La mecánica atómica es tan clásica como el movimiento de los planetas

En su artículo básico y revolucionario de Enero de 1926, Erwin Schroedinger tomó finalmente al toro por los cuernos y se puso a investigar lo que debería haber hecho Niels Bohr al aceptar el modelo planetario de Rutherford para el átomo, es decir, las órbitas de los electrones alrededor del núcleo mediante las ecuaciones básicas de la Mecánica.  El problema de Bohr eran los números naturales asignados empíricamente a las órbitas, o más bien a los valores permitidos para las energías de los electrones. Estos números naturales surgen en la mecánica clásica en el problema de la oscilación de las cuerdas vibrantes, o los modos de vibración de cualquier instrumento musical, y como veremos aquí, aparecen también directamente en el movimiento planetario.

Este movimiento es el de uno o un conjunto de cuerpos (sin especificar)  que se mueven bajo una fuerza central derivada de un potencial cuya forma es (1/r) donde r es la distancia ente un núcleo o una estrella. Si Ε es la energía de uno de esos cuerpos, su movimiento está descrito por la solución de una serie de ecuaciones en derivadas parciales que se pueden englobar de una forma forma muy resumida mediante la máquina u operador de Hamilton, y las ligaduras necesarias, como condiciones iniciales y de contorno, sin las cuales las ecuaciones no son más que símbolos no operativos.  La ecuación es 

H(r,∂S/∂r) = E

donde r es el vector de posición cuyo valor absoluto es r.  S es el símbolo de la acción cuyo mejor significado es el mismo que el de la entropía: Una herramienta humana que permite avanzar en la resolución de problemas, otra palanca o máquina. 

Schroedinger introduce ahora una nueva variable, la función ψ que ha llegado a ser el símbolo de la mecánica atómica. 

ψ = exp(S/K).

Elegimos que la función ψ(r) (dejando de lado, de momento, su dependencia en el tiempo) sea unívoca, diferenciable dos veces y continua.  

en función de ψ la ecuación de Hamilton se escribe ahora 

H(r,(K/ψ)∂ψ/∂r) =E                                                                            (1)

donde E es la energia del sistema.

En coordenadas cartesianas   

(∂ψ/∂x)² + (∂ψ/∂y)² + (∂ψ/∂z)² – (A/K²)(E-B/r)ψ²       =  0         (2)

donde  A y B son las constantes de cada problema, atómico o planetario.                                                

Una posible solución de (1), sometida a las ligaduras necesarias, se puede encontrar pasando de coordenadas cartesianas a esféricas. La solución para las coordenadas angulares es una función armónica esférica Y(m,n)[θ,φ] mientras que para la función radial χ(r) se puede escribir la ecuación

d²χ/dr² + (2/r)dχ/dr + [CE + (D/K²)(1/r) -n(n+1)/r²]χ =0 . n= 0,1,2, …  (3)

Una ecuación diferencial, no lineal (1/r, 1/r²), y con números naturales como parámetros. Estos números son consecuencia de las soluciones armónicas esféricas. Derivan de la ecuación (2) que es válida para el potencial eléctrico y el gravitatorio. Las condiciones de contorno (2, pues la ecuación es de segundo orden) son que las soluciones sean finitas en r=0, y para r muy grandes.

La constante D representa las cargas activas del campo que mantiene el movimiento, como e² para el campo eléctrico y (Mm) para el campo gravitatorio

La ecuación se puede ir modificando utilizando funciones de prueba para χ. Para la energía E >0 no hay ningún problema para resolver la ecuación. Pero para los sistemas enlazados como el planetario, con E<0,  la solución de la ecuación presenta problemas muy considerables. 

Para analizar las posible soluciones se precisa considerar la expresión 

(D/K)/(√[-2mE])  

o

D’/√-E

englobando en D’ todas las constantes del campo y la masa de la entidad física que se mueve. 

Tras un desarrollo bastante largo que se puede encontrar en la referencia {1}, es decir, en el artículo original de Schroedinger, este llega a la conclusión de que la ecuación para la función radial χ(r) solo tiene solución física si

D’/√-E = l, l ∈ N y l>n.                                                                                                       (5)

 esta condición lleva a 

E = (m/2)(e²/K)²  (1/l)² para el campo eléctrico

y

E = (m/2) (Mm/k)² (1/l)²  para el campo gravitatorio. 

Las condiciones cuánticas derivan directamente de las funciones esféricas y de las condiciones de unicidad y finitud de las soluciones en r=0 y r muy grande, y esto de las ecuaciones de Newton en la formulación de Hamilton. 

No parece existir un «misterio» en la mecánica cuántica, ni una separación radical entre mecánica cuántica y clásica. 

En un próximo post analizaré las consecuencias de esta solución de Schroedinger para las energías de las trayectorias de las entidades físicas en un campo central.

{1}: E.Schroedinger. «Quantisierung as Eigenwertproblem» . Annalen der Physik, 384(4), 361–376. https://doi.org/10.1002/andp.19263840404