Matemáticas y sus fronteras

Acaba de publicarse un nuevo libro de matemáticas en la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la editorial Catarata. Se trata de Las geometrías y otras revoluciones, y la autora es Marina Logares.

La alegría ante este libro es doble. Por una parte, se trata de una persona a la que aprecio mucho, que trabajó en nuestro Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), haciendo su tesis doctoral en la Universidad Autónoma de Madrid. Tras su paso como investigadora postdoctoral en el Max Planck Institut für Mathematik de Bonn, el Centro de Matemática do Porto, volvió al ICMAT. Se incorporó al Mathematical Institute en Oxford con una beca Marie Curie, y desde 2017 es profesora en la Universidad de Plymouth. Marina ha trabajado muy duro para conseguir finalmente una estabilidad muy merecida.

Marina Logares

Por otra parte, éste es el duodécimo libro de matemáticas de la colección, un 12% del total de los publicados hasta ahora, lo que es motivo de orgullo ya que el CSIC cuenta con unos 120 institutos, y este dato indica el compromiso que siempre hemos mantenido con la divulgación científica.

El libro traza una historia de la geometría, de su nacimiento ante la necesidad de medir, su hito con Los Elementos de Euclides, que suponen no solo una fundamentación prodigiosa de la disciplina sino también del nacimiento del rigor matemático y las demostraciones. El axioma de la quinta paralela es el que dará lugar a la aparición de las geometrías no euclidianas, intuidas por Gauss pero que salen a la luz con Lobachevski y Bolyai. El análisis de las causas que motivaron la cautela de Gauss para hacer público estas geometrías son cuidadosamente analizadas, y parecen deberse a la posible reacción en contra del filósfo Kant. La nueva geometría desarrollada por Félix Klein con el Programa de Erlangen es también descrita: ahora hablamos de una geometría y del grupo de transformaciones que la deja invariante. Las referencias a las aplicaciones a la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y al papel desarrollado por David Hilbert y posteriormente por Emmy Noether son inevitables y están muy bien detalladas.

Por otra parte, debemos destacar la distinción hecha entre las dos direcciones de la geometría: la geometría diferencial, que es la geometría cuando incorpora el análisis; y la geometría algebraica, al hacerlo con el álgebra. La autora es una experta en geometría algebraica, geometría compleja y física matemática, y así presenta de una manera muy intuitiva conceptos complicados, como los esquemas de Grothendieck, el Programa de Langlands o los fibrados de Higgs.

El libro se cierra con dos breves capítulos sobre fractales y el arte en relación con la geometría.

En definitiva, un excelente libro que acompañaría con otro publicado en esta colección anteriormente, La geometría del universo, y con el que comparte esa pasión por la geometría.

El libro se puede comprar en librerías y también por internet en este enlac. Esperamos que en breve haya también una edición electrónica del mismo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

El grupo de un nodo no es el único invariante que se puede definir en teoría de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen información preciosa del nudo en cuestión.

James Alexander

Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander, ya que fue propuesto por el matemático norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. James Alexander formó parte de la élite topológica de Princeton (con Oswald Veblen y Solomon Lefschetz, por ejemplo) de hecho fue uno de los primeros matemáticos contratados en el Instituto de Estudios Avanzados. Provenía de una importante familia en Princeton, y como curiosidad, diremos que su gran afición era el montañismo, escalando cimas en los Alpes franceses y suizos y en las Montañas Rocosas. Pero esa afición le llevó también a escalar a menudo los edificios del campus, y, todos en el campus conocían que para entrar en su despacho en el último piso del edificio de matemáticas (el famoso Fine Hall) prefería la ventana y no la puerta.

El edificio Fine Hall de Princeton, sede de su Departamento de Matemáticas

Alexander fue perseguido por sus ideas socialistas durante la caza de brujas organizada por el senador Joseph McCarthy, y desapareció durante los últimos años de su vida, sometido a reclusión, aunque firmó en 1954 la carta de apoyo  a Robert Oppenheimer.

Ya habíamos comentado que Alexander, en colaboración con Garland Briggs, había encontrado los mismos resultados que Kurt Reidemeister. De hecho, es uno de los grandes pioneros en el desarrollo de las teorías de homología y cohomología.

Nudo trébol

Recordemos como calculó Alexander el polinomio de un nudo. Se considera su diagrama (orientado), tal y como explicamos en una entrada anterior; y suponemos que hay n cruces. El diagrama divide el plano en n+2 regiones, y entonces se construye lo que se llama una matriz de incidencia, que será una matriz de n filas y n+2 columnas. La componente que corresponde a una región y a un cruce dados será: 0 si la región no es adyacente al cruce; en otro caso, usaremos estas reglas, teniendo en cuenta la posición de la región vista desde el arco entrante pasando por debajo del otro arco del cruce:

A la izquierda antes del cruce: -t

A la derecha antes del cruce 1

A la izquierda después del cruce: t

A la derecha después del cruce: -1

Se eliminan ahora las columnas (2) correspondientes a regiones adyacentes, nos queda una matriz n x n, y calculamos su determinante: ese es el polinomio de Alexander (salvo alguna renormalización).

Por ejemplo, el ppolinomio de Alexander del trébol es

t + t ^-1 – 1

Por cierto, en este enlace se puede ver como construir un nudo de trébol. Y este video nos enseña como calcular el Polinomio de Alexander de un nudo

El polinomio de Alexander del nudo trivial (no está anudado) es 1, pero hay nudos no triviales que también tienen polinomio de Alexander 1, así que no es un invariante completo.

John Conway

Unos 60 años del descubrimiento de Alexander, el matemático John Conway introdujo una nueva versión, creando un polinomio que se obtiene de una manera algorítmica muy sencilla. En realidad, este polinomio no era más que el de Alexander tras un cambio de variable, y hoy se conoce como polinomio de Alexander-Conway. Este es el polinomio de Conway del trébol

z ² + 1

El siguiente paso en esta historia es el llamado polinomio de Jones, en 1984, que da inicio a la llamada teoría combinatoria de nudos. Pero esa es otra historia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras, y hoy nos toca hacerlo de los invariantes que se pueden asociar a un nodo y de cómo éstos ayudan a su clasificación.

Nudos (Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton)

La noción de un invariante de nudos es sencilla: se trata de una cantidad (u objeto matemático) que es la misma para nudos equivalentes, de manera que dos nudos que posean los mismos invariantes serían indistinguibles desde el punto de vista de la topología.

Uno de estos invariantes es el llamado grupo del nudo, que no es más que el grupo fundamental del complementario del nudo en el espacio euclidiano.

Para fijar ideas, recordemos lo que es el grupo fundamental de un espacio. Dado un espacio (pensemos en la superficie de una esfera para fijar ideas), podemos considerar un punto y todos los lazos que comienzan y terminan en se punto. Ahora estableceríamos una relación de equivalencia entre esos lazos: dados dos cualesquiera, L y L’, se dicen equivalentes si se puede deformar uno en el otro de una manera continua (esto se manifiesta matemáticamente como  la existencia de una homotopía que deja fijos inicio y final y va recorriendo parametrizada de 0 a 1 una familia de lazos L_t tales que para t=0, L₀ es L, y para L₁ estaríamos con L´. La figura a continuación nos ayudará a hacernos una idea intuitiva.

En el espacio de la derecha todos los lazos son equivalentes, pero no en el de la izquierda, ya que le hemos quitado un trozo al espacio

Como complemento histórico, digamos que la palabra homotopía fue utilizada por primera vez por el matemático germano-americano Max Wilhelm Dehn (famoso por haber resuelto el tercer problema de Hilbert, el primero de los 23 en ser resuelto), y el matemático danés Poul Heegaard. Dehn  y Heegard escribieron en 1907 el primer libro sobre topología combinatoria.

Además, dos lazos se pueden multiplicar, porque basta componerlos y reparametrizarlos, y esta operación es respetada por la homotopía, de manera que las clases de equivalencia de los lazos (es decir, dado un lazo consideramos todos los que son equivalentes a él) se pueden multiplicar. Y esta operación dota a la colección de clases equivalentes de lazos de una estructura algebraica, de grupo precisamente. La notación es esta: si X es el espacio y x el punto que consideramos, entonces

Π(X, x)

denotará lo que llamamos grupo fundamental de X con base el punto x. El elemento neutro para este grupo es la clase del lazo constante x. Un resultado importante es que este grupo es el mismo si dos espacios son homeomorfos (recordemos la definición en la entrada anterior). Otro es que si dos puntos cualesquiera de nuestro espacio se pueden unir por una curva, entonces los grupos fundamentales en esos puntos serán isomorfos (algebraicamente idénticos).

En este video se puede encontrar un curso introductorio a la topología algebraica en el que se explica de una manera muy gráfica la construcción del grupo fundamental de un espacio

Por ejemplo, si seguimos pensando en la superficie de una esfera, veremos que cualquier lazo de puede deformar al propio punto de una manera continua, así que su grupo fundamental constará solo del elemento neutro. Si calculamos el grupos fundamental de un círculo, veremos que es el grupo de los números enteros, ya que podemos dar vueltas en uno u otro sentido desde un punto dado, o quedarmos todo el tiempo en ese punto.

La construcción del grupo fundamental es uno de los grandes logros matemáticos, porque sirve para asociar un objeto algebraico (fácil de manipular) a un objeto topológico (muy difícil de controlar), y es parte de lo que se ha dado en llamar Topología Algebraica.

El concepto se debe al gran matemático francés Henri Poincaré, quién lo definió en 1895 en su artículo “Analysis situs” (por cierto, Analysis situs era el antiguo nombre por el que se conocía a la topología).

Wilhelm Witinger

Si queremos usar los grupos fundamentales para diferenciar nudos, debemos desarrollar un método para calcularlos. La clave la dio el matemático austríaco Wilhelm Wirtinger (1865-1945). Supongamos que nuestro nudo N tiene n arcos y m cruces, y consideramos en cada cruce la llamada relación de Wirtinger (que viene dada por un productos de arcos teniendo en cuenta si los cruces son positivos o negativos). Entonces Wirtinger probó que el grupo del nudo está determinado por los arcos a₁, …, a_n y las relaciones r₁, …, r_m (técnicamente, es el grupo libre generado por los arcos cocientado por el menor subgrupo normal que contiene las relaciones).

Otro instrumento importante para calcular grupos de nudos lo ofrece el teorema de van Kampen, que permite calcular el grupo fundamental de un espacio si se descompone adecuadamente en espacios más sencillos de los que conocemos su grupo fundamental. En próximas entradas seguiremos escribiendo sobre este apasionante tema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras. Decíamos en la entrada anterior que el interés por los nudos decayó al probarse que las teorías que trataban de explicar con ellos el mundo atómico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del éter y la aparición de la mecánica cuántica. Pero los matemáticos sí seguían interesados en el tema.

Los topólogos se sintieron fascinados por estos objetos matemáticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificación, es decir, ¿cuándo podemos decir que dos nudos son equivalentes? Por ejemplo, los dos nudos que exhibimos arriba. Es un tema sutil, porque dos nudos pueden aparecer como muy diferentes pero ser idénticos desde el punto de vista topológico.

Para precisar estas ideas, vayamos a una primera definicíón de equivalencia. Dos nudos N₁ y N₂ se dirán equivalentes si existe un homeomorfismo

h : R³ —> R³,

que preserva la orientación del espacio y que transforma un nudo en el otro, es decir h(N₁) = N₂. Digamos que un homeomorfismo es una transformación que que es continua y que tiene inversa y ésta también es continua. La continuidad refleja que preserva en un cierto sentido que se puede precisar matemáticamente la cercanía de los puntos del espacio. Sobre la orientación, decir que hay dos posibles en R³ y h las debe preservar, es decir, no puede convertir una en la opuesta.

Existe otra definición de equivalencia en la que los dos nudos son equivalentes si existe una familia parametrizada de homeomorfismos por un parámetro t entre 0 y 1 que transforma el primer nudo en el segundo (esta familia es lo que se llama una homotopía). Sin embargo, esta definición y la primera son equivalentes. En cualquier caso, resulta complejo y arduo usar directamente estas definiciones.

Diagramas de nudos

Decíamos en una entrada previa que una manera de tratar con los nudos era proyectarlos en un plano y trabajar con esas proyecciones. Una manera de verlo es pensar que ponemos un foco de luz sobre el nodo tridimensional y vemos su sombra en una pared. Habrá intersecciones que se corresponden con los cruces del nodo. Trabajando con algo de cuidado se puede conseguir que estas proyecciones contengan toda la información del nudo. Así, el problema de ver si dos nudos son equivalentes o no se reduce a estudiar si lo son sus proyecciones.

El matemático alemán Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 –1971) ideó en 1927 un procedimiento (llamado los movimientos de Reidemeister) que nos permite pasar de una proyección regular de un nudo a otra usando solo los siguientes tres tipos de movimientos sobre partes del diagrama en cuestión:

Reidemeister tipo I

Reidemeister tipo II

Reidemeister tipo III

El primer movimiento (tipo I) consiste en girar o crear un lazo; el segundo (tipo II) desplaza un trozo de nudo sin que se cruce con otro trozo; y el tercer movimiento (tipo III) consiste en pasar un trozo de nudo sin cruzamientos sobre o bajo un cruce. El resto del diagrama no se modifica.

Kurt Reidemeister

Algunos datos sobre Kurt Reidemeister

Reidemester comenzó su carrera matemática en Teoría algebraica de números, bajo la dirección de Erich Hecke, pero tan pronto defendió su tesis su intereés se fue a la geometría diferencial y a la teoría de nudos. En 1923 fue contratado como profesor en la Universidad de Viena (lo que le permitió escapar de la situación empobrecida de la Alemania de postguerra tras el tratado de Versalles y la hiperinflación) , y en 1925 se trasladó a la Universidad de Königsberg. En 1933, su posición pública al régimen nazi le supuso su cese (del que por cierto se enteró leyendo el periódico). Restituido por la presión de sus colegas al gobierno (encabezada por Wilhelm Blaschke) tuvo sin embargo que mantener ocultas sus discrepancias políticas. Tras la guerra y con una estancia en Princeton, fue nombrado profesor en la Universidad de Gotinga hasta su jubilación. Su libro Knoten und Gruppen (1926) es hoy en día un clásico sobre teoría de nudos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Hace unos días hablábamos en Matemáticas y sus fronteras sobre la importancia de los nudos en la Biología, en particular en el plegamiento de proteínas y del ADN. Vamos ahora a comentar algunas cuestiones relativas a estos apasionantes objetos matemáticos.

Un nudo es una manera de encajar un círculo (o varios círculos) en el espacio euclidiano de tres dimensiones, de manera que este se cruzará consigo mismo de una manera más o menos compleja, pero siempre sin tocarse. La historia de los nudos es muy antigua, y se han encontrado evidencias de épocas remotas, como por ejemplo en China, en el Tíbet o en los pueblos celtas. En estos últimos es muy famoso el Libro de Kells, que los monjes irlandeses elaboraron en torno al año 800 en la abadía de Kells, y que contiene numerosas ilustraciones, entre ellas, de nudos.

Nudos célticos

La primera teoría matemática rigurosa sobre los nudos es del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde, en 1771. Vandermonde señaló como la incipiente topología era decisiva para entender los nudos. La manera de describir un nudo es con unos diagramas que se conocen como diagramas de nudos. Consisten en la proyección del nudo en un plano, de manera que se señalan los cruces cuando la “cuerda” que ha formado el nudo pasa por delante o por detrás en el nudo. En su obra pionera de la topología, Remarques sur des problèmes de situation, decía

“Cualesquiera que sean los giros y las vueltas de los hilos en el espacio, uno siempre puede obtener una expresión para el cálculo de sus dimensiones, si bien tal expresión será de escasa utilidad en la práctica. Los artesanos que construyen una red, una trenza o algunos nudos estarán más preocupados no por asuntos de medida, sino de posición: lo que le importará será el modo en que los hilos se entrelazan.”

En el siglo XIX, el llamado Príncipe de las Matemáticas, Carl Friedrich Gauss, se interesó por el tema. Gauss definió lo que se llama el índice de enlace, que es un invariante numérico que nos dice cuantas veces una curva está enrollada en la otra formando un nudo. Se puede calcular mediante un algoritmo, de manera que se cuentan los cruzamientos según las reglas de esta imagen

Una vez contados los cruzamientos con sus signos, se calcula el número de enlaces N con la fórmula

N = (n₁ + n₂ – n₃ – n₄)/2

Pero como n₁ + n₃ = n₂ + n_4,  la fórmula se reduce a N = n₁ – n₄ = n₂ – n₃.

Otro importante avance en la teoría de nudos vino de la química, motivada por las ideas de Lord Kelvin (Sir William Thomson) sobre la configuración como nudos de los átomos en aquella sustancia que se denominaba éter y que se teorizaba como el soporte para las ondas electromagnéticas y la luz. Por cierto, Lord Kelvin ganó fama con esta teoría, y un nudo de corbata se llama así en su honor. Aquí se pueden seguir las instrucciones para conseguir un perfecto nudo Kelvin

Lord Kelvin se había inspirado en los experimentos del físico escocés Peter Tait sobre los nudos de humo; pensaba que los átomos de los diferentes elementos químicos formaban nudos con sus enlaces; el hidrógeo se correspondería con un tipo de nodo, el oxígeno con otro, y así con los demás elementos. Thomson y Tait estaban convencidos de que esta teoría serviría para explicar por qué los átomos emiten y absorben luz en determinadas longitudes de ondas, así que Tait se puso a hacer una tabla de nudos que se correspondería con la tabla de elementos químicos.

Peter Guthrie Tait

James Clerk Maxwell, que era colega de ambos, también se interesó por los nudos, y volvió a las ideas de Gauss, describiendo el número de eenlace en términos de la teoría electromagnética. Según Maxwell, ese número coincidía con el rabajo de una partícula cargada que se moviera a lo largo de una componente del nudo bajo la influencia del campo magnético generado por una corriente eléctrica que circulara por la otra componente del nudo.

El experimento de Michelson–Morley acabó con la teoría del éter, y esto llevó a un desinterés de la ciencia por el estudio de la teoría de nudos. Pero los matemáticos no habían dicho la última palabra, como veremos en próximas entradas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

En nuestra anterior entrada comentábamos algunas diferencias de nuestras universidades con la de Michigan, en Ann Arbor, una universidad pública de excelencia en los Estados Unidos. Mientras escribía esa entrada, he tenido conocimiento de una noticia sobre las universidades madrileñas, en concreto, el plan que la Comunidad de Madrid va a poner en marcha para combatir la endogamia universitaria.

José Echegaray y Eizaguirre

El Plan se denomina Programa Echegaray, en honor del premio Nobel de Literatura que fue también un ilustre matemático, Presidente de la Sociedad Española de Matemáticas. El plan surge de una constatación: la galopante endogamia de las universidades madrileñas, con candidatos que van apareciendo según la lista de espera y con comités de selección nombrados por el propio departamento en connivencia muchas veces con el interesado de la casa. Objetivo: que no entre nadie de fuera e ir colocando a los propios. Consecuencia: bajada de la calidad de la investigación y de la competitividad de las universidades. Estas prácticas están originadas en gran medida por la estructura de gobernanza que rige nuestros campus, en los que los equipos rectorales deben atender a los intereses de los diferentes estamentos, primero con propuestas para que les voten, y una vez elegidos, para responder a esas promesas hechas a sus votantes.

Rectorado de la UCM

Las universidades madrileñas van perdiendo la batalla (y no lo queremos presentar en términos bélicos, sino como capacidad de éxito) frente a las universidades catalanas. Y no debemos restringirnos al ámbito universitario, lo mismo podemos decir del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), con la excepción en Madrid del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) (aunque en este caso, el instituto ha recibido un ataque durísimo de los tres rectorados con el fin de controlarlo, con medidas que están poniendo en peligro su excelencia). En efecto, si vamos a los resultados en el European Research Council (ERC) o el Programa Severo Ochoa, las cuentas son desoladoras para Madrid, con un sistema de ciencia y tecnología equivalente al catalán. Y se está perdiendo también la competencia en el Programa Ramón y Cajal.

En el caso particular de las matemáticas, la situación es todavía más preocupante. Un Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) incapaz de coordinarse con la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (UCM), a pesar de participar ambas en el ICMAT y poder basarse en el instituto para aunar intereses. Al contrario, en Barcelona todos han dejado atrás sus posibles diferencias, y se han asociado para poner en marcha la Barcelona Graduate School of Mathematics, que ya ha conseguido un María de Maeztu.

Volviendo al Programa Echegaray, se trata de que una comisión de prestigio internacional proponga un tribunal de tres personas para decidir entre los candidatos a plazas que llevarán ese distintivo de calidad, 90 de momento para todo Madrid, y si la universidad en cuestión acepta que la plaza ofertada vaya en ese formato, recibirá una ayuda durante tres años (50.000 euros si es un candidato externo, la mitad si es propio).

Debemos aplaudir cualquier medida que vaya en la dirección de mejorar la calidad de nuestras universidades. También es bueno darse cuenta que esta medida es un toque de atención a los malos hábitos que se permiten desde los Rectorados. Es cierto que 90 distinciones son pocas, teniendo en cuenta que son unos 16.000 profesores los que trabajan en nuestras universidades, pero por algo se empieza. Decir también que en Cataluña la captación de talento se ha focalizado en los contratos de investigadores postdoctorales, es decir, profesorado en sus primera estapas, y esa medida debería ponerse en marcha en Madrid y complementar así el Programa Echegaray.

Veremos los resultados del Programa en sus primeros años, y serán quienes rigen los destinos de las universidades los que aprovechen o no esta oportunidad que les brinda la Comunidad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Estuve pasando unos días en la Universidad de Michigan, en Ann Arbor, asistiendo aun congreso de la American Mathematical Society, y como acostumbro a hacer cuando visito universidades de otros países, me he detenido en compararla con las españolas, a fin de aprender de lo bueno que ofrecen para tratar de compartirlo, y también de lo malo, para intentar evitarlo.

Ann Arbor es una pequeña ciudad de unos 120.000 habitantes, con más de 40.000 estudiantes. La Universidad de Michigan impregna al completo la ciudad, empleando a casi 30.000 personas y contribuyendo con casi 9.000 millones de dólares a la economía del estado de Michigan. Es una universidad pública, considerada como una de las mejores de los Estados Unidos (y del mundo), con 9 premios Nobel entre sus grandes logros. La universidad tiene un enorme cuidado de todos sus estudiantes (su programa de tutorías es simplemente excelente), con un porcentaje altísimo de éxito en la terminación de los grados, y que distribuye en un curso normal unos 500 millones de dólares en becas. Como es usual en Norteamérica, las instalaciones deportivas son de primera calidad, y el equipo universitario de fútbol americano (los Wolverines) es una de las joyas de la ciudad.

El congreso de la AMS se celebró el sábado y domingo (sí, es interesante levantarse temprano el fin de semana para asistir o impartir una charla con un programa que comienza a las ocho de la mañana), pero eso me ha permitido comprobar como hasta los fines de semana la universidad sigue llena de estudiantes, trabajando en los departamentos o en las cafeterías de sus aledaños. Pareciera que este entorno ciudad/universidad creara un ambiente en torno al conocimiento, y no en vano Ann Arbor pasa por ser la ciudad con el nivel educativo más alto de los Estados Unidos.

Cuando se compara con una universidad española en una ciudad pequeña, como puede ser el caso de Santiago de Compostela o Salamanca, en las que el porcentaje de estudiantes sobre la población total es similar al de Ann Arbor, se observan enormes diferencias. Yo he sido estudiante (5 años) y profesor (10 años) en la Universidad de Santiago de Compostela y, a pesar de que se nota la presencia en la ciudad, me resulta envidiable esta unión ciudadanía-universidad que he visto estos días en Ann Arbor, donde los símbolos de la Universidad de Michigan son portados con orgulo por tantos ciudadanos en sus propias vestimentas.

Estadio de Michigan

Lo que está ocurriendo en España en alguna universidad no es precisamente para que el ciudadano esté orgulloso, y si reparamos en la actitud general de los rectores no queriendo abordar los problemas con valentía tratando de obviar lo evidente, pues tampoco es para alegrarse. Las universidades españolas (al menos sus dirigentes) parecen moverse en una burbuja al modo de lo que lo están haciendo muchos partidos políticos. ¿Cómo conseguir aumentar la apreciación pública de las universidades españolas? ¿Cómo integrarlas más con la ciudadanía? Es un debate que ya se debería estar produciendo. Y no es únicamente una cuestión de presupuesto, que al final, es donde acaban siempre las reivindaciones de las autoridades universitarias en estos casos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Un tema tópico en el mundo de los marineros es el de los nudos; como hacerlos para que no desaten fácilmente o como deshacerlos en cuestión de segundos. Los nudos han sido estudiados por los matemáticos, pero también son cruciales en el mundo de las ciencias de la vida, como explicaremos a continuación.

La teoría de nudos es una apasionante rama de las matemáticas, ligada directamente a la topología y a la topología algebraica. Un nudo se define como un embebimiento de un círculo (en matemáticas un círculo lo representamos como S¹) en el espacio euclideano R³ (aunque también podemos pensar en nudos en la esfera de dimensión 3, o encajes de esferas en otras de dimensiones mayores). También podemos decir que un nudo es una curva en el espacio de tres dimensiones que no presenta intersecciones. Como una imagen es mejor que mil palabras, en esta figura podemos encontrar un nudo que se conoce como nudo de trébol.

Nudo de trébol

Los matemáticos gustan de clasificar, y los nudos no iban a ser ajenos a esta manía de nuestra profesión. Una definición intutiva es la siguiente: diremos  que dos nudos son equivalentes si podemos deformar uno en el otro de forma continua sin romperlos. Claro, ahora tocaría expresar esta definición en términos matemáticos precisos. Esto requiere el uso de técnicas topológicas, como el concepto de isotopía. Digamos de momento que un nudo trivial es la propia circunferencia pensada como nudo, es de hecho, lo menos anudado que podíamos pensar. Pero los nudos pueden ser extremadamente complejos, aunque estos más sencillos, como el trébol que mostramos antes, o la figura ocho que mostramos ahora, no son triviales.

Nudo figura ocho

En entradas posteriores hablaremos más sobre los nudos, desde el punto de vista de la topología: hablaremos de la historia de la teoría de nudos, de cómo se desarrollar oninvariantes que permiten clasificarlos, y como no, de las aplicaciones de esta teoría (no piense que los nudos se reducen a los que formamos al atar nuestros zapatos).

Hoy vamos a centrarnos en una importante aplicación de la teoría de nudos a la biología. Las moléculad de ADN y las proteínas son cadenas muy largas, que deben estar colocadas en espacios muy pequeños. La manera de hacerlo es plegarse, retorcerse, y así minimizar el espacio ocupado. En muchos casos, se forman nudos, es decir, se pegan los extremos, y esto puede ser fatal para las células. ¿Cómo se defiende un ser vivo de esta amenaza? Pues poniendo en marcha mecanismos que minimizan el grado de anudamiento del ADN, aliviando la tensión y para que un mejor comportamiento de los cromosomas. Estos instrumentos son unas enzimas denominadas topoisomerasas, que o bien reducen el grado de anudamiento con lo cuál están cambiando (simplificando) la topología de la molécula, o, si es preciso, pegando extremos y aumentando la complejidad topológica. Poder influir en estos cambios topológicos ayudaría a mejorar las técnicas de secuenciación genómica.También nos ayudaría a conocer mejor como funcionan los enzimas.

Molécula de ADN

Así que en el mismo corazón de la vida tal como la conocemos, en el ADN, tenemos una aplicación de algo tan fundamental como la llamada teoría de nudos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Hace unos días, mi querida colega Nalini Joshi publicó un tuit con una noticia sobre una notable matemática australiana, Alison Harcourt, de 89 años, considerada como la abuela matemática en ese país. Mi curiosidad me llevó a leerme el artículo y a buscar más información en internet.

Alison Harcourt

Alison Harcourt tiene un perfil en Wikipedia, en el que se puede leer que nació el 24 de noviembre de 1929, y su nombre de soltera era Alison Doig. Nació en  Colac, Victoria, hija del médico Keith Doig, deportista famoso que recibió la Cruz Militar durante la Primera Guerra mundial. Su tío materno fue otro famoso físico, Sir Kerr Grant, así que su entorno era favorable para iniciar estudios científicos. En este video

la propia Alison nos cuenta sus vivencias en tantos años de trabajo para establecerse como matemática.

Alison estudió en la Universidad de Melbourne, con muy buenos resultados en Matemáticas y Física. Su interés era la Estadística, donde sus contribuciones fueron de gran calado. Como ella aconseja: “Escoge el tema que te guste de verdad y trabaja en él, y si es matemáticas, hazlo”.

Alison Harcourt

Sus estudios en programación lineal, la llevó a finales de los años 50 del siglo pasado a  trabajar en la prestigiosa London School of Economics (LSE). Allí, en colaboración con otra matemática, Ailsa Land, publicaron un artículo seminal en una de las revistas más importantes de economía matemática, Econometrica. En su artículo,  desarrollaron un algoritmo para resolver problemas computacionales de los llamados NP difíciles, que ha tenido numerosas aplicaciones en la logística del transporte y en tratamientos por radioterapia, entre otras muchas. La optimización es una rama de las matemáticas que te ayuda a escoger las mejores opciones, pero que encontrarlas puede ser muy costoso, incluso usando potentes ordenadores. El algoritmo conseguido por Alison y Ailsa allanaba de manera muy eficiente esta búsqueda.

Tras su estancia en Londres, Alison volvió a Australia, en donde consiguió un puesto en la Universidad de Melbourne. Fue entonces, cuando en colaboración con el sociólogo Ronald Henderson, se propusieron medir la pobreza en Australia. Así, midieron los ingresos necesarios para cubrir las necesidades de una familia de dos adultos y dos hijos. Sus resultados se usaron desde entonces para medir los índices de pobreza en el país.

No fueron estas las únicas contribuciones, también trabajó con su marido, el químico Richard Harcourt, en varios artículos, y en colaboración con el estadístico Malcolm Clark señalaron una serie de irregularidades en el sistema electoral que llevaron al gobierno australiano a una serie de reformas.

No puede decirse que la influencia de sus resultados matemáticos haya sido pequeña. Alison Harcourt está jubilda desde 1994, aunque sigue activa supervisando estudiantes (en el video que mencionamos anteriormente se la puede ver trabajando con sus estudiantes).

Cuando Alison Harcourt reflexiona sobre su trayectoria y las dificultades para que una mujer desarrollara en su tiempo una carrera científica (ser una o dos en una clase o en un departamento) dice que aunque se han conseguido mejoras importantes, todavía queda mucho camino para romeor la brecha de género. Ella es sin duda un magnífico ejemplo para todos de lo que hay que hacer para conseguirlo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Las matemáticas se han ido acercando en los últimos años a los museos científicos, rompiendo la idea prrestablecida de que no es una disciplina apropiada para tales establecimientos científicos. La última iniciativa es la del Museo de la Ciencia de Valladolid, brillantemente dirigido por Inés Rodríguez Hidalgo.

Museo de la Ciencia de Valladolid

El museo ha inaugurado una nueva sala permanente con el sugerente nombre de ‘Malditas Matemáticas… ¿o no?’.  El visitante que acede a esta sala se encontrará con un panel con dedicatorias de 45 matemáticos y matemáticas españoles. A continuación, podrá comenzar su visita que le llevará por siete espacios diferenciados: Un1v3rs0 num3r1c0, Descubriendo figuras, Perplejidad, Emboscadas de la lógica, Azar y estadística desafían la intuición, En busca de una solución y MateMatizArte. En total, unos 50 módulos interactivos.

En cada uno de estos entornos encontrará juegos, retos, como “circular sobre un triciclo de ruedas cuadradas, se convertirá en un enano o un gigante en la mágica ‘habitación de Ames’,  aprenderá cómo pasar una varilla recta por una rendija curva o descubrirá por qué las mayoría de las tapas de alcantarilla son circulares.”

Habitación de Ames

El número pi tiene una presencia singular, como no podía ser menos, y allí estarán escritos los 850 primeros decimales, porque es bien sabido que en su inacable sinfonía decimal cabe cualquier número que nos imaginemos.

Puesto que los elementos audiovisuales son una gran carencia habitualmente en matemáticas, la sala incluye una serie de vídeos que muestran “la presencia de las Matemáticas en la naturaleza y en las artes; y diferentes aplicaciones informáticas que retan, por ejemplo, a colorear un mandala siguiendo el teorema de los cuatro colores, a comprender el famoso concurso ‘Monty- Hall’ o a resolver el problema del salto de caballo de ajedrez.”

Las mujeres matemáticas tienen su presencia destacada con figuras como Hypatia, Pitágoras, Ada Byron o Maryam Mirzakhani.

En este enlace se puede encontrar un video de la noticia en la televisión autonómica de Castilla y León  con una entrevista a su directora.

Nos parece además importante que el Museo haya recurrido al asesoramiento de los profesores de matemáticas, a través de la Sociedad Castellana y Leonesa de Profesores de Matemáticas Miguel de Guzmán (SOCYLEM). Esta colaboración será así muy útil para que los profesores puedan usar el Museo como acompañamiento a sus enseñanzas, dentro de lo que se llaman enseñanzas no regladas.

Digamos finalmente que la sala ha podido ponerse en marcha con la ayuda de la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT) – Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades- y del proyecto Inversión Financieramente Sostenible del Ayuntamiento de Valladolid.

A partir de ahora, todos aquellos que quieran saber más sobre las matemáticas tienen una visita obligada en Valladolid, a orillas del Pisuerga.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).