Matemáticas y sus fronteras

“My feeling is that to do some mathematics I just have to concentrate. I don’t have the kind of mind that absorbs things very easily.”

John T. Tate

El pasado 16 de octubre, a la edad de 94 años, fallecía en su casa de Lexington (Massachussets) uno de los matemáticos más admirados, John Torrence Tate, galardonado con el premio Abel en 2010.

John Torrence Tate

Su padre, que compartía su nombre, John Tate, era descendiente de escoceses e irlandeses, y fue un físico doctorado en la Universidad de Berlín; su madre,  Lois Beatrice Fossler, fue una profesora de secundaria de inglés. Cuando nació Tate (28 de diciembre de 1917), en Minneapolis, su padre era profesor en la Universidad de Minnesota. Ambos tuvieron una gran influencia en el futuro académico del joven Tate.

En su niñez y juventud, Tate fue un gran entusiasta de las matemáticas, pero no se consideraba capacitado para estudiar esta materia que pensaba propia de mentes muy elevadas. Esto le llevó a estudiar física, graduándose en la Universidad de Harvard en 1946, trasladándose luego a la de Princeton, siempre con esa intención de seguir con la física.

El joven Tate

Pero ya allí se dio cuenta de que lo que realmente le gustaban eran las matemáticas, y tuvo la fortuna de contar con la supervisión de un gran nombre de las matemáticas, Emil Artin, con quién realizó su tesis doctoral, titulada Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta Functions, defendida en 1950. Tate continuó su carrera en Princeton hasta que consiguió un puesto fijo en Harvard en 1954, universidad en la que trabajó hasta 1990, año en que aceptó un puesto en Austin, Texas. En 2009 se jubiló y volvió a Harvard como profesor emérito.

El trabajo de Tate se ha centrado en la geometría algebraica y la teoría de números. Hay una gran colección de teoremas y conceptos que llevan su nombre. De hecho, muchas líneas de investigación en estos temas son posibles gracias a sus resultados. Aunque él no se consideraba apto para la investigación matemática en sus años juveniles (decía que “si su padre había sido físico, él también podría hacer algo en ese campo, pero no iba a estar en la gran liga de los matemáticos”), sus aportaciones fueron decisivas. Como algunos de sus colegas comentaban, cuando Tate tocaba algo, ese tema ya se entendía por los demás.

Tate ha recibido multitud de honores y premios. Fue conferenciante plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza en 1970, uno de los mayores honores para cualquier matemático. Pero además de esto, la lista es interminable: académico de la National Academy of Sciences, de la Académie de Sciences de Paris, el Premio Leroy P. Steele de la American Mathematical Society, o el Premio Wolf. Finalmente, el 24 de marzo de 2010, el Presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras anunción que se le había concedido el Premio Abel, por “su vasto y perdurable impacto en la teoría de números”.

Decía Tate que uno de los grandes inconvenientes de la investigación matemática era que para apeciarla, el no experto tenía que hacer un gran esfuerzo, al contrario de la música, que sin entender de partituras, todos podemos disfrutar.

Descanse en paz John Torrence Tate. Aquí les dejamos con un video y una entrevista

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

El pasado 19 de febrero fallecía, a los 93 años de edad, el matemático ruso Igor Rostislavovich Shafarevich, nacido el 3 de junio de 1923. Shafarevich fue un distinguido matemático con aportaciones fundamentales en la teoría algebraica de números y en geometría algebraica.

Igor Shafareich

Su padre había estudiado mecánica y matemáticas en la Universidad Estatal de Moscú, y luego fue profesor; su madre, Yulia Yacovlevna, era filóloga y una música con talento. Shafarevich creció por tanto en un ambiente intelectual, que le llevó a aficionarse a la historia y a la literatura. Sin embargo, a los doce años, sus amores se decantaron repentinamente por las matemáticas. Él mismo no se explica como nació esa afición.

En 1938, se fue a hablar con los matemáticos de la Universidad Estatal de Moscú, que le dieron muy buenos consejos, como él mismo reconoció posteriormente (entre ellos, estaba el famoso matemático ruso Israil Moiseevic Gelfand). Con solo diecisiete años se graduó, y comenzó a investigar bajo la dirección de Gelfand y Kurosh.

El final del pacto ruso-alemán en 1941 en la segunda guerra mundial, hace que Shafarevich sea movilizado. Uno de los espisodios que vive es en una excursión con Sviatoslav Richter por las afueras de Moscú en la que son tomados por espías rusos sin que las explicaciones de que están en la universidad sean admitidas dada su juventud; finalmente les envían a casa de nuevo. Volvió a la universidad, trasladada por la guerra a Tashkent, Uzbekistan. En 1944, a los 21 años, defendió su tesis doctoral bajo la dirección de Kurosh.

Shafarevich comenzó a trabajar ese mismo año, 1946, en el Instituto Steklov de la Academia de Ciencias de la URSS, pero fue despedido en 1949, posiblemente por tener demasiados estudiantes que querían atender a sus clases; la norma era que todos debían tener el mismo número de estudiantes, la uniformidad soviética.

Fue readmitido en 1953, y ya por esas épocas sus sentimientos hacia el comunismo eran muy negativos. Y en 1972 forma ya parte de un activo grupo de disidentes encabezados por Solzhenitsyn. Shafarevich había publicado un libro y artículos no matemáticos, colaboraba con Solzhenitsyn y con Sakharov, era en fin, un enemigo público.

Sus ideas eran bastante heterodoxas. Escribió un libro, “El fenómeno socialista”, donde analizaba el socialismo desde los tiempos antiguos hasta la actualidad, pasando por las misiones jesuitas de Paraguay, la Utopía de Tomás Moro, Campanella, etc. Shafacreich era además fiel de la iglesia ortodoxa, y defendía la idea platónica de las matemáticas inspiradas por Dios. En su libro “Rusofobia” defendía ideas que fueron calificadas de antisemitas, lo que provocó la petición de su expulsión como miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos, aunque él negó esas acusaciones de antisemitismo. Este hecho provocó un amplio debate sobre si una institución científica podía expulsar a uno de sus miembros por sus opiniones personales al margen de la ciencia. Así, en 2012, Birkhäuser publicó el libro “The Vexing Case of Igor Shafarevich, a Russian Political Thinker”, escrito por Krista Berglund.

El trabajo matemático de Shafarevich más notable es en el llamado problema inverso de la teoría de Galois y en la teoría de cuerpos, temas en los que resolvió importantes conjeturas. Más tarde, trabajó en curvas elípticas, teoría de números, pseudogrupos de Cartan, álgebras de Lie, etc.. Entre los honores concedidos a Shafarevich por sus contribuciones matemáticas, está el haber sido conferenciante plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de Estocolmo en 1962. Entre sus estudiantes se encuentran matemáticos tan notables como Yuri Manin, Alexei Ivanovich Kostrikin, Igor Dolgachev, Evgeny Golod y Boris Moishezon. Es autor de unos cincuenta artículos especializados (la mayoría, con un enorme impacto) y libros.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

Seguimos contando más cosas sobre Pierre de Fermat. En una entrada reciente habíamos hablado del famoso teorema de Fermat y los intentos fallidos de resolución a lo largo de más de tres siglos. Pero este es solo uno de los problemas que Fermat propuso. Porque, aunque el trabajo oficial de Fermat no era el de matemático sino de abogado y juez, consagró sus momentos de ocio al planteamiento y resolución de problemas matemáticos.

Pierre de Fermat

Los problemas los lanzaba por la vía epistolar, escribiendo cartas que contenían retos dirigidos a la comunidad matemática europea; esto a veces tenía como consecuencia la aparición de rivalidades entre matemáticos de diferentes nacionalidades. Sus resoluciones quedaban muchas veces inconclusas, apuntadas en los márgenes de los libros, en ocasiones sin ninguna indicación de una posible prueba. En el envío de sus cartas, contó con la ayuda de Marin Mersenne, que servía de enlace entonces entre la comunidad matemática.

Muchos de los problemas planteados por Fermat son clásicos en teoría de números. Por ejemplo, los referidos a los números perfectos, aquellos cuya suma de divisores es el propio número. El primer ejemplo es el 6. Sus divisores son 1, 2 y 3, cuya suma iguala 6. Esta particularidad del 6 lo dotó de un significado místico por la escuela pitagórica; representaba la unicidad, la dualidad y la trinidad.

Euclides había probado en Los Elementos que 2^p−1(2^p − 1) es un número par perfecto siempre que 2^p − 1 sea primo. Estos son los llamados primos de Mersenne (cuando p es primo, lo que no garantiza que el correspondiente número de Mersenne lo sea).

Hay muchos resultados sobre números perfectos que aún no se ha demostrado, por ejemplo, si existen números perfectos impares. Tampoco se sabe si los números de Mersenne son infinitos. Lo que sí se sabe, evidentemente, es que no todos los números son perfectos. Los que no lo son pueden dividirse en dos tipos: aquellos cuya suma de divisores es menor que el número, que son los denominados números abundantes; y aquellos para los que la suma de divisores excede al propio número, que son los denominados números deficientes. Finalmente, también existen los números amigos: dos números son amigos cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro número y viceversa; por ejemplo, el 220 y el 284. A este tipo de números se le dio un significado místico; se creía que si dos personas comían dos panes en los que se inscribían tales números, entonces serían amigos para siempre.

En 1636 Fermat planteó el problema de cómo determinar la suma de los divisores de un número. René Descartes fue el primero en aceptar el reto y plantear un método. Dado que todo número puede expresarse como  el producto de potencias de sus factores primos

N= p₁^k₁ p₂^k₂ … p_n^k_n

cuyos divisores serán todas las combinaciones entre dichos factores, Descartes propuso un método que cubría los divisores anteriores de forma recursiva. Posteriormente, Fermat propuso un método alternativo aunque similar, pero que nunca apareció probado.

Otro resultado sobre primos se refiere a los llamados ahora números de Fermat; un número de Fermat es un número natural de la forma:

F_n = 2²ⁿ + 1

donde n es natural. Fermat conjeturó que todos ellos eran primos, pero Leonhard Euler probó que no era así, ya que

F₅ = 4294967297 = 641 x 6700417

Súbitamente, Fermat dejó de escribir a sus colegas matemáticos y se mantuvo en silencio más de diez años. Las consecuencias fueron que perdió a muchos de sus colaboradores; algunos habían muerto, y con otros perdió el contacto.

Este aislamiento llegó a su fin cuando Blaise Pascal le propuso algunos problemas sobre probabilidades. Pascal y Fermat son hoy en día considerados como los fundadores de la teoría de la probabilidad.

Otro campo en el que Fermat consiguió importantes resultados fue el de los números triangulares. Recordemos que un número triangular es aquel que se descompone en sumandos que forman un triángulo. Por ejemplo, el 10: 1+2+3+4.

El número 10 se denominó tetrakys y fue venerado como número de la cambiante creación. Sorprendentemente, todo número perfecto es triangular.

A pesar del misticismo y las cábalas pitagóricas, estos números no sólo demuestran una belleza matemática, sino que también pueden ser números claves en la naturaleza. Años después, el misticismo se ve corroborado en la aparición del patrón tetrakys en procesos físicos. En 1969, Murray Gell-Mann recibió el premio Nobel de Física al predecir la existencia de una partícula a partir del pico inconcluso del triángulo formado por diez partículas, clasificadas atendiendo a dos parámetros: hipercarga e isospin.

Este es el denominado decuplete del modelo estándard de la física de partículas, cuyas partículas elementales (aquellas formadas por dos o tres quarks) han sido ampliamente clasificadas y predichas en diagramas gráficos, todos correpondientes con polígonos regulares. La verdadera raíz de esta interpretación recae en la teoría de grupos y las representaciones irreducibles del grupo del modelo estándar, al que dedicamos una entrada de este blog hace unos meses, titulada Teoría de grupos, más allá del formalismo.

Murray GellMann

Dejando la corroboración física y volviendo al misticismo, el tetrakys representaba los cuatro elementos. La armonía de las esferas, y el ordenamiento del espacio: 0, 1, 2 y 3 dimensiones representadas por cada línea.

El concepto se generalizó fácilmente, siendo un número cuadrado el que puede descomponerse en sumandos que formen un cuadrado y así sucesivamente.

Para terminar con Fermat y la teoría de números, enunciamos uno de sus últimos teoremas: todo número es, o bien triangular, o bien la suma de dos o tres números triangulares. También, o es cuadrado, o la suma de dos o tres cuadrados. O pentagonal, con un enunciado similar.  Una vez más, el resultado fue consignado en otro margen de la Aritmética de Diofanto con una observación típica de Fermat: “La demostración de este resultado tampoco tiene cabida en este margen, pero pienso escribir un libro sobre ello”.

Sin embargo, Fermat cada vez se sentía más hastiado de no encontrar correspondencia ni interés en sus problemas planteados. En un extracto de unas de sus cartas se pone de manifiesto las querellas internacionales que propiciaba a costa de retar con sus problemas:

“Esperamos estas soluciones, y si Inglaterra o Bélgica o la Galia Celta, no las producen, entonces la Galia Narbonesa lo hará”.

Los últimos científicos con quienes mantuvo contacto, como Huygens y Pascal también se negaron a participar en la nueva teoría de los números. En la época, no se veía la utilidad de la resolución de tales problemas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

La publicación de este artículo en la sección Café y Teoremas de El País, dentro de la colaboración del ICMAT con Materia, y la lectura de los comentarios que ha suscitado, me ha llevado a una reflexión sobre la problemática de comunicar las matemáticas.

Digamos en primer lugar que resumir un tema matemático en 700 palabras no es fácil, sobre todo si quieres conter una historia que interese. Uno de los recursos mas usados es asociar el tema a una historia, generalmente sobre las personas que están detrás de la noticia. En este caso se trataba del matemático japonés Shinichi Mochizuki y la ya famosa conjetura abc. Por cierto, recomiendo este video

para encontrar una sencilla explicación de la conjetura, que en esencia trata de ver la relación que hay entre los primos en los que se descomponen dos números a y b y los de su suma, a+b=c, y de ahí el nombre.

Para un matemático, que se hable de matemáticas en un diario de tanto prestigio como El País, es una satisfacción. Si además, el artículo genera docenas de comentarios, pues, ¡qué mas le podemos pedir! De todos los comentarios que he leído (uno es algo morboso) los hay con genuino interés, y los hay de los que acaban hablando al final de si Rajoy o Sánchez o Iglesias o Rivera, y lo malos o buenos que son unos y otros.

Y también los hay que emiten opiniones desconsideradas bien con los autores del artículo (y esas las asumimos con estoicismo, es el riesgo que hemos decidido correr por escribir públicamente nuestras ideas), pero también con el protagonista. Y esto lo hemos vivido con otros artículos publicados en esta sección, artículos que yo mismo solicité a través de mis colegas internacionales. Sobre estos comentarios, en algún caso descalificatorios y amparados en el anonimato, deberíamos señalar que siempre es bueno indagar algo más sobre el personaje. Calificar a Mozichuki de tipo raro (para algunos parece que todos los matemáticos somos gente extraña, aquejados generalmente de dolencias mentales y que nos importa muy poco el mundo en el que vivimos) demuestra que uno no se ha leído su trayectoria.

Mochizuki nació en Japón, y a los cinco años se trasladó con su familia a Estados Unidos. Allí estudió matemáticas en la Universidad de Princeton, y después hizo su tesis doctoral bajo la dirección de un tal Gerd Faltings, tesis que defendió con 23 años. El tal Faltings, por cierto, consiguió la medalla Fields en 1986. Mochizuki ya resolvió una importante conjetura de otro tal Alexander Grothendieck, también medallista Fields en 1966. Por sus logros, Mochizuki fue un conferenciante invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Berlín en 1998. Por lo tanto, cuando Mochizuki colgó sus cuatro artículos con unas 500 páginas en su página web hace cuatro años, la comunidad matemática pensó que allí había algo nuevo. Y esta comunidad, que es más sólida de lo que pueda parecer porque por eso creó un colectivo, la Unión Matemática Internacional (IMU) que es la unión científica más antigua, se puso las pilas para tratar de entender lo que este japonés había hecho. Y en eso estamos, y parece que las cosas pintan bien. Los expertos en teoría de números y geometría algebraica nos lo dirán pronto.

Mientras tanto, algunos comentaristas deberían navegar mas por internet para conocer un poquito mas sobre los personajes que son noticia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).