Sobre las deducciones equivocadas que producen resultados correctos
Es de sobra conocido cómo la última revolución de la física, la mecánica cuántica, fue consecuencia de un par de artículos de Max Planck que trataban de deducir la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro a partir de principios fundamentales, como la entropía.
Los dos artículos se publicaron en Annalen der Physik, uno, en el volumen 1 (1900), pag. 719, y el segundo en en volumen 4, (1901) pag. 553.
El resultado fue la propuesta de que la energía total de un conjunto de N resonadores, cada uno con energía fija U, se pudiese escribir como un múltiplo entero de elementos de energía del mismo tamaño e (cuantos de energía).
He escrito resonador en negrita, porque es el término que utiliza Planck, cuando especifica que trata de analizar la distribución de energía en el el espectro normal (de emisión, se supone, aunque esto Planck no lo especifica) que emite un resonador irradiado que oscila de manera monocromática con una energía de oscilación U. (Tampoco especifica Planck que el oscilador debe estar cargado eléctricamente, para poder emitir radiación). La palabra resonador será importante como veremos al final de este post.
Planck (que incluso en 1900 no acababa de estar convencido de la existencia de los átomos) decide tratar de derivar la ley de distribución de la radiación del cuerpo negro a partir del concepto de entropía. Y se le ocurre postular la entropía de un único resonador, cuya energía U fluctúa en el tiempo debido a fluctuaciones en el campo electromagnético a que está sometido.
La entropía es un concepto colectivo, no estando definida para un sistema físico elemental. ¿Qué entropía tiene un oscilador armónico simple? Una partícula que se mueve de manera caótica puede ser susceptible de recibir una asignación de entropía, pero para que se mueva de manera caótica es imprescindible que interaccione con otras muchas, de manera que ya no es una única partícula.
Planck, vista la imposibilidad de asignar entropía a un resonador, introduce un conjunto de N resonadores exactamente iguales que no interaccionan entre sí, pero cuyas energías individuales U fluctúan: U = U(t) y por lo tanto son distintas de una constante, aunque esto no lo dice. La energía del conjunto será NU(t) aunque esto tampoco lo especifica.
Así, en cualquier momento, la energía de cada resonador será, no U, sino Ui, con i=1,N.
Luego introduce una probabilidad W de que el conjunto de N resonadores tenga la energía NU (es decir, aunque no lo especifica, NU(t), o mejor Suma a i de Ui.)
Es difícil entender cual puede ser esa probabilidad.
Entonces, dejando de lado su afirmación de que la energía del conjunto es UN=NU, propone que UN=Me, donde M es un número natural y e una energía elemental, un cuanto de energía.
Ahora propone repartir M de todas las posibles maneras de forma que ya cada resonador no tenga la energía U, sino Mi e.
Sea R = (N+M-1)!/(N-1)! M! el número de formas posibles de dividir el número natural M entre N resonadores. Ahora Planck propone que la entropía del conjunto de N resonadores, que por hipótesis tienen cada uno la energía Ui venga dada por
SN = k ln(R)
lo cual tiene sentido. Un conjunto de N resonadores todos con la misma energía, tendría entropía cero. Si empiezan a moverse cada uno con una energía distinta y además esa energía cambia en el tiempo, la entropía crece hasta un valor máximo (un sólido que se convierte en gas cuyos átomos o moléculas interaccionan entre sí).
Ahora hace Planck un truco. Desarrollando los factoriales, y despejando M en NU = Me,
es decir M=NU/e
SN = k ln(R) = k { (N+M) ln(N+M) -N ln(N) -M ln(m)} = k {(N+(NU/e) ln(NU/e)-N ln(N)-(NU/e) ln(NU/e)
o
SN = k N{ (1 + (U/e)) ln (1 + (U/e)) -(U/e) ln (U/e))
y puesto que hemos supuesto que SN = NS
S = k { (1 + (U/e)) ln (1 + (U/e)) -(U/e) ln (U/e)) . (1)
Es asombroso como por un lado UN=Me, y por otro UN=NU, con U un número fijo. ¿Es (1) la entropía S(U) o es S(Ui)?. Parece que para Planck es S(Ui), pero no lo dice.
A partir de la expresión para la entropía de un resonador se obtiene sin mucho esfuerzo la distribución correcta de Wien de frecuencias de la radiación del cuerpo negro y su dependencia con la temperatura.
Para ello Planck ha introducido la hipótesis de que cada resonador tiene una energía fija, y simultáneamente ese resonador puede tener energías variables Mi e donde e es un cuanto elemental de energía, no de la radiación, sino de los resonadores.
La idea de Planck, de utilizar un número natural M para el cálculo de la entropía, es que no es posible encontrar una probabilidad para N resonadores si la energía es continua, pues la probabilidad, al fin y a la postre de todas las definiciones, es esencialmente el número (discreto) de casos favorables dividido por el número (discreto) de casos posibles.
Todo esto se resuelve muchísimo mejor y de manera rigurosa utilizando la ecuación de Schroedinger (clásica) para potenciales centrales de tipo 1/r, cuyas energías negativas, de enlace, están cuantizadas por la propia naturaleza de esa ecuación clásica, de manera que la absorción y emisión de radiación solo puede hacerse por resonancia, en números enteros, en cuantos de energía, lo que genera la distribución de Wien. La emisión de radiación acústica en cuerdas tensas (guitarra, violín, piano) también se produce por resonancia en frecuencias enteras.
Es curioso que Planck, que utiliza la palabra resonador en todo su artículo, no reflexione sobre la resonancia de esos resonadores bajo la radiación que ocupa todo el espacio vacío de materia entre paredes ennegrecidas que es el cuerpo negro.