Un reciente avance matemático muestra que, en el universo de los llamados números p-ádicos, se pueden eludir límites que en la física clásica parecen inquebrantables. El descubrimiento abre una nueva frontera para entender cómo podrían describirse las leyes fundamentales del movimiento y la energía
Los números primos son uno de los grandes mitos de las matemáticas modernas y en base a ellos se pueden construir otros números muy peculiares, de naturaleza fractal, llamados los números p-ádicos, y que contienen a todos los enteros y las fracciones pero que los huecos entre ellos (como la raíz de 2, etc.), se rellenan de modo distinto al habitual. Estos números se han abierto paso en la geometría algebraica y el gran matemático contemporáneo Peter Scholze recibió la Medalla Fields en parte por su trabajo con estos extravagantes números.
Más recientemente, los números p-ádicos han llegado a un área fascinante de las matemáticas llamada geometría simpléctica. La geometría simpléctica constituye los cimientos del lenguaje matemático de los movimientos físicos, la conservación de la energía, la teoría cuántica y el procesamiento de señales. Si algo se mueve, vibra, gira, órbita o evoluciona con el tiempo, la geometría simpléctica está detrás de escena. Como tal, sus conceptos han encontrado increíbles aplicaciones en la simulación de trayectorias de cohetes, el diseño de viajes espaciales y el estudio de patrones climáticos. ¿Qué tienen que ver los números p-ádicos con esto?
Hace unos diez años, otro Medalla Fields Vladimir Voevodsky, el matemático estadounidense Michael Warren y el matemático y catedrático Álvaro Pelayo, de la Universidad Complutense, empezaron a explorar cómo desarrollar la geometría simpléctica, pero usando números p-ádicos. Hoy esta nueva área se denomina geometría simpléctica p-ádica. Aunque estos autores hicieron varias predicciones sobre el futuro de esta nueva área, por aquél entonces no llegó a cuajar ningún resultado concreto.
Pero físicos famosos como Freund o Susskind utilizaron los números p-ádicos en sus estudios sobre la teoría de cuerdas o la inflación eterna en cosmología, y muchos ven estos números como una forma poderosa de modelar nuestro mundo físico. Dado que la geometría simpléctica está tan ligada a la física, todo hacía esperar que las predicciones de Pelayo-Voevodsky-Warren serían ciertas. Y así ha sido. Para poner lo que ha ocurrido en contexto, uno de los resultados más sorprendentes de la geometría simpléctica clásica es el Teorema de No Estrujamiento de Gromov, que afirma que no se puede "estrujar" una bola gruesa dentro de un cilindro delgado preservando las áreas de las secciones de la bola (como la rodaja de una naranja). Según el famoso geómetra estadounidense Alan Weinstein, de Berkeley, este teorema es una versión geométrica del Principio de Incertidumbre de Heisenberg.
Este principio establece que la incertidumbre en la posición y el momento de una partícula es siempre mayor que una constante universal. Para explicarlo, pensemos en el espacio euclídeo estándar de 2n dimensiones, y donde hay n coordenadas de posición x_i y n coordenadas de momento y_i. La evolución del estado de una partícula se da precisamente mediante las transformaciones que aparecen en el resultado de Gromov. Si se sabe que el estado de la partícula está en una bola de radio r, entonces la incertidumbre de x_i e y_i (un par de variables conjugadas posición/momento) es π multiplicado por r^2. Si quisiéramos reducir la incertidumbre en esas variables, tendríamos que transformar el espacio de modo que la bola quedará incrustada en un cilindro de radio menor que r. Esto es imposible por el teorema de Gromov. Por tanto, siempre hay incertidumbre en el mundo clásico. ¿Y en el mundo p-ádico?
En 2025, Luis Crespo de la Universidad de Cantabria y Álvaro Pelayo publicaron un preprint, ahora aceptado en la Revista Matemática Complutense, demostrando que sí se puede estrujar al estilo de Gromov, si uno mide distancias con números p-ádicos, y por tanto el Principio de Incertidumbre de Heisenberg no se cumple para estos números. Cómo interpretar esto queda abierto al debate: podría significar que nuestro mundo no puede ser modelado adecuadamente usando números p-ádicos, o, todo lo contrario. Aún no está claro; lo que sí es evidente es que un área de investigación fascinante con un gran potencial se está abriendo ante nuestros ojos.
Fotografía de portada: CC Deutsches Bundesarchiv
