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Posts etiquetados con ‘triángulos’

Abracadabra, el poder curativo del triángulo

Según la RAE, abracadabra se define como “palabra cabalística a la que se atribuyen efectos mágicos.” Es una palabra que vemos mucho en los espectáculos de magia tanto en directo como en televisión o internet, y el mago la pronuncia antes de ejecutar su número. Pero más que efectos mágicos, la palabra tenía supuestos efectos curativos.

 

 

La primera vez que aparece esta palabra es en la obra Liber Medicinalis (De Medicina Praecepta Saluberrima), del médico romano Quinto Sereno Sammonico (en latín, Quintus Sammonicus Serenus). En esa época, los remedios médicos solían venir escritos en versos, por dos motivos: uno porque así podían incluir metáforas y acertijos que el lector debía interpretar, y otro, porque en verso es más fácil recordar la receta.

Quinto fue un médico famoso en su época, sin embargo no se conocen muchos detalles de su vida. Nació en Pérgamo y murió en el 212 a.C. Parece ser que fue tutor de dos emperadores romanos, Geta y Caracalla (Geta era el hermano menor, y ambos gobernaron a a la vez por decisión de su padre Septimio Severo), aunque fue asesinado por el segundo; Caracalla estaba celoso de la popularidad de su hermano y decidió asesinarlo junto a muchos de sus amigos y partidarios. Pero existe una cierta confusión entre las dos personas que llevaban el nombre de Sereno Samónico, padre e hijo, y según algunas fuentes el asesinado fue el padre.

En el libro de Samónico, que fue muy popular durante la Edad Media y del que se apreciaba la calidad de sus versos, se recogen muchas recetas de siglos anteriores no solo romanas sino egipcias y griegas sobre todo tipo de enfermedades. La que nos ocupa ahora es la malaria, que fue un auténtico azote en la Antigua Roma. De hecho, la propia palabra malaria viene del latín, mal’aria, que es la contracción de mala aria, o sea, mal aire. La fiebre tenía su propia diosa, con tres templos en la ciudad de Roma. Los romanos nunca asociaron la malaria con los mosquitos.

Esta era la receta que recomendaba Quinto Sereno:

Inscribis chartae, quod dicitur Abracadabra:

Saepius et subter repetas, sed detrahe summae,

Et magis atque magis desint elementa figuris:

Singula quae semper rapies et coetera figes,

Donec in angustam redigatur litera conum.

His lino nexis collum redimire memento.

Es decir, había que escribir la palabra ABRACADABRA en un trozo de papiro y repetirla en las líneas de abajo, eliminado la última letra en cada paso, hasta que solo quedara una letra. El resultado era algo así:

 

Y lo que quedaba, enrollado como un cono, como dice Quinto en los último versos, se colgaba del cuello con un hilo de lino. A los nueve días, se arrojaba el talismán por encima del hombro a un río cuyo curso de agua apuntara al este. La idea del remedio se basaba en que a la vez que desaparecían las letras, también lo hacía la enfermedad.

Volvemos a encontrarnos con esta palabra en el Diario de la peste, de Daniel Defoe, que narra como un testigo de primera mano la peste que asoló Londres en 1665, aunque entonces Defoe tenía 5 años y probablemente usara las notas de uno de sus tíos. Defoe escribe lo siguiente:

Pero más allá de todo esto había aún otra locura,  que  puede  servir  para  dar  una  idea del humor perturbado de la clase baja de la época; sucedió que seguían a una especie de mistificadores aún peor que los mencionados. Porque  aquellos  ladrones  despreciables  sólo les mentían para hurgarles los bolsillos y sacarles  dinero,  y  en  esos  casos  la  maldad  -cualquiera que fuese- se radicaba en el engañador, no en el engañado. Pero en los casos que voy a citar, la impiedad correspondía a la víctima, o a ambas partes por igual. El asunto consistía en usar talismanes, filtros, exorcismos,  amuletos  y  yo  no  sé  qué  preparados, para  fortificar  con  ellos  el  cuerpo  contra  la peste. Como si la plaga no viniera de la mano de Dios sino que fuese una especie de posesión  por  un  espíritu  maligno,  que  debía  ser aventado con cruces, signos del zodíaco, papeles  atados  con  cierto  número  de  nudos, sobre los cuales se escribían ciertas palabras o se dibujaban ciertos signos, particularmente la palabra Abracadabra, dispuesta en forma de triángulo o pirámide.

 

Daniel Defoe

Afortunadamente, ya no estamos en esos tiempos, y sabemos que no hay amuletos mágicos que nos protejan de una epidemia, salvo aquellos que nos va proporcionando la ciencia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias)

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Pintaderas canarias

En una reciente conferencia sobre las propiedades y utilidades de los triángulos que impartí en la sede de la Real Academia de Ciencias en Madrid, uno de los asistentes llamó mi atención en el turno de preguntas sobre los triángulos que usaban los antiguos aborígenes canarios. A pesar de ser asiduo visitante de Canarias, no había nunca reparado en ello, así que para satisfacer mi curiosidad he buscado información y aquí, en esta entrada, se recogen algunos de los hallazgos.

Pintaderas canarias

Las llamadas pintaderas canarias son una especie de sellos de barro cocido (también se han encontrado algunos de madera), que fabricaban los guanches. Aunque no se conoce con exactitud para que se utilizaban, se cree que eran una especie de identificación, un sello que se imprimía en el cierre de barro húmedo de un granero colectivo, o incluso, como elementos ornamentales cuando se coloreaban con tintes naturales. El uso de sellos semejantes en las poblaciones bereberes del Norte de África, aboga por esa primera interpretación, ya que la población canaria es de procedencia bereber.

Estas pintaderas están presentes en yacimientos de toda la isla de Gran Canaria, con antigüedades que van desde el siglo I hasta el XVII. Debemos recordar aquí que el término guanche se refiere solo a los aborígenes de Tenerife, aunque el uso popular haya extendido el nombre a todas los habitantes de las Islas Canarias. Tienen formas geométricas, como triángulos y círculos, y llevan en su mayoría un mango con un agujero perforado, para poder colgarlas. Las fabricaban artesanos, y algunos han querido ver algo más que estética en sus formas, al considerar que podrían contener información matemática.

 

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Uno de los debates sobre las pintaderas se refiere al nombre. Podría ser que en un principio el hallazgo de restos de tinte podría haber llevado a pensar que eran útiles de pintar, imprimiendo marcas en el cuerpo a modo de tatuajes, pero más bien el nombre puede haber sido adquirido del que se aplicaba en América Central a sellos similares

Para los interesados en saber más cosas sobre las pintaderas, les remitimos al Museo de la Naturaleza y el Hombre, al Museo Canario y a la Cueva Pintada de Gáldar, que poseen una amplia colección catalogada. Un artículo de interés es este

G. Marcy: El verdadero  destino  de  las  “pintaderas”  de  Canarias .—“La  vraie  destination  des  “pintaderas”  des   lies   Canafies”.   Tirada   aparte   del   “Journal   de   la   Société  des  Africanistes”,  tomo  X,  1940,  (págs.  163-180).

He encontrado además este artículo

José Juan Bolaños, María Luisa Oliveras: Etnomatemáticas y Pintaderas Canarias. Journal of Mathematics & Culture, ICEM 4 Focus Issue, páginas 1-15.

Esta es una tesis interesante sobre el tema, en la que se hace un estudio geométrico de las pintadera:

José Molina González: Las pintaderas de terracota de Gran Canaria. Estudio morfotecnológico y funcional. Tesis doctoral. Universidad de Las palmas de Gran Canaria. Noviembre 2015. 295 páginas.

Se puede ver como las simetrías y la repetición de patrones son la base para la construcción de pintaderas. Por ejemplo, esto muestra una sucesión de triángulos enfrentados por los vértices

O este diseño cíclico de círculos concéntricos con segmentos transversales y con simetría rotacional:

Pero también hay motivos geométricos que corresponden a teselaciones, como esta en rombos

E incluso se podrían relacionar algunas con las propiedades de los números triangulares, como estas

En definitiva, unos objetos apasionantes que invitan al estudio más profundo y nos conectan con esos primeros habitantes de las Canarias, envueltos siempre en un halo de misterio.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La circunferencia de los nueve puntos

Desde la publicación de mi libro La engañosa sencillez de los triángulos (De la fórmula de Herón a la criptografía) he impartido varias conferencias sobre el mismo, en diferentes contextos, y en cada una han surgido nuevos temas que en su día no se trataron en el libro pero que podían haber sido parte de su contenido. Una muestra más de lo acertado del título. En esta entrada trataremos una de estas curiosas propiedades de los triángulos.

 

Consideremos un triángulo arbitrario, y sobre él los siguientes nueve puntos:

  • los puntos medios de los tres lados del triángulo,
  • los pies de las alturas del triángulo,
  • los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo.

Y recordemos que el ortocentro del triángulo es el punto en el que cortan las tres alturas.

Nuestro teorema dice que existe una circunferencia que pasa por esos nueve puntos, tal y como muestra la siguiente figura:

Hay muchas otras propiedades sorprendentes de esta circunferencia, pero nos vamos a limitar a contar algunas cosas sobre su historia. Se atribuye el descubrimiento al matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), profesor en la Universidad de Erlangen. Su resultado está contenido en su libro Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, publicado en 1822. Su teorema original no incluye los nueve puntos, sino solo seis, ya que no consideró los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro del triángulo. Este teorema fue también probado poco después por los matemáticos franceses Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet. Pero fue otro matemático francés, Olry Terquem (1782-1862), quién completó el resultado con los nueve puntos.

Karl Feuerbach

A pesar de la belleza de este resultado, la vida de Karl Feuerbach fue corta y muy difícil. Hijo de un afamado jurista, Paul Feuerbach, en una familia de once hijos, todos muy brillantes. Karl destacó pronto por sus habilidades en matemáticas y física, pero se metió en problemas muy joven. Miembro de una organización estudiantil de carácter político, fue arrestado junto con otros 19 compañeros. Creía que solo su muerte podría liberar al resto de compañeros e intentó suicidarse en un par de ocasiones. Finalmente fue liberado y continuó con las matemáticas; consiguió un empleo en Erlangen como profesor, pero su salud mental estaba muy tocada. Un día apareció en clase con una espada desenvainada y amenazó con cortar la cabeza de cada estudiante de la clase que no podía resolver las ecuaciones que había escrito en la pizarra. Después de este episodio se retiró permanentemente. Dejó que su cabello, barba y uñas crecieran sin control, no daba señales de reconocimiento a sus visitantes, murmuraba en voz baja sin que se le entendiera. Pocos años después, fallecía en Erlangen.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos

“Demos a la  tierra la figura cúbica. La tierra es, en efecto, el más noble de los cuatro cuerpos (elementales) y el más capaz de recibir una forma determinada;  y estas cualidades suponen en el cuerpo que las tiene, las bases más firmes. Ahora bien, entre  los triángulos, que desde el principio distinguimos, los  que tienen los lados iguales tienen una base naturalmente más firme que los que los tienen desiguales; y de las dos figuras planas que ellos forman, el tetrágono equilátero es una base más estable que el triángulo equilátero;  porque así en sus partes como en su totalidad, está más sólidamente  constituido. No nos separamos, pues, de lo probable al atribuir esta forma a la tierra.”

Platón: “Timeo”, 360 a.C.

 

Demiurgo es una palabra de origen griego (δημιουργός, dēmiourgós), el ‘creador’. La definición de la Real Academia Española contiene dos acepciones: 1. m. Fil. En la filosofía platónica, divinidad que crea y armoniza el universo; y 2. m. Fil. En la filosofía de los gnósticos, alma universal, principio activo del mundo. Pero en sus orígenes, demiurgo es el artesano, y es Platón quien, en el Timeo, usa filosóficamente este nombre para referirse al artesano que construye el universo. El demiurgo parte del caos y lo ordena para construir el mundo, como un artesano crea una vasija a partir de un montón de barro.

 

Una representación del demiurgo

El demiurgo construye una copia del mundo ideal, y esa copia está basada en los elementos esenciales: el fuego, la tierra, el agua y el aire. Y estos elementos están compuestos de otros, precisamente los triángulos. Y no cualesquiera triángulos: los rectángulos isósceles y los rectángulos escalenos donde la hipotenusa es el doble del cateto más pequeño. Es decir, una escuadra y un cartabón.

Al universo el demiurgo le da la forma más perfecta: “Así, pues, dio  al mundo la forma de esfera, y puso por todas partes los extremos a igual distancia del centro, prefiriendo así la más perfecta de las figuras y la más semejante a ella misma; porque pensab que lo semejante es infinitamente más bello que lo desemejante.” Pero la forma de los elementos, aunque variada, tiene que ser también hermosa. Por lo tanto, usará los sólidos platónicos o pitagóricos. Así, a la tierra le corresponde la forma del cubo, y los lados de un cubo son cuadrados que se pueden formar uniendo dos triángulos rectángulos equiláteros.

De la misma manera, el fuego asume la forma del tetraedro, el agua el icosaedro, y el aire lo conformará el octaedro. Estos tres sólidos tienen como caras triángulos equiláteros, pero un triángulo equilátero se obtiene uniendo dos rectángulos escalenos con ángulos de 30º y 60º  (cartabones).

Se cree que fue Empédocles (480 –430 a.C.) quien por primera  vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el  agua  y  el  aire,  respectivamente. Y Platón lo recogió más tarde en el Timeo. Además, incluyó el dodecaedro, que formaba la sustancia de la que estaban hechas las estrellas y el firmamento, que debería ser ajena a las que confortmaban la Tierra. Así, el dodecaedro era la quintaesencia, el éter.

Los griegos estudiaron los sólidos platónicos y algunas fuentes sugieren que Pitágoras fue su descubridor. Se supone que solo conocía el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y fue más tarde Teeteto, contemporáneo de Platón, quién descubrió el octaedro y el icosaedro y dio una descripción matemática y la primera prueba de la no existencia de otros polígonos convexos regulares. Como sabemos, esta priueba descansa en la llamada fórmula de Euler que relaciona el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V):

C + V = A + 2

Siglos más tarde, en su obra, Mysterium Cosmographicum, publicada en 1596, Johannes Kepler propuso su modelo de Sistema Solar basado en los cinco sólidos platónicos. Se incluían unos en otros separados por esferas. Eran seis esferas que se correspondían a los seis planetas conocidos en ese momento: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Este modelo estaba inspirado en las ideas platónicas.

 

Terminamos con la conocida cita de Galileo Galilei sobre el lenguaje del universo, que confirma el buen trabajo de nuestro demiurgo matemático.

“La filosofía está escrita en este vasto libro que continuamente se ofrece a nuestros ojos (me refiero al universo), el cual, sin embargo, no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el alfabeto en que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguiría vagar por oscuros laberintos.”

Il Saggiatori, VI, 232, año 1623

NB. Agradezco a mi colega José Ignacio Extremiana (Universidad de La Rioja) por llamar mi atención al diálogo de Platón y la intervención del demiurgo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).


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Miradas matemáticas

Hoy presentaremos en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, a partir de las 11:30, en el Aula 16B, una nueva colección de libros dirigida a la escuela. Esta colección está coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y la Federación Española de Sociedades Profesores de Matemáticas (FESPM) junto a la editorial Los Libros de la Catarata.

La nueva colección Miradas Matemáticas, pretende combinar la divulgación con la didáctica de las matemáticas, y llevar la investigación en matemáticas a las aulas de secundaria y bachillerato. El objetivo es romper con la idea de las matemáticas como un cuerpo estanco, que no evoluciona, con reglas que parecen surgir de la chistera de un mago, cuando, al contrario, se trata de un conocimiento en constante ebullición y profundamente conectado con la realidad.

El primer libro de la colección, “La engañosa sencillez de los triángulos”, está escrito por Manuel de León (CSIC y Real Academia de Ciencias) y Ágata Timón (CSIC-ICMAT), que también son miembros del Comité editorial del proyecto. Este primer libro, al que seguirán otros títulos próximamente, trata de acercar desarrollos matemáticos de enorme importancia partiendo de una figura geométrica tan elemental como el triángulo.

La colección se presenta aprovechando la celebración del magnífico Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM), un encuentro sobre enseñanza matemática que reúne a 1600 participantes procedentes de 16 países de Iberoamérica esta semana en Madrid.  En la presentación, intervendrán además de los autores, Fernanda Febres-Cordero (Libros de la Catarata) y Agustín Carrillo (FESPM), miembros a su vez del comité editorial.

Cuando Javier Senén, de Catarata, nos propuso lanzar una nueva colección, no nos lo pensamos dos veces a pesar de las dificultades que preveíamos. No es trivial aunar didáctica y divulgación, pero si estaba claro lo que no se quería hacer: ni más libros de divulgación, que ya tenían su colección, ni textos académicos. No sé si lo habremos conseguido, dada la premura de tiempo en la que nos hemos movido, pero al menos lo habremos intentado.

Para mí, personalmente, significa continuar en la senda de promover la colaboración entre investigadores matemáticos y profesores de matemáticas (todos unidos bajo el nombre común y magnífico de “matemáticos”). De ahí que la colaboración obvia tenía que ser con la FESPM. Sé que no todo el mundo en mi entorno favorece este hermanamiento, pero sin duda alguna, estas colaboraciones contribuyen a una mejora de la calidad, en las dos direcciones.

Pedimos disculpas a los lectores por los fallos que encuentren en la colección y los animanos a enviarnos sugerencias para mejorarla y engrandecerla.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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Triángulos de Heron

Estos últimos meses me he dedicado a leer muchos artículos sobre unos falsamente modestos objetos geométricos, los triángulos. Fruto de esa curiosidad, traemos a Matemáticas y sus fronteras un tipo de triángulos con propiedades muy interesantes, los llamados triángulos de Heron.

Herón de Alejandría

Un triángulo de Heron es áquel cuyos lados y áreas son números enteros. Fácilmente vemos que cualquier triángulo rectángulo con lados enteros es de Heron, porque el área es la mitad del producto de los dos catetos, ya que uno actúa como base y el otro como altura:

Un ejemplo de un triángulo heroniano que no es rectángulo es uno isósceles que se puede obtener pegando dos triángulos rectángulos de lados 3, 4, y 5 por el cateto de longitud 4; así obtenemos un triángulo isósceles con lasdos de longitudes 5, 5 y 6, y área 12 unidades cuadradas.

Esta técnica vale en general, porque si tomamos un triple pitagórico (que es equivalente a dar un triángulo rectángulo) (a, b, c), con c mayor que a y b, y tra (a, d, e), con e mayor que a y d, entonces podemos construir un nuevo triángulo pegando los lados de longitud a (veáse la figura anterior).

Las longitudes de sus lados serán c, e, y b + d, y el área es A = 1/2 (b+d) a

En consecuencia, si a es un entero par o b+d lo son, entonces el área A es entera.

Pero no todos los triángulos heronianos son así, y se llaman indescomponibles. Podemos permitir una generalización del concepto de triángulo heroniano permitiendo que los lados y el área sean números racionales. En este caso, siempre se puede hacer esa descomposición.

Heron encontró una fórmula maravillosa que relacionaba el área con el perímetro de un triángulo

dónde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiperímetro. Por lo tanto, tenemos una ecuación diofántica

El conjunto completo de soluciones para triángulos heronianos fue encontrada (¡cómo no!)  por Leonhard Euler, y las versiones paramétricas son debidas a Brahmagupta y Carmichael (1952), y son de este tipo

para los valores de a, b, c, s y Δ, respectivamente. Aquí, los enteros m,n y k verifican

Así se pueden producir infinidad de triángulos de Heron de una manera sencilla.

La curiosidad sobre los problemas matemáticos es inagotables, y así nos encontramos con tetaedros heronianos y pirámides perfectas.

¡Un mundo apasionante el de los triángulos!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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