Juan Margalef Bentabol, Premio Arquímedes
Juan Margalef Bentabol, estudiante del Máster de Investigación Matemática de la UCM y de 4º curso de Ciencias Físicas, ha obtenido recientemente el Primer Premio del X Certamen Arquímedes en el área de Ciencias Experimentales, Exactas y Ambientales. El trabajo por el que ha sido galardonado se titula Problemas Inversos de Ciclos Límite en Sistemas Polinómicos Planos y ha sido supervisado por el investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) Daniel Peralta Salas. El premio consiste en la nada despreciable cantidad de 9000 euros para el alumno y 3000 euros para su tutor, así como una estancia de investigación de dos semanas en el CSIC.
El Certamen Universitario Arquímedes de Introducción a la Investigación Científica es una iniciativa puesta en marcha por la Dirección General de Política Universitaria del Ministerio de Educación, cuyo principal objetivo es fomentar la labor investigadora y científica entre los universitarios de las universidades españolas.
A esta edición del Certamen se presentaron un total de 128 trabajos procedentes de 39 universidades, que fueron evaluados por una comisión de expertos que seleccionó un total de 25 trabajos para participar en la fase final del certamen; entre estos 25 trabajos se encontraba el trabajo de Juan, el único trabajo de matemáticas.
La fase final del certamen tuvo lugar del 21 al 24 de Noviembre en el campus de Palencia de la Universidad de Valladolid. Durante estos días los alumnos tuvieron que defender su proyecto en una exposición oral de 15 minutos ante un jurado que abarcaba diferentes áreas del conocimiento y que posteriormente se dirigía personalmente a cada participante para realizarle algunas preguntas. Aunque las preguntas generalmente hacían referencia al proyecto en sí o a sus posibles continuaciones, también se planteaban cuestiones sobre la investigación en general; por ejemplo, una de las preguntas más curiosas que recibió Juan hacía referencia a cómo le explicaría a una persona que pasease por la calle, la importancia de gastar dinero para financiar su proyecto, que es uno de los problemas a los que se enfrenta la ciencia y más aún en épocas de crisis como la actual.
Tras dos días de exposiciones y preguntas, llegó el día de la entrega de premios, donde para nuestra sorpresa, compitiendo con trabajos de gran calidad y más aplicados, el trabajo de Juan se alzó con el primer premio en el área de Ciencias Experimentales, Exactas y Ambientales, algo que ningún trabajo de matemáticas había logrado anteriormente.
El trabajo ganador comenzó a gestarse durante una estancia JAE INTRO que disfrutó Juan en el ICMAT durante los meses de Julio y Septiembre de 2010. Dicho trabajo trata sobre los ciclos límite, órbitas periódicas aisladas de un sistema dinámico. Un ejemplo clásico donde aparecen de manera natural los ciclos límite es en el oscilador de Van der Pol, que abarca numerosos fenómenos de la naturaleza (circuitos eléctricos, latidos del corazón, ondeado de una bandera, ciclos de epidemias, crisis económicas…) y que debe su nombre al físico e ingeniero holandés Balthasar de Van der Pol, quien junto con J. Van der Mark, publicaron un artículo en 1927 en la revista Nature acerca del comportamiento anómalo de un circuito cerca del ciclo límite con forzamiento periódico (fue una de las primeras publicaciones de lo que ahora se conoce como comportamiento caótico).
En el trabajo se resuelve de forma completa el problema inverso de prescribir ciclos límite, con multiplicidad, estabilidad y periodo dados mediante campos polinómicos planos, módulo un difeomorfismo global. Estas tres propiedades son los invariantes por conjugación suave más simples que aparecen en la forma normal de un ciclo límite de un sistema analítico (conocida como forma normal de Yakovenko). Este resultado tiene conexión con la segunda parte del célebre problema 16º de Hilbert, enunciado por dicho matemático en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 1900, el cual pregunta por la existencia de cota uniforme con el grado al número de ciclos límite de campos polinómicos planos. Este problema sigue abierto prácticamente en su totalidad a día de hoy, incluso para campos cuadráticos. En el trabajo galardonado, el grado de los campos polinómicos no se prescribe de antemano, aunque sí se dan cotas explícitas que dependen del número de ciclos límite, de su multiplicidad y de su estabilidad. Conviene también destacar que los ciclos límite que se prescriben son curvas algebraicas (por este motivo se utiliza un difeomorfismo global) y los sistemas construidos son integrables en el sentido de Darboux, esto es, poseen una integral primera multivaluada con una estructura muy controlada que facilita enormemente el estudio de las propiedades cualitativas de los campos. Este resultado proporciona más información de la que había hasta el momento sobre el tipo de configuraciones que pueden realizarse en sistemas polinómicos planos, pero está muy lejos de dar una respuesta al problema 16º de Hilbert, que sin duda requiere de nuevas técnicas y estrategias.
Las construcciones que se hacen en el trabajo de Juan se basan en ideas introducidas por Jaume Llibre (Universidad Autónoma de Barcelona) y Gerardo Rodríguez (Universidad de Santiago de Compostela) en un artículo publicado en Journal of Differential Equations en 2004. En 2005 Daniel Peralta Salas publicó en la misma revista una construcción alternativa a la de J. Llibre y G. Rodríguez usando funciones de Lyapunov, cuya principal ventaja es que puede extenderse a dimensión arbitraria para prescribir ciclos límite posiblemente anudados y entrelazados. Una de las herramientas principales que se usa en el trabajo es el inverso de factor integrante, un objeto que describe los ciclos límite como los conjuntos nodales de las soluciones de cierta ecuación en derivadas parciales, y que fue introducido por Héctor Giacomini (Universidad de Tours) a mediados de los años 90. Tanto los campos construidos como sus inversos de factor integrante son explícitos (polinómicos) y se pueden implementar fácilmente en un ordenador para visualizarse.
Desde aquí animamos a todos los estudiantes de matemáticas a que presenten sus trabajos en próximas ediciones del certamen Arquímedes, y de esta forma hacer cada vez mayor la presencia de esta disciplina en dicho concurso. Es una experiencia que seguro que no lamentarán.
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Juan Margalef Bentabol es estudiante de la Universidad Complutense de Madrid y ha sido becario JAE INTRO en el ICMAT; Daniel Peralta Salas es investigador Ramón y Cajal en el ICMAT.