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Historias de Pi: de la geometría al número


Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

 

 

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red.

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

 

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r2 –x2

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c0 , donde c0  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c0 r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c0 (que no es más que el número π.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Presentación del Libro Blanco de las Matemáticas


Hoy, 22 de octubre de 2020, se ha presentado el Libro Blanco de las Matemáticas, elaborado por la Real Sociedad Matemática Española (RSME) en colaboración con la Fundación Ramón Areces.

El objetivo de este Libro Blanco era elaborar un exhaustivo y riguroso análisis sobre la situación y el impacto de las matemáticas en España, estructurado en una serie de bloques (nueve), abarcando la educación en sus diferentes niveles (universitario y no universitario), la investigación, las salidas profesionales, el impacto socioeconómico, la igualdad de género, la divulgación, la internacionalización y los premios y reconocimientos.

El estudio ha sido coordinado por el profesor David Martín de Diego, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y Vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española, trabajando con cada uno de los nueve coordinadores de cada bloque. En total, son más de sesenta matemáticos de toda España los que han participado directamente en el libro.

No se trataba solo de hacer un análisis, sino también de elaborar una serie de conclusiones (aglutinando las que han venido de cada uno de los nueve bloques) y unas acciones a desarrollar. Uno de los grandes valores de este libro es que aporta análisis cualitativos y opiniones, pero también datos, y estos servirán en los próximos meses y años para que el debate posterior tenga bases sólidas con las que argumentar.

 

Coloquio sobre educación en la presentación del Libro Blanco

Las matemáticas están en España en un momento decisivo, viniendo de años en los que la disciplina ha conseguido resultados extraordinarios en la investigación, pero que sigue padeciendo problemas en la enseñanza secundaria aparte de los causados por los recortes en educación e investigación acentuados desde la penúltima crisis económica. Seguimos padeciendo además las trabas burocráticas que debilitan el sistema investigador al no permitir ejecutar adecuadamente los recursos ni contratar talento exterior. Muchas de estas trabas (comunes a todas las ciencias) son incomprensibles, ya que se resuelven con una legislación más apropiada para el siglo XXI y que no conlleva costes económicos.

Habrá tiempo de ir comentando los contenidos de este Libro Blanco, un material que debería merecer una lectura cuidadosa por parte de ministerios, consejerías autonómicas y parlamentarios. Espero que sea así.

Por mi parte, estoy muy orgulloso de que la RSME haya contado conmigo para coordinar el bloque de internacionalización, un tema en el que insistido tanto desde hace muchos años por su importancia no sólo para los que estamos en activo ahora, sino para el futuro de nuestros jóvenes matemáticos.

Enhorabuena a la RSME y a la Fundación Areces por esta magnífica obra, que es un hito más en la historia reciente de las matemáticas españolas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

 

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La historia de la independencia de las cónicas


Sale al mercado editorial la última entrega por ahora de la colección Miradas Matemáticas, la número 14. En este caso, una historia de las cónicas acompañada de numerosas construcciones geométricas usando Geogebra.

 

 

Las cónicas son las curvas que resultan cuando seccionamos un cono con un plano. Así aparecen  la elipse, la hipérbola y la parábola. Su historia es antigua, y se remonta a la antigua Grecia, con los trabajos de Hipócrates de Quíos o Menecmo, aunque el gran nombre asociado a las cónicas es Apolonio de Perga.

Las cónicas (cuyo nombre genérico tiene su raíz obviamente en el cono), despertaron el interés de muchos matemáticos en siglos posteriores. Y poco a poco, fueron independizándose del cono. En dos direcciones. En primer lugar, una geométrica en la que pudieron ser definidas como lugares geométricos en el plano, sin referencias al cono. Y en segundo lugar, una independencia basada en el álgebra, al definirlas por ecuaciones una vez introducido un sistema de coordenadas. En ambos casos, esas alternativas han dado lugar a una gran riqueza de resultados de todo tipo, y muchos de ellos son descritos en este libro.

Y no solo son entes matemáticos, ya que desempeñaron un papel fundamental en la formulación de las leyes de Kepler que describen el movimiento de los astros, ya que sus órbitas son precisamente elipses en las que uno de sus focos es el Sol. En la actualidad, las cónicas siguen estando muy presentes en la vida cotidiana: podemos encontrarlas en numerosos diseños y logotipos o en estructuras arquitectónicas, en las antenas parabólicas, en los faros de los automóviles, etc.

Como comentario final, decir que este libro está acompañado de las construcciones sobre cónicas que se pueden hacer con Geogebra, proporcionando así un instrumento que va más allá de una mera lectura, tanto para profesores como estudiantes o simplemente personas con curiosidad por las matemáticas.

Sobre la colección

Miradas Matemáticas es un proyecto conjunto de la Editorial Catarata con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para publicar libros en torno a la didáctica de las matemáticas y a su divulgación.

Señalar también que la colección va tomando forma, catorce libros son ya un número apreciable y podemos decir que está ya consolidada. Varios libros más están ahora en cartera, en diferentes fases de evaluación algunos, otros ya en trámites de revisión e irán apareciendo en los próximos meses.

Sobre los autores

Agustín Carrillo de Albornoz Torres. Es licenciado en Matemáticas por la Unversidad de Granada. Catedrático de Educación Secundaria, ha desarrollado su labor profesional en distintos centros de la provincia de Jaén y pertenece a la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. Desde el año 1984 en el que impartió el primer curso sobre uso de las TIC como recurso en el aula de matemáticas, se ha dedicado a promover el uso de las tecnologías a través de cursos de formación, tanto presenciales como virtuales, impartiendo conferencias en congresos nacionales e internacionales, con especial presencia en la mayoría de los países iberoamericanos.

 

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Manuel de León. Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

Manuel de León

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Los judíos a los que no les gustan las matemáticas


¿Se puede educar sin matemáticas? Y, más aún, ¿se puede educar sin ciencia? La comunidad ultraortodoxa judía de los Jaredim así lo hace, lo que ha llevado a la Fundación Jerusalén ha establcer un plan para combatir esta carencia.

 

Escuela jaredim

 

El judaísmo ultraortodoxo es una corriente extremista del judaísmo ortodoxo, y sus miembros son conocidos también como jaredíes. Su doctrina es que la Torá constituye el “manual de instrucciones del mundo”, y por lo tanto, la única ocupación del hombre debe ser su estudio. Jaredí viene del verbo hebrero hared, que aparece en el Libro de Isaías (66:2; su plural es haredim) y se traduce como “el que tiembla” ante la palabra de Dios. Si todo está ya en la Torá, las matemáticas y las ciencias no tienen sentido. Mientras la ciencia muestra como el futuro será mejor en la consecución del conocimiento, nada puede reemplazar o contradecir la Torá porque es la palabra de Dios.

Como ellos mismos comentan: “El estudio de la Torá exige una devoción total y completa. No estamos interesados en hacer dinero o en el lujo material. Estamos contentos con muy poco y nuestra verdadera alegría, y nuestro más alto deber, es aprender.”

 

Rollos de la Torá

 

Alrededor del 27% de los estudiantes ultraortodoxos de Israel, un total de más de 90.000, están exentos de estudiar un plan de estudios básico de matemáticas, ciencias, e inglés, por decisión del Ministerio de Educación israelí. El gobierno no consigue que estos alumnos, de las comunidades ultraortodoxas puedan aprender en sus escuelas esas materias, con las consecuencias en una mayor dificultad para encontrar empleos, lo que muchos querrían conseguir y no dedicar las horas del día al estudio de la Torá.

Se añade a esto la práctica imposibilidad de los alumnos jaredíes en seguir estudios superiores por su falta de preparación y casamientos muy jóvenes (y con hijos) que llevan a unas tasas de fracaso y abandono enormes.

La decisión de las exenciones depende del Ministro de Educación, y aunque estas reformas se han debatido ampliamente en la sociedad israelí, los equilibrios del poder político con la gran influencia de los partidos jaredíes han frenado cualquier cambio; al contrario, los estudiantes de este sistema han crecido.

Estas circunstancias no se dan en las escuelas jaredim de Estados Unidos o Reino Unido, en los que la separación del estado y la iglesia, implica que, respetando las creencias religiosas, debe sin embargo establecerse un currículo mínimo en las disciplinas STEM.

Conscientes de la resistencia de la comunidad Jaredim a la educación secular dentro del sistema escolar y de los obstáculos de la política, la Fundación Jerusalén planificó visitas visitas de los niños a varias instituciones científicas así como actividades extraescolares para exponer a los niños al STEM. Este primer contacto se prolonga ahora con un programa más ambicioso, y han elegido un barrio de Jerusalén (el de Romema, en pleno centro) para el programa piloto. El objetivo es abrir el camino de la ciencia y la tecnología en esta comunidad, y el ancla para el éxito del proyecto estriba en la necesidad de integrarse en la fuerza de trabajo, lo que necesita de estas enseñanzas, y combatir el paro y la pobreza de la comunidad.

La Fundación Jerusalén fue creada en 1966 por el alcalde de Jerusalén, Teddy Kollek, y ha conseguido en las últimas cinco décadas, donaciones por unos 1.500 millones de dólares para poner en marcha diversos proyectos en la ciudad.

Sé que estas líneas que he ido pergeñando buscando en artículos de prensa y alguno sobre judaísmo y la Torá son muy incompletas, y han despertado en mí el interés por conocer más sobre el tema, sobre todo, por el contenido científico (y en particular, matemático) de la Torá (nuestro Pentateuco, en definitiva).  No era mi intención profundizar en el tema, si no más bien reflexionar sobre la importancia de las matemáticas (y la ciencia en general) en la sociedad. Para la comunidad Jaredim, aceptarlo supondrá que sus jóvenes tendrán un futuro. Pero hay una segunda reflexión, y es sobre las propias matemáticas, que además de su papel como “tecnología imprescindible” (ya saben, el logo “Mathematic inside”), también lo tiene como puro conocimiento. Y así, con el cultivo de la matemática pura, podríamos pasar los días estudiando los textos de Euclides o Arquímedes (como si fuesen nuestra Torá particular); pero no lo hacemos, porque incluso las matemáticas más básicas no paran de crear nuevos caminos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Una vida breve


Hace unos dos años, publiqué esta entrada Muerte de un joven matemático comunista en Matemáticas y sus fronteras, contando la vida truncada a los 25 años de Maurice Audin, torturado y asesinado por los paracaísticas francesas durante la llamada batalla de Argel. Acabo ahora de leer el libro Una vida breve, que su hija, Michéle Audin escribió entre 2011 y 2012 para recordarlo.

Michéle Audin es una matemática francesa muy conocida, por sus brillantes resultados matemáticos sobre la topología de las variedades simplécticas y las subvariedades lagrangianas, la aplicación momento y en general, los sistemas dinámicos hamiltonianos. Pero también tiene una interesante faceta como historiadora sobre las matemáticas del siglo XIX y XX, y así ha escrito sobre Sofia Kovalevskaya (Souvenirs sur Sofia Kovalevskaya),  Jacques Feldbau  (Jacques Feldbau, Topologe) y George Gabrie Stokes (La formule de Stokes, roman), citando solo las obras quizás más destacadas.

Pero en Una vida breve (publicado en Periférica), Michéle Audin aborda la vida de su propio padre, una vida trágica, cercenada en la más prometedora juventud. Maurice Audin y su esposa Josette Sempé se casaron jóvenes, y cuando las actividades en  el Partido Comunista de Argel de Maurice acaban en un fatal desenlace, ya tenían tres hijos, la primogénita es Michéle. No recuerda por tanto muchas cosas de su padre, y la mayoría de recuerdos son indirectos, a través de su madre y otros familiares. Confiesa que durante mucho tiempo, cuando al ver su apellido le preguntaban si tenía algún parentesco con Maurice Audin, ella lo negaba, queriendo sepultar en el olvido esa historia.

 

Michèle Audin

Pero más tarde siente que debe recuperar la memoria, la de ese padre que es un joven agradable, amable, honesto, brillante, del que todos hablan. Y esta es la parte más dura, indagar en su vida de estudiante en colegios militares en una época en la que Francia pasa dificultades, ¿cuáles eran sus condiciones en esos internados? ¿comía bien, estaba atendido cuando enfermaba? ¿qué libros leía? Maurice no quiere seguir la carrera militar y estudia matemáticas en la Universidad de Argel, donde conoce a Josette. La hija puede ir recomponiendo la vida de su padre a través de listas de las agendas que le informan de sus compras en el mercado, asistencias al cine, algunas cartas recuperadas, sus libros de texto, noticias de periódicos, fotos familiares …

El caso Audin, como se dio en llamarlo, causó un enorme escándalo en Francia. Michéle estaba a punto de leer su tesis doctoral. En el libro, su hija recuerda como en 1957 se defiende la tesis en ausencia, con docenas de profesores y cientos de alumnos, en la Sorbona. No podemos ni imaginar lo duro que ha tenido que ser para la autora esta indagación para sacar a la luz esa historia, la memoria de un padre que le fue robado una noche en que un grupo de militares franceses entró en su casa y se lo llevó para siempre. Quizás este párrafo defina muy bien ese dolor de hija, tras comentar todo lo bueno que dicen de su padre:

“Si. Pero también quisiera acordarme de una costumbre, de una expresión, del modo que tenía de llevar tal o cual prenda, de cosas insignificantes, anecdóticas. Me gustaría conocerle defectos.”

Hace dos años Michéle Audin fue reivindicado oficialmente por el propio Presidente de la República, Emmanuel Macron. Pero el dolor de su ausencia nunca desaparecerá.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Las matemáticas de Mafalda (homenaje a Quino)


El pasado 30 de septiembre nos enterábamos del fallecimiento de Joaquín Salvador Lavado Tejón, conocido universalmente con el pseudónimo de Quino, el padre de Mafalda. Vaya esta entrada en Matemáticas y sus fronteras como un homenaje a este dibujante argentino y a su personaje, Mafalda, que nos cautivó desde su aparición y lo sigue haciendo todavía.

 

Estatua de Mafalda en el “Paseo de la Historieta” en San Telmo, Buenos Aires.

Quino, nacido en Mendoza el 17 de julio de 1932, era hijo de emigrantes españoles, malagueños de Fuengirola. Su vocación por el dibujo procedía de su tío Joaquín, ilustrador. Quino estudió en la Escuela de Bellas Artes de Mendoza, y cuando falleció su padre, el, con diecisiete años, abandonó los estudios y trató de hacerse un hueco en el mundo de la historieta. Parece ser que Mafalda surgió para una campaña publicitaria para la empresa de electrodomésticos Mansfield, campaña que no llegó a desarrollarse. Pero Maflada comenzó a publicarse como una tira cómica, y así sucedió desde 1964 a 1973.

No hace falta hablar mucho de este personaje, se ha convertido en un referente universal, esa niña de la clase media argentina que reflexiona sobre la humanidad y sentencia a veces con tal profundidad que nos deja pensando un buen rato. Mafalda y su universo, los amigos (Felipe, Manolito, Susanita, Miguelito, Libertad), su hermanito Guille, sus padres, trazan un retrato de la sociedad argentina y permitieron a Quino denunciar las injusticias del mundo y saltarse los controles de las dictaduras argentina y española. Sus viñetas, aparentemente inocentes, tenían siempre una carga de profundidad.

 

Joaquín Salvador Lavado Tejón (Quino)

El mundo de Mafalda es el de la infancia, y por lo tanto, el de la escuela. Y, como no, las matemáticas aparecen muchas veces en ellas, y con bastante contenido social. Lo ilustraremos con algunos ejemplos.

En esta viñeta interviene la geometría; Libertad no acaba de identificar un triángulo equilátero que es “como Dios manda”, “aburridísimo” o “socialista”, vista su igualdad.

Y en esta, Mafalda se reafirma en su odio a la sopa y la degeneración de la geometría:

En esta otra viñeta, Miguelito constata ante su profesora las limitaciones de su conocimiento matemático

 

Y en esta, Manolito (mi preferido, por cierto), muestra como la aritmética ha impregando la vida cotidiana

Y no podía faltar la Estadística

 

Y que decir de Miguelito y sus problemas filosóficos con la estadística

 

Finalizamos con uno de los protagonistas al que los científicos españoles tenemos mucho cariño, esa tortuga que se llama Burocracia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Arañas, matemáticas y medallas Fields


Quizás el medallista Fields más mediático es sin duda Cédric Villani, apodado como el “Lady Gaga” de las matemáticas, con su vestimenta de actor de tetaro del siglo XIX y sus vistosas arañas en la solapa. Y esas arañas han tenido sus consecuencias, como veremos a continuación.

Araniella villanii

 

Prácticamente cada día se descubren nuevas especies animales, a cada uno de los cuáles debe asignarse el nombre latino siguiendo las clasificaciones que en su día propuso Carlos Linneo. La bióloga Alizera Zamani, estudiante de doctorado en la Unidad de Biodiversidad de la Universidad de Turku en Finlandia, ha coordinado un trabajo para identificar una nueva especie de araña, de vistoso color verde, y que forma parte de la familia de las llamadas arañas tejedoras, las Araneidae. Ese brillante color verde le sirve para camuflarse en la vegetación donde construye sus redes y atrapa pequeños insectos.

 

Cédric Villani

Esta araña ha sido bautizada como Araniella villanii, en honor de Cédric Villani, por dos motivos. Uno, la afición declarada de Villani por estos artrópodos. La otra, la rigurosidad matemática con que esta familia construye sus telarañas. Por ejemplo, una de sus primas, la Araneus diadematus, típica de nuestros jardines, va formando hilos que salen radialmente desde un punto central. Luego la araña se mueve a lo largo de una trayectoria en espiral colocando una hebra continua para completar la telaraña. En realidad, la araña construye dos espirales: la primera es una espiral guía no pegajosa, la segunda es una con adhesivo. A medida que la espiral adhesiva se coloca en su lugar, la araña retira la espiral guía. Esta seda pegajosa es la que tiene la función de atrapar a pequeños insectos. La araña se coloca en algún lugar discreto, cerca del origen de la telaraña hilada y espera la llegada de su presa, que alerta a la tejedora al notar una alteración. La araña construye todo esto dentro de un marco hecho de hilos de seda y existen también otros hilos de apoyo.

Las matemáticas no terminan aquí, las espirales siguen una sucesión de Fibonacci, que optimiza la construcción y la resistencia de la red. Pero la propia constitución de los hilos y sus cambios ante tensiones, explican que se pueda romper un hilo sin que el conjunto sufra, lo que no ocurre en una construcción arquitectónica o ingenieril. Como comenta Manuel Elices Calafat en su discurso de entrada en la Real Academia de Doctores de España, “Las arañas y sus telas, un paradigma multidisciplinar”:

“La  estructura  de  la  red  está  optimizada  para  diversas  funciones,  entre  ellas: repartir eficientemente las acciones exteriores, atrapar las presas y ser tolerante  al  daño  (un  nuevo  concepto  que  los  ingenieros  empiezan  a  tener  en cuenta en el diseño de estructuras).”

 

Una de las cuestiones que he querido resolver es que tipo de espiral construía este tipo de arañas, las de jardín. En el artículo “Spider Webs: Creepy or Cool?“, de Alicia Bautista   se puede ver como “la construcción comienza con la identificación por parte de la araña de dos soportes estructurales verticales. Después de ascender uno de los soportes, la araña predice perfectamente la longitud de seda que necesitará para alcanzar el otro soporte vertical. Una suave ráfaga de viento es todo lo que la araña necesita para llevarla al otro lado. Una vez que la primera hebra es construida y fortalecida por múltiples hebras, la araña construirá tres radios y un telar de fondo. Se construyen más radios en el marco y luego se construye una espiral logarítmica temporal. A continuación, la araña se da la vuelta y construye una espiral aritmética mientras que simultáneamente se come la espiral temporal.

Recordemos que la espiral logarítmica aparece por primera vez en un escrito de  Descartes, en 1638,  aunqie el nombre se debe a Jackob Bernouilli, que la llama “Spira mirabilis” al quedar fascinado por su belleza. Su propiedad característica es que la tangente en cada punto forma con el radio siempre el mismo ángulo. También puede ser construida a partir de rectángulos aúreos. Su ecuación en coordenadas polares (r, θ) es

r = a bθ

 

Espiral logarítmica

Por otra parte, la espiral de Arquímedes tiene como ecuación polar

r = a + b θ

Espiral de Arquímedes

Las diferencias son evidentes.

De todo esto concluimos que el nombre de la nueva araña está más que justificado; las arañas han probado ser grandes dominadoras de las matemáticas y la ingeniería.

Les dejamos con un video en el que una de nuestras amigas construye su telaraña

 

Imagen de previsualización de YouTube

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Dostoievsky y Einstein: la historia que no ocurrió pero que hubiéramos deseado que pasara


En la entrada “Fiódor M. Dostoievski y las geometrías del mal” en Matemáticas y sus fronteras, comentamos como el autor de Los hermanos Karamazov había incluido en su obra varios pasajes sobre las geometrías no euclidianas. La novela se publicó en 1880 y Dostoievski, siempre al tanto de la actualidad, era conocedor de los resultados de Bolyai y Lobachevsky, obtenidos varias décadas antes.

Fiodor M. Dostoievski

 

Albert Einstein, cuya teoría de la Relatividad (la especial en su año mágico, 1905, y la general en 1915), consideraba que esta novela había supuesto una de las influencias más importantes en su pensamiento. Esto decía el sabio alemán: “Aprendí más de Dostoievski que de cualquier otro pensador científico, incluso más que de Gauss” , según el testimonio de su amigo Alexander Moszkowski.

Esta cita ha provocado muchísimas conjeturas sobre su significado. No es para menos, comparar al escritor ruso con el Príncipe de las matemáticas (quién posiblemente conociera la existencia de las geometrías no euclidianas, aunque no lo manifestó para no incomodar a su amigo Farkos Bolyai, padre de Janos Bolyai).

Einstein nació en 1879, y Dostoyevsky escribió esta obra en 1880, unos meses antes de su muerte, y cuando Einstein tenia un año de edad. Además, según las cartas de Einstein al toxicólogo suizo Heinrich Zangger y al físico austríaco Paul Ehrenfest, se sabe que leyó la novela en 1920.

Aparte de algunos intentos atribuidos a Riemann y al celebrado libro de Hertz, había ya físicos anteriores a Eisntein que suponían que las geometrías no euclidianas tenían un significado físico. Y leyendo el pasaje de Dostoyevsky en su totalidad, queda claro que lo que él quería decir es que nuestro cerebro está armado de tal manera que, aun cuando la realidad física fuera no euclidiana, nuestra capacidad de razonamiento lo es. Esto está de acuerdo con la visión de Kant. O sea, el espacio-tiempo Aristotélico (ni siquiera el Newtoniano) es lo que viene ya de fábrica en nuestro cerebro. En otras palabras, si Einstein quisiera acercarse a una chica en un bar para ofrecerle una copa, su razonamiento incluiría solamente los conceptos clásicos de “abajo-arriba”, “adelante-atrás”, “la recta como camino más corto”, “el tiempo absoluto”, y demás. Lo que Dostoyevsky dice es que la capacidad del hombre para entender a Dios (o, como él dice, para crearlo) tiene sus límites, y esos límites incluyen la geometría euclidiana.

Einstein, Habicht y Solovine

Por lo tanto, deberíamos tomarnos muy en serio la cita de Einstein, o sea, puede que ese pequeño párrafo de Los Hermanos Karamazov haya tenido eco en la mente de Einstein, que podría haber sido debatido en la Academia Olympia, club de debate fundado por Einstein, Conrad Habicht y  Maurice Solovine en 1902, y que se reunía muchas veces en su propio apartamento (mucho antes de 1920). No olvidemos que Einstein era un gran lector, y que una de las obras que se leyeron en la Academia Olympia fue El Quijote. Y sucede muchas veces que una palabrita dicha al azar por cualquier persona nos haga ver todo un mundo nuevo, o nos haga abandonar nuestras creencias. O sea, podía haber sido posible que Einstein hubiera tomado esa frase pasajera como una revelación vital, mucho más importante (como se dice que Einstein dijo) que toda la obra matemática de Gauss.

Las evidencias no avalan esta tesis, pero que hermosa hubiera sido esta historia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias) y Marcelo Epstein (Universidad de Calgary, Canadá).

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Aniara


“Y mientras allí estaba conmovido, yerto de miedo y lleno de inquietud por su estado, el fonóglobo de la mima empezó de pronto a hablarme en el dialecto de la teoría tensorial superior avanzada que usamos la mima y yo en lo cotidiano.”

Aniara, Harry Martinson

Reseñamos hoy un libro muy especial “Aniara”, de Harry Martinson, un poema épico sobre el destino de la humanidad, una obra que a veces se califica de ciencia-ficción, aunque es un poema conmovedor, una de las obras más singulares y emocionantes del siglo XX.

 

 

Las influencias científicas en el poema de Martinson impregnan toda la obra. Por ejemplo, el espacio curvado por la materia de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein inspira su imagen como “un tazón de cristal”,  y el mismo autor confesó la influencia de otro físico notable como Paul Dirac.

Estamos hablando de probablemente la obra cumbre de un poeta que no es un cualquiera. Puede que no sea tan conocido en España, pero Martinson recibió el Premio Nobel de Literatura en 1974. Un Nobel controvertido, porque él era miembro de la Academia Sueca, el primer académico procedente del mundo del proletariado, tal y como le solían calificar.

 

Harry Martinson

Martinson tenía otra influencia además de la ciencia, el mar. Durante su atribulada vida: huérfano de padre a los seis años, en una familia de siete hermanos, abandonados por su padre, pasó a ser adptado por varias familias campesinas que lo obligaron a trabajar duramente aparte de maltratarlo. No es de extrañar que a los dieciséis años se enrolara como navegante durante seis años sucesivamente en diecinueve barcos. De la ciencia y su experiencia marinera, surge Aniara, una navegación por el espacio exterior durante quince mil años.

Con su familia

Al leer Aniara he vislumbrado muchos contenidos matemáticos y reproduciré algunos de ellos. El principal problema para reconocerlos es que Martinson ha creado una rima interna que no puede traducirse a otros oidiomas, a la vez que ha inventado un gran cantidad de neologismos. Así que la traducción del original sueco, versificado en pentámetros yámbicos, a los que se añaden pentasílabos, endecasílabos, alejandrinos, siempre en forma consonante. La traductora ha optado finalmente por una versión en prosa, que así y todo, conserva un ritmo espectacular.

El argumento es conocido en las novelas de ciencia-ficción: Aniara es el nombre de la nave espacial (la golgondra) cuya misión es transportar a Marte a los últimos supervivientes de una Tierra devastada por una explosión nuclear. Después de una colisión con un asteroide, la nave se sale del sistema solar y queda eternamente perdida en el espacio sin fin. La nave está regida por la Mima (¿una inteligencia artificial?) que muere durante el viaje. El narrador, el Homero espacial, va contando todo lo que va sucediendo hasta el verso final.

 

Dibujo de Harry Martinson

 

Creo que Aniara merece que algunos matemáticos suecos lo leyeran y buscaran las matemáticas que contienen, que en la traducción apenas se intuyen. Aquí van unos fragmentos:

Se agazapaban allí técnicos de todos los ramos que representaban la cuarta teoría tensorial, en tanto que los que mancillan el pensamiento puro se cubrían de gloria.

Sin embargo, como también para nosotros eran ajenos los tonos de aquella lengua tan alejada del país de las fórmulas, muy poco comprendíamos de las lecciones con las que quisimos tenderles una mano.”

Poema 31

 

“Pero aquí, fatalmente sujetos como estábamos al curso impuesto por la ley de la hipérbola, no podía desembocar su descubrimiento en nada fructífero, solo en un teorema que Isagel formuló con brillantez, pero que estaba condenado a venir con nosotros lejos, cada vez más lejos, hacia Lira, hasta desaparecer.”

Poema 39

 

“Un filósofo de la teoría numérica de conjuntos, y místico de la escuela alefnumérica, suele presentarse en la central Gopta con un cuestionario cumplimentado, se inclina discretamente ante Isagel, la lúcida, y se adentra luego en silencio en Aniara.

Isagel, que ve apropiada las cuestiones, coge el puñado de fórmulas y las codifica para la tercera posición racional de la mesa goptiana.

Y, transformado ya el grupo de fórmulas y una vez gopteada cuidadosamente la clase tensorial, las trasvasa al carro goptiano, antes de enjaezar a Robert, el ayudante espacial, el fiel rocín de nuestra liga de cerebros, para el arrastre de la carga de conjuntos numéricos.

Cuando el filósofo de conjuntos numéricos vuelve, Isagel le dice la verdad: que, a pesar de los muchos afanes de Robert, no hay gopta capaz de dar respuestas.

Y el señor Conjunto Numérico (así lo llamamos) , se inclina triste, humilde y silencioso y se aleja discretamente por las galerías de Aniara.”

Poema 47

 

En 2018 Aniara fue llevada al cine, con división de opiniones. Aquí pueden ver el trailer

 

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También se transformó en una ópera estrenada el 31 de mayo de 1959 en Estocolmo.

El libro está publicado en 2015 por Gallonero en una cuidada edición que inclye un mapa indicando el trayecto de la nave.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El medallista Fields que amaba el rugby


Cuando Vaughan Jones tenía 5 años, hizo su primer descubrimiento matemático: “Estaba aprendiendo la tabla de la suma y me di cuenta de que si uno más uno es igual a dos, entonces 100 más 100 debe ser igual a 200 – algo que la gente desde entonces me ha dicho que era un paso no trivial para un niño de 5 años”.

 

Nos enteramos con tristeza del fallecimiento de Sir Vaughan Frederick Randal Jones, uno de los matemáticos más brillantes de nuestros tiempos, ganador de la medalla Fields de 1990 por sus sensacionales descubrimientos en álgebras de von Neumann y teoría de nudos. Esta entrada está dedicada a honrrar su memoria.

 

Vaughan Jones

Vaughan Jones nació en Gisborne, Nueva Zelanda, el 31 de diciembre de 1952. Su infancia y juventud transcurrieron en su país natal. Tras cursar sus estudios en la Universidad de Auckland, se trasladó a Ginebra con una beca suiza, donde realizó su tesis doctoral, defendida en 1979, bajo la dirección de uno de los grandes matemáticos suizos, André Haefliger. Su tesis fue galardonada con el Premio Vacheron Constantin. En 1980 se trasladó a la Universidad de California en Los Ángeles, y después en la Universidad de Pennsylvania. En 1985 fue nombrado profesor de nuevo en la Universidad de California, esta vez en Berkeley.

En su laudatio en el ICM de Kyoto, Joan Birman dijo que:

En 1984 Jones descubrió una sorprendente relación entre las álgebras de von Neumann y la topología geométrica. Como resultado, encontró un nuevo polinomio invariante para nudos y enlaces en el espacio tridimensional. Su invariante había pasado completamente desapercibido para los topólogosfa, a pesar de la intensa actividad en áreas estrechamente relacionadas durante los 60 años anteriores, y fue una completa sorpresa…

Sobre su manera de trabajar, Birman añadió:

Su forma de trabajar es informal, animando al intercambio libre y abierto de ideas. En los últimos años, Jones escribió cartas a varios matemáticos describiendo sus trabajos, pero no se sentía todavía preparado para enviarlos a publicar a una revista.

Esto no es habitual en un científico, siempre preocupados por la prioridad en los descubrimientos.

El trabajo de Jones es realmente espectacular. Su motivación era el deseo de entender la estructura matemática de dimensión infinita de la Mecánica Cuántica, así que estudió la estructura de las álgebras de operadores introducidas por John von Neumann, que en ese tiempo estaba dando resultados muy notables bajo la batuta de Alain Connes. Jones construyó un índice que comparaba una álgebra y una subálgebra, índice finito, probablemente la primera cantidad finita que comparaba dos cantidadess infinitos. Ese “índice de Jones” provocó una auténtica revolución en el campo de la teoría de operadores. Jones, además, partiendo de este descubrimiento, fue capaz de asociar un polinomio a un nudo (llamado ahora polinomio de Jones), que servía para distinguir entre nudos, uno de los problemas más relevantes en teoría de nudos. Estos resultados tuvieron también una gran influencia en la Teoría Cuántica de Campos.

Jones desarrolló a lo largo de su vida una serie de servicios a la comunidad como la Vicepresidencia de la Unión Matemática Internacional (2014-2017), o su participación en el Comité de Programa del ICM de Madrid en 2006 (donde tuve ocasión de conocerle). Además de la medalla Fields, ha recibido muchos reconocimientos: académico de la Royal  Society, de la Academia de Ciencias de EE.UU, de la American Mathematical Society, entre muchos otros. Sus dos grandes pasiones, además de las matemáticas, fueron el windsurf y el kiteboarding.

Tras su fallecimiento eeste 8 de septiembre, su escuela de Nueva Zelanda, la Auckland Grammar School en la que estudió desde 1966 a 1969, decidió que su bandera ondeara a media asta para honrar al que ha sido el matemático más brillante de la historia de Nueva Zelanda.

Vaughan Jones causó sensación en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1990 en Kyoto, al presentarse para su conferencia plenaria como medallista Fields con su camiseta de los All Blacks de Nueva Zelanda. En el ICM de 2018 en Río de Janeiro, los organizadores hicieron circular este montaje que recordaba el hecho así como su trabajo.

 

Les dejamos con una entrevista con Vaughan Jones

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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