Matemáticas y sus fronteras

Hemos comentado algunas veces la importancia de la internacionalización de la ciencia en general, pero también de las matemáticas en particular. Analizaremos este tema en el caso de las matemáticas en esta entrada y en algunas más que iremos publicando en los próximos días.

Las Etimologías

Esta internacionalización va en dos direcciones:

1) La de la investigación en sí, basada en la colaboración con matemáticos de otros países así como en la presencia de matemáticos extranjeros en nuestras universidades y centros de investigación. A esto se le añade la presencia de españoles en comités editoriales de revistas así como en los comités científicos de congresos relevantes o comités de premios.

2) La institucional, que consiste básicamente en la representación en las sociedades internacionales, como la Unión Matemática Internacional (IMU en sus siglas inglesas) o la Sociedad Matemática Europea (EMS), por citar dos de los ejemplos más conocidos. Esta representación tiene dos caras: la de las sociedades matemáticas españolas, pero también, y muy relevante, la de país.

Nos centraremos ahora en la la internacionalización de la investigación y dejaremos para más adelante la institucional.

Las matemáticas en España no son una ciencia que haya pasado ignorada a lo largo de la historia, por su importancia en el sistema educativo, pero solo hasta tiempos recientes su papel ha sido relevante en lo que atañe a la investigación. Nos gusta remontarnos a los tiempos en que los árabes introducen sus conocimientos matemáticos en la Península, pero ya San Isidoro de Sevilla (556-636, nacido en Cartagena y fallecido en la ciudad que le prestó su nombre), en su obra magna, Las Etimologías, incluye en su libro tercero el Quadrivium, que incluye las matemáticas, geometría, música, y astronomía. Isidoro de Sevilla dice cosas como esta: “MATHEMATICA Latine dicitur doctrinalis scientia, quae abstractam considerat quantitatem”, o esta: “DE VOCABVLO ARITHMETICAE DISCIPLINAE. [1] Arithmetica est disciplina numerorum. Graeci enim numerum ARITHMON dicunt.” Y son el Trvium y el Quadrivium los pilares sobre los que se articulan las universidades europeas.

Y no debemos olvidar la Escuela de Traductores de Toledo, que durante los siglos XII y XIII desarrolló una labor extraordinaria para acercar a Europa los conocimientos de los griegos y los árabes, una Europa que hasta entonces se había alimentado casi exclusivamente de la cultura latina.  El procedimiento en la Escuela era el siguiente: un judío o cristiano conocedor del árabe traducía la obra original al romance oralmente ante un experto conocedor del latín que, a continuación, iba redactando en esta lengua lo que escuchaba. En la época de Alfonso X, el gran impulsor de la Escuela, los libros eran traducidos por un traductor experto en varias lenguas, y después revisado adecuadamente. Y entre estas obras estaban, por supuesto, las de los grandes matemáticos de entonces.

Libro de los Juegos, Alfonso X el Sabio

Una consecuencia de ese desarrollo temprano de las matemáticas (observemos que la Escuela de Toledo podría tomarse como un auténtico centro de internacionalización de la ciencia) es que si uno va al mapa de MacTutor (Birthplace Maps Index)  uno encuentra sobre todo nombres judíos o árabes aparte de los españoles del siglo XX (Pedro Abellanas, Alberto Dou, Pedro Puig Adam, Julio Rey Pastor, Sixto Rios, Lluis Santalo, Ferrán Sunyer y Manuel Valdivia).

La historia de las matemáticas españolas conocen un éxito fulgurante durante el reinado de Felipe II, que crea la Academia Real Mathematica, el 25 de diciembre de 1582, por iniciativa de Juan de Herrera. Esta Academia, antecesora de la actual Real Academia de Ciencias, tenía como objetivo “integrar a los más destacados geógrafos, astrónomos, arquitectos, ingenieros, especialistas militares y otros hombres notables con ocupaciones relacionadas con las ciencias matemáticas, en orden a buscar la aplicación práctica de sus conocimientos al servicio de la Corona”.  Y también tuvo su papel de internacionalización ya que atrajo a especialistas de toda Europa. Lamentablemente, como ocurre muchas veces en nuestro país, la iniciativa terminó por orden de Carlos III en 1783, con una ciencia muy afectada por la expulsión de judíos primero, y jesuítas después.

En las líneas precedentes hemos hecho un recorrido por tres grandes iniciativas relacionadas directamente con las matemáticas, pero también con la internacionalización de la ciencia.

Y a pesar de personajes tan decisivos como Jorge Juan y Antonio de Ulloa en el siglo XVIII, las matemáticas como tema de investigación no van a encontrar un buen caldo de cultivo en nuetsro país. Por supuesto, hay nombres que han hecho grandes contribuciones, pero casi siempre desde una perspectiva local o nacional. La investigación matemática española internacional ha de esperar a los años 1970 y 1980 del siglo XX para tomar cuerpo de naturaleza. Lo contaremos en una próxima entrada.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

“Para los biólogos, fue un arquitecto de la ‹síntesis moderna› que utilizó modelos matemáticos para integrar las leyes de Mendel con las teorías de la selección biológica de Charles Darwin. Para los psicólogos, Fisher fue el inventor de varias pruebas estadísticas que se deben usar siempre que sea posible en las revistas psicológicas. Para los granjeros, fue el fundador de investigaciones en la agricultura, y salvó a millones de morir de hambre a través de programas racionales de cultivo.”

Geoffrey Miller sobre Ronald Fisher

Hemos hablado ya varias veces de uno de los grandes personajes de la Estadística, Ronald Fisher, y toca ya presentarlo con todos los honores en Matemáticas y sus fronteras. Mi interés creció cuando buscando materiales para contar sus logros, encontré este artículo titulado: Why the Father of Modern Statistics Didn’t Believe Smoking Caused Cancer. Parecía realmente contradictorio con la obra de Fisher.

Ronald Fisher, 1913

Sir Ronald Aylmer Fisher nació el 17 de febrero de 1890 en Londres, y falleció el 29 de julio de 1962 en Adelaide, Australia.  Su hermano gemelo murió durante el parto. A lo 7 años, asistía ya a conferencias de astronomía, y tras entrar en la Universidad de Cambridge, publicó su primer artículo científico, en el que introdujo el concepto de la estimación por máxima verosimilitud.

Ronald Fisher, niño

Fisher era corto de vista, y aprendió a razonar con pruebas geométricas como sustituto de las pruebas escritas. Tenía un carácter endiablado, era un polemista terrible, pero su genialidad era indudable. Uno de los problemas con sus logros matemáticos era la dificultad en seguir sus argumentos, ya que para él el tema estaba claro desde el primer momento.

Aunque Fisher fue inspirado por los extraordinarios trabajos estadísticos de Karl Pearson, tuvo un grave enfrentamiento con él. Fisher fue capaz de probar en pocos días un problema que Pearson solo fue capaz de resolver en caoso particulares, y en principio rehusó publicarlo en Biometrika. Cuando finalmente Pearson accedió a publicarlo, incluyó una nota a pie de página más larga que el propio artículo. La pelea estaba servida, y continuó tras la muerte de Karl Pearson en la persona de su hijo Egon Pearson.

Fisher, en su graduación

Otra polémica terrible surgió, como hemos contado en la entrada Weldon y Pearson contra Bateson, un conflicto que Mendel no hubiera imaginado  tras el rededescubrimiento de los trabajos de Mendel. Por cierto, que Fisher criticó con dureza los cálculos de Mendel afirmando que éste los había retocado.

Son muchísimos los conceptos nuevos que Fisher introdujo en Estadística, y no solo conceptos, si no también terminología: varianza, estimación, diseño de experimentos, inferencia, bayesiano, teoría de la información de Fisher, genética de poblaciones, etc.

En la entrada Cuadrados latinos ya nos hemos referido a los experimentos que Fisher diseñó en la estación agrícla de Rothamsted Research, donde desarrolló el análisis de la varianza para analizar los inmensos datos de sus cultivos desde 1840, en particular la relación entre las precipitaciones y las cosechas de trigo.

Tabaco y cáncer: la última polémica

En la primera mitad del siglo XX, en Inglaterra se comenzó a estudiar las causas del cáncer del pulmón, relacionando este tipo de cáncer con el tabaco. En los años 1950 del pasado siglo, la conclusión fue que había una correlación muy estrecha entre fumar y padecer cáncer de pulmón. Pero Fisher, un fumador habitual de pipa, reaccionó con dureza, afirmando que cirrelación no siempre implica causalidad. Y decidió tomar causa pública a favor del tabaco, combatiendo las conclusiones de los estudios técnicos. Por supuesto que, hoy en día, nadie duda de que el fumar es la causa principal del cáncer de pulmón. Para no dar su brazo a torcer, Fisher murió de cáncer, pero no era de pulmón.

Ronald Fisher fumando en 1956

Y dejó una lección sobre las dificultades entre correlación y la causalidad, lección que hoy deberíamos recordar ante la avalancha de noticias que no tienen en cuenta la línea frágil entre ambos conceptos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Nos hemos referido en anteriores entradas a dos temas que son los protagonistas de uno de los conflictos más ácidos en la ciencia británica de la primera mitad del siglo xx. En Mendel, el de los guisantes,  comentamos como las leyes de la herencia genética promulgadas por Gregor Mendel cayeron en el olvido hasta que fueron redescubiertas muchos añs más tarde. Y en las últimas entradas, hemos narrado el nacimiento de la Biométrica. La controversia mendelianos-biometricistas estaba servida.

William Bateson (1881-1926)

Esta polémica fue el resultado de sustantivas diferenicas sobre la teoría, la metodología y las técnicas de investigación. Pero fue más, porque también intervinieron los conflictos personales.

Recordemos que el trabajo de Mendel fue ignorado hasta 1900, cuando los científicos Hugo de Vries, Carl Correns, Erich von Tschermak y William Bateson, “redescubrieron” los postulados del monje agustino sobre la herencia, denominándolos “leyes de Mendel”.  Pero las rencillas venían de atrás. Como ocurre en muchas disputas científicas, Bateson y Weldon tuvieron una buena relación, agradeciéndose uno a otro la ayuda en numerosas ocasiones. Sus investigaciones iban en paralelo, ambos interesados en la zoología marina.

En 1890 comenzaron a diverger al apostar por diferentes interpretaciones de la teoría de Darwin en lo que se refería a las variaciones biológicas y a la herencia. Weldon adoptó las tesis de Galton, mientras que Bateson prefería estudiar las variaciones excepcionales. En 1895 una disputa en Nature sobre los orígenes de la planta cineraria comenzó a cimentar el desencuentro con amargas acusaciones que iban ya a lo personal. Y en 1900 estallaron con el redescubrimiento del trabajo de Mendel. Y fue en 1906, tras la muerte de Weldon, cuando Pearson entró ya a todo trapo para avivar el enfrentamiento.

Las dos visiones sobre la herencia chocaron, probablemente porque ninguno supo entender el lenguaje de su opositor. Mientras que podría decirse que Weldon se quedó en lo más ortodoxo del darwinismo, defendiendo que debían usarse métodos estadísticos para estudiar las pequeñas variaciuones iundividuales en una población grande, Bateson defendía que las grandes variaciones eran las que llegaban a producir nuevas especies.

Gregor Mendel (1822-1884)

Lo curioso es que ambos venían de un cuerpo común de la ciencia, habían estudiado las mismas cosas, y tampoco Bateson era un enemigo de las nuevas técnicas estadísticas que también usó en algún momento. Este enfrentamiento que podríamos decir entre la Genética y la Biología tuvo otra componente, la lucha por el control de la disciplina dentro de la Royal Society. Un incidente entre Pearson y Bateman fue demoledor. Pearson había publicado una buena cantidad de artículos con el título general de “Mathematical Contributions to the Theoty of Evolution”, con un gran contendido matemático o prácticamente, artículos matemáticos. Y Bateman fue el referee de uno de ellos, a finales de 1900. El conflicto fue enorme, y es de hecho, tal y como comentamos en la entrada Raphael Weldon, el tercer fundador de Biometrika, el origen de la creación de Biometrika.

William Bateson

Una de las consecuencias de los duros ataques de Bateson fue que los biólogos británicos comenzaron a ver que en cierta medida, las teorías de Weldon y Bateson eran necesarias para un mejor entendimiento de las leyes de la herencia. Pero como suele ocurrir en estos casos, la disputa pasó a estudiantes y colegas, cuando lo más productivo hubiera sido trabajar para una integración de ambos puntos de vista. Y otro gran estadístico, R.A Fisher entró en liza. Fisher y Pearson tuvieron un buen comienzo, pero un artículo en Biometrika crítico con algunas de las hipótesis de Fisher desató otra guerra en 1916-18. E ítem más, el artículo de Fisher en el que mostraba como la biométrica y el mendelianismo eran compatibles, fue rechazado en Biometrika en 1918. Pearson decía: “lo siento pero no soy un creyente en que los factores mendelianos acumulativos sean la solución del puzle hereditario”.

Ronald A. Fisher (1890-1962)

PD Un excelente y extendo artículo sobre esta controversia se puede encontrar en el artículo “Controversy and Conflict in Science: A Case Study- The English Biometric School and Mendel´s Laws”, de Lyndsay A. Farrel, publicado en Social Studies of Scienve, Vol. 5, No. 3 (1975), 269-301.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Hemos comentado en Matemáticas y sus fronteras la vida y obra de dos excelentes estadísticos, Francis Galton y Karl Pearson. Hoy queremos traer a este blog a la tercera pata del trío que fundó una de las revistas claves en el estudio de las aplicaciones de la estadística a la biología, el biólogo Raphael Weldon.

Raphael Weldon

Raphael Weldon nació el15 de marzo de 1860, en Highgate, un barrio de Londres. Era hijo de un químico y periodista, Walter Weldon, cuyo trabajo le obligaba a cambiar con frecuencia de domicilio. Eso obligó a que tuviera un tutor particular, al no poder asistir a la escuela con regularidad, hasta los trece años. A los dieciséis, entró en el University College de Londres, donde se preparó para unos futuros estudios de medicina. Pero también estudió muchas matemáticas, para las que estaba muy dotado.

Sin embargo, fue la Zoología lo que le interesó más, y se garduó finalmente en Ciencias Naturales. Su primer trabajo fue en la Estación Zoológica de Napóles, siendo en 1882 contratado por la Universidad de Cambridge. Se casó en 1883 con Florence Tebb, quién le ayudó mucho en sus proyectos científicos, acompañándolo en sus vacaciones que dedicaba al estudio en entornos donde podía estudiar la biología marina.

Especímen recogido por Raphael Weldon

La investigación de Weldon fue cambiando del estudio de la morfología a la de las variaciones y las correlaciones. Para ello, comenzó a utilizar las técnicas estadísticas desarrolladas por Francis Galton aplicadas a sus invertebrados maribos (camarones y cangrejos), y comenzó a trabajar con su colega de universidad, Karl Pearson. Weldon quedó convencido de que “el problema de la evolución animal es esencialmente un problema estadístico”.

En su artículo de 1894, Some remarkand animals arising from the work of the Royal Society Committee,s on variation in plants , Weldon escribió:

“… las preguntas planteadas por la hipótesis darwiniana son puramente estadísticas, y el método estadístico es el único obvio existente por el que esa hipótesis se pueda comprobar experimentalmente.”

La colaboración con Pearson continuó aunque Weldon se trasladó en 1899 a la Universidad de Oxford.

Una polémica en la que se vio envuelto fue el redescubrimiento en 1900 del trabajo de Mendel (veáse la entrada de este blog, Mendel, el de los guisantes). El conflicto se produjo entre Weldon y Peearson por un lado, y William Bateson, por otra. Este conflicto se suavizó tras la muerte de Weldon en 1906, pero continuó hasta los años 1930s. Daremos detalles de este asunto en uan entrada posterior.

Raphael Weldon, elegido académico de la Royal Society

Fue Weldon quien le propuso a Pearson crear una revista dedicada a la biométrica, en una carta del 16 de noviembre de 1899. Y el desencadenante fue precisamente una crítica muy dura de Bateson a un artículo de Pearson. Weldon decía:

“El argumento de que los números no significan nada y no existen en la Naturaleza es algo muy serio, que habrá que combatir. La mayoría de la gente ha ido más allá, pero la mayoría de los biólogos no. ¿Crees que sería demasiado desesperadamente caro fundar una revista?”

En este enlace se puede leer con detalle los orígenes de la revista.

En 1906, cuando Weldon pasaba unas vacaciones con su esposa en Woolstone, contrajo una neumonía. Como no quería dejar su trabajo y reposar, la enfermedad se fue agravando, y finalmente causó su muerte.

Esta de Pearson es la mejor descripción que podría darse de Weldon: “Él era por naturaleza un poeta, y éstos dan lo mejor a la ciencia, porque dan ideas.”

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Hace unos días leí la última entrada del magnífico blog de Timothy Gowers, titulada The fate of combinatorics at Strathclyde. Gowers, medallista Fields en, cuenta que ha recibido un email de Sergey Kitaev, uno de los tres matemáticos dedicados a la Combinatoria en la Universidad de Strathclyde, que trabajan en el Departamento de Informática, informándole que la universidad ha decidido eliminar esta especialidad. En su breve entrada, Gowers informa que el problema está perfectamente resumido en otra entrada del blog de Peter Cameron. En lo que sigue trataremos de explicar el problema.

En esta universidad escocesa de Glasgow trabaja un excelente grupo de Combinatoria, formado por los matemáticos David Bevan, Sergey Kitaev y Einar Steingrímsson. Este grupo está incluido en el Departmento de Ciencias de la Computación y la Información, departamento que ha emprendido un plan de futuro, estratégico, en el que la combinatoria parece no tener sitio.

De hecho, se refiere literalmente que este tema no tiene una influencia en las tareas de la universidad, y que este  campo puede ser cubierto por otros profesores de análisis de datos o ciberseguridad. Se aduce también que estos tres matemáticos no consiguen proyectos de los de un millón de libras, y por tanto, no son necesarios y la combinatoria debe desaparecer de la universidad.

El informe del director del departamento obvia que este grupo es el responsable de una gran parte de la producción científica de más calidad, que han conseguido casi un millón de libras en proyectos en los últimos cuatro años, y que han contribuido con cursos a que el resto del departamento haya adquirido la formación necesaria para ser más competitivos.

Este problema, comenta Cameron, está ocurriendo en otras universidades británicas, al pensar que las matemáticas básicas no son necesarias o pueden adquirirse por otros medios.

Decir que la combinatoria no es útil es una preocupante muestra de ignorancia, ya que es una de las disciplinas más útiles en informática y en análisis de datos. Se aplican además a los sistemas dinámicos, la física estadística, teoría de códigos, o problemas de investigación operativa.

La reflexión que podemos hacernos es si los matemáticos estamos haciendo llegar de manera eficiente la utilidad de las matemáticas al resto de los científicos y a los que deben tomar las decisiones de política científica. Vivimos en España unos momentos en los que las matemáticas están muy presentes, pero también llegan noticias de falta de aprecio en la toma de algunas decisiones. Que las matemáticas son fundamentales, lo sabemos los matemáticos, lo saben muchos o la mayoría de nuestros colegas científicos, pero quizás falta un punto de estrategia para convencer a los que toman las decisiones. Podemos estar asistiendo a una burbuja matemática y no sería de gente inteligente dejar que fuera así.

Tenemos foros donde se puede mostrar el valor de las matemáticas. Por ejemplo, la Alianza SOMMA es un foro muy desaprovechado. Si el ICMAT fue activo en las reuniones de centros Severo Ochoa y María de Maeztu, estos cuatro últimos años  su presencia es puramente testimonial ante la falta de compromiso de sus actuales responsables. Y el BGSM ya no será unidad María de Maztu, con lo que los efectivos disminuyen. Por otra parte, la Red Estratégica de Matemáticas afronta también problemas para su continuidad. Creo que toca reflexionar.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

La lectura del libro Los sueños de Einstein, de Alan Lightman, me ha llevado a querer saber más del personaje que acompaña a Albert Einstein en los interludios de la obra, Michele Besso, un personaje real y uno de los grandes amigos del sabio alemán a lo largo de toda su vida.

Michele Besso y sus esposa

Eisntein y Besso se conocieron en el entonces Instituto Politécnico Federal de Zürich, hoy el ETH, cuando Albert era un estudiante. Entró en la Escuela en 1896 graduándose en 1900. En ese tiempo, de hecho hasta 1901, pasó los tres meses de vacaciones escolares en Milán. En esas estancias, pudo continuar su contacto con Michele Besso, un ingeniero seis años mayor que él con el que mantenía interesantes discusiones sobre ciencia.

Einstein consigue su primer empleo en la Oficina de Patentes de Berna en 1902, y puede seguir su amistad con Besso desde 1904 ya que este también se traslada a esa ciudad. La influencia de Besso sobre su amigo no es asunto de conjeturas. En su artículo sobre la relatividad especial en 1905, Zur Elektrodynamik bewegter Körper («Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento») Einstein incluyó una frase de agradecimiento a su amigo: “En conclusión, debo decir que mi amigo M. Besso me apoyó firmemente en mi trabajo sobre el tema discutido aquí, y que estoy en deuda con él por varias sugerencias valiosas”.

Einstein y Besso

No acaban aquí los agradecimientos a su amigo. Unos años después, en una conferencia en Kyoto y rememorando aquellos años, Eisntein decía: “Afortunadamente, un amigo mío que vivía en Berna me ayudó. Hablé varias veces con él sobre este tema, y fruto de estas discusiones, llegó de repente la inspiración.”

Bello también recuerda esos tiempos, y le escribe una carta a Einstein (contestación a otra suya) lo siguiente: “Por mi parte, fui tu público en los años 1904 y 1905; ayudándote a editar tus trabajos sobre los quamta te privé de algo de tu gloria, pero por otra parte, te conseguí en Planck a un amigo”.

Carta de Einstein a Besso

La importancia de esa amistad surgida sobre todo en los contactos milaneses vacacionales, es analizada profundamente en el artículo “Einstein and Besso. From Zürich to Milano”, de Christian Bracco.

El libro de Alan Lightman (y fíjense en este apellido) recoge esas conversaciones sobre la ciencia que, tras trabajar, mantenían Einstein y Bello. Durante las noches, Lightman imagina a un Einstein de ficción que sueña con mundos en los que el tiempo se rige de maneras diferentes. En un mundo, el tiempo se congela en el momento en el que somos más felices, en otro, el tiempo transcurre hacia atrás o bien avanza más rápido en un barrio que en otro. Sueña también qué sucedería si conociéramos el fin del mundo de antemano, si no tuviéramos recuerdos o si no tuviéramos futuro.

Albert y Michele mantuvieron esa amistad toda su vida, y se conservan mucha sde las cartas que se escribían. Cuando Besso muere en 1955, Eisntein escribe una carta a su familia, pocas semanas antes de que el propio Einstein muera. La carta termina con esta frase: “Ahora me ha precedido en la partida desde este extraño mundo. No tiene importancia. Para gente como nosotros, que creemos en la Física, la separación entre presente, pasado y futuro tiene solo la importancia de una, hay que reconocerlo, tenaz ilusión”.

Ojalá Albert y Michele compartan uno de los tiempos imaginados por Lightman que les permita una conversación interminable sobre la ciencia y la vida a orillas del río Aare.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

“En muchos casos, una demostración farragosa puede ser sustituida por una geométrica análoga, tan simple y bella que la veracidad de un teorema es casi vista en una ojeada”, Martin Gardner, 1973

Los Libros de la Catarata, la Federación Española de Profesores de Matemáticas y el Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC continúna su colaboración editorial con un nuevo título de la colección Miradas Matemáticas,  y  esta vez es el turno de Demostraciones visuales en matemáticas. Ver para pensar, de Ana Carvajal Sánchez y José Luis Muñoz Casado.

Ya hemos reseñado en Matemáticas y sus fronteras los volúmenes que han ido apareciendo desde la puesta en marcha de Miradas Matemáticas, una colección que trata de combinar divulgación y didáctica con el fin de acercar la disciplina tanto a los profesores como a cualquier persona que guste de la ciencia.

En este libro se aborda uno de los temas más populares de las matemáticas, las llamadas demostraciones visuales. Recordemos el dicho de “una imagen vale más que mil palabras”, aunque en este caso, la palabra demostrcaión debe entenderse de una manera más informal: las imágenes ayudan pero no pueden sustituir a la prueba formal sin la que las matemáticas perderían su esencia (Euclides ya nos lo adelantó, veáse la entrada Dibujos que ayudan a probar teoremas).

¿Cuá es la suma de esta serie?

Como se dice en la descripción del libro, “las imágenes siempre han sido un poderoso recurso para, entre otras funciones, transmitir información o representar la realidad. En las matemáticas, la realización de esquemas, diagramas, dibujos, etc., sirve para mostrar o ejemplificar complejas ideas matemáticas de forma sencilla. Este libro es una introducción a las llamadas demostraciones visuales en matemáticas. Aunque no son estrictamente demostraciones formales, se trata de imágenes que permiten visualizar con claridad ciertas propiedades o teoremas, comprender y resolver mejor los razonamientos y problemas matemáticos y estimular la generación de ideas.”

Hablamos pues de demostraciones sin palabras, que la imagen lo diga todo. En el libro se traza un recorrido histórico de las demostraciones visuales, que se remontan a la antigua China, la Grecia clásica o la India del siglo XII.

El Teorema de Pitágoras ha sido siempre un referente en este tema, ya lo citamos en una anterior entrada, Perigal, el británico que incluyó su demostración del Teorema de Pitágoras en sus tarjetas de visita, pero añadimos ahora este video que nos muestra en un minuto seis demostraciones visuales del teorema

Sobre los autores

Ana Carvajal Sánchez es matemática, especialista en metodología y didáctica de las Matemáticas en las etapas de Educación Infantil, Primaria y Secundaria. Es autora y editora, y compagina su oficio con su actividad de formación a estudiantes y docentes.

Ana Carvajal Sánchez

José Luis Muñoz Casado es matemático y posee el título de máster en Investigación matemática. Ha escrito varios libros y artículos en diversas revistas de educación matemática. Coordina la sección “CreoGebra” de la revista SUMA y es el actual presidente de la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemática.

José Luis Muñoz Casado

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Si en la entrada anterior trazábamos una breve reseña de Sir Francis Galton, no podemos menos que hacer lo mismo con su discípulo favorito, Karl Pearson (antiguamente llamado Carl Pearson).

Karl Pearson

Karl Pearson nació el 27 de marzo de 1857 en Londres, ciudad en la que falleció eñ 27 de abril de 1936. Es uno de los nombres vinculados aa las aplicaciones de la estadística a la biología y al nacimiento de la bioestadística, aunque con ello tuvo que poner en marcha nuevos conceptos de la propia estadística.

Carl Pearson nació en una familia de clase media-alta, con un hermano mayor que él y una hermana más joven, y ese fue su mombre original, Carl, que luego cambió a Karl a los 23 años, probablemente por admiración hacia Karl Marx. Hasta los nueve años fue educado en su casa, y luego pasó a la University College School de Londres hasta los dieciséis años. Debido a una enfermedad se le asignó un tutor privado que completó su educación, ganando una beca en el prestigioso King’s College, de la Universidad de Cambridge.

Pearson tuvo unos profesores excelentes, algo importante para conseguir una carrera científica exitosa, nada menos que Stokes, Maxwell, Cayley, Burnside y Routh. Pero el joven Carl tenía una mente inquieta y se interesaba tambiñen por la religión y la filosofía, y él mismo decía de aquellos años de formación: “En Cambridge estudié Matemáticas, pero leía las obras de Spinoza”. Es interesante como todos estos grandes científicos que han hecho contribuiciones excepcionales tenían además una excelente formación en humanidades.

Tras sus estudios en Cambridge, finalizados en 1879, se trasladó a Alemania, para estudiar Físca y Metafísica en la Universidad de Heilderberg. Visitó también la Universidad de Berlín, donde estudió Leyes, Historia Medieval, Lieratura Alemana. De hecho, cuando volvió a Inglaterra, la Universidad de Cambridge le ofreció un puesto de profesor en Literatura Alemana. Una de sus obras es The New Werter, influenciado por la obra de Goethe. Además de todo esto, se dedicó a estudiar Derecho, aunque no ejerció nunca como abogado. En 1885, obtiene un puesto de catedrático de matemáticas en University College, donde se gana una fama de buen profesor aunque algo heterodoxo. Una de sus publicaciones de la época es la terminación de un libro de Clifford, The Common Sense of the Exact Sciences, y otro de Todhunter, History of the Theory of Elasticity.

A la vez, sigue interesado en la ética e historia del cristianismo. En 1885 fundó el Club de Hombres y Mujeres, un foro de debate, en el que conoce a la quería su esposa, Maria Sharpe, con la que tuvo tres hijos. María murió en 1928 y al año siguiente Karl se casó con una colega de la universidad, Margaret Child.

Distribución Chi cuadrado

Y es en 1890, con 33 años y sin haber nunca estudiado la estadística. Y este interés es debido a Francis Galton, quien publica su libro Natural Inheritance en 1889. A esto se le añade la llegada de un nuevo profesor a su universidad, Weldon, un zoólogo. Pearson, animado por Weldon, se interesa por las matemáticas que describen los procesos de la herencia y la evolución, y publica una serie de artículos sobre el análisis de regresión, coeficiente de correlación e introduce el test del chi-cuadrado.

En este video se puede ver precisamente una explicación de la distribución chi cuadrado:

En la entrada sobre Galton, El matemático que quiso medir la inteligencia, contamos que la revista Biometrika fue fundada por Galton, Weldon y Pearson. La historia detrás de esta fundación merece conocerse. Pearson presentó un artículo la Royal Society, pero los biólogos de la Academia no gustaron mucho de su análisis matemático y lo rechazaron. Fue entonces cuando Weldon le sugirió crear su propia revista, y así nació Biometrika.

Karl Pearson en 1910

Galton le puso a cargo de su oficina para la eugenesia, y a ella unió su Laboratorio de Biométrica, así que formando así el Departamento de Estadística Aplicada de la University College. Su admiración por Galton hizo que a su muerte en 1911, Pearson se propuso hacer su biografía en forma de tres volúmenes publicados en 1914, 1924 y 1930, libros para cuya impresión Pearson tuvo que poner su propio dinero.  La eugenesia tuvo una fuerte implantación en los tiempos de Galton y Pearson, apoyada por muchos científicos e intelectuales, y que en gran medida asumió el nazismo. La idea de  la selección artificial de seres humanos hoy en día está abandonada. De hecho, muchas de las afirmaciones de Galton o Pearson sobre el tema causarían hoy en día un escándalo público.

Les dejamos con un breve video sobre Karl Pearson

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Uno de los grandes nombres en la historia de la Estadística es Sir Francis Galton, nacido el 6 de febrero de 1822 en Sparkbrook (Birmingham), y fallecido el 17 de enero de 1911 en Haslemere, Surrey. Trazaremos en esta entrada una breve reseña de su vida y obra.

Francis Galton

La familia de los Galton eran cuáqueros, dedicados a la fabricación de armas y a la banca, emparentados con la familia de los Darwin, dedicados estos a la medicina y a la ciencia. Francis Galton fue un niño prodigio, que dominaba las lenguas clásicas y aritmética a los cinco años. Comenzó los estudios de medicina pero se cambió enseguida a los de matemáticas en el Trinity College, de la Universidad de Cambridge, desde 1840 hasta 1844. Aunque al finalizar quiso volver a la Medicina, la muerte de su padre que le legó una considerable fortuna, le llevó a no depender más de una profesión. Fue entonces cuando se desató su pasión viajera. Como viajero, Galton cosechó muchos éxitos, y fue premiado por la Royal Geographical Society y por la Sociedad Geográfica francesa por sus contribuciones cartográficas.

Su trayectoria vital presenta dos etapas bien diferenciadas. En la primera, estuvo entretenido en la exploración del continente africano, escribiendo sobre sus viajes, y dedicado a la geografía y la meteorología. Su segunda etapa comienza cuando lee la obra de su primo Charles Darwin, El Origen de las Especies. Impresionado por la teoría de la evolución, comienza a interesarse en los factores que determinan la inteligencia y la personalidad, que a su entender, deben tener una gran componente hereditaria. Y así se dedica al estudio de la antropometría, el papel de la psicología, promueve la eugenesia, y para hacer todo esto, funda lo que ahora se llama Biometría, e inventa dos de los instrumentos esenciales de la Estadística, la correlación y el análisis regresivo. Es esta segunda etapa la que lo consagró en el mundo de la ciencia, y especialmente, en el de la Estadística.

Diagrama de correlación de Galton, 1875

Galton estudiaba muchos aspectos de los seres humanos, desde las características mentales hasta las faciales y los dibujos de las huellas dactilares. Su pregunta era como intervenían la herencia y el ambiente en la formación de una persona. Esto le llevó a recolectar una enorme cantidad de datos que después debía tratar estadísticamente. Publicó sus hallazgos en el libro Hereditary Genius, en 1865, en el que defendía que el genio es fundamentalmente una cuestión de herencia.

Trabajando en varios experimentos con semillas de guisantes, Galton define lo que en principio llamó reversión, y luego regresión, aunque no llegaba a entender completamente las matemáticas encerradas en el concepto. En el siguiente video se explica la llamada regresión a la media.

En 1884-85 se celebró en Londres la International Health Exhibition, y Galton diseñaltura, peso, medidas de personas: pletamente las matemen el que defendue le legregunta era como intervendad, que a su entender,ó un laboratorio para realizar medidas de personas: altura, peso, fuerza. Siguió haciendo progresos con la noción de regresión, y es cuando surge además la noción de correlación. Por cierto que este laboratorio continuó después el trabajo y se convirtió en el Laboratorio Biométrico de otro gran nombre de la Estadística, Karl Pearson en la University College.

Francis Galton y Karl Pearson

En 1889 Galton publicó otra obra, Natural inheritance, en la que trataba los conceptos de correlación y regresión.  Este libro tuvo una enorme influencia Karl Pearson, como él mismo confiesa.

Galton recibió muchos honores por todos estos trabajos, el más notable, su nombramiento de caballero en 1909. Recibió también la Medalla Real de la Royal Society, y la Medalal Darwin y la Medalla Copley de esta misma sociedad. Pero también la Medalla Huxley del Anthropological Institute y la Medalla Darwin-Wallace de la Linnean Society.

Uno de las herencias de Galton es Biometrika, revista de referencia en el mundo de la Estradística, fundada en 1901 por Francis Galton, Karl Pearson y Raphael Weldon para promover el estudio de la biométrica.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Un examen de Matemáticas en la Comunidad Valenciana en la llamada ahora Evaluación para el Acceso a la Universidad (EvAU) (antiguamente conocidas como Selectividad) ha servido de detonador de una protesta estudiantil por la aparente dificultad de la misma. Como me he visto implicado en este tema y la mejor manera de hacer llegar el mensaje que quería enviar es hacerlo por uno mismo, aquí van algunas reflexiones.

En este artículo en El País: La dificultad del examen de Matemáticas de Selectividad origina una queja masiva en Valencia se explica con detalle como ha ido creciendo la polémica. Y también en este otro en El diario.es: Este es el examen de Matemáticas II de la selectividad valenciana que ha desatado una ola de quejas por su dificultad. Un alumno, Rubén García Ferrer, a través de la plataforma Change.org, ha iniciado una campaña de recogida de firmas con este texto: “Buscamos soluciones ante el examen más difícil de matemáticas II de selectividad de la Comunidad Valenciana. Se trata del examen más difícil de todos los años. Exigimos una solución ya.”que lleva recogidas casi 42.000 firmas a la hora de publicar esta entrada en Matemáticas y sus fronteras.

Imágenes extraídas de eldiario.es

El pasado 5 de junio, contactaron conmigo desde El Español para conocer mi opinión, y al día siguiente, para mostrar la mayor o menor dificultad del citado examen, se acercaron al Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) para ver sobre un encerado como se podían resolver los problemas planteados en l aprueba. El resultado fue un artículo que el medio tituló Así resuelve en 40 minutos el examen de Matemáticas de Selectividad un doctor del CSIC. Debo decir que los periodistas (todos) buscan titulares que enganchen a los lectores potenciales, y a veces se carga el mensaje en lo que pueda causar más impresión a primera vista. No puedo culparlos, porque el abc de la divulgación te dice que el título de una conferencia o de una entrad de un blog son cruciales para atraer la atención, y así lo suelo hacer en este mismo blog.

Que yo haga ese examen en 40 minutos, o que mi colega y admirado Miguel Ángel Morales, en su estupendo blog Gaussianos confiese hacerlo en 37 minutos (veáse Sobre la polémica por el examen de la PAU 2019 en la Comunidad Valenciana) no tiene la mayor importancia, porque no se trata de hacer ninguna competición matemática, es completamente irrelevante.

Pero sí es muy relevante que este hecho nos sirva para reflexionar si estas pruebas de acceso están funcionando como deberían, si están consiguiendo el objetivo que persiguen (si es que éste está bien definido, porque uno a veces lo tiene que poner en duda), o si es mejor que estas pruebas sean comunes a toda España o que cada Comunidad Autónoma haga las suyas, si los temarios se dan o no se dan al completo, o si estos temarios que se recogen en el BOE en el Real  Decreto  1105/2014,  de  26  de  diciembre,  por  el  que  se  establece  el  currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato  que consta de 378 páginas responde a las necesidades o a lo mejor nos bastaba con algo más sencillo y entendible por el ciudadano, … en fin, son muchas las cuestiones que deberíamos debatir más allá de la mayor o menor dificultad de un examen en concreto.

Porque los destinatarios de este examen no están buscando solo aprobarlo (de hecho, los porcentajes de aprobados en estas pruebas superan el 90%), sino conseguir la nota más alta posible, porque esta va a condicionar no si estudiarán o no una carrera universitaria, sino si podrán cursar la que a ellos les gustaría. Y esa es la causa de la protesta.

Desde ya, afirmo que soy partidario de una prueba única, diseñada por comités en los que haya una participación paritaria de profesores de universidad y profesores de secundaria, que se vigile (para eso deberían estar los inspectores) que se cumplan los temarios, que las calificaciones en los diferentes centros no estén sesgadas (de nuevo, la inspección), de manera que se pueda hablar de una prueba en la que todos compitan en pie de igualdad.

Leo con preocupación la opinión sobre el tema del recién elegido Presidente de la CRUE: “Es un tema que sale siempre en esta época. Son ganas de crear mayor crispación y nerviosismo a las familias. Sobre todo, cuando hablamos de carreras como Medicina, donde entrar o no es cuestión de décimas. Es meter ruido en el sistema.”

Espero que siga el debate, que no se quede esto en una mera anécdota, al menos esa era mi intención cuando acepté expresar mis opiniones.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).