«Spaghetti e Levi-Civita»: la geometría que Einstein encontró en Italia
Cuentan que, cuando alguien preguntó a Albert Einstein qué era lo que más le gustaba de Italia, respondió sin dudar: «Los espaguetis y Levi-Civita». Vamos a profundizar en esta respuesta, que tiene más contenido de lo que uno podría imaginar.
Es, de entrada, un reconocimiento de un físico al trabajo de un matemático, de un físico que ha entendido que su investigación no hubiera ido tan lejos si no contara con ese sustento que le dan las matemáticas.
Cuando Einstein se propuso extender la relatividad especial para incluir la gravitación, comprendió que necesitaba un lenguaje capaz de describir un espacio-tiempo curvo, en el que las leyes físicas tuvieran la misma forma para cualquier observador. Ese lenguaje ya existía, había sido desarrollado con las geometrías no euclidianos, la hiperbólica y la esférica, debidas a matemáticos como Bolyai y Lobachevsky la primera y la segunda a Riemann, al olvidarse del axioma de las paralelas.
Estos descubrimientos dieron lugar al nacimiento de la geometría diferencial moderna, y en consecuencia al cálculo diferencial sobre las mismas. Había nacido el cálculo diferencial absoluto, desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro y su discípulo Tullio Levi-Civita y expuesto en su célebre memoria de 1900, «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications». Fue Marcel Grossmann, amigo y colaborador de Einstein, quien le orientó hacia esas herramientas, que hoy conocemos como cálculo tensorial.
La relación de Einstein con Levi-Civita fue mucho más que una lectura y estudio de sus artículos de investigación. Entre 1915 y 1917 ambos mantuvieron una correspondencia intensa, iniciada por el matemático italiano al detectar errores en el uso que Einstein hacía de los tensores. Lejos de molestarse, Einstein admiró la elegancia de los métodos de su corresponsal y le escribió que debía de ser hermoso cabalgar por esos campos a lomos del caballo de la verdadera matemática, mientras otros como él tenían que abrirse paso tan trabajosamente a pie. Literalmente, le dice en una carta:
Jamás había tenido una correspondencia tan interesante como esta, tendría que ver con que ansiedad espero sus cartas. A mi llegada encontré sus nuevos e interesantes trabajos y me los llevé conmigo enseguida para poder estudiarlos aquí con tranquilidad. Admiro la elegancia de su método de cálculo, debe ser muy hermoso cabalgar por esos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas, mientras que los que son como nosotros tenemos que hacer nuestro camino a pie.
Ese respeto de Einstein por Levi-Civita y las matemáticas se refleja también en la carta que escribe a su amigo Arnold Sommerfeld:
Estoy ocupándome exclusivamente del problema de la gravitación, y creo y espero que superaré todas las dificultades. Pero una cosa es cierta, nunca hasta ahora en toda mi vida había hecho un trabajo tan arduo. Me he llegado a imbuir de un gran respeto por las matemáticas, cuyas sutiles partes en mi inocencia yo había considerado hasta ahora como un mero lujo.
Pero la influencia no fue en una sola dirección. Estimulado por la relatividad general, Levi-Civita introdujo en 1917 la noción de transporte paralelo en una variedad riemanniana arbitraria, una idea que dio contenido geométrico intuitivo a la curvatura y que hoy está en el corazón de la geometría diferencial a través de la conexión que lleva su nombre. Hermann Weyl, Élie Cartan y tantos otros desarrollarían desde allí nuevos y extraordinarios conceptos. Un gran ejemplo en el ida y vuelta de las matemáticas y la física que ha sido tan productivo a lo largo de los siglos.
La frase de Einstein tiene también un reverso amargo. Einstein sufrió en carne propia las garras del fascismo, pero abandonó a tiempo Alemania para emigrar a los Estados Unidos. De hecho, Levi-Civita visitó a Eisntein en Princeton y estuvo allí con él un año, pero ante el riesgo de guerra en Europa, regresó a Italia en 1938. A su vuelta, Levi-Civita, de familia judía y contrario al fascismo, fue apartado de su cátedra en Roma en 1938 por las leyes raciales de Mussolini y expulsado de las academias científicas italianas. Murió en 1941 en esa misma ciudad, en un aislamiento que contrastaba con el enorme prestigio internacional del que gozaba. La Italia que Einstein elogiaba en la persona de Levi-Civita acabó dándole la espalda.
La anécdota de los espaguetis sigue circulando entre matemáticos y físicos de todo el mundo porque condensa algo esencial: las grandes teorías físicas descansan a menudo sobre estructuras matemáticas creadas sin pensar en aplicación alguna, y el diálogo entre ambas disciplinas resulta fértil cuando existe respeto mutuo. Einstein sabía que sin los tensores de Ricci y Levi-Civita su teoría de la gravitación no habría podido escribirse. Al poner a un matemático a la altura de la gastronomía más querida de Italia, le rindió un homenaje que ningún discurso solemne habría igualado: reconocer que la buena matemática, como la buena cocina, es uno de los placeres más auténticos de la vida.
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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias, Presidente del ICM2006 Madrid y miembro del Comité Ejecutivo de IMU (2007-2024) y del Comité Ejecutivo del ISC (2014-2018). Web: https://www.manueldeleon.es