Textura del paisaje y Fractales

Ya os comentamos en los dos post precedentes (este y este) que versaban sobre ecología del paisaje que la geometría fractal ha sido ampliamente utilizada por los expertos de estas disciplinas con diversos propósitos. Por un lado, nos permite averiguar si los patrones espaciales del recurso a analizar son invariantes a los cambios de escala, es decir si son semejantes con independencia del nivel de resolución a la que se analicen (escalas detalladas, intermedias o muy groseras…). Del mismo modo, y con independencia de que el objeto a estudiar sea fractal o no, las denominadas dimensiones fractales caracterizan formalmente, aunque sólo en cierta medida, ciertos rasgos paisajísticos, pero no todos, por supuesto. Así, por ejemplo: la superficie de contorno de los parches y corredores, respecto a la matriz que las alberga, puede variar mucho aunque atesoren el mismo tamaño. Y este dato es de suma importancia, por cuanto los flujos de energía y materia entre el parche y la matriz dependen de su tortuosidad. Una unidad esférica o rectangular padece de una superficie de “intercambio” mucho menor que otra cuyas fronteras son muy tortuosas. Justamente la dimensión fractal nos cuantifica tal hecho. 

 

 

 

Islas de musgos en una matriz de derrubios rocosos

Foto: Juan José Ibáñez

 

Como ya escribimos hace 13 años, en una publicación que realicé sobre este tema, pero en términos algo más formales (no os preocupéis los que no entendáis parte de este texto ya que, como veréis más abajo, no es estrictamente necesario para entender lo que  relataremos después):

 

La geometría fractal implica que los procesos u objetos de naturaleza fractal poseen la propiedad de la invarianza a los cambios de escala. En otras palabras, al cambiar la escala de resolución con la que se analiza un objeto, los procesos subyacentes -o la morfología a la que dan lugar- siguen siendo esencialmente los mismos. Este hecho puede ser cuantificado mediante el empleo de dimensiones fractales.

 

Desde la década de los años 60 y 70, los investigadores saben que la distribución de objetos como las montañas, las nubes o las galaxias pueden describirse en el marco de leyes potenciales. El número de objetos comprendidos, pongamos por caso, en el interior de una esfera de radio r es proporcional a una potencia de r con un exponente constante «D». Tales distribuciones de objetos han sido denominadas fractales.

 

Mandelbrot (1977) introdujo el término fractal para definir aquellos objetos o fenómenos espaciales y/o temporales que son continuos, pero no diferenciables, y que exhiben correlaciones parciales sobre muchas escalas. Una definición más estricta del término fractal podría consistir en “series de medidas en las cuales la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede la dimensión topológica”.

 

Un elemento esencial de la geometría fractal es lo que se denomina dimensión fractal «D» (también propuesta por el matemático francés B.B. Mandelbrot). En un espacio euclidiano, los puntos tienen dimensión «0», las líneas dimensión «1», los planos dimensión «2» y los volúmenes dimensión «3». La dimensión fractal, por el contrario, adopta valores fraccionales. Así, una curva que se retuerce indefinidamente hasta parecer que llega a ocupar un plano de referencia, poseería una dimensión, tanto más cercana a dos cuanto más se aproximara a este objetivo. Análogas consideraciones podrían realizarse en lo que concierne a un plano respecto a un volumen de referencia. En otras palabras, la dimensión fractal ofrece una medida de la tortuosidad de líneas, planos, etc. Para un objeto o proceso fractal, la «D» estimada no se altera al variar la escala de observación. En la naturaleza, por lo general, los fenómenos sólo son fractales entre ciertos rangos escalares u órdenes de magnitud. Asimismo, en el mundo real, la invarianza a los cambios de escala suele aparecer en las propiedades estadísticas de las series de datos, sin que ello equivalga a que su forma sea exactamente idéntica, como es el caso de ciertos constructos matemáticos. Se trata de lo que se denominan fractales estocásticos o estadísticos.

 

Las relaciones entre geometría fractal y los sistemas que demuestran un comportamiento complejo son hoy incuestionables. Los últimos ponen en juego de varias maneras esta dimensión fractal: la evolución temporal tiene propiedades fractales y el atractor extraño es autosimilar y de estructura geométrica fractal debido al repliegue de trayectorias, sin cruzarse, en una región definida del espacio de fases (…) En todo caso, la dimensión fractal es útil como indicador de la rugosidad de una curva, y así, cuanto mayor es la dimensión fractal, mayor es su longitud. Esta propiedad hace posible el uso de «D» para el estudio de objetos no fractales. Con este propósito, la dimensión fractal ha sido utilizada en ciencias de la Tierra para ciertos análisis de cartografías temáticas, tales como en los mapas de suelos o en ecología del paisaje.

 

Durante las dos últimas décadas la geometría fractal ha progresado hasta llegar a desarrollar un aparato conceptual y metodológico muy poderoso. De este modo hoy se habla de diversos tipos de fractales (o para ser más precisos de estructuras con algún tipo de invarianza a los cambios de escala), tales como los fractales autosimilares, autoafines y los multifractales. Paralelamente, se han propuesto diversos métodos de estimar las dimensiones fractales. Muchos de ellos dan valores diferentes, por lo que, a la hora de hacer comparaciones, hay que analizar los datos con sumo cuidado. Así, por ejemplo, las técnicas espectrales, como las basadas en el análisis de series temporales o la geoestadística, proporcionan estimas superiores a otras como el método de la cuadrícula (box counting method), el de la varilla (rod method) o el del perímetro/área (area/perimeter method).

 

 

 

Distribución con tendencia compacta de un Histosol dístrito en

Europa. Foto: J. J. Ibáñez y R. Pérez Gómez

 

Imaginémoslos, varios parches de diferentes formas y rugosidades fronterizas plasmadas en un mapa, es decir en dos dimensiones, aunque también puede ampliarse a tres al hacer uso de modelos digitales del terreno. En los primeros la dimensión fractal o “D” de cada una de aquellas unidades oscilaría entre 1 y 2, mientras que en tres dimensiones lo haría entre 2 y 3, por definición (no nos detendremos aquí a explicar la racionalidad ni los formalismos de estas herramientas matemática). Pues bien, en el caso más simple, es decir el de las dos dimensiones (2D) las unidades de paisaje más lisas (círculos, cuadrados, rectángulos, etc.) poseerían una dimensión fractal baja entre los mentados 1 y 2 (de ser figuras geométricamente perfectas D = 1), mientras que su valor aumentaría con la tortuosidad de las fronteras. En la naturaleza las formas euclidianas mentadas no existen por los que las D suelen alcanzar valores bastante superiores a 1, aunque menores que 2 para el caso del plano. Se trata de lo que en el campo de la ecología se denomina relación área-perímetro de un elemento del paisaje. Por tasnto podemos decir que D que estima es la complejidad de la forma de estos elementos del paisaje (parches y corredores)

 

Por el contrario, la acción del hombre tiende a alisar tales “excentricidades”. Cuando vosotros veáis una frontera muy lisa entre un bosque y un matorral u otra formación vegetal, o bien existe una zona de contacto litológica, fisiográfica o edáfica muy abrupta o es la “manita” del ser humano la que ha intervenido (generalmente el segundo caso es más frecuente). Pero reiteramos que tales tortuosidades aumentan la permeabilidad y la superficie de contacto entre una unidad y las restantes, por lo que la acción antrópica que tiende a disminuirlas no parece ser una buena decisión.

 

Dos maneras sencillas de determinar la dimensión fractal (complejidad) de un parche serian las siguientes:

 

 

D = 2S

 

En donde S es la pendiente de la regresión del logaritmo del perímetro del parche o mancha L con el logaritmo del tamaño de la mancha L. O también:

 

D = Log P /Log A

 

En donde A es el área de la mancha y P el perímetro de la misma a una escala determinada.

 

Imaginémonos ahora que estudiamos la distribución en el paisaje de una comunidad o tipo de suelo concreto. En este caso y simplificando bastante, diríamos que una D baja implicaría una distribución poco heterogénea, al contrario que una alta. Pero en este caso la interpretación es menos trivial.

 

 

 

Distribución tirando a fragmentada de un Phaeozem lúvico

En Europa. Foto: J. J. Ibáñez y R. Pérez Gómez

 

En estos momentos nos encontramos varios colegas analizado la posible distribución fractal de los suelos de Europa. Exponemos 2 gráficos para dos tipos de suelos concretos. Como veréis, con independencia del área que lleguen a ocupar, un edafotaxa parece más masiva que otro. En estos casos, las dimensiones fractales aun pudiendo ser iguales, no aportan información clara sobre la masividad-mosaicismo de tales configuraciones, al menos de una forma fácil de comprender. Por tanto, para un mismo valor de D, pueden darse patrones de distribución espacial muy diferentes. La dimensión fractal nos caracteriza “algo”, pero se puede llegar mucho más lejos si hacemos uso de medidas adicionales, tales como la lacunaridad, de la que hablaremos en otro post.

 

Post previos relacionados con el tema

Ecología del paisaje
Ecología del paisaje y biogeografía: Islas los Mares de Tierra

 

Juan José Ibáñez 

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Comentarios

El artículo es sumamente ilustrativo, y aborda una temática poco explorada por la ciencia, pero de relevancia mayúscula para el estudio de la complejidad de algunos sistemas como los ecosistemas, las relaciones en el periurbano (naturaleza – sociedad o medio rural), etc.

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