Matemáticas y sus fronteras

El enigma Satoshi Nakamoto

El 31 de octubre de 2008, un desconocido llamado Satoshi Nakamoto publicó un artículo en abierto (un white paper) en una red de criptografía con el título “Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System”, que podría traducirse por “Bitcoin: Un Sistema de Efectivo Electrónico Usuario-a-Usuario”. La revolución del bitcoin había comenzado.

 

Este era el resumen que s epodía leer al comienzo del artículo:

Una versión puramente electrónica de efectivo permitiría que los pagos en línea fuesen enviados directamente, de un ente a otro, sin tener que pasar por medio de una institución financiera. Las firmas digitales proporcionan parte de la solución al problema, pero los beneficios principales se pierden si tiene que existir un tercero de confianza para prevenir el doble gasto. Proponemos una solución al problema del doble gasto utilizando una red usuario-a-usuario. La red coloca marcas de tiempo a las transacciones que introduce en una cadena continua de pruebas de trabajo basadas en el cálculo de hashes, formando un registro que no puede ser cambiado sin volver a recrear la prueba de trabajo completa. La cadena más larga no solo sirve como testigo y prueba de la secuencia de eventos, sino que asegura que está vino desde la agrupación con procesamiento de CPU más grande. Siempre que la mayoría del poder de procesamiento de CPU esté bajo el control de nodos que no cooperan para atacar la red, estos generarán la cadena más larga y llevarán ventaja a los atacantes. La red en sí misma requiere una estructura mínima. Los mensajes son enviados bajo la premisa del menor esfuerzo, y los nodos pueden irse y volver a unirse a la red cuando les parezca, aceptando la cadena más larga de prueba de trabajo, como prueba de lo que sucedió durante su ausencia.

(Por cierto, la traducción del artículo se puede encontrar en esta dirección web).

Una de las bases del bitcoin es la criptografía, disciplina que nació con el fin de poder comunicarse sin que terceras personas fueran capaces de conocer el mensaje incluso aunque tuvieran acceso al mismo. Desde las formas más primitivas que se usaron en la guerra, la política y las transacciones comerciales desde tiempos antiguos, se ha pasado a una criptografía que usa las tecnologías digitales y que está completamente sustentada por las matemáticas.  En este mundo dominado por la Red, laas comunicaciones privadas por correo electrónico y otras plataformas, nuestras transacciones comerciales, nuestra comunicación con las administraciones, se basa en la confianza que nos proporciona la supuest privacidad. Tenemos contraseñas que creemos seguras, pero que de tanto en tanto, demuestran no serlo. Desde la creación del algoritmo RSA de clave pública, basado en la descomposición de un número en sus factores primos, se ha pasado a métodos más sofisticados como las curvas elípticas.

 

El bitcoin usa un algoritmo que se llama SHA-256. SHA son las siglas de Secure Hash Algorithm (o Algoritmo de Hash Seguro). Un hash (hemos hablado de los hash en entradas anteriores, por ejemplo, “La seguridad de nuestras contraseñas“) es una secuencia alfanumérica única que se obtiene al codificar un archivo o un texto. Nosotros podremos recuperar el mensaje original pero la dificultad de hacerlo sin la clave es enorme (aunque la extensión del SHA es siempre la misma). Este algoritmo se usa para generar direcciones web de bitcoin pero además en el propio proceso de generación de los bitcoin (la llamada minería bitcoin).

¿Y cómo se generan los bitcoins? En primer lugar, se tarta de monedas digitales, y a diferencia de lo que puede hacer un banco central de un país imprimiendo dinero (que debería estar garantizado por las reservas de oro del país), el número de bitcoins está limitado a 21 millones de monedas. Cuando se ponen en circulación, se las lleva el primero que sea capaz de resolver un problema matemático (para lo que se precisa de ordenadores con una cierta potencia de cálculo), y en un tiempo limitado, que es de unos diez minutos de media.

 

Los mineros crean registros que contiene todas las transacciones efectuadas y que cualquier usuario de la red puede verificar (lo que se llama una blockchain, la tecnología que surgió del bitcoin). Además, tal y como ocurre con el dinero metálico, un bitcoin no se puede usar simultáneamente en dos transacciones diferentes. Cuando un “minero” observa una transacción, la incorpora a un bloque de datos, y si resuelve el desafío correspondiente (esencialmente, un “elliptic curve digital signature algorithm” (ECDSA)), lo enlaza con bloques previos (eso es el blockchain, archivos que tienen alguna información de otros archivos a los que va enlazado). Así que el blockhain tiene dos ingredientes esenciales: los bloques de información y la red de ordenadores en cada uno de los cuáles está toda la información (esta no está repartida). Es como si el inventario de las transacciones lo contiene todo y está en todos los ordenadores: mayor seguridad sería imposible.

Los bitcoins son monedas y por lo tanto se pueden comprar cosas con ellos en muchos lugares. No solo eso, se pueden intercambiar, transferir, como el dinero ordinario.  Como curiosidad, digamos que la primera compra que se hizo con bitcoins, fueron dos pizzas de ka conocida cadena Papa John’s; el precio estipulado fue de 10.000 bitcoins por 30 dólares. Hoy en día nos podríamos comprar la tienda entera sin ningún problema con esa cantidad de bitcoins.

Volviendo a Satoshi Nakamoto, su identidad sigue sin conocerse. Hay teorías de todo tipo, y se le ha querido reconocer en unos cuantos personajes importantes de la computación. Otros opinan que no se trata de una persona sino de un grupo. Nadie lo sabe por el momento, aunque no cabe duda de que su propuesta el bitcoin (y la tecnología del blockchain) está cambiando nuestro mundo. De hecho, el economista de la Universidad de California en Los ángeles (UCLA), Bhagwan Chowdhry, sugirío en 2016 proponerlo para el Premio Nobel de Economía pero su candidatura fue rechazada por el Comité Nobel ya que no se puede premiar a personas que podrían no existir.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

¿Para que sirven las raíces cuadradas?

Este artículo es una reflexión sobre una entrevista reciente en El País al sr. Miguel Barrero, nuevo director de Educación de la Fundación Santillana, que parece ser lanza esta pregunta al auditorio: “¿Para qué sirve una raíz cuadrada?“ La entrevista, interesante, dejaba dudas sobre lo que realmente estaba detrás de las propuestas de innovación que se hacían, pero frases como esta: “Tener las aptitudes y el conocimiento para seguir aprendiendo a lo largo de la vida es más importante que saber matemáticas”, y otras sobre el papel de la neurociencia en la enseñanza, dejaron preocupados a más de uno.

 

El cálculo de áreas es necesario en la agricultura, y lleva a la obligación de resolver ecuaciones de segundo grado. Resolver una ecuación de segundo grado precisa del cálculo de raíces cuadradas. Esto ya lo sabían hacer los babilonios hace unos 4000 años, y hasta diseñaron un método algorítmico para extraer raíces, como se encuentra en las tablillas en las que escribían. Los egipcios lo hacían en sus papiros hace unos 3500 años, y también los matemáticos de la India hace unos 2500 años.

 

Este procedimiento lo perfeccionaron los árabes, y quizás debamos recordar que resolver ecuaciones de grado superior a 2 fue uno de los mayores problemas en la Italia de los siglos XV y XVI, con nombres como Cardano, Tartaglia, o Scipione del Ferro. De hecho, el símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático alemán Christoph Rudolff.

Saber si una ecuación se podía resolver o no por radicales (con raíces cuadradas o de orden superior) llevó a una de las historias más apasionantes de las matemáticas. Fue Niels Abel el que probó que a partir de quinto grado ya no era posible encontrar tales soluciones generales, y  finalmente el genio de Evariste Galois nos descubrió cuando saber si esto era posible o no con su fascinante y más viva que nunca teoría de Galois.

 

Y si nos quedamos con raíces más sencillas, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2, llegamos al increíble mundo de los números irracionales. Este hecho supuso una conmoción entre los matemáticos griegos, al romper la posibilidad de que toda magnitud se podía escribir como un cociente de dos enteras. Basta considerar un triángulo rectángulo isósceles de catetos con una unidad de longitud, y la hipotenusa ya no podrá ser medida de esa manera usando el Teorema de Pitágoras.

 

Y podríamos recordar otra raíz cudrada, la de -1, el número complejo i (notación que debemos al gran Leonhard Euler). De nuevo, la necesidad de encontrar soluciones no reales de ecuaciones algebraicas condujo a la introducción de estos números, esenciales para el desarrollo de la matemática moderna.

Así que cuando el sr. Barrero pregunte para qué sirven las raíces cuadradas, no nos quedemos en el algoritmo para calcularlas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

ODSéate

Si juega a la Lotería Nacional (la de toda la vida, la de los sábados), habrá visto que los décimos tienen una ilustración muy especial y colorida, y que además el sorteo está dedicado a recordar la llamada Agenda 2030 que engloba los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS en abreviatura). Estos días se hará especial énfasis en este tema en redes sociales con el hagstag #ODSéate, y Matemáticas y sus fronteras se apunta a la campaña.

 

El 25 de septiembre de 2015, más de 150 jefes de Estado y de Gobierno se reunieron en la histórica Cumbre del Desarrollo Sostenible en la que aprobaron la Agenda 2030. Esta Agenda contiene 17 objetivos de aplicación universal que, desde el 1 de enero de 2016, rigen los esfuerzos de los países para lograr un mundo sostenible en el año 2030. Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) son herederos de los Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM) y buscan ampliar los éxitos alcanzados con ellos, así como lograr aquellas metas que no fueron conseguidas.

Es sin duda el mayor desafío planteado a la humanidad y en conseguirlos o no, radica la propia continuidad de nuestra especie. Los objetivos señalados son:

• Erradicar la pobreza en todas sus formas en todo el mundo.
• Poner fin al hambre, conseguir la seguridad alimentaria y una mejor nutrición, y promover la agricultura sostenible.
• Garantizar una vida saludable y promover el bienestar para todos y todas en todas las edades.
• Garantizar una educación de calidad inclusiva y equitativa, y promover las oportunidades de aprendizaje permanente para todos.
• Alcanzar la igualdad entre los géneros y empoderar a todas las mujeres y niñas.
• Garantizar la disponibilidad y la gestión sostenible del agua y el saneamiento para todos.
• Asegurar el acceso a energías asequibles, fiables, sostenibles y modernas para todos.
• Fomentar el crecimiento económico sostenido, inclusivo y sostenible, el empleo pleno y productivo, y el trabajo decente para todos.
• Desarrollar infraestructuras resilientes, promover la industrialización inclusiva y sostenible, y fomentar la innovación.
• Reducir las desigualdades entre países y dentro de ellos.
• Conseguir que las ciudades y los asentamientos humanos sean inclusivos, seguros, resilientes y sostenibles.
• Garantizar las pautas de consumo y de producción sostenibles.
• Tomar medidas urgentes para combatir el cambio climático y sus efectos.
• Conservar y utilizar de forma sostenible los océanos, mares y recursos marinos para lograr el desarrollo sostenible.
• Proteger, restaurar y promover la utilización sostenible de los ecosistemas terrestres, gestionar de manera sostenible los bosques, combatir la desertificación y detener y revertir la degradación de la tierra, y frenar la pérdida de diversidad biológica.
• Promover sociedades pacíficas e inclusivas para el desarrollo sostenible, facilitar acceso a la justicia para todos y crear instituciones eficaces, responsables e inclusivas a todos los niveles.
• Fortalecer los medios de ejecución y reavivar la alianza mundial para el desarrollo sostenible.

Estos objetivos marcarán los programas de desarrollo hasta 2030, pero también la agenda educativa y científica. Comenzamos ya a ver como para la aprobación de un grado o un máster se nos exige decir con qué ODS están relacionados. Y lo mismo ocurre con los proyectos de investigación. Nos consta que el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades los ha incorporado a sus planes, y también el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), aunque todavía no se ven las ruedas de los 17 ODS en las universidades.

En Matemáticas y sus fronteras iremos analixzando en los próximos meses cada uno de los ODS apuntando en cada uno como las matemáticas tienen cosas que decir en todos ellos. Ojalá todo el mundo, y especialmente todos los científicos, tomen conciencia de la importancia de la Agenda 2030; nos jugamos mucho en el envite, no sól a la lotería.

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Máquinas como yo

Si en Descifrando a Alan, el libro terminaba con la manzana fatídica, en la última novela de Ian McEwan, Máquinas como yo, Alan ha sobrevivido a su injusto castigo, y en un distópico Londres de los años ochenta, se ha convertido en Sir Alan Turing.

Sí, en ese Londres imaginado, Alan no aceptó el castigo hormonal, pasó un tiempo corto en la cárcel en la que trabajó a su gusto, y se dedicó después a trabajar en numerosos temas. En particular, en la inteligencia artificial, permitiendo así la construcción de los primeros seres humanos sintéticos, auténticos replicantes que ahrían las delicias de Philip K. Dick.

Claro que Alan ha hecho muchas más cosas: ha resuelto de manera positiva la conjetura P versus NP, ha seguido publicando todos sus trabajos en abierto y ha conseguido (aquí redoble de tambores) que cierren Nature y Science. Es más, nuestro héroe vive ahora con su pareja, un relevante Premio Nobel de Física.

 

Pero en esta novela, Turing es una excusa para que McEwan siga debatiendo sobre las difíciles y tenues frontears entre el bien y el mal. El protagonista es un inadaptado joven de 30 años, Charlie Friend, compra una de esas máquinas, un Adán (la otra modalidad es una Eva). Y su vida y la de su vecina (y luego novia) Miranda cambian de una manera drástica.

Todos conocemos las famosas leyes de la Robótica propugnadas por Isaac Asimov para su cerebros positrónicos. Pero, ¿las cumplirá un robot de verdad? ¿Puede un robot distinguir plenamente entre el bien y el mal? ¿Puede entender que los humanos a veces mentimos para protegernos a nosotros mismos o proteger a otras personas? A fin de evitar el riesgo de hacer algún spoiler al lector interesado en la novela, digamos que hasta aquí puedo leer.

Los lectores que conocen ya a McEwan disfrutarán de esta novela, porque incluye todos sus ingredientes más queridos, y los que no, disfrutarán por partida doble. No es la primera vez que el autor recure a la ciencia como argumento, ya lo hizo en Solar con la física.

Y recordemos los versos con los que McEwan abre su libro, de un poema de Rudyard Kipling titulado “El secrero de las máquinas”

But remember, please, the Law by which we live,

We are not built to comprehend a lie,

We can neither love nor pity nor forgive.

If you make a slip in handling us you die!

We are greater than the Peoples or the Kings-

Be humble, as you crawl beneath our rods!–

Our touch can alter all created things,

We are everything on earth–except The Gods!

Though our smoke may hide the Heavens from your eyes,

It will vanish and the stars will shine again,

Because, for all our power and weight and size,

We are nothing more than children of your brain!

 

Traducción al español

Pero recuerda, por favor, la ley por la cual vivimos;

No estamos construidas para entender mentiras,

No podemos amar, ni  llorar ni perdonar.

Si  cometes un resbalón en nuestro manejo morirás!

Somos más grandes que los hombres  o los Reyes.

Sé humilde cuando te arrastres bajo nuestras bielas,

Nuestro contacto puede cambiar todas las cosas creadas.

Somos todo en la tierra salvo los dioses.

Aunque nuestro humo pueda ocultar los cielos a tus ojos,

Desaparecerá y las estrellas brillarán de nuevo;

Porque,  pese a todo nuestro poder, peso y tamaño,

No somos más que hijos de vuestra inteligencia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Descifrando a Alan

Siempre tratamos de dar a conocer aquellos comics que tratan de contenidos científicos, y hoy es un placer reseñar la reciente publicación de “Descifrando Enigma. Alan Turing: un genio de su tiempo”, una excepcional novela gráfica de Jim Ottaviani ilustada por Leland Purvis.

“Descifrando Enigma” es la traducción del original inglés “The imittation game: Alan Turing decoded”, publicada en 2016 por Abraham Comics Arts, en New York. La traducción ha aparecido este mismo año en Ediciones Anaya.

No cabe duda que Alan Turing ha dejado de ser un científico corriente para convertirse en un icono, como ocurrió con Albert Einstein, Richard Feynman o más recientemente Stephen Hawking. Son muchos los libros que se han publicado sobre Turing en estos últimos años (hasta uno mismo cometió tal temeridad), y hasta ha sido objeto de obras de teatro y musicales, pero faltaba una novela gráfica.

Y “Descifrando Enigma” es una auténtica maravilla. Dividida en tres grandes partes que van desde la infancia y juventud y primeros trabajos, hasta lo que pasa después de la guerra, con una parte central en Bletchley Park, los sucesos son narrador por diversos narradores, aunque la madre de Aln ocupa un lugar muy destacado.

Y sí, todo lo que el lector podría esperar, lo va a encontrar. Su relación con Morcom, su homosexualidad, sus peculariedades de genio como escolar y posteriormente en la universidad, su visita a Alonzo Church y sus contactos con John von Neumann, su fama como “El Profe” en Bletchley Park, su máscara de gas para evitar las alergias por la fiebre del heno, su taza atada con una cadena al radiador, su éxito en el desciframiento de las máquinas Enigma, su compromiso matrimonial con Joan Clarke, lo que sucedió tras la guerra, las máquinas inteligentes, y su desgraciado final fruto de una sociedad hipócrita.

Alan aparece casi siempre corriendo, a él, que le gustaba pensar mientras hacía campo a través; Turing, alguien singular, distinto pero un auténtico genio.

El olvido de su trabajo y de tantos otros en Bletchley Park  tras la guerra está bien descrito en la visita del primer ministro Wistom Churchill; éste los llamaba “las gallinas de los huevos de oro que nunca cacarean”. Y así fue, una vez terminada la guerra, todo debía quedar en el más absoluto secreto militar. Y las gallinas no cacarearon hasta que se levantó ese secreto.

Recomiendo la lectura de esta obra magnífica, nadie quedará defraudado.

Sobre los autores

Jim Ottaviani es autor de tres betsellers del New York Times y ha sido galardonado con numerosas nominaciones a los premios Ignatz y Eisner. Vive en Ann Arbor, Michigan. Leland Purvis ha sido también nominado múltiples veces a los premios Ignatz y Eisner; vive en Portland, Oregon.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

La herencia de Dirac

Paul Adrian Maurice Dirac fue Premio Nobel de Física en 1933, compartido  con Erwin Schrödinger, por sus contribuciones a la teoría atómica. Dirac fue un físico matemático siempre preocupado por la belleza matemática de las teorías físicas. Escribió: “This result is too beautiful to be false; it is more important to have beauty in one’s equations than to have them fit experiment.” Pero, ¿cómo ha afectado esta preocupación por la belleza al desarrollo de la física en los últimos 50 años?

 

 

En la Universidad de Moscú existe un encerado en el que a los físicos relevantes que visitan el campus se les invita a escribir una frase como recuerdo. Dirac escribió: “Una ley física debe posser belleza matemática”.  Nada más cierto, si uno revisa las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo o la ecuación de campo de Albert  Einstein, verá sencillez, elegancia y una belleza impactante.

Recientemente he leído una entrevista a la física teórica Sabine Hossenfelder, autora del libro ‘Perdidos en las matemáticas’, con un provocador titular: “Gastar más en el acelerador de partículas es tirar el dinero”. Hossenfelder es muy clara: “Yo sólo hablo de la física que describe las leyes fundamentales de cómo funciona el universo; no de las otras ramas. Y en esa área hace 40 años que el progreso se ha detenido.” Y apunta a la obsesión de los físicos por la belleza matemáticas como la causa de este estancamiento.

La obsesión por buscar una teoría unificadora, por una teoría del todo, ha llevado a construir el CERN, con un coste de 20.000 millones de euros, que aunque ha llevado al comprobación de la existencia del bosón de Higgs, no ha aportado nueva física. De hecho, siguiendo sus argumentos, lo que se está haciendo servirá para medir mejor la masa de una partícula, pero nada más, las ecuaciones ya eran conocidas. Otro ejemplo (no tan caro) que se puede aducir es la medida de las ondas gravitacionales; ya están previstas en las ecuaciones de Einstein, pero detectarlas ha sido cuestión de desarrollo tecnológico y un uso adecuado de la Ciencia de Datos. En este caso, sin embargo, podríamos argumentar que la detección de ondas gravitacionales nos va a llevar seguramente a una nueva manera de indagar en los misterios del universo.

En cualquier caso, el debate está ahí, y podemos defender la necesidad del CERN y desarrollos posteriores o, como propugna Hossenfelder. Invertir ese dinero en conocer mejor los fundamentos de la Mecánica Cuántica y sus aplicaciones a la computación.

 

Esto me hace recordar un episodio de la popular serie The Big Bang Theory, el segundo de la undécima temporada. Leonard va a una entrevista a la radio para conseguir más financiación para la física, pero a lo largo de la entrevista sus declaraciones muestran como, a pesar de la financiación millonaria, la supersimetría no aparece. A la vez, Amy Farrah Fowler comienza a disfrutar de su nuevo laboratorio, ya que la Biología ha conseguido mucha más financiación que la física. Leonard recibe la reprimenda de la decana, porque los donantes se preguntan por qué dar dinero si la física está en un callejón sin salida. La decana le pide una retractación, y lo que Leonard asume es que le está pidiendo que mienta. El tema afecta también a Sheldom, que comienza a preguntarse si la física está muerta, y ambos comienzan a deprimirse bebiendo cerveza romulana. Raj y Wolowitz se unen al grupo, aumentando la depresión colectiva, y es finalmente Penny quien les dice que no se vengan abajo y busquen inspiración. Así que deciden visitar la tumba de Richard Feynman. Se dan cuenta que Feynman decía que se dedicaba a la física por el amor al arte.

Y quizás esta es la razón final de la ciencia en general, la curiosidad y el amor por el conocimiento. Y aunque la estética presidirá siempre las ecuaciones matemáticas de la física, está bien preguntarse de vez en cuando si no estamos huyendo hacia delante.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Los secretos de la multiplicación perfecta

En una entrada previa reseñamos el excelente libro de Raúl Ibáñez Torres dedicado a desvelar los secretos de la multiplicación. Esa multiplicación que viene de tiempos antiguos pero que encierra todavía muchos secretos más, como los recientes resultados de David Harvey y Joris van der Hoeven (Integer multiplication in time O(n log n))   han puesto de manifiesto.

En un artículo de marzo en Quantamagazine, la revista divulgativa que la filantropía de Jim Simons ha ofrecido al colectivo matemático mundial, el periodista Kevin Hartnett se hacía eco de estos descubrimientos: Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply . Sin duda alguna que la publicación del libro de Raúl Torres es un momento perfecto para recordar estos hechos.

Digamos en primer lugar que ese algoritmo para la multiplicación que parece tan simple y que aprendemos en la escuela, es hoy en día un tema de investigación relevante. La razón es que muchos de los cálculos que se hacen con los ordenadores se basan en la multiplicación, de manera que cuanto más rápidos sean los cálculos de las multiplicaciones, más rápides y exactos serán los que hacemos por ejemplo para calcular nuevos números primos.

Si recordamos el algoritmo para la multiplicación (veáse este video, por ejemplo)

Sabemos que si multiplicar dos números de 2 cifras precisa de 4 productos, si son de 3, entonces necesitaríamos 9 productos parciales, y en general, si son dos números uno de n cifras y otro de m, estaríamos hablando de nm. Y si n y m son muy grandes, entonces nos daremos cuenta de la complejidad del cálculo (un ordendor podría precisar de años para terminar estas multiplicaciones gigantescas).

Si queremos multiplicar dos números de n cifras, necesitamos n² productos parciales. En 1952, el matemático ruso Andrey Kolmogorov intentó probar que el algoritmo usual era óptimo asintóticamente, o, en lenguaje coloquial, esta era la mejor manera de multiplicar. En otoño de 1960, Kolmogorov organizó un seminario en Moscú sobre las matemáticas de la computación: Este tema de la multiplicación fue uno de ellos, y para sorpresa de Kolmogorov, n estudiante de 25 años, Anatolii Alexeevitch Karatsuba, encontró un algoritmo que mejoraba la hipótesis de Kolmogorov. Este video explica el método de Karatsuba

El método ideado por Karatsuba se podría llamar de “dibvide y vencerás”, ya que, como se ve en el video, se tarta de descomponer los dos grandes números en trozos pequeños y operar con ellos.

Eeste método fue mejorado en 1971 por Arnold Schönhage y Volker Strassen, quiénes conjeturaron que debería haber alguno mejor que el suyo. Y ese ha sido el logro de Harvey y van der Hoeven, usando la transformada rápida de Fourier, un sofisticado y utílisimo instrumento matemático. El resultado es teórico y la mejora real es pequeña, pero nos sirve para demostrar que incluso los temas que parecen resueltos, esconden secretos que los matemáticos seguimos investigando.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Los secretos de la multiplicación, el nuevo título de Miradas Matemáticas

Septiembre se inicia con un nuevo libro de la colección Miradas Matemáticas, el titulado “Los secretos de la multiplicación, de los babilonios a los ordenadores”, de mi querido amigo y colega Raúl Ibáñez Torres.

Recuerdo que Miradas Matemáticas es un proyecto conjunto entre la editorial La Catarata, el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Ocho son los libros que se han publicado hasta ahora, y este que hoy reseñamos es el noveno de la colección.

En este libro se traza en primer lugar una breve historia de los diferentes sistemas de numeración que las distintas civilizaciones han ido desarrollando a lo largo del tiempo. Es necesario conocer estos sistemas, porque están intímamente ligados a las operaciones aritméticas elementales. Así, el autor nos va iniciando en las distintas maneras que los hombres diseñaron para la suma, la resta, la multiplicación y la división.

En concreto, el autor profundiza en la evolución de los algoritmos que subyacen a la multiplicación, por ser estos los que ilustran de una manera más clara la propia evolución de la aritmética y las matemáticas en general. Sorprende la inventiva y la variedad de estos algoritmos, y como el que actualmente practicamos está basado en el sistema decimal posicional y la invención del cero.

Multiplicar (y el resto de operaciones aritméticas) no es solo importante como aprendizaje escolary su uso práctico en la vida cotidiana, sino que es importante en muchos otros aspectos, como en el uso de los modernos ordenadores o en la seguridad criptográfica. Animamos al lector a adrentrarse en esta apasionante historia.

Sobre el autor

Raúl Ibáñez Torres es Profesor de Geometría y Topología en la Universidad del País Vasco, tras una brillante carrera académica con un Premio Extraordinario Licenciatura en 1996 y de Doctorado en 1998. Su actividad investigadora en geometría simpléctica fue dando paso a sus intereses en ladivulgación matemática. En la Real Sociedad Matemática Española se hizo cargo de la dirección de Divulgamat, probablemente e el portal influyente en matemáticas en elngua española. Pero sus actividades divulgativas van más allá, como organizador de cursos de verano, ciclos de conferencias, exposiciones y programas radiofónicos y televisivos.

Es autor de varios libros: La cuarta dimensión, El sueño del mapa perfecto, de la colección El mundo es matemático (2010); Las matemáticas de los juegos (2015), de la editorial RBA; Arthur Cayley (2017), de la colección Genios de las Matemáticas, RBA. También ha sido creador del cuentacuentos Las semillas matemáticas (ilustrador E. Morente). Por toda esta actividad, ha recibido el Premio José María Savirón de Divulgación Científica, en 2010, y el Premio COSCE a la Difusión de la Ciencia, en 2011.

Los secretos de la multiplicación combina adecuadamente la divulgación matemática con los aspectos didácticos, cumpliendo así perfectamente los objetivos de Miradas Matemáticas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Lecciones escocesas

Son varios los rankings internacionales de universidades que han sido publicados en los últimos meses, y, como ya es habitual, hay detractores y entusiastas con los mismos. Lo que sí es un hecho es la ausencia de las universidades españolas en los primeros puestos, a la vez que muchos rectores españoles echaban las campanasa al vuelo por supuestas mejoras, o balones fuera indicando que así y todo, estaban en la lista. Independientemente de la calidad o validez de tales rankings, creo que a todos nos gustaría ver a algunas universidades españolas en esas posiciones de prestigio. El cómo lograrlo daría para hablar mucho tiempo, así que en esta entrada haremos solo algunos comentarios.

 

En primer lugar, diré que cuando viajo (y lo hago con cierta frecuencia por mi trabajo de investigador) a universidades extranjeras, procuro preguntar a los locales sobre su funcionamiento, tratando siempre de aprender buenas prácticas y compararlas con las que se prodigan en las universidades españolas. Un ejemplo de esto es la entrada “Lecciones universitarias desde Michigan.”

Este mes de agosto tuve la oportunidad de viajar a la Universidad de Edimburgo, para participar en una defensa de una tesis e impartir un coloquio en su School of Mathematics (lo equivalente a una de nuestras Facultades de Matemáticas). Una de las primeras lecciones es la diferencia de ambiente laboral. Mientras en el campus de la UAM en Canto Blanco, donde está situado nuestro instituto, la actividad está bajo mínimos, e incluso la universidad oficialmente cerrada por 15 días, el campus de la Universidad de Edimburgo estaba en plena actividad, tanto en lo que se refiere a la administración como a la investigación. Lo que no impide que los trabajadores se tomene sus vacaciones, pero lo que parece evidente es que son las personas las que toman las vacaciones a las que tienen todo el derecho, pero las instituciones nunca se las deben tomar. Y son muchas cosas las que un campus puede organizar en un periodo veraniego.

 

Si vamos al Ranking de Shangai, veremos que la Universidad de Edimburgo está colocada en el puesto 31; sin querer atacar a nadie, la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) está entre los puestos 300 y 400. En Matemáticas la cosa pinta algo mejor, Edimburgo está en el puesto 26 y la UAM entre el 76 y el 100 (mi pregunta de siempre es como la universidad está aprovechando o desaprovechando la existencia del Instituto de Ciencias Matemáticas en su campus).  Son rankings, que se hacen con una cierta metodología, discutible, pero la misma para todos.

Me interesé también por la gobernanza en Edimburgo, muy diferente a la de las universidades españolas. En el informe 2017/18 Annual Report and Accounts se pueden encontrar todos los detalles. Una universidad con más de 41.000 estudiantes, unos 15.000 trabajadores y unos casi 1.000 millones de libras de presupuesto. El Rector es elegido pero es más bien un cargo honorífico, recayendo la capacidad decisoria en el Principal y la University Court. El Chancellor es otra figura honorífica, vitalicia; desde 2011 lo es la Princesa Ana, y desde 1953 hasta 2010 lo había sido el Duque de Edimburgo.

Se puede argumentar que las matrículas son más caras, y es verdad, pero también que un tercio del presupuesto lo obtienen de proyectos competitivos.  La Universidad está apostando desde hace años por contratar a los mejores profesores e investigadores, y esto ha ido redundando, junto con una tradición de siglos (fue fundada por el rey Jacobo en 1583) en una mejora continuada del prestigio y la calidad. No olvidemos que Edimburgo cuenta con 19 premios Nobel y 1 medalla Fields.

Las opiniones recientemente vertidas en el artículo ¿Podría empeorar la universidad? apuntan a que dos de los mayores problemas de las universidades españolas recaen en la gobernanza y en la endogamia. Argumentar como motivo del escaso impacto internacional la falta de financiación no es sostenible. Creo que todos pensamos y deseamos que nuestras universidades disfruten de una mayor financiación, pero esa no puede ser la excusa permanente de la CRUE y sus miembros.

 

Acabaré esta entrada diciendo que los matemáticos de Edimburgo siguen las directrices y estrategia de la universidad, mejorando sus plantillas con buenos fichajes y estando también atentos a las nuevas tendencias de las matemáticas. Tomemos ejemplo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Las matemáticas que nos ayudan a entender la visión

Entender como se produce la visión es uno de los desafíos más apasionantes de la ciencia actual, y las matemáticas están proporcionando las claves. ¿Cuál es el camino que recorre la energía electromagnética que impacta en la retina hasta convertirse en imágenes en nuestra corteza visual?

En mi libro Las matemáticas de la luz, se hablaba de cómo se producía la ytransformaciçon de la luz en visión, el papel de los conos y bastoncillos en la reproducción del color, de cómo la estructura de nuestros ojos es un producto extraordinario de la evolución, capaz de transformar esa energía luminosa en impulsos eléctricos que la corteza visual reinterpreta de la manera adecuada. Incluso cuando la información no es lo suficientemente completa.

En un artículo con mi colega Luis M. Martínez, Así explican las matemáticas cómo funciona nuestro cerebro, tratamos de explicar algunas de las aplicaciones de las matemáticas a la comprensión del funcionamiento de nuestra mente.

La entrada que el lector está leyendo está motivada por dos causas. Una, las recientes aplicaciones que la geometría simpléctica y la geometría de contacto están consiguiendo en esta dirección, llevando al nacimiento de una nueva área que comienza a conocerse como Neurogeometría. Por otra parte, un reciente artículo de Kevin Hartnett, en la revista Quantamagazine, titulado A Mathematical Model Unlocks the Secrets of Vision. Ambas causas me han animado a volver sobre este apasionante tema, aparte de la investigación que con mi grupo en el ICMAT estamos iniciando en lo que se llaman sistemas hamiltonianos de contacto, y que, eventualmente, trataremos de conectar con esta tema de las aplicaciones a la visión. En próximas entradas hablaremos de la Neurogeometría, y vamos hoy a comentar el artículo de Quantamagazine.

Recoge este artículo los resultados ecientes de la matemática Lai-Sang Young y sus colaboradores en el grupo de sistemas dinámicos de la Universidad de Nueva York y el Instituto Courant. La colaboración se extiende al neurocientífico Robert Shapley y al matemático Logan Chariker. Como señala Young, el experimentalista no es capaz de decirte por qué pasan la scosas, pero el investigador básico (y especialmente el matemático) te construirá un modelo.

Sabemos que el ojo es una lente, que en la retina transforma la luz en corrientes eléctricas que llegan a través de muy pocas neuronas a la corteza visual. Y esta si contiene muchas neuronas. La cuestión es como la cantidad de información que entra por nuestros ojos puede ser procesada y formar en nuestro cerebro las imágenes que vemos.

El modelo que se creía válido por los neurólogos era el de una corriente, un flujo, que iba de la retina a la corteza, pero la situación es muchísimo más complicada. Y Young y su equipo aplicaron sus conocimientos de sistemas dinámicos a este caso. Fueron capaces de construir un modelo que explicaba como reconocemos los bordes de los objetos, un primer paso en su trabajo (pocas neuronas eran capaces de procesar una enorme cantidad de información, algo parecido a como las pequeñas fluctuaciones en un sistema caótico pueden generar una enorme complejidad). En trabajos posteriores explicaron la formación de algunos patrones y también los cambios de contraste.

La Neurociencia es un campo de trabajo excitante para las matemáticas, y estoy seguro que habrá pronto grupos de investigación españoles en los que neurocientíficos y matemáticos trabajen mano a mano para conseguir entender como funciona nuestro cerebro.

Les dejo con la conferencia que Lai-Sang Young impartió en el pasado ICM2018 de Rio de Janeiro, en cuaya última parte habla de la dinámica del cerebro

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).