaria aparte de los causados por los recortes en educación e investigación acentuados desde la penúltima crisis económica. Seguimos padeciendo además las trabas burocráticas que debilitan el sistema investigador al no permitir ejecutar adecuadamente los recursos ni contratar talento exterior. Muchas de estas trabas (comunes a todas las ciencias) son incomprensibles, ya que se resuelven con una legislación más apropiada para el siglo XXI y que no conlleva costes económicos.

Habrá tiempo de ir comentando los contenidos de este Libro Blanco, un material que debería merecer una lectura cuidadosa por parte de ministerios, consejerías autonómicas y parlamentarios. Espero que sea así.

Por mi parte, estoy muy orgulloso de que la RSME haya contado conmigo para coordinar el bloque de internacionalización, un tema en el que insistido tanto desde hace muchos años por su importancia no sólo para los que estamos en activo ahora, sino para el futuro de nuestros jóvenes matemáticos.

Enhorabuena a la RSME y a la Fundación Areces por esta magnífica obra, que es un hito más en la historia reciente de las matemáticas españolas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Sale al mercado editorial la última entrega por ahora de la colección Miradas Matemáticas, la número 14. En este caso, una historia de las cónicas acompañada de numerosas construcciones geométricas usando Geogebra.

Las cónicas son las curvas que resultan cuando seccionamos un cono con un plano. Así aparecen  la elipse, la hipérbola y la parábola. Su historia es antigua, y se remonta a la antigua Grecia, con los trabajos de Hipócrates de Quíos o Menecmo, aunque el gran nombre asociado a las cónicas es Apolonio de Perga.

Las cónicas (cuyo nombre genérico tiene su raíz obviamente en el cono), despertaron el interés de muchos matemáticos en siglos posteriores. Y poco a poco, fueron independizándose del cono. En dos direcciones. En primer lugar, una geométrica en la que pudieron ser definidas como lugares geométricos en el plano, sin referencias al cono. Y en segundo lugar, una independencia basada en el álgebra, al definirlas por ecuaciones una vez introducido un sistema de coordenadas. En ambos casos, esas alternativas han dado lugar a una gran riqueza de resultados de todo tipo, y muchos de ellos son descritos en este libro.

Y no solo son entes matemáticos, ya que desempeñaron un papel fundamental en la formulación de las leyes de Kepler que describen el movimiento de los astros, ya que sus órbitas son precisamente elipses en las que uno de sus focos es el Sol. En la actualidad, las cónicas siguen estando muy presentes en la vida cotidiana: podemos encontrarlas en numerosos diseños y logotipos o en estructuras arquitectónicas, en las antenas parabólicas, en los faros de los automóviles, etc.

Como comentario final, decir que este libro está acompañado de las construcciones sobre cónicas que se pueden hacer con Geogebra, proporcionando así un instrumento que va más allá de una mera lectura, tanto para profesores como estudiantes o simplemente personas con curiosidad por las matemáticas.

Sobre la colección

Miradas Matemáticas es un proyecto conjunto de la Editorial Catarata con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para publicar libros en torno a la didáctica de las matemáticas y a su divulgación.

Señalar también que la colección va tomando forma, catorce libros son ya un número apreciable y podemos decir que está ya consolidada. Varios libros más están ahora en cartera, en diferentes fases de evaluación algunos, otros ya en trámites de revisión e irán apareciendo en los próximos meses.

Sobre los autores

Agustín Carrillo de Albornoz Torres. Es licenciado en Matemáticas por la Unversidad de Granada. Catedrático de Educación Secundaria, ha desarrollado su labor profesional en distintos centros de la provincia de Jaén y pertenece a la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. Desde el año 1984 en el que impartió el primer curso sobre uso de las TIC como recurso en el aula de matemáticas, se ha dedicado a promover el uso de las tecnologías a través de cursos de formación, tanto presenciales como virtuales, impartiendo conferencias en congresos nacionales e internacionales, con especial presencia en la mayoría de los países iberoamericanos.

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Manuel de León. Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

Manuel de León

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).