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Y me llevo una

Tengo un maravilloso libro en mis manos, y lo es por dos razones: una edición como hacía tiempo no veía en un libro de matemáticas, y un contenido extraordinario escrito no sólo bien, sino con un amor por las matemáticas y la educación ejemplares.

El libro se titula “Y me llevo una”, y su autor es un matemático bien conocido en los ámbitos de la divulgación, Joseángel Murcia, que muchos conocerán por su alias en redes sociales “Tocamates”. Joseángel es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia, profesor asociado en la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid, formador de maestros y asesor del método Smartick. Una persona dedicada a las matemáticas y a su enseñanza.

 

Joseángel Murcia

Según cuenta él mismo, el nacimiento de sus hijas le hizo preguntarse acerca de cómo aprenden los niños y por qué lo que en inicio es juego, vivencia y pasión acaba siendo rechazado por muchos. Esta inquietud impregna todas las páginas de este libro. Joseángel se ha hecho famoso por su blog Tocamates, desde donde propone problemas de matemáticas. Es un asiduo colaborador en periódicos y radio.

 

El libro comienza con un prólogo dedicado a la raíz cuadrada y termina con un epílogo sobre el logaritmo del producto (fórmula sobre la que cuenta una divertida anécdota de su época escolar). Entre medias, ocho capítulos en los que trata de los problemas de trenes y de como las soluciones no son siempre únicas, de las operaciones, números primos, el infinito, en fin, un recorrido por las matemáticas contado de una manera amena y divertida; un libro de los que se leen casi solos, en el que te deslizas por las páginas casi sin darte cuenta.

 

Cristina Daura

Pero además este libro está ilustrado por una de las mejores ilustradoras actuales, Cristina Daura. He aquí una breve biografía tal cual se reproduce en el propio libro: “Después de estudiar Ilustración en La Massana, complementa  sus  estudios  en  el  Maryland  Institute  College  of  Art  (Baltimore).  Un  día  decide  concentrarse  en  lo  que  en  el  fondo  le  hacía  ilusión:  dibujar  cómics  e  ilustrar  a  su  estilo.  Actualmente  trabaja  para  prensa  de  todo  el  mundo, grupos de música, libros y algunas cosas más. Se ha dicho que sus ilustraciones juegan entre una estética «infantil»  y  con  la  perversidad  de  alguien  que  no  acaba de estar bien de la cabeza. El cómic y el arte fauvista podrían ser sus mayores influencias. Eso y mucha televisión. Considera estar feliz, pero de vez en cuando vuelve a caer en una espiral de autoflagelación”.

Solo diré que la imagen que ilustra la historia de los puentes de Königsberg con ese Euler “cíclope” me ha conquistado para siempre.

En resumen, agradecer a Nórdica Libros y Capitán Swing por esta excelente edición, y al tándem Joseángel Murcia y Cristina Daura su coordinación. Estamos ante un libro al que le auguro un largo recorrido, y que muestra que las matemáticas han entrado en el mercado editorial por la puerta grande.

Aquí os dejo al autor en un charla TED con un título sugerente: “Me gustan los problemas”

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Los marcianos húngaros

Hubo un grupo de matemáticos y físicos que emigraron en la primera mitad del siglo XX de Hungría a los Estados Unidos, y que fueron conocidos como “Los marcianos”. Vamos a recordar en esta entrada su historia.

Leo Szilard

¿De dónde viene ese nombre? El culpable es Leó Szilárd, el físico que concibió la reacción nuclear en cadena, y quién escribió la famosa carta  (también firmada por Albert Einstein) dirigida al presidente de los Estados Unidos Franklin D. Roosevelt en agosto de 1939, que desembocó en el desarrollo del Programa Manhattan. Szilárd bromeaba diciendo que los húngaros eran como marcianos. A la pregunta de que no había evidencias de vida alienígena (la famosa paradoja de Enrico Fermi, si hay tantos posibles mundos en el universo, ¿dónde están sus habitantes?) contestó que ya estaban entre nosotros, pero que se llamaban a sí mismos, húngaros.

La lista del grupo era la siguiente (aunque se podría a ampliar con unos cuantos nombres más): Paul Erdős, Paul Halmos, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner, una colección de auténticos genios. Su manera de hablar inglés, con un marcado acento húngaro, su ininteligible idioma natal, y su increíble valía intelectual, hizo que el nombre cuajara. Se decían descendientes de una avanzada marciana que aterrizó en Budapest en 1900.

Estos “marcianos” emigraron de Hungría, unos antes de la Segunda Guerra Mundial y otros después, buscando mejores condiciones de vida, unos huyendo de los nazis alemanes y otros de los comunistas soviéticos. El gran beneficiado de esta emigración fue sin duda alguna Estados Unidos, que consiguió hacerse con científicos de talla extraordinaria, que no solo conocían una disciplina, sinoq ue transitaban entre varias con una creatividad vista pocas veces.

Theodore von Kármán y John von Neumann

En el libro The Martians of Science, István Hargittai, cuenta la histpria colectiva de cinco de ellos: Theodore von Kármán, John von Neumann, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner. Los cinco eran de Budapest, de familias judías de clase media-alta, educados en escuelas excelentes, asistieron a universiades de corte técnico, completaron sus estudios en Alemania, y emigraron a Estados Unidos. En cuanto a sus edades: el mayor era Von Kármán (1881); después. Szilárd nacido en 1898, Wigner en 1902, von Neumann en 1903 y Teller en 1908.

A principios de los años 1930, visto el antisemitismo nacido tras la Primera Guerra Mundial, decidieron emigrar. No es de extrañar que luego tuvieran un papel destacado en la Segunda Guerra Mundial y en la guerra fría.

Para cerrar este primer capítulo marciano, digamos que varios de ellos dieron nombre a cráteres lunares: Szilard, Von Neumann y Von Kármán, y este último tiene también su cráter marciano.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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Tesis doctorales, ¿son necesarios más controles?

Asistimos en estos últimos años a una proliferación de denuncias de plagios en tesis doctorales, que son especialmente difundidas por los medios de comunicación cuando se trata de personas con una relevancia política. Hay voces que claman por un mayor control en la elaboración y defensa de una tesis, pero estaría bien que la sociedad conociera los procedimientos que se siguen hasta que una memoria de investigación se traduce en una tesis doctoral.

 

Ceremonia d en la Universidad de Leyden el 7 de julio de 1721

Debo decir en primer lugar que esta reflexión que comparto con los lectores de Matemáticas y sus fronteras está motivada en buena parte por la visión del último Consejo de Gobierno de la Universidad Complutense de Madrid (enlace, https://www.youtube.com/watch?v=oyABv-6j8_Y).  En él, se trataron los dos casos de plagio que han salido en los medios (veáse, por ejemplo, esta noticia de El Mundo La Complutense investiga la tesis plagiada de un directivo de la Camilo José Cela).

En el interesante debate que se mantuvo en esta reunión, se habló de la inflación de tesis sufrida en 2016 (veánse sus declaraciones en este artículo de ABC, Dos expertos analizan la tesis plagiada en la Complutense y darán conclusiones en 15 días: “El rector de la Complutense, Joaquín Goyache, estima que los cambios legales – derivados de la implantación del Plan Bolonia – provocaron una multiplicación exponencial del número de tesis, lo que pudo generar que se relajaran los controles.”). Alguno sugería que el uso de programas informáticos detectores de plagio serían una solución al problema.

Recordemos como se inicia una tesis. El doctorando, junto con el director de la tesis, debe someter un proyecto de tesis a una comisión universitaria, y este es el primer control que debe hacerse. Si se trata de una tesis vinculada a un contrato FPI o FPU (una “beca de doctorado”, se diría antes) o similar, ese proyecto irá también en la solicitud. Esto implica un control muy exhaustivo por parte de comités de expertos en el tema en cuestión, de manera que si el proyecto es deficiente, ahí se terminará. Es más, una vez iniciada la tesis, hay que enviar en estos casos informes anuales de lo que se ha hecho, de las actividades del doctorando, con informes elaborados por este último y por su director, y validados por el responsable del centro. En cualquier caso, si se tarta de una tesis doctoral fuera de estos cauces, los controles son similares, y se imponen desde las Escuelas de Doctorado.

¿Qué ocurre una vez terminada la memoria a satisfacción del doctorando y su director? La tesis suele ser presentada en una suerte de prelectura pública en el deparatemnto en cuestión, y ahí se podrá ver su valía o sus deficiencias. Item más, la tesis se deposita en la universidad durante un tiempo para que cualquier profesor pueda examinarla. Y no acaba aquí la cosa, porque a continuación se debe someter a la Comisión de Doctorado la propuesta de un tribunal y un ejemplar de la tesis. Y una vez aprobado el tribunal y aceptada la la lectura de la tesis, ésta es defendida públicamente y el doctorando debe además responder a cuantas cuestiones le sometan los miembros del tribunal (se supone que 3 o 5 expertos en el tema), e incluso cualquier doctor presente en la sala.

Visto todo esto, uno se puede preguntar: ¿cómo se puede colar una tesis plagiada? ¿en un contexto en el que además se tiene acceso a bases de datos especializadas de todo tipo? La única manera de que se cuele un plagio es si hay una complicidad tanto de individuos como institucional. Porque de otra manera sería completamente imposible que estas tesis hubieran llegado siquiera a leerse.

La conclusión, al menos la mía, es que no hacen falta aumentar los controles, los tenemos ya, y si es imprescindible que las universidades y los que tengan autoridad sobre el tema, intervengan con sanciones para los que hayan permitido estas situaciones.

Para terminar con una sensación positiva, digamos que la mayoría de las tesis doctorales son trabajos consistentes, unos mejores que otros, por supuesto (y esto se mide objetivamente por la novedad de los resultados y las publicaciones resultantes). Pero esas pocas manzanas podridas hacen mucho daño a las instituciones universitarias y conviene aplicar medidas duras contra los que no siguen las buenas prácticas de la investigación.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Ceres y los matemáticos

Ceres fue el primer asteroide descubierto, cuando los astrónomos perseguían con sus observaciones descubrir un planeta desconocido entre las órbitas de Marte y Júpiter, planeta que debería existir de acuerdo con la llamada ley de Titius-Bode. Finalmente, el 1 de enero de 1801, y desde Palermo (Sicilia),  Giuseppe Piazzi observó lo que entonces calificó de un cometa. Pero, ¿por qué Ceres es tan relevante para los matemáticos?

Ceres, fotografía de 2015 por Justin Cowart

Piazzi lo bautizó como Ceres Ferdinandea, por la diosa romana de la agricultura, patrona de su tierra natal, Sicilia, y con el apellido Ferdinandea para honrar a su protector, el rey Fernando IV de Nápoles y Sicilia. Posteriormente, se eliminó este apellido por razones puramente políticas y Ceres se quedó solo con su nombre.

Giuseppe Piazzi

 

El problema de Piazzi era que con sus conocimeintos matemáticos solo podía trazar la órbita de Ceres por poco más de un mes (40 días). Al pasar ese tiempo, desapareció por el resplandor del Sol. Debía reaparecer después, pero Piazzi era incapaz de averigüar donde. Y aquí intervino el genio de uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, Carl Friedrich Gauss. Gauss oyó hablar de este problema y decidió resolverlo. Y en solo tres meses, comunicó a los atrónomos donde teníanq ue buscar, y allí fué redescubierto por Franz Xaver von Zach, en Gotah, y un día después por Heinrich Olbers en Bremen.

Carl Friedrich Gauss

Gauss, entonces un joven de 24 años, usó las leyes de Kepler para obtener una ecuación de grado ocho, de la cuál conocía una solución, la órbita de la Tierra. Y a continuación desarrolló un nuevo método de cálculo, lo que hoy llamamos método de los mínimos cuadrados. Imaginemos que tenemos una serie de datos, un conjunto de pares ordenados: el objetivo es encontrar la función continua que mejor se ajuste a los datos dados. Grosso modo, esa función minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias en las ordenadas entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos (veáse la figura).

Este método de mínimos cuadrados no se publicó sino hasta 1809, en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805, pero el mérito hay que dárselo a Gauss.

Digamos que entre las predicciones que hicieron muchos científicos para predecir la órbita de Ceres la de Gauss difería notablemente, pero resultó acertada con una precisión asombrosa.

El método de mínimos cuadrados es un excelente ejemplo de cómo las matemáticas puras se pueden aplicar para resolver problemas prácticos, y en este caso, el impacto fue enorme y se sigue aplicando hoy en día, habiéndose convertido en un paradigma de las matemáticas. Es por ello que la Sociedad Matemática Alemana (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) dedicó los beneficios del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 1998 en Berlín para poner en marcha el Premio Carl Friedrich Gauss, en colaboración con la Unión Matemática Internacional (IMU).

El Premio consta de una medalla y una cantidad en metálico, y se concediço por primera vez en el ICM de Madrid en 2006. En esa ocasión, recayó en el matemático japonés Kiyoshi Îto. El Premio Gauss se concede a aquellos matemáticos que han logrado, como en el caso de Gauss, avances que han supuesto un impacto significativo en nuestras vidas cotidianas.

 

El anverso de la medalla es una efigie de Gauss (de hecho, incompleta, ero nuestros ojos son capaces de reconstruir la imagen), y un reverso con un cuadrado y un círculo unidos en una órbita, recordando así la gesta de Gauss.

 

Desde 2006, Ceres ha sido elevado por la Unión Astronómica Internacional (IAU) a la categoría de planeta enano, compartiendo ese honor con Plutón. Pero, como hemos visto, Ceres ocupa un lugar privilegiado para los matemáticos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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La conjetura del girasol

Los matemáticos han mostrado siempre una gran prelidección por los girasoles, no olvidemos la relación entre las espirales a izquierda y derecha de sus semillas, siguiendo siempre el patrón marcado por la sucesión de Fibonacci. No es pues de extrañar que Paul Erdős y Richard Rado conjeturaran en 1960 un excitante problema sobre estas plantas, que acaba de tener un avance muy importante.

Girasol (Helianthus annuus)

El problema que plantearon Erdös y Rado preguntaba con que frecuencia uno esperaría entontrar patrones que se asemejaran a los girasoles el analizar una colección muy grande de objetos. Intentaremos en los párrafos que siguen dar una explicación más detallada del problema.

Paul Erdös

 

Richard Rado

Primero tendremos que definir lo que los matemáticos entendemos por un giraols: “un girasol de r pétalos es una colección de r conjuntos tales que la intersección de cada par es igual a la intersección de todos”. Lo que Erdös y Rado probaron en su día es lo que se llama el Lema del girasol: para un r fijado, r mayor o igual que 3, cualquier familia de conjuntos de w elementos con al menos ww conjuntos, debe contener un girasol. Si los conjuntos son S1, …, Sr, entonces la intersección de todos ellos

K = S1 ∩ … ∩ Sr

se llama el núcleo y los complementarios S1\K, …, Sr\K son los pétalos.

Un ejemplo de girasol

El resultado se ve en toda su dimensión si pensamos que para 100 puntos necesitaríamos 100100 conjuntos, una cantidad enorme. Así que Erdös y Rado, tras probar su lema, conjeturaron que debía haber una cota mucho más baja, que debería existir una constante c(r) tal que si el número de conjuntos de la familia dada era mayor o igual que c(r)w, entonces esa familia debería contener un girasol. Ellos pensaban que el problema era muy sencillo, pero no consiguieron probarlo, y no ha habido resultados significativos hasta este último de este año, 60 años después de formularse la conjetura.

La prueba de este resultado es interesante porque combina matemáticas fundamentales con la teoría de la computación. Los autores (Ryan Alweiss, Shachar Lovett, Kewen Wu y Jiapeng Zhang) del artículo en cuestión, titulado “Improved bounds for the sunflower lemma”,  combinaron sus experiencias en ambos campos, y mediante el uso de las llamadas funciones booleanas, consiguieron encontrar una cota satisfactoria; basta con (log w)w para garantizar un girasol.

Recordemos que una función booleana lleva palabras (codificadas con ceros y unos) en un 0 o en un 1; es decir, funciones f: Bn → B, donde B = {0, 1}.

Si alguien se pregunta qué interés puede tener un problema como este para el resto de la humanidad que no se dedica a las matemáticas, decirle que este es doble. Por una parte, es una muestra de cómo cuando aumentamos los datos, aparecen como venidos de la nada patrones; y por otra, es un mestizaje entre matemáticas y computación, que muestra como esta última descansa precisamente en los fundamentos de las matemáticas más abstractas.

En este video, podemos asistir a una conferencia sobre el tema impartida por uno de los autores del citado artículo Jiapeng Zhang, de la Universidad de Harvard:

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Diremos finalmente que este problema es el objeto del proyecto Polymath número 10: Improving the bounds for the Erdos-Rado sunflower lemma, puesto en marcha el 2 de noviembre de 2015.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Evaluar la docencia, ¿un problema todavía no resuelto?

Evaluar el rendimiento de un docente (y me voy a centrar solo en el ámbito universitario, el ámbito de la Secundaria merece una reflexión particular) es un tema de una gran dificultad y que genera un debate que todavía parece no haber encontrado una solución satisfactoria.

No pesenta dificultad la evaluación de la cantidad de docencia que se imparte, basta medir y certificar los créditos impartidos en las diferentes modalidades de profesorado. Pero, ¿cómo medir la calidad de la docencia impartida?  Y no olvidemos que lo que se persigue es garantizar la calidad no de la enseñanza impartida sino de cómo se imparte. Hay dos pasos en este objetivo: garantizar la calidad del profesor que va a acceder a la acreditación de alguna de las figuras de profesorado, y garantizar que, una vez se ha acreditado y ha sido contratado en alguna universidad, esa calidad se mantiene, lo que debe ser parte no solo de un control sino y más importante todavía, de un plan de formación permanente.

Hasta no hace mucho, la manera de contrastar la calidad de la docencia impartida por un aspirante se reducía prácticamente a las encuestas de satisfacción de los alumnos. Este es un tema polémico, ya que se puede argumentar que estas pueden estar sesgadas por muchos factores, como por ejemplo el grado de “bondad” de un determinado profesor en las calificaciones o la “dureza” de otro. Si se puede medir la puntualidad en las clases, o se pueden analizar los resultados conseguidos por los alumnos, pero evidentemente hacen falta más datos que unas encuestas. Si se trata de Trabajos de Fin de Grado o Trabajos de Fin de Máster, se puede tener en cuenta las calificaciones, y una medida positiva es si si estos trabajos resultan en mejores calificaciones que las esperadas a tenor del desempeño del alumno, lo que indicaría un mayor compromiso del profesor en cuestión.

Pueden también tomarse como signos de calidad la participación del profesor en proyectos docentes, en la elaboración de manuales, participación en congresos y actividades que persigan la mejora de la docencia, etc. Aunque no miden directamente la interacción con los alumnos, si muestran un interés por la mejora de la docencia a impartir.

La ANECA ha puesto en marcha desde 2007 el llamado Programa DOCENTIA, “en estrecha coordinación con las agencias de evaluación autonómicas, el Programa de Apoyo a la Evaluación de la Actividad Docente del Profesorado Universitario (DOCENTIA) con el objeto de apoyar a las universidades en el diseño de mecanismos propios para gestionar la calidad de la actividad docente del profesorado universitario y favorecer su desarrollo y reconocimiento.”

ENQUA (European Association for Quality Assurance in Higher Education), en sus Criterios y Directrices para la Garantía de la Calidad en el Espacio Europeo de Educación Superior, señala que es fundamental que el profesorado tenga:

  • Conocimiento y comprensión completos de la materia.
  • Conocimiento de métodos de aprendizaje y evaluación.
  • Habilidades y experiencia para transmitir el conocimiento.
  • Capacidad para atender a la diversidad de estudiantes.
  • Retroalimentación de su actuación.

El Programa DOCENTIA es en realidad muy ambicioso, se contempla formando parte crucial de la estrategia de la universidad en su afán de conseguir un modelo de excelencia académica. Un aspecto clave es la transparencia y la comunicación pública de los resultados del programa.

El Programa señala tres dimensiones: estratégica, metodológica y y de resultados, revisión y mejora. Y la pregunta del millón es: ¿cómo desarrollar este programa? Evidentemente, hay que planificar la docencia, después ejecutar lo planificado, y finalmente evaluar los resultados conseguidos.

El Programa contempla la responsabilidad de todos los actores, con informes del profesorado, los responsables académicos y los estudiantes. Hay evaluación interna (con representantes de todos los estamentos) pero también externa, que acaba emitiendo, en el caso favorable, un certificado de calidad válido por cinco años. Una consecuencia importante es que los profesores inmersos en esta evaluación global, obtendrían su certificado, evitando así la aportación de docenas y docenas de documentos conteniendo resultados de encuestas y otros certificados. Un ahorro burocrático sin duda muy estimable.

No sé si esta es la solución definitiva que garantizará la calidad de las enseñanzas universitarias. En cualquier caso, se está poniendo a prueba y los resultados se irán viendo en los próximos años.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

 

 

 

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El enigma Satoshi Nakamoto

El 31 de octubre de 2008, un desconocido llamado Satoshi Nakamoto publicó un artículo en abierto (un white paper) en una red de criptografía con el título “Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System”, que podría traducirse por “Bitcoin: Un Sistema de Efectivo Electrónico Usuario-a-Usuario”. La revolución del bitcoin había comenzado.

 

Este era el resumen que s epodía leer al comienzo del artículo:

Una versión puramente electrónica de efectivo permitiría que los pagos en línea fuesen enviados directamente, de un ente a otro, sin tener que pasar por medio de una institución financiera. Las firmas digitales proporcionan parte de la solución al problema, pero los beneficios principales se pierden si tiene que existir un tercero de confianza para prevenir el doble gasto. Proponemos una solución al problema del doble gasto utilizando una red usuario-a-usuario. La red coloca marcas de tiempo a las transacciones que introduce en una cadena continua de pruebas de trabajo basadas en el cálculo de hashes, formando un registro que no puede ser cambiado sin volver a recrear la prueba de trabajo completa. La cadena más larga no solo sirve como testigo y prueba de la secuencia de eventos, sino que asegura que está vino desde la agrupación con procesamiento de CPU más grande. Siempre que la mayoría del poder de procesamiento de CPU esté bajo el control de nodos que no cooperan para atacar la red, estos generarán la cadena más larga y llevarán ventaja a los atacantes. La red en sí misma requiere una estructura mínima. Los mensajes son enviados bajo la premisa del menor esfuerzo, y los nodos pueden irse y volver a unirse a la red cuando les parezca, aceptando la cadena más larga de prueba de trabajo, como prueba de lo que sucedió durante su ausencia.

(Por cierto, la traducción del artículo se puede encontrar en esta dirección web).

Una de las bases del bitcoin es la criptografía, disciplina que nació con el fin de poder comunicarse sin que terceras personas fueran capaces de conocer el mensaje incluso aunque tuvieran acceso al mismo. Desde las formas más primitivas que se usaron en la guerra, la política y las transacciones comerciales desde tiempos antiguos, se ha pasado a una criptografía que usa las tecnologías digitales y que está completamente sustentada por las matemáticas.  En este mundo dominado por la Red, laas comunicaciones privadas por correo electrónico y otras plataformas, nuestras transacciones comerciales, nuestra comunicación con las administraciones, se basa en la confianza que nos proporciona la supuest privacidad. Tenemos contraseñas que creemos seguras, pero que de tanto en tanto, demuestran no serlo. Desde la creación del algoritmo RSA de clave pública, basado en la descomposición de un número en sus factores primos, se ha pasado a métodos más sofisticados como las curvas elípticas.

 

El bitcoin usa un algoritmo que se llama SHA-256. SHA son las siglas de Secure Hash Algorithm (o Algoritmo de Hash Seguro). Un hash (hemos hablado de los hash en entradas anteriores, por ejemplo, “La seguridad de nuestras contraseñas“) es una secuencia alfanumérica única que se obtiene al codificar un archivo o un texto. Nosotros podremos recuperar el mensaje original pero la dificultad de hacerlo sin la clave es enorme (aunque la extensión del SHA es siempre la misma). Este algoritmo se usa para generar direcciones web de bitcoin pero además en el propio proceso de generación de los bitcoin (la llamada minería bitcoin).

¿Y cómo se generan los bitcoins? En primer lugar, se tarta de monedas digitales, y a diferencia de lo que puede hacer un banco central de un país imprimiendo dinero (que debería estar garantizado por las reservas de oro del país), el número de bitcoins está limitado a 21 millones de monedas. Cuando se ponen en circulación, se las lleva el primero que sea capaz de resolver un problema matemático (para lo que se precisa de ordenadores con una cierta potencia de cálculo), y en un tiempo limitado, que es de unos diez minutos de media.

 

Evolución del número de bitcoins

Los mineros crean registros que contiene todas las transacciones efectuadas y que cualquier usuario de la red puede verificar (lo que se llama una blockchain, la tecnología que surgió del bitcoin). Además, tal y como ocurre con el dinero metálico, un bitcoin no se puede usar simultáneamente en dos transacciones diferentes. Cuando un “minero” observa una transacción, la incorpora a un bloque de datos, y si resuelve el desafío correspondiente (esencialmente, un “elliptic curve digital signature algorithm” (ECDSA)), lo enlaza con bloques previos (eso es el blockchain, archivos que tienen alguna información de otros archivos a los que va enlazado). Así que el blockhain tiene dos ingredientes esenciales: los bloques de información y la red de ordenadores en cada uno de los cuáles está toda la información (esta no está repartida). Es como si el inventario de las transacciones lo contiene todo y está en todos los ordenadores: mayor seguridad sería imposible.

Los bitcoins son monedas y por lo tanto se pueden comprar cosas con ellos en muchos lugares. No solo eso, se pueden intercambiar, transferir, como el dinero ordinario.  Como curiosidad, digamos que la primera compra que se hizo con bitcoins, fueron dos pizzas de ka conocida cadena Papa John’s; el precio estipulado fue de 10.000 bitcoins por 30 dólares. Hoy en día nos podríamos comprar la tienda entera sin ningún problema con esa cantidad de bitcoins.

Volviendo a Satoshi Nakamoto, su identidad sigue sin conocerse. Hay teorías de todo tipo, y se le ha querido reconocer en unos cuantos personajes importantes de la computación. Otros opinan que no se trata de una persona sino de un grupo. Nadie lo sabe por el momento, aunque no cabe duda de que su propuesta el bitcoin (y la tecnología del blockchain) está cambiando nuestro mundo. De hecho, el economista de la Universidad de California en Los ángeles (UCLA), Bhagwan Chowdhry, sugirío en 2016 proponerlo para el Premio Nobel de Economía pero su candidatura fue rechazada por el Comité Nobel ya que no se puede premiar a personas que podrían no existir.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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¿Para que sirven las raíces cuadradas?

Este artículo es una reflexión sobre una entrevista reciente en El País al sr. Miguel Barrero, nuevo director de Educación de la Fundación Santillana, que parece ser lanza esta pregunta al auditorio: “¿Para qué sirve una raíz cuadrada?“ La entrevista, interesante, dejaba dudas sobre lo que realmente estaba detrás de las propuestas de innovación que se hacían, pero frases como esta: “Tener las aptitudes y el conocimiento para seguir aprendiendo a lo largo de la vida es más importante que saber matemáticas”, y otras sobre el papel de la neurociencia en la enseñanza, dejaron preocupados a más de uno.

 

Aproximación a la raíz cuadrada de 2 en una tablilla babilónica

El cálculo de áreas es necesario en la agricultura, y lleva a la obligación de resolver ecuaciones de segundo grado. Resolver una ecuación de segundo grado precisa del cálculo de raíces cuadradas. Esto ya lo sabían hacer los babilonios hace unos 4000 años, y hasta diseñaron un método algorítmico para extraer raíces, como se encuentra en las tablillas en las que escribían. Los egipcios lo hacían en sus papiros hace unos 3500 años, y también los matemáticos de la India hace unos 2500 años.

 

Papiro de Rhind

Este procedimiento lo perfeccionaron los árabes, y quizás debamos recordar que resolver ecuaciones de grado superior a 2 fue uno de los mayores problemas en la Italia de los siglos XV y XVI, con nombres como Cardano, Tartaglia, o Scipione del Ferro. De hecho, el símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático alemán Christoph Rudolff.

Saber si una ecuación se podía resolver o no por radicales (con raíces cuadradas o de orden superior) llevó a una de las historias más apasionantes de las matemáticas. Fue Niels Abel el que probó que a partir de quinto grado ya no era posible encontrar tales soluciones generales, y  finalmente el genio de Evariste Galois nos descubrió cuando saber si esto era posible o no con su fascinante y más viva que nunca teoría de Galois.

Evariste Galois

 

Y si nos quedamos con raíces más sencillas, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2, llegamos al increíble mundo de los números irracionales. Este hecho supuso una conmoción entre los matemáticos griegos, al romper la posibilidad de que toda magnitud se podía escribir como un cociente de dos enteras. Basta considerar un triángulo rectángulo isósceles de catetos con una unidad de longitud, y la hipotenusa ya no podrá ser medida de esa manera usando el Teorema de Pitágoras.

 

Leonhard Euler

Y podríamos recordar otra raíz cudrada, la de -1, el número complejo i (notación que debemos al gran Leonhard Euler). De nuevo, la necesidad de encontrar soluciones no reales de ecuaciones algebraicas condujo a la introducción de estos números, esenciales para el desarrollo de la matemática moderna.

Así que cuando el sr. Barrero pregunte para qué sirven las raíces cuadradas, no nos quedemos en el algoritmo para calcularlas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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ODSéate

Si juega a la Lotería Nacional (la de toda la vida, la de los sábados), habrá visto que los décimos tienen una ilustración muy especial y colorida, y que además el sorteo está dedicado a recordar la llamada Agenda 2030 que engloba los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS en abreviatura). Estos días se hará especial énfasis en este tema en redes sociales con el hagstag #ODSéate, y Matemáticas y sus fronteras se apunta a la campaña.

 

El 25 de septiembre de 2015, más de 150 jefes de Estado y de Gobierno se reunieron en la histórica Cumbre del Desarrollo Sostenible en la que aprobaron la Agenda 2030. Esta Agenda contiene 17 objetivos de aplicación universal que, desde el 1 de enero de 2016, rigen los esfuerzos de los países para lograr un mundo sostenible en el año 2030. Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) son herederos de los Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM) y buscan ampliar los éxitos alcanzados con ellos, así como lograr aquellas metas que no fueron conseguidas.

Es sin duda el mayor desafío planteado a la humanidad y en conseguirlos o no, radica la propia continuidad de nuestra especie. Los objetivos señalados son:

  • Erradicar la pobreza en todas sus formas en todo el mundo.
  • Poner fin al hambre, conseguir la seguridad alimentaria y una mejor nutrición, y promover la agricultura sostenible.
  • Garantizar una vida saludable y promover el bienestar para todos y todas en todas las edades.
  • Garantizar una educación de calidad inclusiva y equitativa, y promover las oportunidades de aprendizaje permanente para todos.
  • Alcanzar la igualdad entre los géneros y empoderar a todas las mujeres y niñas.
  • Garantizar la disponibilidad y la gestión sostenible del agua y el saneamiento para todos.
  • Asegurar el acceso a energías asequibles, fiables, sostenibles y modernas para todos.
  • Fomentar el crecimiento económico sostenido, inclusivo y sostenible, el empleo pleno y productivo, y el trabajo decente para todos.
  • Desarrollar infraestructuras resilientes, promover la industrialización inclusiva y sostenible, y fomentar la innovación.
  • Reducir las desigualdades entre países y dentro de ellos.
  • Conseguir que las ciudades y los asentamientos humanos sean inclusivos, seguros, resilientes y sostenibles.
  • Garantizar las pautas de consumo y de producción sostenibles.
  • Tomar medidas urgentes para combatir el cambio climático y sus efectos.
  • Conservar y utilizar de forma sostenible los océanos, mares y recursos marinos para lograr el desarrollo sostenible.
  • Proteger, restaurar y promover la utilización sostenible de los ecosistemas terrestres, gestionar de manera sostenible los bosques, combatir la desertificación y detener y revertir la degradación de la tierra, y frenar la pérdida de diversidad biológica.
  • Promover sociedades pacíficas e inclusivas para el desarrollo sostenible, facilitar acceso a la justicia para todos y crear instituciones eficaces, responsables e inclusivas a todos los niveles.
  • Fortalecer los medios de ejecución y reavivar la alianza mundial para el desarrollo sostenible.

Estos objetivos marcarán los programas de desarrollo hasta 2030, pero también la agenda educativa y científica. Comenzamos ya a ver como para la aprobación de un grado o un máster se nos exige decir con qué ODS están relacionados. Y lo mismo ocurre con los proyectos de investigación. Nos consta que el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades los ha incorporado a sus planes, y también el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), aunque todavía no se ven las ruedas de los 17 ODS en las universidades.

En Matemáticas y sus fronteras iremos analixzando en los próximos meses cada uno de los ODS apuntando en cada uno como las matemáticas tienen cosas que decir en todos ellos. Ojalá todo el mundo, y especialmente todos los científicos, tomen conciencia de la importancia de la Agenda 2030; nos jugamos mucho en el envite, no sól a la lotería.

Presentación del décimo dedicado a los ODS

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Máquinas como yo

Si en Descifrando a Alan, el libro terminaba con la manzana fatídica, en la última novela de Ian McEwan, Máquinas como yo, Alan ha sobrevivido a su injusto castigo, y en un distópico Londres de los años ochenta, se ha convertido en Sir Alan Turing.

Sí, en ese Londres imaginado, Alan no aceptó el castigo hormonal, pasó un tiempo corto en la cárcel en la que trabajó a su gusto, y se dedicó después a trabajar en numerosos temas. En particular, en la inteligencia artificial, permitiendo así la construcción de los primeros seres humanos sintéticos, auténticos replicantes que ahrían las delicias de Philip K. Dick.

Claro que Alan ha hecho muchas más cosas: ha resuelto de manera positiva la conjetura P versus NP, ha seguido publicando todos sus trabajos en abierto y ha conseguido (aquí redoble de tambores) que cierren Nature y Science. Es más, nuestro héroe vive ahora con su pareja, un relevante Premio Nobel de Física.

 

Ian McEwan

Pero en esta novela, Turing es una excusa para que McEwan siga debatiendo sobre las difíciles y tenues frontears entre el bien y el mal. El protagonista es un inadaptado joven de 30 años, Charlie Friend, compra una de esas máquinas, un Adán (la otra modalidad es una Eva). Y su vida y la de su vecina (y luego novia) Miranda cambian de una manera drástica.

Todos conocemos las famosas leyes de la Robótica propugnadas por Isaac Asimov para su cerebros positrónicos. Pero, ¿las cumplirá un robot de verdad? ¿Puede un robot distinguir plenamente entre el bien y el mal? ¿Puede entender que los humanos a veces mentimos para protegernos a nosotros mismos o proteger a otras personas? A fin de evitar el riesgo de hacer algún spoiler al lector interesado en la novela, digamos que hasta aquí puedo leer.

Los lectores que conocen ya a McEwan disfrutarán de esta novela, porque incluye todos sus ingredientes más queridos, y los que no, disfrutarán por partida doble. No es la primera vez que el autor recure a la ciencia como argumento, ya lo hizo en Solar con la física.

Y recordemos los versos con los que McEwan abre su libro, de un poema de Rudyard Kipling titulado “El secrero de las máquinas”

But remember, please, the Law by which we live,

We are not built to comprehend a lie,

We can neither love nor pity nor forgive.

If you make a slip in handling us you die!

We are greater than the Peoples or the Kings-

Be humble, as you crawl beneath our rods!–

Our touch can alter all created things,

We are everything on earth–except The Gods!

Though our smoke may hide the Heavens from your eyes,

It will vanish and the stars will shine again,

Because, for all our power and weight and size,

We are nothing more than children of your brain!

 

Traducción al español

Pero recuerda, por favor, la ley por la cual vivimos;

No estamos construidas para entender mentiras,

No podemos amar, ni  llorar ni perdonar.

Si  cometes un resbalón en nuestro manejo morirás!

Somos más grandes que los hombres  o los Reyes.

Sé humilde cuando te arrastres bajo nuestras bielas,

Nuestro contacto puede cambiar todas las cosas creadas.

Somos todo en la tierra salvo los dioses.

Aunque nuestro humo pueda ocultar los cielos a tus ojos,

Desaparecerá y las estrellas brillarán de nuevo;

Porque,  pese a todo nuestro poder, peso y tamaño,

No somos más que hijos de vuestra inteligencia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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