El cero y el infinito
En matemáticas Cauchy, y luego Weierstrass introdujeron la definición de paso al límite, el primero con fallos, y Weierstrass de una forma rigurosa. El paso al límite es una herramienta matemática que permite realizar maravillas como resolver la paradoja de Zenón de Elea sobre Aquiles y la tortuga. En esta paradoja, Aquiles (el corredor más rápido de Grecia) se plantea alcanzar a una tortuga que sale al mismo tiempo que él, pero con una ventaja de 100 metros. Cuando Aquiles ha recorrido 100 metros, la tortuga ha recorrido un metro, y no la ha alcanzado. Cuando Aquiles ha recorrido un metro más, la tortuga se ha adelantado un centímetro, y así indefinidamente. Con las matemáticas de la época de Zenón, Aquiles no alcanza nunca a la tortuga. Con el paso al límite de Weierstrass, Aquiles tiene que sumar un número decreciente de unidades de espacio, y tiempo, y esa suma es finita, por muchos términos que tenga.
Si sumamos (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ) el resultado es 1 [serie a]. Aumentar el número de sumandos no consigue hacer pasar a la suma del valor 1, porque los sumandos decrecen más rápidamente que el número de ellos, en este caso. En el caso (1/2 + 1/3 + 1/4 + …) [serie n] el número de sumandos crece más lentamente que el valor de los mismos y la suma carece de límite.
Pero sabemos que en el mundo real, las fracciones no pueden hacerse enormemente pequeñas, pues en la naturaleza existen límites a los tamaños más pequeños, en particular la longitud de Planck, 10^{-35} m.
Si los números de las fracciones se hacen cada vez más pequeños, ¿hay un número que no pueda hacerse más pequeño aún? El concepto de cero viene de considerar esta cuestión: Un número tan pequeño que sumándolo a cualquier otro, no cambia este último.
Es un número. Pero no tiene existencia en la realidad del mundo físico. El cero es la nada, y por definición la nada no existe. Ni siquiera puede existir un vacío sin cuerpos.
Y ¿qué pasa con la serie n? Crece sin cesar, como se continúan los números naturales. Esto llevó a la propuesta de Infinito. Pero una cosa es una serie ilimitada, y otra pensar que esa serie alcanza un estado final.
¿Carece de límites el Universo?
¿Que es el Universo, qué es el espacio?
El Universo es el conjunto de cuerpos que interaccionan entre sí. Es una forma simplificada de denominar ese conjunto y sus interacciones. No es una entidad existente aislada de los cuerpos. En una internet conectada mediante ondas electromagnéticas, sin cables, la internet es el conjunto de móviles, tabletas, portátiles, servidores, centros de datos conectados entre sí.
El espacio es el conjunto de distancias entre los cuerpos, medidas por la disminución de la intensidad de sus interacciones. El tiempo es la relación entre las variaciones de las distancias referido siempre a un patrón concreto.
Con estas definiciones, el Universo puede o no tener límites, es decir, el número de cuerpos puede ser algo concreto, o extenderse como los números naturales. Es algo que hoy, 7 de Julio de 2026, no podemos determinar, carecemos de instrumentos para ello.