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Archivo de septiembre, 2021

Las matemáticas de los volcanes

La erupción de un nuevo volcán en la isla de La Palma pone de actualidad la ciencia de los volcanes, la Vulcanología, y ofrece la oportunidad de comentar en los foros científicos y divulgativos el uso de las matemáticas para entender mejor la naturaleza de los volcanes y hacer previsiones cada vez más certeras sobre sus erupciones.

 

Son varias las áreas de las matemáticas que se aplican al estudio de los fenómenos volcánicos. Usando los datos disponibles se generan matemáticos que modelos incluyen la dinámica de fluidos, la termodinámica y la mecánica de los sólidos. Debido a la naturaleza compleja de las ecuaciones implicadas, se suele simplificar los modelos para poder conseguir respuestas en un tiempo razonable.

En efecto, el magma es un fluido que se desplaza bajo la superficie, y por lo tanto, la deforma, buscando siempre como escapar a su encierro. Por lo tanto, los sistemas dinámicos son parte esencial de estos métodos. Para ello, los vulcanólogos colocan sensores que van midiendo los posibles cambios, las deformaciones del terreno. En los últimos años el GPS ha venido a aliarse con la ciencia, midiendo las diferencias de altura de los terrenos en donde son posibles las erupciones.

Obviamente, lo que se generan con la cantidad de sensores que miden deformaciones, temperaturas, etc., son miles, millones de datos. Datos que se deben tratar de la manera adecuada con las técnicas estadísticas, que ayudarán a mejorar los modelos matemáticos y a extraer conclusiones para poder tomar medidas paliativas. La esperanza de los vulcánologos es conseguir un grado de certidumbre en sus predicciones que se acerquen a los actuales en la previsión del tiempo, que a su vez usa modelos matemáticos basados en las ecuaciones diferenciales.

 

Estructura de un estratovolcán (la escala vertical se ha exagerado): 1. Cámara magmática 2. Lecho de roca 3. Chimenea 4. Base 5. Lámina (intrusión de lava) 6. Fisura 7. Capas de ceniza emitida por el volcán 8. Cono 9. Capas de lava emitidas por el volcán 10. Garganta 11. Cono adventicio o secundario 12. Flujo de lava (colada) 13. Fumarola 14. Cráter 15. Columna eruptiva (Wikipedia)

Las erupciones volcánicas pueden suponer por una parte graves pérdidas de vidas humanas si ocurren en regiones muy pobladas. La erupción del Tombora en Indonesia (1815) provocó una enorme emisión de azufre que afectó a todo el planeta y redujo la temperatura dos grados; la consecuencia fue una hambruna terrible que originó miles de muertos. O, más recientemente, en la erupción del Nevado del Ruiz en Colombia en 1985 murieron 25.000 personas. El aumento de la población mundial, sobre todo en las zonas urbanas cercanas a los volcanes activos, hace que aumente constantemente el nivel de riesgo volcánico en todo el mundo. Por ello se precisa de una vigilancia volcánica cada vez más precisa.

También pueden provocar grandes pérdidas económicas, como en el caso del volcán islandés Eyjafjallajökull (2010), que provocó la suspensión de más de 100.000 vuelos y costó a la economía mundial más de mil millones de dólares.  En este último puedo dar yestimonio personal ya que me tocó en una reunión en Helsinki y mi vuelta a Madrid me costó tres días usando autobueses, barcos y automóviles.

 

Pluma del Eyjafjallajökull

Conocer la probabilidad de una erupción para volcanes que ya tienen un historial es relevante, y un método puede ser usar una distribución de Poisson.

En el caso del Eyjafjallajökull  el problema fundamental era conocer la distribución de la ceniza, que ponía en peligro la navegación aérea así como donde se iba a acumular al irse depositando en tierra o mar. Es imprescindible conseguir una mejor modelización de las nubes de ceniza en tiempo real. Se usa en estos casos una cuadrícula en la que se van marcando la concentración de cenizas y su evolución.

Otro fenómeno que puede ocasionar una erupción volcánicas es lo que se llama flujos de gravedad. Los volcanes no sólo emiten lava, sino que también arrojan a la atmósfera gas caliente que contiene muchas pequeñas partículas de ceniza y polvo. El calor hace que el gas suba, pero las partículo pesan, así que según la concentración de partículas, el resultado es una corriente gravitacional que llega el suelo, llamada flujo piroclástico. Pero en algunos casos, este flujo puede elevarse ascendiendo muchos kilómetros hacia la atmósfera (lo que los geólogos llaman o nube coignimbrítica). Si la densidad de partículas de ceniza no es lo suficientemente alta como para causar un flujo piroclástico, se produciría una columna de aire caliente con ceniza que ascendería hacia la atmósferapudiendo alcanzar alturas de hasta 45 kilómetros, y quedando a merced de los vientos.

Otra área de las matemáticas que son útiles en las predicciones de las llamadas plumas volcánicas, son las ecuaciones en derivadas parciales, que tienen en cuenta las ecuaciones de conservación de la masa, el momento y la energía para los gases impulsores de la pluma y las partículas en suspensión.   Estas ecuaciones no son lineales y son generalmente imposibles de resolver analíticamente, pero sus soluciones se pueden aproximar numéricamente.

Este tipo de modelos de mecánica de fluidos se puede también estudiar para mdelizar lo que está ahora ocurriendo en La Palma, la nube tóxica que se forma al entrar en contacto la coriente de lava con el aguna del océano Atlántico.

Para finalizar, decir que así como existe una escala para medir los terremotos (la escala de Richter) también existe una para las erupciones volcánicas. Es una escala logarítmica llamada índice de explosividad volcánica (IEV). Los episodios eruptivos se clasifican de 0 a 8. Sin embargo, como la escala es logarítmica, una erupción de nivel 2 en el IEV es diez veces más explosiva que una erupción de nivel 1, mientras que un IEV de 3 es 100 veces más explosivo que un IEV de 1. Se basa en el volumen de tefra que es expulsado durante una erupción (tefra es el material, como la lava, ceniza y roca, que es expulsado del volcán). Los vulcanólogos también observan la altura de la columna de humo o la altura de la nube de ceniza formada en la atmósfera durante una erupción. También tienen en cuenta a qué distancia vuelan el gas y la tefra.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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En recuerdo de Antonio Martínez Naveira

Este viernes por la tarde recibía una penosa noticia, el fallecimiento del profesor Antonio Martínez Naveira, que fue Catedrático de Geometría y Topología de la Universidad de Valencia. Vayan unas líneas para recordar su figura.

Antonio Martinez Naveira nació en La Coruña, aunque su infancia transcurre en una pequeña aldea de Aranga, Churío. Antonio cursa sus primeros estudios en lo que entonces era una escuela unitaria (todos los niños bajo la atención de un único maestro o maestra). Sus estudios de bachillerato los realizó por libre, es decir, estudiaba en su pueblo pero debía examinarse en La Coruña. Fue un niño ansioso por aprender, y consiguen que pueda seguir sus estudios gratuitamente en el prestigioso Colegio Academia Galicia, en La Coruña. En 1959 obtiene, con diploma de honor, el título de bachiller superior. Había estudiado al mismo tiempo magisterio y a la vez que conseguía el título de maestro, entraba en la universidad de Santiago, en 1960. Allí se licencia en Matemáticas en 1965 y defiende su tesis doctoral en 1968, bajo la dirección del profesor Enrique Vidal Abascal (posteriormente lo hará en París VI, en 1973, ésta bajo la dirección del Prof. René Deheuvels).

Defendiendo su tesis doctoral en la Universidad de Santiago

En 1973 es nombrado Profesor Adjunto de Universidad en Santiago (donde ya daba clases como contratado) y en 1975 obtiene la plaza de Profesor Agregado de geometría V (Diferencial) de la Universidad de Granada y en 1976 la Cátedra de Valencia, por la modalidad que se llamaba de acceso.

Su trabajo de investigación se centró en varios temas en geometría diferencial: teoría de foliaciones, variedades casi-hermíticas y casi producto, estudio de esferas y tubos geodésicos. Sus publicaciones se recogen en revistas de calidad como   J. Differential Geometry, J. Reine Angew. Math, Trans. Amer. Math. Soc., Geometria Dedicata, Monatsh. Math., Comment. Math. Helv., por citar solo algunas de ellas. En cada destino en su carrera académico dejó seña de su bonhomía y su empeño en mejorar las condiciones locales. Contribuyó poderosamente a la creación de la prestigiosa escuela de geometría diferencial en su paso por Granada, e hizo lo mismo en Valencia, de donde surgieron discípulos también en Murcia. En Mathematics Genealogy Project s epuede encontrar la lista de sus hijos, nietos y bisnietos científicos, 111 en total.

En el campus de la Universidad de Santiago

Mis contactos con Antonio se produjeron cuado cursé mi licenciatura de Matemáticas en la Universidad de Santiago, donde recibí sus clases en la asignatura de Geometría Diferencial en cuarto año. Una clase con muchos estudiantes, que se impartía en el Salón de Actos, un aula enorme en la antigua Facultad de Ciencias, ahora de Químicas. Recuerdo su precisión en las clases y su facilidad para escribir de memoria fórmulas sobre la curvatura de variedades en el encerado.

Posteriormente, compartí con él la participación en numerosos congresos de nuestra especialidad, incluidos los que organizó el mismo en Peñíscola, siguiendo la tradición de los Coloquios que Vidal Abascal había puesto en marcha en Santiago. Muchas son las anécdotas sobre Antonio que nos contamos cuando nos reunimos los que voy a llamar supervivientes del grupo de Santiago. Y vistas desde la distancia de los años, me presentan a una excelente persona, siempre motivado por el conocimiento y el desarrollo de su disciplina en nuestro país.

En 1996 recibí una llamada de mi amiga y colega Marisa Fernández, ya en la Universidad del País Vasco. Habían comentado ella y Antonio con el profesor André Lichnerowicz la tristeza de ver desaparecida la Real Sociedad Matemática Española. Lichnerowicz les animó a crear una nueva en geometría diferencial, y de ahí la llamada de mi colega. Las cosas fueron mejor de lo esperado y en una reunión en la sede del CSIC en Madrid conseguimos que el entonces presidente de la RSME presentara su dimisión y dejara el camino expedito para la refundación de la sociedad. Constituimos una Comisión Gestora presidida por Antonio Martínez Naveira, conmigo de Vicepresidente, Marisa Fernández como Tesorera y Salvador Segura Gomis como Secretario. Y nos pusimos a trabajar. Tras la aprobación de unos nuevos estatutos, se constituyó la primera Junta de Gobierno con Antonio como Presidente. Durante el periodo de la gestora y después en su mandato, pude constatar su gran entrega a la tarea (tenía colgado un mapa donde iba pinchando las ciudades y pueblos donde se iban apuntando nuevos socios, y si te encontrabas con Antonio en algún lugar, era frecuente que salieras con el carnet de socio). Lo que trajo aquella refundación es bien conocido por todos.

Desde hace ya unos cuantos años, compartí numerosas reuniones con él en la Real Academia de Ciencias, de la que era académico correspondiente, y siempre pude constatar que no había cambiado ni un ápice su entusiasmo por las matemáticas.

Descansa en paz, Antonio, siempre te recordaremos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La misteriosa utilidad de las matemáticas

En 1959, el físico Eugene Wigner, Premio Nobel en 1964, impartió una conferencia en la Universidad de Nueva York, que publicó al año siguiente en un artículo con el mismo título: The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences (La irrazonable eficacia de la matemática en las ciencias naturales) en la revista Communications on Pure and Applied Mathematics.

Eugene Wigner

 

En su artículo, Wigner recuerda como los conceptos matemáticos tienen una aplicabilidad que va mucho más allá del contexto en el que se desarrollaron originalmente, que podría haber sido un puro interés matemático. El ejemplo que usa es la ley fundamental de la gravitación, que más allá de los experimentos de Galileo Galilei, sirvió, con poca experimentación, para describir los movimientos planetarios (no se pueden hacer experimentos con los planetas), gracias a los trabajos de Johannes Kepler y Sir Isaac Newton.

Wigner concluye en su artículo que “la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza el misterio y que no tiene una explicación racional”.  Aún más:

“El milagro de la idoneidad del lenguaje matemático para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no entendemos ni merecemos. Debemos estar agradecidos por ello y esperar que siga siendo válido en las investigaciones futuras y que se extienda, para bien o para mal, para nuestro placer, aunque quizás también para nuestro desconcierto, a amplias ramas del saber.”

Israil Moiseevic Gelfand

Este artículo abrió un amplio debate que dura en nuestros días sobre las relaciones entre la Física y las matemáticas. Incluso, el gran matemático Israel Gelfand, fue más lejos cuando afirmó:

“Sólo hay una cosa más irracional que la irracional eficacia de las matemáticas en la física, y es la irracional ineficacia de las matemáticas en la biología.”

Sobre esta afirmación hemos tenido una prueba tangible en estos dos últimos años con la pandemia y como las matemáticas son capaces de generar instrumentos que nos ayuden a describir como se propaga una epidemia y tomas las medidas necesarias para detenerla: modelos SIR con ecuaciones diferenciales, series temporales, cadenas de Markov. O como la Estadística permite calcular la eficacia de una vacuna o un nuevo medicamento.

Al final, nos encontramos siempre ante el dilema de si las matemáticas son una construcción mental o las vamos desarrollando porque el universo no se puede describir de otra manera, como ya nos decía Galileo Galilei en Il Saggiatori:

“La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.”

Ya Platón nos había dicho que el demiurgo había creado el mundo con triángulos (escuadra y cartabón).

Georg Cantor

Pero si creemos como decía Wigner que las matemáticas se adelantan muchas veces a los fenómenos que ayudan a describir, ¿qué podríamos decir de la construcción de los números transfinitos de Georg Cantor? De ese paraíso que él creó, nadie podrá expulsarnos (Hilbert dixit), pero la pregunta es, ¿dónde está el correlato físico?

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Matemáticas y literatura

Se acaba de publicar “Matemáticas y literatura”, el libro número dieciocho de la colección Miradas Matemáticas, una lúcida reflexión de cómo ambas áreas se relacionan, mucho más de lo que se podría imaginar. La autora es Marta Macho, una conocida matemática y divulgadora, y experta en oulipismo.

 

Matemáticas y literatura comparten muchas cosas. Como se dice en la contraportada del libro, la pasión y la creatividad son, a pesar de la incredulidad inicial, comunes a ambas ocupaciones. Y también es evidente que las matemáticas son necesarias para muchas de la screaciones literarias, pensemos solo en la estructura de un poema que está sujeta tanto al conteo de ílabas como a las terminaciones de cada verso de manera que haya coinidencias y simetrías. La estructura de un soneto, por decir un ejemplo, sigue unas reglas muy determinadas. Pero las historias se deben planificar; pensemos por ejemplo en una obra de teatro con su estructura tradicional de planteamiento, nudo y desenlace (por otra parte, común a una novela, aunque en este caso la libertad es mucho mayor). Una obra de teatro debe además dividirse en actos, cuadros y escenas. Todo ello requiere una cuidadosa estrategia inicial (por cierto, muy similar a lo que hacemos cuando escribimos un artículo de investigación: planteamos el problema en la introducción y lso antecedentes en las primeras secciones, las demostraciones de nuestros resultados, y una sección final de conclusiones).

Este libro de Marta Macho proporciona muchos ejemplos de cómo las matemáticas aparecen en muchos textos literarios, no solo en su estructuración. Muy en particular, cuando el texto debe estar sujeto a reglas prefijadas (trabas) como ocurre con la poesía con métrica. En este libro encontraremos matemáticas en textos de Edgard Allan Poe y de Antón Chejov, de Arthur Conan Doyle y los trovadors provenzales. Y no podía faltar la referencia al grupo OuLiPo, del que la autora es una gran conocedora.

Y no olvidemos el valor didáctico de este libro, que permite usar la literatura para introducir de una manera diferente muchos conceptos matemáticos (topología, combinatoria, por citar dos áreas matemáticas) pero también para conectar las dos disciplinas, matemáticas y literatura abriendo nuevos horizontes en el aula, pero también para cualquier lector interesado.

Digamos para terminar algunas palabras sobre la autora, limitándome a lo que ofrece la editorial, ya que la biografía de Marta Macho sería casi interminable por sus muchos logros y actividades.

 

Marta Macho Stadler en su despacho de la Universidad del País Vasco

Marta Macho Stadler

Doctora en matemáticas y profesora de Topología en la Universidad del País Vasco. Es editora del blog Mujeres con ciencia de la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco. Es la responsable de las secciones de “Literatura y Matemáticas” y de “Teatro y Matemáticas” en el portal DivulgaMAT. Ha recibido el Premio igUAldad 2015 de la Universidad de Alicante (2015), la Medalla de la Real Sociedad Matemática Española (2015), el Premio Emakunde (2016) y el nombramiento de Ilustre de Bilbao (2019).

 

Contenidos del libro

Índice

Introducción

Capítulo 1. Extractos literarios y huellas matemáticas

Capítulo 2. Escribiendo bajo traba matemática

Capítulo 3. La matemática como hilo conductor

Bibliografía

 

Sobre la colección Miradas Matemáticas

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y Los Libros de la Catarata auspician esta colección que combina la divulgación con la didáctica de las matemáticas. Dirigida principalmente a docentes y estudiantes de secundaria y bachillerato, su propósito es ofrecer contenidos de divulgación que aporten nuevas ideas y que permitan desarrollar materiales que acerquen las matemáticas al aula de una forma interesante y atractiva. Se busca así aproximar el mundo de la investigación y de la didáctica de las matemáticas, con una perspectiva histórica, relacionando sus aportaciones con otras ciencias y con los desarrollos tecnológicos. Con ello, se pretende contribuir a mejorar la educación de las matemáticas en el aula, fomentar las vocaciones científicas y abrir un diálogo entre los diferentes actores involucrados en la educación y divulgación de esta disciplina.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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Las matemáticas afectivas

En nuestro país se producen muchas veces debates sin que una de las partes (y a veces las dos) tengan el suficiente conocmiento de causa. Mi preocupación sobre los mismos en el ámbito educativo me ha llevado a escribir varias entradas que no persiguen crear ninguna polémica, sino únicamente traer al conocimiento público datos que sustenten las opiniones de los polemizantes.

Si uno quiere conocer uno de los curriculos de matemáticas más establecidos y respetados internacionalmente, el de Ontario (en su versión de 2020 que sustituye la de 2005) se encontrará en la introducción el siguiente párrafo:

Existen pruebas sólidas de que el desarrollo de habilidades de aprendizaje socioemocional en la escuela contribuye a la salud y el bienestar general de todos los estudiantes y al éxito del rendimiento académico. También favorece la salud mental positiva, así como la capacidad de los estudiantes para aprender, desarrollar su capacidad de recuperación y prosperar. El desarrollo de habilidades de aprendizaje socio-emocional a lo largo de sus años escolares apoyará a todos los estudiantes para que sean más saludables y tengan más éxito en su vida diaria y como miembros contribuyentes de la sociedad. En todos los grados, el aprendizaje relacionado con las expectativas de esta vertiente se produce en el contexto del aprendizaje relacionado con las otras cinco vertientes y se evalúa dentro de estos contextos.

Esas cinco vertientes aluden a esto:

Las expectativas del plan de estudios de matemáticas están organizadas en seis vertientes distintas pero relacionadas: A. Habilidades de aprendizaje socio-emocional (SEL en sus siglas inglesas) en matemáticas y los procesos matemáticos; B. Número; C. Álgebra; D. Datos; E. Sentido espacial; y F. Alfabetización financiera.

Y los autores del currículo de Ontario siguen:

Las habilidades de aprendizaje socioemocional pueden desarrollarse en todas las asignaturas del plan de estudios -incluidas las matemáticas-, así como en diversas actividades escolares, en casa y en la comunidad. Estas habilidades ayudan a los estudiantes a comprender los conceptos matemáticos y a aplicar los procesos matemáticos que son clave para aprender y hacer matemáticas. Ayudan a todos los estudiantes -y, de hecho, a todos los alumnos, incluidos los educadores y los padres- a desarrollar la confianza en sí mismos, a enfrentarse a los retos y a pensar de forma crítica. Esto, a su vez, les permite mejorar y demostrar los conocimientos, conceptos y destrezas matemáticas en diversas situaciones. Las habilidades de aprendizaje socio-emocional ayudan a todos los estudiantes a desarrollar una identidad positiva como “estudiante de matemáticas” capaz. 

No puedo más que invitar a todos a consultar la página web de Ontario para aquellos interesados en profundizar en el tema.

Vayamos ahora a otro de los referentes internacionales en la educación matemática, los consejos del National Council of Teacher of Mathematicas:

Para garantizar que todos nuestros estudiantes tengan un abanico completo de opciones prometedoras cuando se gradúen de la escuela secundaria, debemos revigorizar el elemento social humanizador en la enseñanza y el aprendizaje. Debemos proporcionar entornos de aprendizaje en los que los estudiantes se sientan seguros para asumir riesgos y trabajar en colaboración como solucionadores de problemas matemáticos, y que se comprometan con el duro trabajo de aprender tanto los contenidos académicos como los mundos sociales en los que se desarrolla el aprendizaje … La expresión aprendizaje social y emocional se utiliza ahora ampliamente para referirse a las competencias necesarias para desarrollar estas habilidades.

¿Y qué podemos decir de la situación entre niños y niñas en cuanto al aprendizaje de las matemáticas? Varios estudios concluyen que los profesores perciben que la capacidad matemática de los niños es superior a la de las niñas, independientemente de los estilos de aprendizaje y los niveles de rendimiento de los alumnos. El peligro es que esta situación a una edad tan temprana podría afectar a la confianza y la aptitud de las niñas para las matemáticas e impedirles buscar futuras oportunidades STEM. Y precisamente todos estamos preocupados en España para que  cada vez más niñas se incorporen al sistema STEM (y sus generalizaciones, STEAM y STEMM).

Vayamos a España. En la LOMCE (2013), cuando se refiere a los aspectos curriculares en Primaria, se dice:

El currículo básico se ha formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa.

Y en cuanto a los Criterios de evaluación:

9. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.10. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.11. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo para situaciones similares futuras.

Y el preámbulo de la propia LOMCE afirma:

Las  habilidades  cognitivas,  siendo  imprescindibles,  no  son  suficientes;  es  necesario adquirir desde edades tempranas competencias transversales, como el pensamiento crítico, la gestión de la diversidad, la creatividad o la capacidad de comunicar, y actitudes clave como la confianza individual, el entusiasmo, la constancia y la aceptación del cambio. La educación  inicial  es  cada  vez  más  determinante  por  cuanto  hoy  en  día  el  proceso  de aprendizaje no se termina en el sistema educativo, sino que se proyecta a lo largo de toda la vida de la persona.

Y podemos ir más atrás, a la LOE de 2006: 

Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado  que  le  permita  disfrutar  de  los  aspectos  creativos,  manipulativos,  estéticos  y utilitarios de las matemáticas.

O, por ejemplo,

Confianza  en  las  propias  capacidades  para  afrontar  problemas,  comprender  las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas.

No se trata sólo de conocimientos, sino también de competencias transversales que generen confianza en el alumno, ya desde edades tempranas. Precisamente esa confianza que les permitirá ser en el futuro ciudadanos con criterio.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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