La entropía y la muerte térmica del universo

Se habla con una cierta frecuencia de la entropía. La entropía es algo que crece. Y de la «muerte térmica del universo».

Pero esto no es ciencia. Para hacer ciencia, necesitamos definir exactamente los términos que utilizamos.

La entropía de un sistema se calcula, no se mide (no existe un «entropiómetro»), de dos formas: Primero, se puede medir su variación, como el cociente entre un calor recibido o cedido por un sistema, dividido por la temperatura a la que se recibe o cede el calor. Esto exige un sistema cerrado respecto de la materia, puesto que la entropía la definimos como una variable de estado, no un flujo.

La segunda forma es mediante la expresión S=k_B ln W, donde W es el número de distribuciones posibles de energía y posiciones de los componentes de un sistema, compatibles con la descripción de ese sistema, definido¡a por un conjunto de variables como temperatura, energía total, presión, volumen, etc. k_B es una constante que pasa del número sin dimensiones ln W a unidades físicas J/K

Aquí aparecen una serie de problemas considerables.

La entropía fue introducida en la física por Carnot, y su concepto refinado por Clausius, para los problemas de las máquinas térmicas que a principios del siglo XIX era esencial resolver. Pero esos problemas se referían a cilindros de volumen finito, con paredes permeables al flujo de energía en forma de calor, y al mismo tiempo, al flujo de energía en forma de trabajo. Se había observado que el trabajo realizado por las substancias (generalmente gases) dentro del cilindro, dependía de las temperaturas caliente (la caldera) y fría (el agua, o el aire) entre las que trabajaba la máquina y por lo que se había medido, no era posible convertir toda la energía en forma de calor en trabajo. Siempre se perdía energía.

La pregunta era: ¿Es posible diseñar una máquina, un motor, que convierta todo el calor en trabajo? La respuesta de Carnot fue: «No», y esto lo formalizó Clausius definiendo el concepto de entropía: «En cualquier proceso irreversible (todos) es imposible convertir todo el calor en trabajo», o equivalentemente, en todos los procesos que convierten calor en trabajo, la entropía del sistema más su entorno crece siempre.

El rendimiento de cualquier máquina, incluidas las máquinas biológicas, basada en la conversión de calor en trabajo, se define como η = 1-(Qf/Qc) donde Qf es el calor entregado al foco frío, y Qc, el extraído del foco caliente. Pero para una máquina basada en un gas (por ejemplo, vapor de agua) estos calores se pueden poner en términos de temperatura y volumen, y resulta que Qf/Qc = Tf/Tc, de manera que el rendimiento es η= 1-Tf/Tc.

En un proceso en el que intervienen muchos intercambios i de calor y producción de trabajo, obteniendo el calor de una fuente a temperatura T0 se debe cumplir para cada i que Q0/Qi = T0/Ti o equivalentemente Q0= T0 (Qi/Ti)

Tenemos aquí el origen de Q0 = T0 Σ(Qi/Ti) para el conjunto de todos los procesos (Hay procesos elementales donde Qi/Ti es negativo).

Definimos ahora la entropía como Σ₁²(Qi/Ti)

En un camino de muchos i que comienza en 1 y vuelve a 1, es decir, en un proceso cíclico, esta suma es siempre positiva, pues los rendimientos en cada porción de camino i son siempre menores que 1.

De aquí viene el resultado que en cualquier evolución de procesos que consiguen trabajo a partir de calor la entropía siempre crece.

Boltzmann intentó relacionar esta definición de entropía con la distribución de energías, posiciones, o ambas, de cada molécula, que producen un cierto resultado energético para el conjunto de ellas.

Esto es imposible si asumimos que el espacio que ocupan las moléculas y sus energías son números reales: No se puede contar una variable continua. Así pues Boltzmann decidió introducir valores discretos, es decir, pasar de números reales a números naturales. Invirtió el desarrollo de Leibnitz que introdujo los números reales en la física para desarrollar el concepto de derivada.

Así, si tenemos 4 moléculas en una caja de volumen V con 4 cajitas de volumen Vi=V/4 podemos poner las 4 moléculas en una cajita: esto nos da 4 formas de colocarlas. O 1 molécula en cada cajita: 1 única manera, o 3 en una caja y una en una de las otras: 12 formas, etc. En total, W=35 formas de colocar las moléculas. Pero si ahora dejamos que las mismas moléculas puedan colocarse en 8 cajitas con volumen Vi= V/4, y volumen total 2V, el valor es de W=330 formas distintas. Al duplicarse el volumen, el número de formas de distribuir las moléculas en cajas se multiplica por casi 9,5.

Como he dicho más arriba, Boltzmann definió un concepto de entropía S’ =k_B ln W  donde k_B  es una constante que provee de unidades físicas a esta entropía.

Así, la entropía de Boltzmann crece al crecer W, es decir, al deslocalizarse el conjunto de moléculas.

Es posible probar que S’ es igual a S.

Ahora queremos considerar la entropía del medio ambiente del planeta Tierra, ¿Por donde empezamos? Podemos considerar el planeta como una máquina térmica, con una fuente de calor a elevada temperatura, el Sol, y otra fría, el espacio exterior, a temperatura baja. El trabajo producido por la máquina es la diferencia entre ambos calores. Cálculos razonables indican que la eficiencia de la máquina es baja, alrededor de un 0.15\%, que es la eficiencia media de la fotosíntesis.

Si continuamos los cálculos podemos obtener el resultado de que la Tierra genera alrededor de 2 x 10²² J/K de entropía, anualmente, que expulsa hacia el espacio. La entropía de la Tierra permanece constante.

Se supone que la entropía del Universo crece de manera constante y por tanto el Universo dejará de evolucionar en algún instante, al alcanzar un máximo de entropía.  Cálculos totalmente especulativos indican que las estrellas del Universo desaparecerán dentro de 100 billones españoles de años. Teniendo en cuenta que las especies vivas más longevas, las bacterias no llevan más de 4.000 millones de años, y que la especie «homo sapiens» no lleva sobre el planeta más de 150.000 años, la desaparición de las estrellas es algo que no nos afecta. Por lo tanto, de la muerte térmica del Universo no sabemos esencialmente nada. Especulaciones tipo teológico dicen que el Universo puede morir, dejar de evolucionar, en un plazo de unos 10¹⁰⁰ años

Las ecuaciones de la Relatividad General de Einstein son similares a las ecuaciones de Navier-Stokes para los fluidos, ecuaciones diferenciales no lineales que tienen muchísimas soluciones, y dependen de las condiciones iniciales y de contorno del Universo. Si conociésemos estas hoy en todo el Universo, podríamos extrapolar el tiempo hacia atrás y en ciertos casos, encontrar una singularidad hace unos 13.800 millones de años. Al mismo tiempo, podríamos tratar de resolver esas ecuaciones hacia adelante, y encontrar que el Universo deja de evolucionar (desaparece el tiempo).

Quien ha intentado encontrar soluciones para las ecuaciones de los fluidos, de los que conocemos con exactitud sus condiciones iniciales y de contorno, y se ha encontrado con la imposibilidad de resolver la aparición y desarrollo de la turbulencia, es un tanto escéptico sobre las soluciones de las ecuaciones de la Relatividad General de Einstein.