Fractales, Artes, Mentes y Suelos: “La Estética de la naturaleza”

Fuente Colaje imágenes Google

Pensaba comentar una prevé reseña, cuyo título era muy sugerente, pero que no daba pistas sobre su contenido (La estética del caos). luego leí el artículo original, y no versaba sobre la naturaleza, sino acerca del arte, centrándose en la obra del famoso “Jackson Pollock”. Y he terminado por liarme. El artículo usa el término caos de forma muy laxa, ya que en realidad nos comenta como las obras de arte de Pollock siguen una estética fractal, la cual fue analizada por “Richard Taylor”. Pero antes de seguir permitirme que os narre una historia personal, ya que sin comerlo ni beberlo, sino por serendipia, viví mi infancia y parte de mi juventud rodeado de grandes pintores españoles. “Eusebio Sempere” era tío mío (hijo de prima hermana) al que veía casi mensualmente y en vacaciones varios días seguidos en la finca de otros familiares Tengo totos en la cuna junto a él, mi, madre y mi hermana. Ahora, acabado de jubilar, me voy a vivir allí, en Onil (Alicante). Curiosamente nacimos el mismo día. Pues bien os cuento (…)

“Mi tío Eusebio” formaba parte de los que algunos expertos en arte denominaban el “El Grupo de Cuenca”, junto a Antoni Tàpies” y “Fernando Zóbel” entre otros. Ellos fundaron el “Museo de Arte Abstracto Español” inaugurado el 1 de Julio de 1966. Poco después, Eusebio nos invitó a parte de la familia un fin de semana a la Ciudad de Cuenca, al objeto de que visitáramos la citada pinacoteca. Nos repartió entre su casa y las de algunos de sus afamados amigos. Era curioso entrar en un aseo y ver, haciendo tus necesidades hasta cuadros de Picasso o Miró. Pues bien, en el Museo me que quedé meditativo/dubitativo ante una obra de Antoni Tàpies que no lograba entender nada (ver una especie de cartón en el colaje que da pie a esta entradilla, a la derecha). “Mi tío Eusebio” se percató y por detrás me interpeló, ¿Qué pasa, no te gusta”? Yo le respondí “Tío no lo entiendo”. No hay nada que entender, ¿te gusta o no te gusta? ¡Pues debe ser que no!, le dije ¡No pasa nada, a todos nos gustan unas obras y otras no, lo que si debes respetar es la opinión de los demás”, sentenció él! Y todo esto viene a cuento acerca de si se puede cuantificar la belleza artística de una obra cuantitativamente.

“Richard Taylor” observó la obra de “Jackson Pollock”, cuya historia os narro abajo. Richard se percató de posibles estructuras fractales y a la postre las cuantificó. Llego finalmente a la conclusión de que subyacen estructuras autosimilares con dimensionas fractales cuyos con exponentes se asemejan a los patrones que detectamos algunos en la naturaleza. Desde sus orígenes yo formé parte de un grupo de científicos que se denomina “Fractales y Aplicaciones en Ciencias del Suelo y Medioambientales (PEDOFRACT)”. También por serendipia conocí y cené en la casa de un afamado científico experto en fractales (el creador de los Sistemas-L, denominado “Aristid Lindenmayer”. Y en otra ola de serendipias terminé estudiando tales estructuras en muchos de mis trabajos sobre edafodiversidad y patrones espaciales del suelo. Otros miembros de PEDOFRACT analizaban mediante fractales, multifractales y abundantes técnicas relacionadas, la existencia de estas leyes fractales en la distribución de las partículas de suelos en función de su tamaño, como también de los agregados del suelo y tamaños de poros, etc., No es casualidad que, de una forma u otra, surjan estos patrones, que también aparecen en los cracs o grietas del suelo, cuencas de drenaje, ramificaciones de las ramas y raíces de los árboles y un largo etc. Pero también volvemos a encontrarlo en las clasificaciones/taxonomías biologías y edafológicas, es decir en la forma que tenemos los humanos de ordenar innatamente los objetos de la naturaleza Debe entenderse que las mencionadas estructuras pueden analizarse tanto en formas como en datos estadísticos. Mi último estudia realmente original y provocativo data de 2021 y lo hemo sintetizado en el siguiente post “La Estructura del Universo y el pensamiento Paretiano (¿Qué aporta la edafología?)”, que retorna a más de lo mismo. Los exponentes de Lyapunov, son muy utilizados en este tipo de análisis.

En consecuencia, debo añadir que tenemos fractales cognitivos, por lo que no debe extrañarnos que en la mente de algunos artistas afloren inconscientemente, como en la de los taxónomos, por ejemplo. Como corolario, insisto en que no debería extrañarnos, en modo alguno, que surjan de las manos de algunos genios de las bellas artes de forma intuitiva, ya que se produce una resonancia entre lo natural, lo cognitivo y lo artístico. Y los suelos, por supuesto, no son una excepción. Y ahí aflora su belleza. Eso si, no creo que ningún procedimiento matemático, sea capaz de generar un análisis objetivo de la belleza, ni tampoco cual es la razón de empecinarnos en cuantificarlo todo. La obra mentada de Antoni Tàpies gusta a muchos y su dimensión fractal debe ser ínfima. Sobre gustos no hay nada escrito. Se han redactado muchos libros, maravillosamente ilustrados sobre el irresistible atractivo de las imágenes fractales, como podréis comprobar en Internet.

Eso si los fractales no son exactamente estructuras caóticas, sino que se ubican en las ramas del conocimiento que versas sobre la física y las matemáticas que se encuentran al “borde del caos”, ya sean sistemas no-lineales y/o sistemas Complejos.

Juan José Ibáñez

Continúa……..

Otros enlaces y un post mío

“¿Es la Mente Fractal?: Dedicado a Eusebio Sempere”

“En el año Eusebio Sempere, ¿dónde podemos ver la obra del artista alicantino?”

“Análisis fractal de las pinturas vertidas de Jackson Pollock”

Categorías de nuestro blog sobre estos temas.

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Taxonomía y clasificaciones

La estética del caos

¿Qué ecuaciones matemáticas se esconden detrás del placer estético de ciertos patrones?

Esta es la pregunta que intenta responder Martin Méndez en este ensayo publicado en Jot Down y que ha sido finalista de una de las categorías del premio de divulgación científica que la revista organiza todos los años.

Méndez nos lleva desde el ‘síndrome de Stendhal’ hacia los fractales casi sin darnos cuenta. Por el camino descubrimos que las ramas de los árboles son capaces de pintar cuadros y que algunos artistas aplican fórmulas que ni ellos mismos conocen.

La estética del caos

Escrito por Martín Méndez

Este artículo ha sido finalista del Concurso de divulgación Ciencia Jot Down con la temática «orden y caos» en la modalidad de ensayo.

Mareado por la belleza

Es el 22 de enero de 1817, así lo ha consignado en su diario de viaje¹:

Un monje se acercó a mí[…] Hablé con ese monje, en quien hallé la amabilidad más perfecta. Le alegró ver a un francés. Le rogué que me abriera la capilla, en el ángulo noreste, donde se encuentran los frescos del Volterrano. Me condujo hasta allí y me dejó solo. Ahí, sentado en un reclinatorio, con la cabeza apoyada sobre el respaldo para poder mirar el techo, las Sibilas del Volterrano me otorgaron quizá el placer más intenso que me haya dado nunca la pintura. Estaba ya en una suerte de éxtasis ante la idea de estar en Florencia y por la cercanía de los grandes hombres cuyas tumbas acaba de ver. Absorto en la contemplación de la belleza sublime, la veía de cerca, la tocaba, por así decir. Había alcanzado ese punto de emoción en el que se encuentran las sensaciones inspiradas por las bellas artes y los sentimientos apasionados. Saliendo de la Santa Croce, me latía con fuerza el corazón; sentía aquello que en Berlín denominan nervios; la vida se había agotado en mí y caminaba temeroso de caerme.

El francés es Henri Beyle, mejor conocido en el mundo de la literatura como Stendhal. A ese estado de arrobamiento, la psiquiatra florentina Graziella Margherini le dedicó un ensayo clínico一El síndrome de Stendhal一más de cien años después, nutrido con sus experiencias cuando prestaba servicio en el área de urgencias psicológicas del dispensario de Santa Maria Nouva. Allí, vio desfilar diversas «crisis nerviosas» experimentadas por los turistas bien sea por la fatiga o el impacto emocional que provoca la belleza que envuelve a Florencia.

Nunca he estado en Florencia. Así que al leer lo experimentado por Stendhal hace más de 200 años, busco en mi memoria algo que me permita salvar la distancia, el tiempo, el bagaje cultural de aquella época, y me ayude a entender o sentir su «punto de emoción», un punto de anclaje que me abra las puertas de su percepción. Pienso que quizá lo más parecido que experimentó Stendhal fue lo que el poeta W. Auden denominó experiencia mística. Durante una entrevista, Auden reflexionaba²: «No creo que la experiencia mística sea verbalizable. Cuando el ego desaparece, también lo hace el poder sobre el lenguaje».

Quizá, también, por eso mismo resulta arduo llegar a una definición o establecer una medida del grado estético que tiene una obra de arte, sea esta una pintura, una pieza musical, una escultura, una novela o poema. Más aún, Umberto Eco señalaba³ que «para la estética contemporánea el momento de la percepción es por lo general un momento intuitivo». Además, «el momento de la percepción era tan rápido e instantáneo que no explicaba el goce de las cualidades estéticas, que son muy complejas, juegos de proporciones, relaciones entre la sustancia de la cosa y el modo que organiza la materia, etc.». Así, pues, ¿cómo medir la belleza con cierto grado de objetividad? ¿Es posible matematizar la estética de una obra de arte o, en general, de cualquier objeto?

Un pionero de la cuantificación de la estética fue el matemático norteamericano George David Birkhoff, quien se interesó seriamente en dilucidar las propiedades que debía reunir una pintura, escultura, poema o pieza musical para resultar placentero a los sentidos. Para ello, dedicó un año a viajar por el mundo en 1930 y empaparse del arte de otros países. A su regreso, compiló sus reflexiones en su libro Asthetic Measure, publicado en 1933 por la Universidad de Harvard. La fórmula central de su teoría matemática de la estética está dada por = /, donde es la medida estética, es el orden estético, y es la complejidad. Lo que nos dice la fórmula es que algo será más estético si posee mucho orden (directamente proporcional), pero algo será menos estético si la complejidad es elevada (inversamente proporcional), mucho más que el orden; en otras palabras, desde el punto de vista de la complejidad, conviene que ésta no sea grande sino moderada o pequeña.

La propuesta de Birkhoff plantea otras interrogantes. Por ejemplo, ¿cómo medir la complejidad? ¿Es posible que algo caótico, desordenado, sea también bello? O bien, ¿qué sucede cuando la geometría subyacente a una imagen no es del todo Euclidiana, como parece ser en el arte abstracto?

Haría falta una crisis vocacional para comenzar a responder estas preguntas.

Explosiones desorganizadas de energía aleatoria, y por lo tanto sin sentido⁵

Richard Taylor no se encontraba del todo satisfecho con su carrera de físico. Había un vacío que a veces llenaba pintando. Le llamaba la atención la pintura abstracta, en especial se sentía intrigado por la obra de Jackson Pollock. En su momento a Pollock se le consideró como un pintor ebrio que se estaba burlando de las tradiciones artísticas… pero ahora constituye todo un referente en el mundo del arte abstracto. ¿Cómo saber si realmente era un genio que utilizó técnicas muy primitivas para crear arte? En 1994 Taylor tampoco podía responder a esa pregunta, pero realizó un salto de fé: dejó en pausa su carrera de científico en la Universidad de Nueva Gales de Sur en Australia, y se trasladó a la Escuela de Artes en Manchester, Inglaterra, para aprender a pintar.

En febrero de ese año, todos los estudiantes realizaron un viaje al norte de Inglaterra. La actividad consistía en pintar cualquier cosa que llamara su atención en un lapso de una semana. Sin embargo, durante aquella época del año, el clima en los páramos del norte no es muy hospitalario para actividades al aire libre. Una tormenta de nieve mantuvo al grupo encerrado en sus habitaciones. Mientras charlaban entre ellos, Taylor pensó que, si la naturaleza se estaba esforzando en mantenerlos alejados de sus pinceles, quizá podrían ponerle pinceles a la naturaleza para que pintara por ellos. Así, crearon una estructura con algunas ramas que la tormenta había derrumbado. A una de ellas le ataron algo similar a una vela de barco, con la que capturaba el viento y hacía mover las otras ramas. Colocaron botes de pintura en una de las ramas y un lienzo justo debajo de ella. El grupo logró terminar el artilugio poco antes de que los impactara una segunda tormenta.

Al día siguiente, el grupo se reunió para revisar lo que había pintado la tormenta. Lo que hallaron fueron chorros de pintura que asemejaban algún cuadro de Pollock. Ese fue un momento ¿Eureka! para Taylor… Y supo que tendría que retomar su carrera científica para desentrañar los ritmos de la naturaleza en la obra de Pollock y entender por qué resultan tan atractivas sus pinturas. Algo que saltaba a la vista era que no podía usar una geometría Euclidiana para estudiar las pinturas de Pollock. La hipótesis de Taylor era que ese entramado caótico multicapa de chorros de pintura formaban una especie de fractal, como los había definido Benoit Mandelbrot⁶.

Un fractal es una figura que mantiene su forma si se le cambia de escala. Por ejemplo, las muñecas rusas que se anidan una y otra vez, volviéndose más pequeñas, pero preservando la forma y detalles de la muñeca más grande; o bien, ejemplos típicos de fractales en la naturaleza son el brócoli o las ramificaciones de los árboles. En todos estos casos podemos notar que, aunque cambiemos la escala, el objeto bajo estudio seguirá teniendo el mismo aspecto incluso si la escala cambia un número infinito o muy grande de veces; el objeto es autosimilar. Otra característica de los objetos fractales es que su dimensión no es entera, como el caso de una línea recta (dimensión 1) o un cuadrado completamente lleno (dimensión 2), sino fraccionaria, por ejemplo 1. 7.

El equipo reclutado por Taylor, ya de regreso en la Universidad de Nueva Gales del Sur. escaneó diversas pinturas de Pollock y midió su dimensión fractal utilizando el método de conteo de cajas⁷. Este método les permitió cuantificar la dimensión fractal desde una resolución del tamaño de una gota de pintura hasta un metro, es decir, observar si se preservaba la dimensión fractal a distintas escalas.

El análisis del equipo de Taylor confirmó su hipótesis: Pollock estaba pintando fractales 25 años antes de que Mandelbrot publicara su libro sobre geometría fractal en 1977. Otro detalle revelador fue que, conforme Pollock refinaba su técnica de dripping a lo largo de unos diez años, la dimensión fractal en sus pinturas también creció de valores cercanos a 1 en 1943 (e.g. Composition with Pouring II) hasta 1. 72 en 1952 (por ejemplo, Blue Poles). Este crecimiento en la dimensión fractal de sus pinturas es un reflejo de la evolución en la complejidad y el carácter visual de sus obras.

Hasta aquí, Taylor sabía qué componía a las pinturas de Pollock, pero no por qué resultaban estéticamente llamativas al ojo humano. Espoleado por la curiosidad, colaboró con psicólogos y fisiólogos para cuantificar la preferencia visual, estética, hacia los fractales correspondientes a tres categorías⁸: aquellos generados por la naturaleza (e.g. ramas de los árboles, montañas); aquellos generados por computadora (simulaciones de líneas costeras); y fractales provenientes de la obra de Pollock, es decir, hechos por el ser humano.

El estudio con varios participantes reveló que la preferencia estética alcanzaba un pico para las imágenes con dimensión fractal ubicadas en el rango de 1.3 − 1.5, sin importar el origen del fractal⁸. Esto también permitió establecer rangos en cuanto preferencia estética según la dimensión fractal. Para los rangos de 1.1 − 1.2 y de 1.6 − 1.9, la preferencia estética es baja, mientras que el rango 1.3 − 1.5 parece ser el más atractivo, quizá porque muchos fractales en la naturaleza se ubican en ese intervalo. Curiosamente, uno de los cuadros de Pollock de alrededor de 1950, poseía una dimensión fractal de 1.9一el de mayor dimensión ronda el 1.7一, pero Pollock lo destruyó, quizá consciente de haberse extralimitado, de que había pintado algo completamente «antinatural» en el cuerpo de su obra⁷.

Los experimentos de Taylor y sus colaboradores nos han mostrado que la dimensión fractal parece ser una buena candidata para cuantificar la belleza estética, al menos en cuanto a imágenes se refiere. Pero como señalaba Eco, «el goce de las cualidades estéticas» es multifactorial, complejo. Y Taylor no estaba solo en la búsqueda de una medida de la estética, aunque la belleza proviniera de un universo abstracto y caótico.

Cuantificando la estética del caos

Julien Clinton Sprott es un físico que informalmente, y en ciertos ámbitos académicos, podría llamársele una auténtica «vaca sagrada» en lo que a teoría del caos se refiere. Sprott ha sido un entusiasta como pocos en el uso de las computadoras para responder preguntas sobre sistemas dinámicos y crear algo de arte en el camino con ayuda de ecuaciones matemáticas que engendran caos.

Un año antes de la crisis vocacional de su colega Taylor, Sprott publicó un artículo donde describía el código de computadora para generar automáticamente, a partir de un par de ecuaciones cuadráticas en dos variables, una cantidad monumental de atractores caóticos⁹. La intersección con el trabajo de Taylor es que los atractores caóticos también son un ejemplo de fractales, y muchos de ellos poseen un atractivo estético ineludible para el ojo humano. Pero además de poseer una dimensión fractal (i.e. una medida de la extensión cubierta en un espacio), los atractores caóticos también se pueden caracterizar por su exponente de Lyapunov, el cual cuantifica qué tan impredecible es el patrón formado por el sistema dinámico一 un valor positivo indica caos; también pueden ser negativos o cero⁹.

Sprott se dio cuenta de inmediato que podía usar estos dos medidas (dimensión fractal, exponente de Lyapunov) para relacionarlas con el atractivo estético del caos. Así, reclutó a siete voluntarios (dos estudiantes de arte, un profesor jubilado en historia del arte, tres estudiantes de física, y un matemático) que evaluaron 7.500 atractores caóticos. Todos los evaluadores prefirieron los atractores caóticos con una dimensión fractal en el rango de 1.1 − 1.5, y un exponente de Lyapunov de entre 0 y 0.3, aproximadamente. ¡Esto coincide también con lo hallado por Taylor! Estudios posteriores de Sprott con grupos más amplios de evaluadores, y perfiles académicos distintos, han corroborado sus primeros resultados^10,11.

El hecho de que tanto Taylor como Sprott hayan llegado prácticamente a la misma conclusión resulta esperanzador para el estudio de la estética. Las recientes (y también más frecuentes) marejadas de algoritmos generadores de imágenes o video propulsados por Inteligencia Artificial (IA) que causan asombro por su realismo y estética, me recuerdan las palabras de Sprott de hace 30 años, que expresaba con claridad meridiana⁹:

Al igual que un número infinito de monos con un número infinito de máquinas de escribir eventualmente reproducirían todas las obras de Shakespeare, también la computadora alimentada con números aleatorios podría evolucionar hasta convertirse en algo así como un artista con una resistencia y productividad incomparables.

¿Nos importará que la estética se matematice al grado de convertirse en un asunto de ciclos y condicionantes en algún código generado, quizás, por otros algoritmos? Nuevamente Eco³: «La contemplación estética corresponde al acto, mucho más complejo del juicio». Espero que preservemos el juicio en medio de este caos.

Referencias

El síndrome del viajero: Diario de Florencia. (Gadir, 2011).
Newman, The Art of Poetry No. 17. The Paris Review (1974).
Eco, U. Cómo se hace una tesis. (Editorial GEDISA, 2014).
Birkhoff, D. Aesthetic Measure. (Harvard University Press, 1933).
McElroy, S. Jackson Pollock Criticism Rebuted by Helen Harrison. The New York Times (2010).
Mandelbrot, B. B. La geometría fractal de la naturaleza. (Tusquets Editores, A., 1997).
Taylor, P. Order in Pollock’s Chaos. Scientific American https://www.scientificamerican.com/article/order-in-pollocks-chaos/(2002).
Spehar, B., Clifford, C. W. G., Newell, R. & Taylor, R. P. Universal aesthetic of fractals. Computers & Graphics 27, 813–820 (2003).
Sprott, C. Automatic generation of strange attractors. Computers & Graphics 17, 35–332 (1993).
Aks, J. & Sprott, J. C. Quantifying Aesthetic Preference for Chaotic Patterns. Empirical Studies of the Arts 14, 1–16 (1996).
Draves, , Abraham, R., Viotti, P., Abraham, F. D. & Sprott, J. C. THE AESTHETICS AND FRACTAL DIMENSION OF ELECTRIC SHEEP. International Journal of Bifurcation and Chaos 18, 1243–1248 (2008).