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De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos

“Demos a la  tierra la figura cúbica. La tierra es, en efecto, el más noble de los cuatro cuerpos (elementales) y el más capaz de recibir una forma determinada;  y estas cualidades suponen en el cuerpo que las tiene, las bases más firmes. Ahora bien, entre  los triángulos, que desde el principio distinguimos, los  que tienen los lados iguales tienen una base naturalmente más firme que los que los tienen desiguales; y de las dos figuras planas que ellos forman, el tetrágono equilátero es una base más estable que el triángulo equilátero;  porque así en sus partes como en su totalidad, está más sólidamente  constituido. No nos separamos, pues, de lo probable al atribuir esta forma a la tierra.”

Platón: “Timeo”, 360 a.C.

 

Demiurgo es una palabra de origen griego (δημιουργός, dēmiourgós), el ‘creador’. La definición de la Real Academia Española contiene dos acepciones: 1. m. Fil. En la filosofía platónica, divinidad que crea y armoniza el universo; y 2. m. Fil. En la filosofía de los gnósticos, alma universal, principio activo del mundo. Pero en sus orígenes, demiurgo es el artesano, y es Platón quien, en el Timeo, usa filosóficamente este nombre para referirse al artesano que construye el universo. El demiurgo parte del caos y lo ordena para construir el mundo, como un artesano crea una vasija a partir de un montón de barro.

 

Una representación del demiurgo

El demiurgo construye una copia del mundo ideal, y esa copia está basada en los elementos esenciales: el fuego, la tierra, el agua y el aire. Y estos elementos están compuestos de otros, precisamente los triángulos. Y no cualesquiera triángulos: los rectángulos isósceles y los rectángulos escalenos donde la hipotenusa es el doble del cateto más pequeño. Es decir, una escuadra y un cartabón.

Al universo el demiurgo le da la forma más perfecta: “Así, pues, dio  al mundo la forma de esfera, y puso por todas partes los extremos a igual distancia del centro, prefiriendo así la más perfecta de las figuras y la más semejante a ella misma; porque pensab que lo semejante es infinitamente más bello que lo desemejante.” Pero la forma de los elementos, aunque variada, tiene que ser también hermosa. Por lo tanto, usará los sólidos platónicos o pitagóricos. Así, a la tierra le corresponde la forma del cubo, y los lados de un cubo son cuadrados que se pueden formar uniendo dos triángulos rectángulos equiláteros.

De la misma manera, el fuego asume la forma del tetraedro, el agua el icosaedro, y el aire lo conformará el octaedro. Estos tres sólidos tienen como caras triángulos equiláteros, pero un triángulo equilátero se obtiene uniendo dos rectángulos escalenos con ángulos de 30º y 60º  (cartabones).

Se cree que fue Empédocles (480 –430 a.C.) quien por primera  vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el  agua  y  el  aire,  respectivamente. Y Platón lo recogió más tarde en el Timeo. Además, incluyó el dodecaedro, que formaba la sustancia de la que estaban hechas las estrellas y el firmamento, que debería ser ajena a las que confortmaban la Tierra. Así, el dodecaedro era la quintaesencia, el éter.

Los griegos estudiaron los sólidos platónicos y algunas fuentes sugieren que Pitágoras fue su descubridor. Se supone que solo conocía el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y fue más tarde Teeteto, contemporáneo de Platón, quién descubrió el octaedro y el icosaedro y dio una descripción matemática y la primera prueba de la no existencia de otros polígonos convexos regulares. Como sabemos, esta priueba descansa en la llamada fórmula de Euler que relaciona el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V):

C + V = A + 2

Siglos más tarde, en su obra, Mysterium Cosmographicum, publicada en 1596, Johannes Kepler propuso su modelo de Sistema Solar basado en los cinco sólidos platónicos. Se incluían unos en otros separados por esferas. Eran seis esferas que se correspondían a los seis planetas conocidos en ese momento: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Este modelo estaba inspirado en las ideas platónicas.

 

Terminamos con la conocida cita de Galileo Galilei sobre el lenguaje del universo, que confirma el buen trabajo de nuestro demiurgo matemático.

“La filosofía está escrita en este vasto libro que continuamente se ofrece a nuestros ojos (me refiero al universo), el cual, sin embargo, no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el alfabeto en que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguiría vagar por oscuros laberintos.”

Il Saggiatori, VI, 232, año 1623

NB. Agradezco a mi colega José Ignacio Extremiana (Universidad de La Rioja) por llamar mi atención al diálogo de Platón y la intervención del demiurgo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).


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Una mirada distinta de las matrices

Miradas Matemáticas, el proyecto que surgió de la colaboración entre el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la editorial Catarata, se va afianzando, y es un orgullo para todos nosotros presentar su décima entrega, este estupendo libro de Mireia López Beltrán y Pura Fornals Sánchez, “Una mirada distinta de las matrices”.

 

“Una mirada distinta de las matrices”, que lleva como subtítulo, “Viajes, retos y magia”, es un recorrido por una de las nocienes más relevnates en el mundo de las matemáticas, las matrices. Una matriz es una ordenación de números o letras dispuestos en foilas y columnas. Aunque las matrices surgieron conceptualmente más tarde que los determinantes, con los que están emparentadas de manera indisoluble, su interés no se queda solo en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que aprendimos en la escuela secundaria.

Así, el libro se divide en cinco capítulos. El primero comienza con la teoría de grafos y como las matrices ayudan a su comprensión, y llega a las aplicaciones a la World Wide Web y la ordenación de páginas web de buscadores como Google y su PageRank. Se cuenta en el segundo capítulo el uso de las matrices en el tratamiento de imágenes y las aplicaciones en criptografía. El capítulo 4 se dedica a cuestiones más lúdicas como la construcción de cuadrados latinos, pero también al uso de los mismos en el diseño de experimentos. Finalmente, en el capítulo 5 nos reencontramos con los determinantes y las soluciones de los sitemas de ecuaciones.

Como en todos los libros se la colección, se incluyen reseñas sobre los diferentes personajes que han contribuido a desarrollar la teoría de matrices, y que ayudan a colocar el correspondiente contexto histórico. Además, se insertan en cada capítulo una serie de ejercicios, de manera que la lectura sea no solo amena sino interactiva.

 

Sobre las autoras

Mireia López Beltrán

Es licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB) y doctora en Didáctica de las Matemáticas por la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). Profesora de educación secundaria, trabaja en el Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC). Es autora de diferentes artículos en didáctica de las matemáticas y coordinadora del proyecto Estalmat-Catalunya.

Mireia López Beltrán

 

Pura Fornals Sánchez

Es Catedrática de educación secundaria. Licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB), da clases en el instituto Francesc Macià de Cornellá de Llobregat. Presidenta del MMACA (Museu de Matemàtiques de Catalunya) y profesora del proyecto Estalmat-Catalunya y Anem x + Matemàtiques. Es autora de diferentes artículos y publicaciones y formadora de profesorado sobre el uso de materiales manipulativos en el aula.

Pura Fornals Sánchez

Finalmente, incluimos la página web de la colección https://www.catarata.org/libro/una-mirada-distinta-de-las-matrices_99964/ en donde los interesados encontrarán detalles para poder adquirir no solo este libro sino también los otros 9 de la colección.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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La masacre de Concordia

Este título es el que usaron los medios de comunicación canadienses para calificar los hechos que hoy vamos a recordar en Matemáticas y sus fronteras, pero también podríamos haber dicho que es la consecuencia de las malas prácticas académicas y el abuso de poder.

 

Valery Fabrikant

El 24 de agosto de 1992, un hombre armado abrió fuego en el noveno piso del Edificio Henry F. Hall ocasionando la muerte de cuatro profesores así como heridas a una secretaria. Este hombre era el profesor de Ingeniería Mecánica, Valery Fabrikant, que fue arrestado y sometido a juicio y condenado. Pero, ¿cuáles fueron las causas que lo llevaron a tomar esta tremenda e injustificable acción?

Digamos en primer lugar que Valery Fabrikant era un emigrado de la entonces Unión Soviética, un brillante ingeniero que había tenido muchas dificultades en su país por sus ideas poco ortodoxas con el régimen. Tras una larga historia de desencuentros con las autoridades soviéticas, tomó la decisión de emigrar a Canadá en 1979. También se ha dicho que su trayectoria problemática en la URSS era causada por su carácter, arrogante e intolerante. Fabrikant fue investigado por la KGB y debido quizás a su brillantez intelectual, se le permitió continuar trabajando en diferentes empleos a pesar de sus ideas.

Universidad de Concordia

Fabrikant recibía en Concordia un trato desigual. Su salario era más bajo, y sus solicitudes de empleo fijo (el “tenure”) fueron desatendidas. Las promesas de sus colegas no se cumplían, mientras que algunos firmaban sus investigaciones y recibían méritos por el trabajo que era fundamentalmente debido a Fabrikant. Una prueba de esto es que el Natural Sciences and Engineering Research Council (NSERC) de Canadá congeló los proyectos de investigación de los tres investigadores a los que había acusado Fabrikant; dos de ellos recibieron una suspensión temporal.

 

Fabrikant fue sentenciado a cadena perpetua, condena que cumple en al Archambault Institution in Sainte-Anne-des-Plaines, en Quebec. A sus 79 años, Fabrikant sigue trabajando, y en la afiliación de sus artículos de investigación se encuentra esta:

Prisoner #167932D, Archambault Jail Ste-Anne-des-Plaines, Canada.

Fabrikant trabaja en la teoría de la elasticidad, un campo entre la matemática aplicada y la ingeniería, y su perfil en Google Scholar da cuenta de sus resultados. Su carácter difícil convirtió su juicio en un auténtico circo: despidió a diez abogados, se defendió finalmente a sí mismo, insultó a expertos y jueces. Una vez en prisión, continuó con sus protestas, llegando a ser declarado un querulante (“vexatious litigant”) por la Corte Federal de Apelaciones, lo que limita sus posibles demandas judiciales. También se le denegaron las salidas temporales, ni siquiera acompañado.

Fabrikant, en 1992 en el tribunal

La masacre de Concordia llevó a que la universidad creara dos comités para estudiar los hechos acaecidos. La primera investigación fue coordinada por John Scott Cowan (Universidad de Ottawa), y el informe es conocido como “Lessons from the Fabrikant Files”, y también como “Informe Cowan”. El segundo lo dirigió Harry A. Arthurs (Universidad de York), y el informe se conoce como “ Integrity In Scholarship” y tambien el “Arthurs Report”.

El objetivo de ambos informes era estudiar los hechos, revisando el historial académico de Fabrikant, y analizando las acusaciones que este había hecho de sus colegas. Una consecuencia de este asunto fue el análisis de las políticas internas y los procedimientos relacionados con la ética de la investigación, y la consiguiente puesta en marcha de iniciativas para mejorar estos temas. También la Universidad de Concordia se unió a la lucha por el control de armas en los ámbitos universitarios.

La historia de Fabrikant arroja una leción sobre la ética académica que debe imperar en cualquier centro de investigación. Las autoridades académicas deben estar atentas a que un problema naciente no se convierta en un auténtico infierno para un individuo y todo el entorno. Las universidades y OPIS suelen tener Códigos de Ética y Comités de Ética que velan por el cumplimiento de esos códigos. Prestemos la atención debida para no tener que lamentar después males mayores, como ocurrió con el caso de Valery Fabrikant.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Y me llevo una

Tengo un maravilloso libro en mis manos, y lo es por dos razones: una edición como hacía tiempo no veía en un libro de matemáticas, y un contenido extraordinario escrito no sólo bien, sino con un amor por las matemáticas y la educación ejemplares.

El libro se titula “Y me llevo una”, y su autor es un matemático bien conocido en los ámbitos de la divulgación, Joseángel Murcia, que muchos conocerán por su alias en redes sociales “Tocamates”. Joseángel es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia, profesor asociado en la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid, formador de maestros y asesor del método Smartick. Una persona dedicada a las matemáticas y a su enseñanza.

 

Joseángel Murcia

Según cuenta él mismo, el nacimiento de sus hijas le hizo preguntarse acerca de cómo aprenden los niños y por qué lo que en inicio es juego, vivencia y pasión acaba siendo rechazado por muchos. Esta inquietud impregna todas las páginas de este libro. Joseángel se ha hecho famoso por su blog Tocamates, desde donde propone problemas de matemáticas. Es un asiduo colaborador en periódicos y radio.

 

El libro comienza con un prólogo dedicado a la raíz cuadrada y termina con un epílogo sobre el logaritmo del producto (fórmula sobre la que cuenta una divertida anécdota de su época escolar). Entre medias, ocho capítulos en los que trata de los problemas de trenes y de como las soluciones no son siempre únicas, de las operaciones, números primos, el infinito, en fin, un recorrido por las matemáticas contado de una manera amena y divertida; un libro de los que se leen casi solos, en el que te deslizas por las páginas casi sin darte cuenta.

 

Cristina Daura

Pero además este libro está ilustrado por una de las mejores ilustradoras actuales, Cristina Daura. He aquí una breve biografía tal cual se reproduce en el propio libro: “Después de estudiar Ilustración en La Massana, complementa  sus  estudios  en  el  Maryland  Institute  College  of  Art  (Baltimore).  Un  día  decide  concentrarse  en  lo  que  en  el  fondo  le  hacía  ilusión:  dibujar  cómics  e  ilustrar  a  su  estilo.  Actualmente  trabaja  para  prensa  de  todo  el  mundo, grupos de música, libros y algunas cosas más. Se ha dicho que sus ilustraciones juegan entre una estética «infantil»  y  con  la  perversidad  de  alguien  que  no  acaba de estar bien de la cabeza. El cómic y el arte fauvista podrían ser sus mayores influencias. Eso y mucha televisión. Considera estar feliz, pero de vez en cuando vuelve a caer en una espiral de autoflagelación”.

Solo diré que la imagen que ilustra la historia de los puentes de Königsberg con ese Euler “cíclope” me ha conquistado para siempre.

En resumen, agradecer a Nórdica Libros y Capitán Swing por esta excelente edición, y al tándem Joseángel Murcia y Cristina Daura su coordinación. Estamos ante un libro al que le auguro un largo recorrido, y que muestra que las matemáticas han entrado en el mercado editorial por la puerta grande.

Aquí os dejo al autor en un charla TED con un título sugerente: “Me gustan los problemas”

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Los marcianos húngaros

Hubo un grupo de matemáticos y físicos que emigraron en la primera mitad del siglo XX de Hungría a los Estados Unidos, y que fueron conocidos como “Los marcianos”. Vamos a recordar en esta entrada su historia.

Leo Szilard

¿De dónde viene ese nombre? El culpable es Leó Szilárd, el físico que concibió la reacción nuclear en cadena, y quién escribió la famosa carta  (también firmada por Albert Einstein) dirigida al presidente de los Estados Unidos Franklin D. Roosevelt en agosto de 1939, que desembocó en el desarrollo del Programa Manhattan. Szilárd bromeaba diciendo que los húngaros eran como marcianos. A la pregunta de que no había evidencias de vida alienígena (la famosa paradoja de Enrico Fermi, si hay tantos posibles mundos en el universo, ¿dónde están sus habitantes?) contestó que ya estaban entre nosotros, pero que se llamaban a sí mismos, húngaros.

La lista del grupo era la siguiente (aunque se podría a ampliar con unos cuantos nombres más): Paul Erdős, Paul Halmos, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner, una colección de auténticos genios. Su manera de hablar inglés, con un marcado acento húngaro, su ininteligible idioma natal, y su increíble valía intelectual, hizo que el nombre cuajara. Se decían descendientes de una avanzada marciana que aterrizó en Budapest en 1900.

Estos “marcianos” emigraron de Hungría, unos antes de la Segunda Guerra Mundial y otros después, buscando mejores condiciones de vida, unos huyendo de los nazis alemanes y otros de los comunistas soviéticos. El gran beneficiado de esta emigración fue sin duda alguna Estados Unidos, que consiguió hacerse con científicos de talla extraordinaria, que no solo conocían una disciplina, sinoq ue transitaban entre varias con una creatividad vista pocas veces.

Theodore von Kármán y John von Neumann

En el libro The Martians of Science, István Hargittai, cuenta la histpria colectiva de cinco de ellos: Theodore von Kármán, John von Neumann, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner. Los cinco eran de Budapest, de familias judías de clase media-alta, educados en escuelas excelentes, asistieron a universiades de corte técnico, completaron sus estudios en Alemania, y emigraron a Estados Unidos. En cuanto a sus edades: el mayor era Von Kármán (1881); después. Szilárd nacido en 1898, Wigner en 1902, von Neumann en 1903 y Teller en 1908.

A principios de los años 1930, visto el antisemitismo nacido tras la Primera Guerra Mundial, decidieron emigrar. No es de extrañar que luego tuvieran un papel destacado en la Segunda Guerra Mundial y en la guerra fría.

Para cerrar este primer capítulo marciano, digamos que varios de ellos dieron nombre a cráteres lunares: Szilard, Von Neumann y Von Kármán, y este último tiene también su cráter marciano.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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Tesis doctorales, ¿son necesarios más controles?

Asistimos en estos últimos años a una proliferación de denuncias de plagios en tesis doctorales, que son especialmente difundidas por los medios de comunicación cuando se trata de personas con una relevancia política. Hay voces que claman por un mayor control en la elaboración y defensa de una tesis, pero estaría bien que la sociedad conociera los procedimientos que se siguen hasta que una memoria de investigación se traduce en una tesis doctoral.

 

Ceremonia d en la Universidad de Leyden el 7 de julio de 1721

Debo decir en primer lugar que esta reflexión que comparto con los lectores de Matemáticas y sus fronteras está motivada en buena parte por la visión del último Consejo de Gobierno de la Universidad Complutense de Madrid (enlace, https://www.youtube.com/watch?v=oyABv-6j8_Y).  En él, se trataron los dos casos de plagio que han salido en los medios (veáse, por ejemplo, esta noticia de El Mundo La Complutense investiga la tesis plagiada de un directivo de la Camilo José Cela).

En el interesante debate que se mantuvo en esta reunión, se habló de la inflación de tesis sufrida en 2016 (veánse sus declaraciones en este artículo de ABC, Dos expertos analizan la tesis plagiada en la Complutense y darán conclusiones en 15 días: “El rector de la Complutense, Joaquín Goyache, estima que los cambios legales – derivados de la implantación del Plan Bolonia – provocaron una multiplicación exponencial del número de tesis, lo que pudo generar que se relajaran los controles.”). Alguno sugería que el uso de programas informáticos detectores de plagio serían una solución al problema.

Recordemos como se inicia una tesis. El doctorando, junto con el director de la tesis, debe someter un proyecto de tesis a una comisión universitaria, y este es el primer control que debe hacerse. Si se trata de una tesis vinculada a un contrato FPI o FPU (una “beca de doctorado”, se diría antes) o similar, ese proyecto irá también en la solicitud. Esto implica un control muy exhaustivo por parte de comités de expertos en el tema en cuestión, de manera que si el proyecto es deficiente, ahí se terminará. Es más, una vez iniciada la tesis, hay que enviar en estos casos informes anuales de lo que se ha hecho, de las actividades del doctorando, con informes elaborados por este último y por su director, y validados por el responsable del centro. En cualquier caso, si se tarta de una tesis doctoral fuera de estos cauces, los controles son similares, y se imponen desde las Escuelas de Doctorado.

¿Qué ocurre una vez terminada la memoria a satisfacción del doctorando y su director? La tesis suele ser presentada en una suerte de prelectura pública en el deparatemnto en cuestión, y ahí se podrá ver su valía o sus deficiencias. Item más, la tesis se deposita en la universidad durante un tiempo para que cualquier profesor pueda examinarla. Y no acaba aquí la cosa, porque a continuación se debe someter a la Comisión de Doctorado la propuesta de un tribunal y un ejemplar de la tesis. Y una vez aprobado el tribunal y aceptada la la lectura de la tesis, ésta es defendida públicamente y el doctorando debe además responder a cuantas cuestiones le sometan los miembros del tribunal (se supone que 3 o 5 expertos en el tema), e incluso cualquier doctor presente en la sala.

Visto todo esto, uno se puede preguntar: ¿cómo se puede colar una tesis plagiada? ¿en un contexto en el que además se tiene acceso a bases de datos especializadas de todo tipo? La única manera de que se cuele un plagio es si hay una complicidad tanto de individuos como institucional. Porque de otra manera sería completamente imposible que estas tesis hubieran llegado siquiera a leerse.

La conclusión, al menos la mía, es que no hacen falta aumentar los controles, los tenemos ya, y si es imprescindible que las universidades y los que tengan autoridad sobre el tema, intervengan con sanciones para los que hayan permitido estas situaciones.

Para terminar con una sensación positiva, digamos que la mayoría de las tesis doctorales son trabajos consistentes, unos mejores que otros, por supuesto (y esto se mide objetivamente por la novedad de los resultados y las publicaciones resultantes). Pero esas pocas manzanas podridas hacen mucho daño a las instituciones universitarias y conviene aplicar medidas duras contra los que no siguen las buenas prácticas de la investigación.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Ceres y los matemáticos

Ceres fue el primer asteroide descubierto, cuando los astrónomos perseguían con sus observaciones descubrir un planeta desconocido entre las órbitas de Marte y Júpiter, planeta que debería existir de acuerdo con la llamada ley de Titius-Bode. Finalmente, el 1 de enero de 1801, y desde Palermo (Sicilia),  Giuseppe Piazzi observó lo que entonces calificó de un cometa. Pero, ¿por qué Ceres es tan relevante para los matemáticos?

Ceres, fotografía de 2015 por Justin Cowart

Piazzi lo bautizó como Ceres Ferdinandea, por la diosa romana de la agricultura, patrona de su tierra natal, Sicilia, y con el apellido Ferdinandea para honrar a su protector, el rey Fernando IV de Nápoles y Sicilia. Posteriormente, se eliminó este apellido por razones puramente políticas y Ceres se quedó solo con su nombre.

Giuseppe Piazzi

 

El problema de Piazzi era que con sus conocimeintos matemáticos solo podía trazar la órbita de Ceres por poco más de un mes (40 días). Al pasar ese tiempo, desapareció por el resplandor del Sol. Debía reaparecer después, pero Piazzi era incapaz de averigüar donde. Y aquí intervino el genio de uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, Carl Friedrich Gauss. Gauss oyó hablar de este problema y decidió resolverlo. Y en solo tres meses, comunicó a los atrónomos donde teníanq ue buscar, y allí fué redescubierto por Franz Xaver von Zach, en Gotah, y un día después por Heinrich Olbers en Bremen.

Carl Friedrich Gauss

Gauss, entonces un joven de 24 años, usó las leyes de Kepler para obtener una ecuación de grado ocho, de la cuál conocía una solución, la órbita de la Tierra. Y a continuación desarrolló un nuevo método de cálculo, lo que hoy llamamos método de los mínimos cuadrados. Imaginemos que tenemos una serie de datos, un conjunto de pares ordenados: el objetivo es encontrar la función continua que mejor se ajuste a los datos dados. Grosso modo, esa función minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias en las ordenadas entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos (veáse la figura).

Este método de mínimos cuadrados no se publicó sino hasta 1809, en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805, pero el mérito hay que dárselo a Gauss.

Digamos que entre las predicciones que hicieron muchos científicos para predecir la órbita de Ceres la de Gauss difería notablemente, pero resultó acertada con una precisión asombrosa.

El método de mínimos cuadrados es un excelente ejemplo de cómo las matemáticas puras se pueden aplicar para resolver problemas prácticos, y en este caso, el impacto fue enorme y se sigue aplicando hoy en día, habiéndose convertido en un paradigma de las matemáticas. Es por ello que la Sociedad Matemática Alemana (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) dedicó los beneficios del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 1998 en Berlín para poner en marcha el Premio Carl Friedrich Gauss, en colaboración con la Unión Matemática Internacional (IMU).

El Premio consta de una medalla y una cantidad en metálico, y se concediço por primera vez en el ICM de Madrid en 2006. En esa ocasión, recayó en el matemático japonés Kiyoshi Îto. El Premio Gauss se concede a aquellos matemáticos que han logrado, como en el caso de Gauss, avances que han supuesto un impacto significativo en nuestras vidas cotidianas.

 

El anverso de la medalla es una efigie de Gauss (de hecho, incompleta, ero nuestros ojos son capaces de reconstruir la imagen), y un reverso con un cuadrado y un círculo unidos en una órbita, recordando así la gesta de Gauss.

 

Desde 2006, Ceres ha sido elevado por la Unión Astronómica Internacional (IAU) a la categoría de planeta enano, compartiendo ese honor con Plutón. Pero, como hemos visto, Ceres ocupa un lugar privilegiado para los matemáticos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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La conjetura del girasol

Los matemáticos han mostrado siempre una gran prelidección por los girasoles, no olvidemos la relación entre las espirales a izquierda y derecha de sus semillas, siguiendo siempre el patrón marcado por la sucesión de Fibonacci. No es pues de extrañar que Paul Erdős y Richard Rado conjeturaran en 1960 un excitante problema sobre estas plantas, que acaba de tener un avance muy importante.

Girasol (Helianthus annuus)

El problema que plantearon Erdös y Rado preguntaba con que frecuencia uno esperaría entontrar patrones que se asemejaran a los girasoles el analizar una colección muy grande de objetos. Intentaremos en los párrafos que siguen dar una explicación más detallada del problema.

Paul Erdös

 

Richard Rado

Primero tendremos que definir lo que los matemáticos entendemos por un giraols: “un girasol de r pétalos es una colección de r conjuntos tales que la intersección de cada par es igual a la intersección de todos”. Lo que Erdös y Rado probaron en su día es lo que se llama el Lema del girasol: para un r fijado, r mayor o igual que 3, cualquier familia de conjuntos de w elementos con al menos ww conjuntos, debe contener un girasol. Si los conjuntos son S1, …, Sr, entonces la intersección de todos ellos

K = S1 ∩ … ∩ Sr

se llama el núcleo y los complementarios S1\K, …, Sr\K son los pétalos.

Un ejemplo de girasol

El resultado se ve en toda su dimensión si pensamos que para 100 puntos necesitaríamos 100100 conjuntos, una cantidad enorme. Así que Erdös y Rado, tras probar su lema, conjeturaron que debía haber una cota mucho más baja, que debería existir una constante c(r) tal que si el número de conjuntos de la familia dada era mayor o igual que c(r)w, entonces esa familia debería contener un girasol. Ellos pensaban que el problema era muy sencillo, pero no consiguieron probarlo, y no ha habido resultados significativos hasta este último de este año, 60 años después de formularse la conjetura.

La prueba de este resultado es interesante porque combina matemáticas fundamentales con la teoría de la computación. Los autores (Ryan Alweiss, Shachar Lovett, Kewen Wu y Jiapeng Zhang) del artículo en cuestión, titulado “Improved bounds for the sunflower lemma”,  combinaron sus experiencias en ambos campos, y mediante el uso de las llamadas funciones booleanas, consiguieron encontrar una cota satisfactoria; basta con (log w)w para garantizar un girasol.

Recordemos que una función booleana lleva palabras (codificadas con ceros y unos) en un 0 o en un 1; es decir, funciones f: Bn → B, donde B = {0, 1}.

Si alguien se pregunta qué interés puede tener un problema como este para el resto de la humanidad que no se dedica a las matemáticas, decirle que este es doble. Por una parte, es una muestra de cómo cuando aumentamos los datos, aparecen como venidos de la nada patrones; y por otra, es un mestizaje entre matemáticas y computación, que muestra como esta última descansa precisamente en los fundamentos de las matemáticas más abstractas.

En este video, podemos asistir a una conferencia sobre el tema impartida por uno de los autores del citado artículo Jiapeng Zhang, de la Universidad de Harvard:

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Diremos finalmente que este problema es el objeto del proyecto Polymath número 10: Improving the bounds for the Erdos-Rado sunflower lemma, puesto en marcha el 2 de noviembre de 2015.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Evaluar la docencia, ¿un problema todavía no resuelto?

Evaluar el rendimiento de un docente (y me voy a centrar solo en el ámbito universitario, el ámbito de la Secundaria merece una reflexión particular) es un tema de una gran dificultad y que genera un debate que todavía parece no haber encontrado una solución satisfactoria.

No pesenta dificultad la evaluación de la cantidad de docencia que se imparte, basta medir y certificar los créditos impartidos en las diferentes modalidades de profesorado. Pero, ¿cómo medir la calidad de la docencia impartida?  Y no olvidemos que lo que se persigue es garantizar la calidad no de la enseñanza impartida sino de cómo se imparte. Hay dos pasos en este objetivo: garantizar la calidad del profesor que va a acceder a la acreditación de alguna de las figuras de profesorado, y garantizar que, una vez se ha acreditado y ha sido contratado en alguna universidad, esa calidad se mantiene, lo que debe ser parte no solo de un control sino y más importante todavía, de un plan de formación permanente.

Hasta no hace mucho, la manera de contrastar la calidad de la docencia impartida por un aspirante se reducía prácticamente a las encuestas de satisfacción de los alumnos. Este es un tema polémico, ya que se puede argumentar que estas pueden estar sesgadas por muchos factores, como por ejemplo el grado de “bondad” de un determinado profesor en las calificaciones o la “dureza” de otro. Si se puede medir la puntualidad en las clases, o se pueden analizar los resultados conseguidos por los alumnos, pero evidentemente hacen falta más datos que unas encuestas. Si se trata de Trabajos de Fin de Grado o Trabajos de Fin de Máster, se puede tener en cuenta las calificaciones, y una medida positiva es si si estos trabajos resultan en mejores calificaciones que las esperadas a tenor del desempeño del alumno, lo que indicaría un mayor compromiso del profesor en cuestión.

Pueden también tomarse como signos de calidad la participación del profesor en proyectos docentes, en la elaboración de manuales, participación en congresos y actividades que persigan la mejora de la docencia, etc. Aunque no miden directamente la interacción con los alumnos, si muestran un interés por la mejora de la docencia a impartir.

La ANECA ha puesto en marcha desde 2007 el llamado Programa DOCENTIA, “en estrecha coordinación con las agencias de evaluación autonómicas, el Programa de Apoyo a la Evaluación de la Actividad Docente del Profesorado Universitario (DOCENTIA) con el objeto de apoyar a las universidades en el diseño de mecanismos propios para gestionar la calidad de la actividad docente del profesorado universitario y favorecer su desarrollo y reconocimiento.”

ENQUA (European Association for Quality Assurance in Higher Education), en sus Criterios y Directrices para la Garantía de la Calidad en el Espacio Europeo de Educación Superior, señala que es fundamental que el profesorado tenga:

  • Conocimiento y comprensión completos de la materia.
  • Conocimiento de métodos de aprendizaje y evaluación.
  • Habilidades y experiencia para transmitir el conocimiento.
  • Capacidad para atender a la diversidad de estudiantes.
  • Retroalimentación de su actuación.

El Programa DOCENTIA es en realidad muy ambicioso, se contempla formando parte crucial de la estrategia de la universidad en su afán de conseguir un modelo de excelencia académica. Un aspecto clave es la transparencia y la comunicación pública de los resultados del programa.

El Programa señala tres dimensiones: estratégica, metodológica y y de resultados, revisión y mejora. Y la pregunta del millón es: ¿cómo desarrollar este programa? Evidentemente, hay que planificar la docencia, después ejecutar lo planificado, y finalmente evaluar los resultados conseguidos.

El Programa contempla la responsabilidad de todos los actores, con informes del profesorado, los responsables académicos y los estudiantes. Hay evaluación interna (con representantes de todos los estamentos) pero también externa, que acaba emitiendo, en el caso favorable, un certificado de calidad válido por cinco años. Una consecuencia importante es que los profesores inmersos en esta evaluación global, obtendrían su certificado, evitando así la aportación de docenas y docenas de documentos conteniendo resultados de encuestas y otros certificados. Un ahorro burocrático sin duda muy estimable.

No sé si esta es la solución definitiva que garantizará la calidad de las enseñanzas universitarias. En cualquier caso, se está poniendo a prueba y los resultados se irán viendo en los próximos años.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

 

 

 

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El enigma Satoshi Nakamoto

El 31 de octubre de 2008, un desconocido llamado Satoshi Nakamoto publicó un artículo en abierto (un white paper) en una red de criptografía con el título “Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System”, que podría traducirse por “Bitcoin: Un Sistema de Efectivo Electrónico Usuario-a-Usuario”. La revolución del bitcoin había comenzado.

 

Este era el resumen que s epodía leer al comienzo del artículo:

Una versión puramente electrónica de efectivo permitiría que los pagos en línea fuesen enviados directamente, de un ente a otro, sin tener que pasar por medio de una institución financiera. Las firmas digitales proporcionan parte de la solución al problema, pero los beneficios principales se pierden si tiene que existir un tercero de confianza para prevenir el doble gasto. Proponemos una solución al problema del doble gasto utilizando una red usuario-a-usuario. La red coloca marcas de tiempo a las transacciones que introduce en una cadena continua de pruebas de trabajo basadas en el cálculo de hashes, formando un registro que no puede ser cambiado sin volver a recrear la prueba de trabajo completa. La cadena más larga no solo sirve como testigo y prueba de la secuencia de eventos, sino que asegura que está vino desde la agrupación con procesamiento de CPU más grande. Siempre que la mayoría del poder de procesamiento de CPU esté bajo el control de nodos que no cooperan para atacar la red, estos generarán la cadena más larga y llevarán ventaja a los atacantes. La red en sí misma requiere una estructura mínima. Los mensajes son enviados bajo la premisa del menor esfuerzo, y los nodos pueden irse y volver a unirse a la red cuando les parezca, aceptando la cadena más larga de prueba de trabajo, como prueba de lo que sucedió durante su ausencia.

(Por cierto, la traducción del artículo se puede encontrar en esta dirección web).

Una de las bases del bitcoin es la criptografía, disciplina que nació con el fin de poder comunicarse sin que terceras personas fueran capaces de conocer el mensaje incluso aunque tuvieran acceso al mismo. Desde las formas más primitivas que se usaron en la guerra, la política y las transacciones comerciales desde tiempos antiguos, se ha pasado a una criptografía que usa las tecnologías digitales y que está completamente sustentada por las matemáticas.  En este mundo dominado por la Red, laas comunicaciones privadas por correo electrónico y otras plataformas, nuestras transacciones comerciales, nuestra comunicación con las administraciones, se basa en la confianza que nos proporciona la supuest privacidad. Tenemos contraseñas que creemos seguras, pero que de tanto en tanto, demuestran no serlo. Desde la creación del algoritmo RSA de clave pública, basado en la descomposición de un número en sus factores primos, se ha pasado a métodos más sofisticados como las curvas elípticas.

 

El bitcoin usa un algoritmo que se llama SHA-256. SHA son las siglas de Secure Hash Algorithm (o Algoritmo de Hash Seguro). Un hash (hemos hablado de los hash en entradas anteriores, por ejemplo, “La seguridad de nuestras contraseñas“) es una secuencia alfanumérica única que se obtiene al codificar un archivo o un texto. Nosotros podremos recuperar el mensaje original pero la dificultad de hacerlo sin la clave es enorme (aunque la extensión del SHA es siempre la misma). Este algoritmo se usa para generar direcciones web de bitcoin pero además en el propio proceso de generación de los bitcoin (la llamada minería bitcoin).

¿Y cómo se generan los bitcoins? En primer lugar, se tarta de monedas digitales, y a diferencia de lo que puede hacer un banco central de un país imprimiendo dinero (que debería estar garantizado por las reservas de oro del país), el número de bitcoins está limitado a 21 millones de monedas. Cuando se ponen en circulación, se las lleva el primero que sea capaz de resolver un problema matemático (para lo que se precisa de ordenadores con una cierta potencia de cálculo), y en un tiempo limitado, que es de unos diez minutos de media.

 

Evolución del número de bitcoins

Los mineros crean registros que contiene todas las transacciones efectuadas y que cualquier usuario de la red puede verificar (lo que se llama una blockchain, la tecnología que surgió del bitcoin). Además, tal y como ocurre con el dinero metálico, un bitcoin no se puede usar simultáneamente en dos transacciones diferentes. Cuando un “minero” observa una transacción, la incorpora a un bloque de datos, y si resuelve el desafío correspondiente (esencialmente, un “elliptic curve digital signature algorithm” (ECDSA)), lo enlaza con bloques previos (eso es el blockchain, archivos que tienen alguna información de otros archivos a los que va enlazado). Así que el blockhain tiene dos ingredientes esenciales: los bloques de información y la red de ordenadores en cada uno de los cuáles está toda la información (esta no está repartida). Es como si el inventario de las transacciones lo contiene todo y está en todos los ordenadores: mayor seguridad sería imposible.

Los bitcoins son monedas y por lo tanto se pueden comprar cosas con ellos en muchos lugares. No solo eso, se pueden intercambiar, transferir, como el dinero ordinario.  Como curiosidad, digamos que la primera compra que se hizo con bitcoins, fueron dos pizzas de ka conocida cadena Papa John’s; el precio estipulado fue de 10.000 bitcoins por 30 dólares. Hoy en día nos podríamos comprar la tienda entera sin ningún problema con esa cantidad de bitcoins.

Volviendo a Satoshi Nakamoto, su identidad sigue sin conocerse. Hay teorías de todo tipo, y se le ha querido reconocer en unos cuantos personajes importantes de la computación. Otros opinan que no se trata de una persona sino de un grupo. Nadie lo sabe por el momento, aunque no cabe duda de que su propuesta el bitcoin (y la tecnología del blockchain) está cambiando nuestro mundo. De hecho, el economista de la Universidad de California en Los ángeles (UCLA), Bhagwan Chowdhry, sugirío en 2016 proponerlo para el Premio Nobel de Economía pero su candidatura fue rechazada por el Comité Nobel ya que no se puede premiar a personas que podrían no existir.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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