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Archivo de enero, 2021

TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN ¿Cómo afecta al rendimiento del alumnado?

Con el título de TECNOLOGÍA EN LA EDUCACIÓN ¿Cómo afecta al rendimiento del alumnado?, las Fundaciones ISEAK y COTEC han hecho público un informe  que, cuando menos, puede generar cierta polémica, aunque quizás sea un buen momento para reflexionar sobre el uso de las llamadas nuevas tecnologías en el aula.

La pregunta que se planteaba era esta: ¿Cómo afecta el uso de las tecnologías en las aulas a las competencias del alumnado adolescente? Y con un enfoque particular al caso de las matemáticas. Est estudio Es decir analiza no solo la influencia en general de la stecnologías, sino si los usosmás intensivos de la tecnología afectan de manera diferente a sus usos moderados.

El resumen de conclusiones es este:

Se divide al alumnado según la frecuencia de uso reportada: muy baja, baja, media, intensiva y muy intensiva. Los resultados evidencian que un uso bajo, medio y, en ocasiones, intensivo favorece el rendimiento matemático en comparación con un uso muy bajo. En cambio, un uso muy intensivo conlleva penalizaciones en todos los países y regiones españolas analizadas. En España, en términos de rendimiento matemático, el alumnado que hace un uso muy intensivo se situaría medio curso por debajo de quienes usan las tecnologías con muy baja frecuencia. Esta penalización es, por lo general, aún más negativa para el alumnado de menor nivel socio-económico y para el alumnado femenino, si bien el colectivo femenino es menos numeroso en la categoría de usuarios muy intensivos.

La U invertida

Las conclusiones son robustas,y esa forma de U invertida de la gráfica resiste todos los análisis.

Una de las preguntas obvias ante un estudio como este es a que tecnologías TIC nos estamos refiriendo. Es un tema que no queda claro al leer el informe. ¿Estamos hablando del uso de programas como Geogebra o similares? ¿Simples búsquedas por internet? ¿Cómo controla el profesor este uso de las TIC en las aulas?

Una conclusión del estudio me resulta particularmente significativa: Los  alumnos con mejores resultados en matemáticas en España son también quienes utilizan con menos frecuencia las TIC para fines educativos, tanto en casa como en el colegio. No me parece sorprendente, porque aunque en el estudio se informa que hay una correlación entre el mayor o menor uso de las TIC para el estudio y el ocio e internet, es evidente que las matemáticas requieren un tipo de enseñanza que implica de una manera diferencial el trabajo personal.

Otra de las conclusiones es que España muestra carencias en aquellas políticas que podrían tener un impacto más directo en el rendimiento del alumnado. Esto se manifiesta en que el porcentaje de centros en los que hay una implantación y una cultura de debate sobre el tema es muy bajo en comparación con otros países.

Los resultados del estudio de ISEAK y COTEC son, en cualquier caso, muy útiles y abren el camino para estudios posteriores que deebrán ser decisivos. Porque si nos hemos empeñado tanto en acercar las TIC a la enseñanza y los resultados no están siendo los esperados, es que algo está fallando y más vale que lo sepamos cuanto antes para poner en marcha los remedios necesarios.

Para terminar, quiero referirme a este estudio complementario en cierta medida del citado anteriormene, El impacto de las TIC en el aula desde la perspectiva del profesorado,  realizado por el Equipo de Desarrollo Organizacional (EDO)de la Universitat Autònoma de Barcelona, y financiado por la Fundación  Mapfre. Este estudio está enfocado en la otra parte de la foto, el profesorado. Creo que el estudio de ISEAK y COTEC debería extenderse a este colectivo, la pieza esencial del sistema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Día Internacional de la Educación: Recuperar y revitalizar la educación para la generación COVID-19

Hoy, 24 de enero, es el Día Internacional de la Educación, proclamado por la Asamblea General de las Naciones Unidas, en celebración del papel que la educación desempeña en la paz y el desarrollo.

La Resolución fue aprobada el 3 de diciembre de 2018 y dice muchas cosas, algunas de las cuáles vale la pena recordar, más todavía en esta época de dificultades provocadas por la pandemia de la Covid-19:

“Reconociendo que la educación desempeña un papel fundamental en la creación de  sociedades  sostenibles  y  resilientes  y  contribuye  al  logro  de  todos  los  demás Objetivos de Desarrollo Sostenible; aumenta la productividad de las personas y el potencial de crecimiento económico, desarrolla las competencias necesarias para el trabajo decente y las aptitudes profesionales necesarias para el desarrollo sostenible, en particular  en las esferas del  agua  y  el  saneamiento,  la  energía ecológica  y  la conservación de los recursos naturales, ayuda a erradicar la pobreza y el hambre, contribuye a mejorar la salud, promueve la igualdad entre los géneros y puede reducir la desigualdad, y promueve la paz, el estado de derecho y el respeto de los derechos humanos,

Reconociendo tambiénla importancia de adoptar medidas para garantizar una educación inclusiva y equitativa de calidad a todos los niveles —enseñanza preescolar, primaria,  secundaria,  terciaria  y  a  distancia,  incluida  la  formación  técnica  y profesional—para  que  todas  las  personas  puedan  acceder  a  oportunidades  de aprendizaje  permanente  que  las  ayuden  a  adquirir  los  conocimientos  y  aptitudes necesarios  para  aprovechar  las  oportunidades  que  se  les  presenten  de  participar plenamente en la sociedad y contribuir al desarrollo sostenible.”

En su página web, la ONU reconoce que todavía hoy, “262 millones de niños y jóvenes siguen sin estar escolarizados, 617 millones de niños y adolescentes no pueden leer ni manejan los rudimentos del cálculo; menos del 40 por ciento de las niñas del África Subsahariana completan los estudios de secundaria baja y unos 4 millones de niños y jóvenes refugiados no pueden asistir a la escuela.”

Evidentemente, es inaceptable.

Este día se celebrará el 25 de enero, y el tema de esta edición será “Recuperar y revitalizar la educación para la generación COVID-19”. No he visto muchas iniciativas en nuestro país a este respecto, lo que me llena de una gran preocupación.

Toni Morrison

Estos días he leído para mi club de lectura la que se considera la obra cumbre de la escritora norteamericana Toni Morrison, Beloved, publicada en 1987. La novela ganó el Premio Pulitzer de Ficción en 1988 y fue finalista del National Book Award el año anterior. Está considerada como una de las mejores novelas de la literatura en Estados Unidos. Beloved narra una dura historia de esclavitud (no se puede escribir con alegría sobre esta lacra que todavía hoy provoca muchos disturbios). Pero quisiera recordar que frente a aquellos esclavos que ponían en duda el aprendizaje, muchos de ellos los vieron como una manera de liberarse de las cadenas:

El amo le enseñó. Se ofreció a enseñarles a todos, pero solo mi papaíto quiso aprender. Grandma decía que los otros se negaron. Uno, que tenía un número en vez de un nombre, dijo que eso le embarullaría la cabeza, que le haría olvidar cosas que debía recordar para memorizar cosas que no debía. Pero mi papaíto decía: <<Si no sabes calcular te engañan. Si no sabes leer te pegan.>> A todos les parecía muy raro. Grandma no estaba segura, pero gracias a que mi papaíto sabía contar y calcular con papel y lápiz, logró comprar su libertad. Y Grandma decía que siempre lamentó no saber leer la Biblia, como los verdaderos predicadores. De manera que estaba bien que yo aprendiera y lo hice hasta que todo fue silencio y solo oía mi propia respiración y otra que volcó la jarra de leche que había en la mesa.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Los calculadores de Merton

El Merton College albergó a un grupo de estudiosos dedicados al cultivo de la física, la astronomía y las matemáticas, que son conocidos como “los calculadores de Merton”.

Merton College

 

El Merton College es uno de los colegios de la Universidad de Oxford en Inglaterra. Su fundación se remonta a la década de 1260 cuando Walter de Merton, canciller de Enrique III y más tarde de Eduardo I, redactó por primera vez los estatutos de una comunidad académica independiente y estableció una dotación económica. Es interesante saber que en este colegio las dotaciones se otorgaban directamente al director y a los becarios para que fuera autogobernado sin influencias externas.

Los principales “calculadores”, que escribieron en el segundo cuarto del siglo XIV, fueron Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead y John Dumbleton. Estos “calculadores” dedicaron mucho tiempo al estudio de la mecánica, tratando de encontrar las leyes que determinaban el movimiento de los cuerpos. Al hacerlo, anticiparon muchos desarrollos que después Galileo Galilei e Isaac Newton convirtieron en los resultados que contribuyeron a poner los cimientos de la ciencia moderna, especialmente en física y matemáticas.

 

Walter Merton

Entre los calculadores, el más destacado sea probablemente Thomas Bradwardine. Nació en Sussex, en 1290 (algunos autores señalan el 1295 o 1300), estudió en el Balliol College, de Oxford, y tras conseguir su título en 1321 pasó a formar parte delMerton College. Allí trabajó hasta 1335, y es en esa época cuando hizo sus contribuciones más relevantes, entre ellas el”Tractatus de proportionibus velocitatum in motibus”. El objetivo de esta obra era encontrar las leyes de la dinámica. Fue confesor del rey Eduardo III y lo acompañó en la guerra en Francia. A su vuelta a Inglaterra, ocupó varios cargos, y en 1349 los canónigos de Canterbury lo eligieron arzobispo, pero Eduardo III prefirió nombrar a su canciller John de Ufford. Ufford murió por la peste y Bradwardine ocupó su lugar, pero cuando volvía de recibir la confirmación del Papa Clemente VI en Aviñón, también sucumbió por la epidemia, sinendo enterrado en Canterbury.

Su influencia fue enorme, convirtiéndose en un célebre teólogo, que llegó a ser conocido como Doctor Profundus. Esa fama le hizo aparecer citado en Los cuentos de Canterbury de Geoffrey Chaucer:

“Con todo, yo no puedo llegaral fondo de la cuestión como aquel santo teólogo San Agustín, Boecio o el obispo Bradwardine y deciros si la divina presciencia de Dios constriñe necesariamente a uno a que realice cualquier acto en particular (cuando indico «necesariamente» quiero decir «sin más» o si uno está en situación de decidir libremente lo que hará o dejará de hacer, incluso cuando Dios sabe por anticipado que el acto en cuestión tendrá lugar antes de que ocurra o si el hecho de que lo sepa no constriñe en absoluto excepto por «necesidad condicional»). En tales problemas no entro en absoluto.”

Hoy sabemos (Newton dixit) que la fuerza que se aplica a un cuerpo le proporciona una aceleración en relación con su masa, es la llamada segunda ley de Newton, fuerza = masa x aceleración. Pero esto no estaba claro en esa época, en la que tampoco se conocía la noción de derivada (de nuevo Newton).

Bradwardine desarrolló sus ideas en el tratado De proportionibus velocitatum in motibus, publicado en 1328. Parece evidente lo que Aristóteles estableciera: el movimiento sólo puede ocurrir cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo superan las fuerzas de resistencia. Lo que Bradwardine intentaba dilucidar es cómo la velocidad de un cuerpo en movimiento depende de las fuerzas que actúan sobre él. Así, si V denota la velocidad, F la fuerza motriz y R la fuerza de resistencia, entonces ya Aristóteles decía que V debería ser proporcional al cociente F/R. Supongamos que en principio tenemos una fuerza F fijada, una resistencia R0 tal que F> R0  y una velocidad inicial V0. Si V es proporcional a F/R y las velocidades fueran reduciéndose a la mitad en cada instante de tiempo y, en proporción las fuerzas de resistencia se doblaran, llegaríamos a un momento en que F<Rt.

Pero se podía considerar otro tipo de proporción, por ejemplo que reducir continuamente a la mitad V0 se corresponde a tomar continuamente raíces cuadradas de F/R0. En términos modernos, diríamos que V debería ser proporcional al logaritmo de F/R.

La “Ley de Bradwardine” fue ampliamente aceptada hasta finales del siglo XVI, pero como la formulación inicial de Aristóteles, era errónea. Fue Newton quien formuló la ley que hoy conocemos como verdadera.

Bradwardine es autor también de otras interesantes obras matemáticas. Creó una teoría de polígonos estelares regulares en su libro Geometria speculativa, de 1496. Recordemos como se construyen polígonos estrellados. Si a partir de los vértices de un polígono regular de p lados se unen sus vértices alternadamente, es decir, cada q vértices (orden q) sucesivamente hasta alcanzar el vértice inicial, se obtiene un polígono regular estrellado, cuyos lados y ángulos son todos iguales. La figura que se obtiene puede representarse mediante la expresión {p/q}. Por ejemplo, a partir de un pentágono regular (p = 5) puede trazarse una estrella de cinco puntas uniendo el primer vértice con el tercero (q = 2), el tercero con el quinto, el quinto con el segundo, el segundo con el cuarto y el cuarto con el primero. Se obtiene así el polígono estrellado {5/2}. Para generar un polígono estrellado, la fracción p/q debe ser irreducible, esto es, p y q han de ser primos relativos.

 

Los polígonos se pueden clasificar por orden y especie: dos polígonos son del mismo orden si tienen un número igual de lados mientras que dos polígonos son de la misma especie si la suma de sus ángulos es igual. Bradwardine probó resultados vcomo estos: el primer polígono estelar regular de la segunda especie es el polígono de cinco lados; la suma de los ángulos del polígono estelar de cinco lados es igual a los ángulos rectos; o el polígono es el primer polígono estelar regular de la tercera especie. Estableció además este principio general: el primer polígono estelar regular de cualquier especie se obtiene extendiendo los lados de la tercera figura constructible de la especie anterior.

En conjunto, la obra de Bradwardine es excepcional, y en cuanto a la ciencia su gran logro fue impulsar la idea de que las leyes naturales solo se pueden entender al expresarlas en una formulación matemática.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La máquina de Galton

Siempre que puedas, cuenta

Sir Francis Galton

No es la primera vez que Francis Galton se asoma a Matemáticas y sus fronteras. En El matemático que quiso medir la inteligencia hablamos de sus estudios sociológicos y antropológicos  , y en La extinción de los apellidos entre la aristocracia victoriana y el número R sobre el ahora famoso número R en el caso de la transmisión vertical. Pero hoy nos centraremos en uno de sus diseños, la llamada máquina de Galton.

 

Galton nació en Birmingham, el 16 de febrero de 1822, y falleció en Haslemere, Surrey, el 17 de enero de 1911).  Se le puede calificar de polímata, porque sus intereses y actividades fueron de lo más variado y abarcaban la estadística, la sociología, la psicología, antropología, geografía, y muchas más cosas.

Galton fue pionero en la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias sociales y a la medicina, también a la meteorología. En realidad, fue por esas aplicaciones por lo que Galton se dedicó a estudiar la estadística. En las citadas entradas previas podemos encontrar muchos más detalles.

Sir Francis Galton

En Estadística nos interesa conocer los valores medios y como las mediciones se dispersan en torno a estos. A finales de 1860, Galton fue capaz de proponer la llamada desviación estándar. En su estudio de la distribución normal, Galton inventó una máquina que se llamó la Máquina (o Tablero) de Galton. Su objetivo era demostrar el teorema del límite central, en particular que, con una muestra lo suficientemente grande, la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Como comentamos, su curiosidad era conocer por qué ciertas características humanas, como la altura, en lugar de variar aleatoriamente dentro de una población, parecían variar dentro de una cierta estructura, una distribución normal. Galton quería precisamente era proporcionar una demostración práctica de por qué ocurre este hecho (aparte, por supuesto, de la demostración matemática, basada en el Teorema Central del Límite).

 

Diseño original de Galton

El Tablero de Galton consiste en un tablero vertical en el que se van intercalando filas de clavijas tal y como se muestra en la imagen. Ahora vamos dejando caer desde arriba cuentas o bolitas que van rebotando en las clavijas. Al golpearlas, pueden rebotar a la izquierda o hacia la derecha. Las cuentas acaban agrupándose en los recipientes de la base del tablero, y uno observa como las alturas de las columnas se aproxima a la curva de campana. La razón de esto es que hay muchas más formas de llegar a estos contenedores centrales que a los extremos. En efecto, aunque la probabilidad de ir a un lado o a otro es de ½, hay más maneras de irse hacia el centro que hacia los lados.

La fascinanción de Galton por la curva de campana queda de manifiesto en su libro Herencia Natural, publicado en 1889:

Orden en el Caos Aparente: Sé de casi nada tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de la Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada por los griegos y deificada, si hubieran sabido de ella. Reina con serenidad y en completo olvido en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es la multitud, y cuanto más grande es la anarquía aparente, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la irracionalidad. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos son tomados en mano y reunidos en el orden de su magnitud, una insospechada y más bella forma de regularidad demuestra haber estado latente todo el tiempo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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STEAM en Miradas Matemáticas

“La enseñanza de las matemáticas se enriquece si se le dota de un contexto STEM”, Manuel García Piqueras

Miradas Matemáticas, la colección de libros que publica Catarata en colaboración con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza su decimoquinto título,  Aventuras STEAM, escrito por Manuel García Piqueras.

STEAM es el acrónimo inglés de de Science, Technology, Engineering, Art y Mathematics, y es la evolución del original STEM: cience, Technology, Engineering y Mathematics. Ambos son una estrategia educativa que incide en la enseñanza interdisciplinar, tratando de que los alumnos adquieran competencias  y habilidades relacionadas con la resolución de problemas, la investigación científica, el pensamiento creativo, el espíritu crítico, la iniciativa empresarial, el trabajo en equipo o la gestión positiva del error.

Este tipo de educación integral se ha ido haciendo cada vez más popular por la ceciente demanda de profesionales que posean estas cualificaciones. Por otra parte, STEAM permite que el alumnado desarrolle habilidades y competencias relacionadas con la innovación, independientemente de que se vayan a dedicar o no a una profesión científico-técnica.

 

Manuel García Piqueras

Una de las características de STEAM es que abarca metodologías, herramientas tecnológicas y orientaciones pedagógicas diversas, como el aprendizaje basado en proyectos, en el que se prioriza la resolución de problemas en contextos reales o el aprendizaje-servicio, enfocado a la mejora por parte del alumnado de una situación social en su entorno cercano.

Como el propio autor comenta en esta entrevista:

“La Unión Europea prevé un incremento considerable de perfiles STEM en un futuro inmediato. Ahora mismo no es posible competir a nivel salarial con otras potencias emergentes y la única forma de tener éxito comercial es fabricar con una calidad y unas garantías excelentes. Esto se consigue mediante la aplicación de tecnología punta y los estándares científicos más avanzados.”

 

El autor en el CERN

No es de extrañar pues que la propuesta de un libro sobre STEAM fuera acogida con entusiasmo en Miradas matemáticas. El título lleva un subtítulo clarificador, Ciencia, tecnología, ingeniería y arte: Un universo de conexiones matemáticas. En efecto, el autor presenta una serie de proyectos STEAM que tienen a las matemáticas como hilo conductor. Estos proyectos han sido desarrollados por el autor en el aula, y han sido reconocidos internacionalmente con numerosos premios. Entre ellos: la construcción de un astrolabio con impresora 3D, erl estudio de los ecosistemas y las consecuencias del cambio climático o el estudio del magnetismo terrestre, y son adaptables según las necesidades del profesorado y el alumnado.

Sobre el autor

Manuel García Piqueras es consultor tecnológico, docente de secundaria y profesor asociado de la Universidad de Castilla-La Mancha, autor de múltiples artículos sobre matemáticas, ensayista y novelista. Ha coordinado equipos de estudiantes que han obtenido las más altas distinciones en competiciones STEAM internacionales. Centra sus intereses en la teoría de la complejidad aplicada al estudio de ecosistemas, los instrumentos astronómicos, el magnetismo terrestre o el aprendizaje automático, entre otros, y participa en proyectos dirigidos por la Agencia Espacial Europea (ESA) o la Organización Europea para la Investigación Nuclear (CERN). Ha publicado novelas como La SuperMATEsobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016) o libros de divulgación como Una historia de la proporción: Desde la prehistoria al número de oro (Nivola, 2013) o la biografía Leibniz Las matemáticas del mejor mundo posible (Nivola, 2020).

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: en búsqueda de la identidad

En entradas anteriores hemos visto como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era constante, la misma que nos da la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio. A esa constante la bautizamos como número π. Pero, ¿cuál es la naturaleza de este intrigante número cuyas cifras decimales no terminan nunca?

William Oughtred

Para investigar sobre sus señas de identidad, vayamos primero al nombre,  y también a la notación, al símbolo que lo representa. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de dos palabras griegas: περιφέρεια (periferia) y περίμετρον (perímetro). Esta notación se debe al matemático y clérigo inglés William Oughtred (1574-1660) (a quien, por cierto, se le deben muchas otras notaciones); previamente se representaba por la letra p. Oughtred usaba la relación π/δ, donde δ era el diámetro en su obra Clavis Mathematicae (1647).

William Jones

 

Más adelante, el matemático galés William Jones (1675-1749) en su obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos, utiliza la letra griega π en la discusión de un círculo con radio uno tal como se muestra en la imagen

Jones, sin embargo, comenta que esas ocasiones son debidas “al ingenioso Sr. John Machin (1686-1751), quien en 1706 consiguió el logro de calcular 100 cifras decimales de pi. Así que quizás Machin fue al auténtico padrino. En cualquier caso, los matemáticos siguieron usando la notación en fracción de Oughtred hasta que Leonhard Euler la popularizó en sus obras Mechanica (1736) e Introductio in analysin infinitorum (1748). La influencia de Euler pudo con cualquier otro intento, como el previo de denominarlo constante de Ludolph, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), quién había calculado valor de π con una aproximación de 20 cifras decimales en su libro Van den Circkel (1596) que extendió a 35 algo más tarde. Después de su muerte, el “Número de Ludolphine”,

3,14159265358979323846264338327950288…,

fue grabado en la lápida de su tumba en Leiden.

 

Réplica de la tumba de Ludolph van Ceulen

Aparte de estas pinceladas acerca del nombre, lo esencial era determinar su naturaleza como número.

π  es un número irracional, es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros: Este hecho lo demostró el matemático suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Lambert expresó  π  como una fracción continua infinita. Como una fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua.

Johann Heinrich Lambert

Más adelante, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Y otras simplificaciones de esta prueba de Hermite son debidas a Mary Cartwright, Ivan Niven y al grupo Nicolas Bourbaki. Otra prueba, simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π no sólo es irracional, sino también trascendental, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

 

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

También se sabe que π no es tampoco lo que se llama un número de Liouville, que son aquellos números trascendentes que no se pueden aproximar por una sucesión de números racionales “rápidamente convergente”, o en otras palabras, los “mejor aproximados” por racionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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