La Magia de los Números, Diversidad de la Naturaleza y Una Teoría del Todo

Cuando uno pierde el miedo, el embrujo de ciertos números puede llegar a fascinarnos. Y es que algunos de ellos parecen emerger por doquier, ya hablemos de la naturaleza o de los constructos humanos. En nuestra bitácora, ya hablamos de las estructuras taxonómicas y del “7”. Pero existen muchos más, ya sean solos, como series, o patrones recurrentes. Tal es el caso de la Ley de Benford, la Sucesión de Fibonacci y su inseparable compañera denominada proporción áurea. El otro día, el popular blog Ciencia Kanija, nos informaba de un reciente artículo que versaba sobre la Teoría del Todo, la Ley de Benford e las invarianzas de escala (estructuras fractales). Cuando lo leí el post observé que tal regularidad se relacionaba con lo que nosotros denominamos la curva de Willis, que también resulta ser enormemente ubicua en la naturaleza, como por ejemplo, en los estudios de biodiversidad y edafodiversidad. Su parecido es asombroso. Unos investigadores chinos acaban de publicar un trabajo en el que “dicen” que la Ley de Benford, las distribuciones logarítmicas y la invarianza  a los cambios de de escala podían dar cuenta de la “Teoría del Todo” que tanto ansían descubrir los físicos, y que para muchos se nos antoja la búsqueda del Santo Grial. ¿Pero tal fascinación por los números y leyes que los relaciones es real o producto de nuestra fantasía? Aun no lo sabemos con certeza. Sin embargo, ahí están.

salmo-18-6-1980-fuente-eusebio-sempere-poeta-de-la-geometia Eusebio Sempere, Poeta de la Geometría Salmo 18(6) 1980

Cuando el otro día os hablaba de mi pequeña contribución en el homenaje al artista Eusebio Sempere, uno de los contertulios que había colaborado con el nos informó que también trabajaron en alguna ocasión con la Sucesión de Fibonacci, (ver también proporción áurea). Si pincháis en estos últimos enlaces, comprenderéis que no hace falta saber nada de matemáticas para entender tales constructos. Lo realmente intrigante deviene de que muchas estructuras naturales parecer seguir esta serie. ¿Cuál es la razón?

Pero comencemos por ver que nos dice también el popular blog Microsiervos sobre la Ley de Benford.

Microsiervos : La Ley de Benford

Un físico de General Electric se dio cuenta hace unos 70 años de que así, en general, Los números suelen empezar por «1». Con el tiempo a aquello se llamó Ley de Benford (o Ley del Primer Dígito) en su honor, y es una de las cuestiones matemáticas relacionadas con el Mundo Real más fascinantes. ¿Por qué en números aparentemente aleatorios como las longitudes de los ríos, las estadísticas de beisbol, o los números de los edificios suelen tener el «1» como primer dígito?

Ayer me crucé con Exploring Benford’s Law (…) cómo efectivamente se cumple la ley; bastas navegar un poco por la red y hacer un copia-pega de diversas tablas de números en una hoja de cálculo. En el vídeo se observa cómo es la curva de la gráfica de distribución para cada dígito a partir de esos valores originales (suele ser algo así como que el 30% de los números empiezan por 1; el 16% empiezan por 2; el 12% empiezan por 3, etc.)

En los ejemplos del vídeo se usan el tamaño de los lagos de Minnesota, el censo de los Estados Unidos y los números de votos de las historias que la gente envía a Digg y otras. También hay un último ejemplo de cómo se usa la Ley de Benford para «cazar fraudes» cuando la gente se inventa cifras, porque al no ser «naturales» no concuerdan con la distribución esperada, sino que se comportan de otra forma.

Como explica su autor, «es una propiedad bastante guay de los números, que para mucha gente pasa desapercibida».

Pues bien, si realizamos un inventario de la biodiversidad de cualquier tipo de organismos vivos o de los de suelos, nos encontramos con una curva muy semejante a la que surge con la Ley de Benford, esa a la que en nuestro blog denominamos curva de Willis. Unas pocas especies son muy abundantes, creciendo el número de ellas conforme desciende su cantidad. La única diferencia estriba en que tal patrón no exige la condición de que el número menor sea la unidad “1”. Sin embargo, si transformamos (modificamos) los datos de tal manera que a las menos abundantes y más numerosas (o que cubran una menor extensión superficial en el campo) se les asigne el valor de la unidad “1!”, muy probablemente topáramos con la Ley de Benford. Del mismo modo, si ordenamos los datos de mayor a menor abundancia nos solemos encontrar con una ley potencial o una serie logarítmica, ya que, con harta no disponemos de la cantidad suficiente como para discernir a cual de ellas se ajustan mejor.

o_Grafico 4 edafodiversidad Curvas de Willis Doquier

Ahora bien, tal patrón de la curva de Willis (¿Ley de Benford?) suele aparecer a lo, largo de muchos órdenes de magnitud, huella palmaria de una estructura fractal. Y justamente tal hecho es el que dicen haber detectado los investigadores que relacionan la mencionada Ley con la Teoría del todo. Pero veamos ahora varios pasajes del post que sobre el tema se ha escrito en el blog Ciencia Kanija:

Ciencia Kanija: La Ley de Benford y una teoría del todo

Una nueva relación entre la Ley de Benford y las estadísticas de la física fundamental puede apuntar a una teoría del  todo más profunda.

En 1938, el físico Frank Benford hizo un descubrimiento extraordinario acerca de los números. Encontró que en muchas listas de números extraídas a partir de datos reales, es mucho más probable que el primer dígito sea un 1 que un 9. De hecho, la distribución de los primeros dígitos sigue una ley logarítmica. Así el primer dígito es 1 el 30 por ciento de las veces, mientras que el número 9 aparece sólo el cinco por ciento de las veces.

Es un descubrimiento inquietante y contradictorio. ¿Por qué no están los números uniformemente distribuidos en esas listas? Una respuesta es que si los números tienen este tipo de distribución, entonces deben de ser invariantes de escala. (…). Si este es el caso, entonces la única forma que tal distribución puede tomar es logarítmica.

Pero aunque éste es un poderoso argumento, no explica nada de la existencia de la distribución en la primera posición.

Después está el hecho de que la Ley de Benford parece aplicarse únicamente a determinados tipos de datos. Los físicos han descubierto que ésta ley se cumple en una sorprendente variedad de conjuntos de datos. Estos son sólo algunos: las zonas de los lagos, las longitudes de los ríos, las constantes físicas, los índices bursátiles, tamaño de los archivos en un ordenador personal y así sucesivamente.

Sin embargo, hay muchos conjuntos de datos que no siguen la ley de Benford, como la lotería y los números de teléfono.

¿Cuál es la diferencia entre estos conjuntos de datos que hace que la ley de Benford se aplique o no? Es difícil escapar a la sensación de que debe estar pasando algo más profundo.

Hoy, Lijing Shao y Ma Bo-Qiang de la Universidad de Pekín en China proporcionan una nueva visión sobre la naturaleza de la ley de Benford. Se examina cómo la ley de Benford se aplica a tres tipos de distribuciones estadísticas ampliamente utilizadas en física.

Éstas son: la distribución de Boltzmann-Gibbs, que es una medida de probabilidad que se utiliza para describir la distribución de los estados de un sistema, la distribución de Fermi-Dirac  (…) y, finalmente, la distribución de Bose-Einstein, (….).

Lijing y Bo-Qiang dicen que la distribución de  Boltzmann-Gibbs y la de Fermi-Dirac fluctúan ambas de manera periódica en torno a la distribución de Benford con respecto a la temperatura del sistema. Por el contrario, la distribución de Bose Einstein se ajusta exactamente a la ley de Benford, es independiente de la temperatura.

¿Qué hacer con este descubrimiento? Lijing y Bo-Qiang dicen que las distribuciones logarítmicas son una característica general de la física estadística por lo que “podría ser un principio más fundamental de la complejidad de la naturaleza”.

Es una idea intrigante. ¿Podría ser que la ley de Benford apuntase hacia algún tipo de teoría subyacente que gobierna la naturaleza de muchos sistemas físicos? Tal vez.

Pero entonces ¿por qué hay conjuntos de datos que no se ajustan a la ley de Benford? Cualquier explicación decente tendrá que explicar por qué algunos conjuntos de datos siguen la ley y otros no lo hacen y parece que Lijing y Bo-Qiang están tan lejos como siempre de lograr esto.

Artículo de Referencia: arxiv.org/abs/1005.0660: The Significant Digit Law In Statistical Physics; Fecha Original: 7 de mayo de 2010. Artículo Original

Aclaremos algunas dudas que alberga el autor de estos párrafos. Efectivamente, en mis artículos publicados en revistas indexadas, yo también afirmaba que las ciencias de la complejidad y los sistemas no lineales daban cuentan de los patrones de biodiversidad, así como de la fractalidad de la distribución espacial de los recursos naturales que yo he ido estudiando. Del mismo modo, la mecánica estadística forma parte de este entramado físico y matemático: “el mismo perro con distintos collares”.

Respecto a sus dudas con los números de la lotería y de teléfono, habría que percatarse que se encuentran ordenados “de alguna forma” (desconozco como se abordaron los análisis y transformaron los datos en los estudios originales). Sin embargo, cuando los sistemas ya sean naturales ya mentales, o tecnológicos, se auto-organizan espontáneamente, surgen de nuevo patrones semejantes, aunque se requiera la susodicha transformación de los datos, aspecto que ya os apuntamos, entre otros, en nuestro post “Es la mente Fractal: Dedicado a Eusebio Sempere, entre otros muchos post”.

Permitirme seguidamente que os exponga unos párrafos en la lengua del imperio es decir, en “suahili”, de una página Web con la que he topado en el ciberespacio.

Albert Frank This is a property known as “scale invariance”.

C. The demonstration of Benford’s law (and also for the distribution of the second digit) was done in 1996 by Professor Theodore Hill (School of Mathematics, Center for Applied Probability, Georgia Institute of Technology) in his article “A Statistical Derivation of the Significant-Digit law”.

Two others very valuable articles about Benfords’ law are:

B Mandalbrot. The fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco, 1982

B. Buck, A. Merchant & S .Pérez: An Illustration of Benfor’s first digit law using alpha decay half times in European Journal of Physics, n°14, pp.59-63, 1993.

Some examples: The areas of the lakes in the word (expressed in square miles or in square kilometers), the half lives of radioactive elements, the values of a particular stock during a 500 day period, the number of citizens in all towns of a country, the number of kilowatts used by a country in one year, numbers appearing on front pages of newspapers, the physical constants, the numbers in statistical tables, Fibonacci series (they are not random, but still fit), …

Dos aspectos a resaltar. Mandelbrot fue el padre de la geometría fractal. Y (…) curiosamente nos aparecen aquí las series de Fibonacci, un ejemplo que se utiliza (por su sencillez y claridad) en muchos libros de divulgación que versan acerca de las ciencias de la complejidad (teoría del caos). Por tanto, es plausible conjeturar que la curva de Willis (etiqueta que utilizo para hablar del artículo escrito por un autor con este apellido, en la revista Nature ya en ¡1920!) podría ser una formulación alternativa de la Ley de Benford, postulada independientemente al analizar procesos que acaecen en distintas disciplinas. ¿Ley de Willis?. ¡Posiblemente!.

Lo que realmente los autores chinos dicen haber (re)descubierto resulta ser la ubicuidad de los sistemas  no-lineales (matemáticas) o complejos (física) en la naturaleza. Si tal hecho, que es conocido sobradamente, puede ayudar a progresar en la búsqueda de una teoría del todo (ley que unifique todas las fuerzas de la física) es un asunto que se escapa a mis más que modestos conocimientos en esta disciplina. Eso sí, en materias terrenales, una y otra vez descubro los mismos patrones, a los de los chinos, me refiero.

La magia de los números ahí está. No entraré a abordar si se trata de embrujo lógico, bajo el que subyacen padrones y leyes, o si por el contrario son artefactos a los que intentamos dar significado, aunque no lo atesoren.

Juan José Ibáñez

Algunos artículos sobre el tema por este impresentable administrador
Ibáñez,J.J., Jiménez-Ballesta,R. & García-Álvarez,A. 1990. Soil Landscapes and drainage basins in mediterranean mountain areas. Catena, 17(6): 573-583. 

Ibáñez,J.J., De-Alba,S., Bermúdez, F.F. & García-Álvarez.A. 1995. Pedodiversity: concepts and measures. Catena, 24: 215-232. Elsevier.

Ibáñez, J.J., De-Alba,S., Lobo, A. & Zucarello,V. 1998. Pedodiversity and global soil patterns at coarser scales (with Discussion). Geoderma, 83: 171-192,.

Ibáñez, J.J., Saldaña, A. y De Alba, S. 1998. Reply  to the Discussion paper: Pedodiversity and global soil patterns at coarser scales (with Discussion) Geoderma, 83: 206-214 (Holanda).

Ibáñez, J.J. & De Alba, S. 1999. On pedodiversity concept and its measurement. A Reply. Geoderma, 93: 339-344 (Discussion Paper).

Ibáñez, J.J. y De Alba. 2000. Pedodiversity and scaling laws: sharing Martín and Rey’s opinion on the role of the Shannon Index. as a measure of diversity, Geoderma, 98: 5-9 .

Saldaña, A. e Ibáñez, J.J. 2004. Pedodiversity analysis at large scales: an example of three fluvial terraces of the Henares River (central Spain), Geomorphology 62. 123–138

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Caniego, J., Ibáñez, J. J. and San José Martínez, F. 2006. Selfsimilarity of pedotaxa distributions at planetary level: a multifractal approach. Geoderma, 134: 306-317.

Ibáñez, J. J., Ruiz-Ramos, M. and Tarquis, A. 2006. The Mathematical Structures of Biological and Pedological Taxonomies. Geoderma, 134: 360-372.

Saldaña,A., & Ibáñez, J.J. 2007. Pedodiversity and soil variability; What is the relationship?. Ecological Modelling, 208, 342-352

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Ibáñez, J.J., Pérez-Gómez, R. and San José Martínez, F. 2009. The spatial distribution of soils across Europe: a fractal approach. Ecological  Complexity,  6: 294-301.

Ibáñez, J. J., Arnold, R. W. and   Ahrens, R. J. 2009. The Fractal Mind of Pedologists (Soil Taxonomists and Soil Surveyors). Ecological  Complexity,  6:  286-293.

Ibáñez, J. J. 2004. Pedometrics tools for the analysis of soil typological maps. In (pp. 45-59);Micheli E., Dobos E., Huskova B., Filippi N., Montanarella L., Jones R.(eds):. European Summer School on Soil Survey. European Commission, Joint Research Center, Italy. p. EUR 21196 EN.  254 pages.

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[...] que puedan detectarse, ya los atesoramos aquí, en este minúsculo planeta Tierra. En otro post (La Magia de los Números, Diversidad de la Naturaleza y Una Teoría del Todo) ya os narré otra noticia semejante. ¿Pueden aportar ecólogos y edafólogos información de [...]

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