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Posts etiquetados con ‘cónicas’

La historia de la independencia de las cónicas

Sale al mercado editorial la última entrega por ahora de la colección Miradas Matemáticas, la número 14. En este caso, una historia de las cónicas acompañada de numerosas construcciones geométricas usando Geogebra.

 

 

Las cónicas son las curvas que resultan cuando seccionamos un cono con un plano. Así aparecen  la elipse, la hipérbola y la parábola. Su historia es antigua, y se remonta a la antigua Grecia, con los trabajos de Hipócrates de Quíos o Menecmo, aunque el gran nombre asociado a las cónicas es Apolonio de Perga.

Las cónicas (cuyo nombre genérico tiene su raíz obviamente en el cono), despertaron el interés de muchos matemáticos en siglos posteriores. Y poco a poco, fueron independizándose del cono. En dos direcciones. En primer lugar, una geométrica en la que pudieron ser definidas como lugares geométricos en el plano, sin referencias al cono. Y en segundo lugar, una independencia basada en el álgebra, al definirlas por ecuaciones una vez introducido un sistema de coordenadas. En ambos casos, esas alternativas han dado lugar a una gran riqueza de resultados de todo tipo, y muchos de ellos son descritos en este libro.

Y no solo son entes matemáticos, ya que desempeñaron un papel fundamental en la formulación de las leyes de Kepler que describen el movimiento de los astros, ya que sus órbitas son precisamente elipses en las que uno de sus focos es el Sol. En la actualidad, las cónicas siguen estando muy presentes en la vida cotidiana: podemos encontrarlas en numerosos diseños y logotipos o en estructuras arquitectónicas, en las antenas parabólicas, en los faros de los automóviles, etc.

Como comentario final, decir que este libro está acompañado de las construcciones sobre cónicas que se pueden hacer con Geogebra, proporcionando así un instrumento que va más allá de una mera lectura, tanto para profesores como estudiantes o simplemente personas con curiosidad por las matemáticas.

Sobre la colección

Miradas Matemáticas es un proyecto conjunto de la Editorial Catarata con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para publicar libros en torno a la didáctica de las matemáticas y a su divulgación.

Señalar también que la colección va tomando forma, catorce libros son ya un número apreciable y podemos decir que está ya consolidada. Varios libros más están ahora en cartera, en diferentes fases de evaluación algunos, otros ya en trámites de revisión e irán apareciendo en los próximos meses.

Sobre los autores

Agustín Carrillo de Albornoz Torres. Es licenciado en Matemáticas por la Unversidad de Granada. Catedrático de Educación Secundaria, ha desarrollado su labor profesional en distintos centros de la provincia de Jaén y pertenece a la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. Desde el año 1984 en el que impartió el primer curso sobre uso de las TIC como recurso en el aula de matemáticas, se ha dedicado a promover el uso de las tecnologías a través de cursos de formación, tanto presenciales como virtuales, impartiendo conferencias en congresos nacionales e internacionales, con especial presencia en la mayoría de los países iberoamericanos.

 

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Manuel de León. Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

Manuel de León

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Cinco puntos definen una cónica

Seguimos con nuestro repaso por el mundo de las cónicas y hoy hablaremos de otro de los hitos en su estudio, el Teorema de los cinco puntos, que afirma que cinco puntos de un plano son suficientes para construir una cónica. Afinando más, 3 de esos puntos no pueden ser colineales, porque entonces el resultado sería una cónica degenerada y podría no ser única.

La razón para este resultado es muy simple si consideramos la ecuación general de una cónica:

Ax2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0

entonces, las coordenadas (xi,yi) de los cinco puntos, i = 1, …, 5, deben cumplir la ecuación anterior. Por lo tanto, obtenemos un sistema de cinco ecuaciones con seis incógintas, pero como el sistema es homogéneo, podemos considerar F = 1, y el resultado saldrá de manera inmediata.

La demostración es todavía más evidente cuando se considera la geometría proyectiva, porque en el plano proyectivo RP2  (que se obtiene de R3 identificando todos los puntos de cada recta que pasa por el origen) cada cónica está definida por exactamente cinco números.

Otra cuestión interesante, y que pone de manifiesto esa dualidad entre puntos y rectas, es que se pueden considerar construcciones de cónicas partiendo de m puntos y n rectas, con m+n = 5, donde m y n varían de 0 a 5. En el caso de las rectas, la noción de ser un punto de la cónica se traduce en ser recta tangente a la cónica.

Una de las técnicas modernas más interesantes para estudiar las propiedades de las cónicas consiste en calcular lo que se llama su espacio de moduli. Ya que la ecuación de una cónica incluye 6 coeficientes, A, B, C, D, E, F, y poder eliminar uno, por ejemplo, F, y obtener coordenadas homogéneas (A/F, B/F, C/F, D/F, E/F) (supononiendo, claro está que F no es 0), vemos que existe una correspondencia biyectiva entre cónicas en un plano y puntos del espacio proyectivo RP5 (obtenido de R6 identificando los puntos de las rectas pasando por el origen). Así que RP5 es el espacio de moduli de las cónicas planas. Esto implica que cualquier problema de contar incidencias o tangencias para las cónicas se puede traducir en un problema de intersecciones en el espacio proyectivo RP5 . De hecho, este es el principio en la llamada geometría enumerativa, que tiene en cuenta problemas enumerativos a los que tan aficionados eran los griegos, y es hoy en día una rama muy activa de la geometría algebraica.

Cónica tangente a cinco dadas

Así, podíamos pensar no solo en cuantas cónicas pasan por unos puntos y son tangentes a unas rectas dadas, sino también si son tangentes a unas cónicas prefijadas. Esto enlaza con el famoso problema planteado en 1848 por Jakob Steiner, de la Universidad de Berlín: Dadas cinco cónicas en el plano, ¿cuántas cónicas son tangentes a todas ellas? El propio Steiner dio una respuesta, 7776 = 65, pero estaba equivocado. La respuesta correcta es 3264, como probaron Ernest de Jonquières en 1859, y Chasles en 1864 (aunque el primero no publicó el resultado por respeto a la enorme reputación de Steiner). La geometría enumerativa y la teoría de intersección, dan la respuesta. En el artículo “Enumerative Algebraic Geometry of Conics”, de Andrew Bashelor, Amy Ksir y Will Traves en Amer. Math. Monthly, 115 (8): 701–728, ) se da la respuesta completa a este problema.

Jacob Steiner

Debemos recordar que el llamado Teorema de los cinco puntos tiene una historia antigua. El resultado parece haber sido conocido desde hace mucho, pero no hemos sido capaces de encontrar un autor primero tanto del enunciado como de la prueba. En el artículo “Conic  sections  through  five  points  classical,  projective,  conformal”, de Eckhard Matthias Sigurd Hitzer se comenta como en 1844,  200 años después del Teorema de Pascal, el matemático alemán Hermann    Grassmann inventósi “Teoría de la extensión”,  usó el teorema del francés para encontrar una fórmula explícita de la cónica pasando por cinco puntos.

Hermann Grassmann

A medida que se han ido desarrollando las matemáticas, la geometría analítica, la geometría proyectiva, o la moderna geometría algebraica, ha ido proporcionando no solo nuevas demostraciones, sino generalizaciones y nuevos desarrollos matemáticos. Debemos recordar que hay pocos matemáticos relevantes desde los antiguos griegos hasta el sigo XX cuyo nombre no esté asociado de una manera u otra a las cónicas.

Más recientemente, el uso de programas como Geogebra, ha permitido que este y muchos otros resultados puedan ser abordados en el aula de una manera visual, sin que esto suponga ninguna pérdida de rigor matemático. Esto nos lleva a reivindicar la mayor inclusión de contenidos geométricos en los curricula académicos, acompañados de los programas tecnológicos que ayudan a explicarlos y trabajarlos conjuntamente con los alumnos.

Agustín Carrillo de Albornoz (Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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El Hexagrammum Mysticum

El estudio de las cónicas, que se extiende a más de dos milenios, ofrece episodios matemáticos de una gran belleza, que en algunos casos se acerca al misticismo. Uno de los teoremas más excitantes en ese sentido es el llamado Teorema de Pascal, denominado a veces el Teorema del Hexagrama Místico.

Blaise Pascal

 

El Teorema de Pascal dice lo siguiente:

Si un hexágono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en una cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuración (veáse Figura 1).

 

Figura 1

 

Esta figura ilustra el resultado en el caso de la elipse, pero el teorema vale para cualquier tipo de cónicas, incluyendo las degeneradas así como hexágonos que se puedan intersecar.

El teorema fue enunciado por Blaise Pascal cuanto contaba dieciséis años, un prodigio de precocidad, pero no se ha conservado ninguna prueba por su parte. Pascal trabajaba en un tratado sobre las cónicas, Conicorum Opus Completum que se perdió. Si se conserva lo que titula Essay pour les coniques, una especie de “poster” que envió en 1654 a la Academia de Ciencias de París.

El Teorema de Pascal es de clara naturaleza proyectiva, y de hecho, para entenderlo en toda su generalidad, debemos considerar el caso de las rectas paralelas que se juntan en el punto del infinito.

Este teorema es además una generalización del teorema de Pappus, de hecho, este último correspondería al caso de una cónica degenerada formada por dos rectas. El Teorema de Papus establece lo siguiente:

Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de las rectas que los unen estarán en una línea recta.

El siguiente gráfico ilustra este resultado:

 

Una de las curiosidades del Teorema de Pascal es que dados 6 puntos, existen 60 maneras diferentes de construir exágono, de donde deducimos que dada una cónica existirán 60 rectas diferentes de Pascal. La cuenta de 60 se obtiene con un sencillo cálculo sobre el número de ciclos de Hamilton de un grafo completo de 6 vértices.

Aunque no se cuenta con la prueba que Descartes pudo haber diseñado, hoy en día existen numerosas pruebas de su teorema, con muy diversas técnicas. Como decíamos antes, es un resultado que encaja perfectamente en la geometría proyectiva, y de hecho su dual proyectivo es el teorema de Brianchon, que afirma:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto P.

El teorema se ilustra con la siguiente figura:

Uno de los resultados más interesantes sobre las cónicas es que cualquiera de ellas está determinada conociendo cinco de sus puntos. Existe una relación entre este teorema y el de Pascal. En efecto, dados cinco puntos, el teorema de Pascal permite construir de manera efectiva la cónica correspondiente.

En este enlace el lector puede encontrar una construcción del Teorema de Pascal usando Geogebra.

Agustín Carrillo de Albornoz (Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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De los encerados a las calculadoras

Hace unos días leí un artículo en los Notices of the American Mathematical Society, titulado “Teaching Math in America: An Exhibit at the Smithsonian” (Notices of the AMS, vol 49, núm 9 (2002), 1082-1083) en el que se hacía un breve recorrido histórico sobre la enseñanza de las matemáticas en Estados Unidos a la luz de una exposición de diversos instrumentos usados desde 1800 en las aulas con tal propósito). En el artículo se mencionaba el curioso incidente de la “Rebelión de las secciones cónicas” de Yale, recogido en una entrada anterior.

Los inicios de la enseñanza en Norteamérica fueron duros, pero el convencimiento de que para votar los ciudadanos deberían poseer una formación, llevó a una preocupación por extender la enseñanza, primero a los niños, pero también a las mujeres, aunque en este último caso, con el propósito de que pudieran contribuir como madres en el aprendizaje de sus futuros hijos. Los encerados tuvieron su entrada a principios del siglo XIX, y eran literalmente tableros pintados de negro, a veces con rugosidad que permitieran a la tiza mantenerse en los mismos. El uso de los tableros supuso un enorme avance, porque se podían dibujar las figuras geométricas que por entonces solo se podían consultar en los libros. De hecho, esta fue la causa de las dos rebeliones de las cónicas en la Universidad de Yale en 1825 y 1830.

Caja con una colección de figuras geométricas

Las figuras geométricas que se usaban en las aulas se reducían a modelos de madera de conos, esferas, y cubos, creados por Josiah Holbrook (1788–1854), el hombre que promovió el movimiento de los liceos en EE.UU, a partir de un artículo en 1826 en el American Journal of Education. Se trataba de organizaciones que buscaban impulsar el conocimiento de las ciencias en la educación de jóvenes adultos. También logró que muchos materiales se pudiaarn distribuir en las escuelas, como por ejemplo, los globos terráqueos. Su lema sobre sus manufacturas era: “Bastantes buenos para los más pudientes y adecuadamente barato para los más pobres”.

Josiah Holbrook

Se usaron también otros instrumentos matemáticos de enseñanza más sofisticados, aunque minoritariamente, ya que solían ser iniciativas de algunos profesores que habían hecho su tesis doctoral en universidades europeas (a veces olvidamos que Europa fue el centro de la enseñanza y la investigación durante muchos siglos).

Otro grave problema era el de los libros. Al principio, los estudiantes llevaban a la escuela cualquier libro que poseyera su familia, ya que no había textos adecuados. Se fueron imprimiendo de manera local, y poco a poco, se consiguieron textos que podían ser usados en todo el territorio.

En el mencionado artículo de los Notices (por cierto, firmado por la excelente periodista científica Allyn Jackson), se recuerda una máquina calculadora construida por el famoso psicólogo conductista de la Universidad de Harvard, Burrhus Frederic Skinner (1904-1990). La máquina de Skinner, llamada la Máquina de Aprendizaje, funciona de manera que el estudiante puede responder con una respuesta muy simplificada a una pregunta. Si la respuesta es correcta, se sigue a una nueva pregunta. En este video

Imagen de previsualización de YouTube

se puede ver al mismísimo Skinner explicando como funciona su máquina.

 

B.F. Skinner

Estos aparatos y muchos otros fueron debatidos en sus épocas, y según Allyn Jackson, “nos recuerdan que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas nunca será resuelto, pero que hacer una restropectiva histórica siempre nos ayudará a encontrar métodos más efectivos”.

Hoy en día tenemos a nuestra disposición instrumentos que hace dos siglos nadie hubiera soñado. No solo aparatos, más importante todavía, programas informáticos que facilitan la enseñanza de una manera prodigiosa. Unos de estos instrumentos, que ya lleva con nosotros bastantes décadas, son las calculadoras, sujetas recientemente a un poco razonado debate.

Una calculadora científica

La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) ha hecho público un informe, exigiendo que se suspenda la prohición del uso de calculadoras en los exámenes de acceso a la universidad. Su informe es razonado y convincente, mientras que las decisiones que se han tomado desde las universidades al respecto son bastante arbitrarias. Me remito al propio informe y recuerdo una de sus frases:

“… el uso de las calculadoras en el Bachillerato supone la continuidad de un proceso que se inicia en Primaria y continúa en la Educación Secundaria Obligatoria. La competencia digital forma parte de las habilidades necesarias que todo ciudadano debe adquirir, según las recomendaciones del Parlamento y del Consejo Europeo.”

Parece que retrocedemos dos siglos a los tiempos de la rebelión de las secciones cónicas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El hombre que descubrió las ecuaciones de las cónicas

En nuestra entrada anterior comentamos como el estudio de las cónicas llevó a una rebelión en la Universidad de Yale hace casi dos siglos, y hoy vamos a relatar la contribución al conocimiento de estos objetos geométricos de un matemático y político, Johan de Witt (Dordrecht, 1625 – La Haya, 1672).

 

Jan de Witt

De Witt nació en una familia acomodada, y tuvo una formación muy cuidada, estudiando Derecho y Matemáticas. Se estableció como abogado en la firma de otro excelente matemático, Frans van Schooten, en La Haya. Van Schooten (Leiden 1615 – Leiden,1660) era también matemático, y había conocido a René Descartes, cuya obra geométrica había leído en 1632. Recordemos que la Geometría de Descartes era un apéndice de su famoso Discurso del Método.

 

Frans van Schooten

De Witt trabajó en su Elementa Curvarum Linearum, que tenía dos partes. Es en la segunda en la que utiliza un lenguaje algebraico, y fue publicada como parte de una traducción al latín de La Geometría de Descartes que realizó van Schooten. El Elementa Curvarum Linearum se considera como el primer auténtico texto en geometría analítica.

Recordemos que la geometría analítica se basa en introducir coordenadas llamadas ahora cartesianas (en honor del nombre latino de Descartes, Renatus Cartesius). Así, cada punto del plano se puede identificar por su abcisa x (la distancia al eje horizontal) y su ordenada y (su distancia al eje vertical), de manera que hablar del punto P es lo mismo que hablar de las coordenadas (x, y). Estos nos permite describir una recta por una ecuación lineal ax+by+c=0, es decir, la colección de puntos cuyas coordenadas cumplen esa ecuación.

Elipse

La aportación de de Witt fue cambiar una definición geométrica de las elipses, hipérbolas y parábolas como lugares geométricos (por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, los focos, es contante) por una relación algebraica. Así, una cónica es equivalente a una ecuación del tipo

Ax2 + B y2 + C xy + Dx + Ey + F = 0

De Witt fue nombrado en 1653 Gran Pensionario de Holanda, y una de sus tareas fue terminar la guerra contra Inglaterra, motivada por lograr la supremacía en el mar. Consigue la paz en 1654, aunque los ingleses de Cromwell consiguen que se firme una claúsula para alejar a los Orange del poder e instaurar una auténtica república. En 1665 estalla una segunda guerra angloholandesa que termina en 1667 con el ventajoso Tratado de Breda. Pero la política no para, y cuando Guillermo III de Inglaterra se acerca a la mayoría de edad, los orangistas desatan de nuevo las hostilidades. Para prevenirlo, de Witt consigue que se declare el Edicto Perpetuo, que prohibiría el acceso al poder de la casa de Orange. Francia e Inglaterra se unen y comienza en 1872  la Tercera Guerra Anglo-Holandesa, que lo arroja del poder.

 

Linchamiento de los hermanos de Witt

Pero esto no era suficiente, así que sufrió un terrible atentado con cuchillo. Su hermano, Cornelio de Witt, fue hecho prisionero y torturado. Cuando de Witt va a la cárcel a visitar a su hermano Cornelio, ambos fueron linchados por una multitud, sus cuerpos despedazados e incluso, partes del cuerpo de Cornelio fueron devoradas (su corazón fue exhibido públicamente para escarnio general).

La novela de Alejandro Dumas, El tulipán negro, se ambienta en esta época terrible de la historia holandesa, y el protagonista es Cornelio van Baerle, el ahijado de Cornelio de Witt, que ansía conseguir un tulipán de color negro.

De Witt combinó sus tareas de matemático con las de estadista. En 1671 publicó su obra “Waardije van Lyf-renten naer Proportie van Los-renten” (El Valor de las Rentas Vitalicias comparadas con los Bonos de Rescate). En esta obra demostraba que no se estaban calculando adecuadamente los ingresos para el Estado. Era un trabajo pionero pero que no le granjeó precisamente el cariño de las viudas.

Christiaan Huygens, que fue estudiante de van Schooten, dijo de de Witt que “en mi opinión, ninguna otra época ha sido tan fructífera en buenos matemáticos como esta nuestra, y este hombre (de Witt) podría haber sido el primero si no hubiera tenido que ocuparse de tantas tareas oficiales”. ¡Qué mejor elogio!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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La rebelión de las cónicas

Las cónicas son las curvas que se obtienen cuando un plano corta a un cono, tal y como muestra la figura de abajo. Hay tres tipos de cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas, aunque todas se pueden describir dentro de una familia común.

Se atribuye su descubrimiento/descripción al matemático griego Menecmo (380–320 aC), un buen amigo de Platón. Parece ser que Menecmo hizo su descubrimiento en relación con el famoso problema de la duplicación del cubo (problema, por cierto, surgido de la recomendaciión del Oráculo de Delfos de construir un altar a Apolo que duplicara el actual, para detener una terrible epidemia de tifus que asolaba Atenas).

Pero el gran estudioso de las cónicas es Apolonio de Perga (Perga, 262 aC- Alejandría, 190 aC). Apolonio estudió y vivió en Alejandría, que por la época, era el faro del conocimiento. Clasifica y da nombre a los tres tipos de cónicas, y desarrolla unos razonamientos que anticipan la geometría analítica de Descartes. Su gran obra es precisamente Sobre las secciones cónicas, de la que se conserva una parte.

 

Sobre las secciones cónicas, traducción árabe

Con el matemático francés Descartes (La Haye, 31 de marzo de 1596-Estocolmo, 11 de febrero de 1650), las cónicas pueden tratarse mediante expresiones algebraicas, lo que permitió profundizar en su estudio. Así, las cónicas son ahora ecuaciones en dos variables, x e y. Fue el político y matemático holandés Johan de Witt (Dordrecht, 24 de septiembre de 1625 – La Haya, 20 de agosto de 1672) quién hace este descubrimiento. Por cierto, de Witt tuvo una vida apasionante y un final trágico, su figura y logros merecen que le dediquemos una entrada próximamente.

Las cónicas fueron durante siglos objetos de interés para los estudiosos matemáticos (aunque podemos recordar la leyenda de Arquímedes incendiando las naves romana que asediabana Siracusa con espejos parabólicos, usando las propiedades geométrica de la parábola. Pero es Johannes Kepler (Weil der Stadt, 27 de diciembre de 1571-Ratisbona, 15 de noviembre de 1630) quién pone a las cónicas en el candelero de las aplicaciones al enunciar sus famosas tres leyes que rigen el movimiento de los astros, porque la primera asegura que los cuerpos celestes describen al moverse una elipse alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos de la misma.

 

Campus de la Universidad de Yale

Pero el título de esta entrada alude a una rebelión, y vamos a dar cuenta de ella. En 1825, los estudiantes de la Universidad de Yale iniciaron una revuelta ya que, según su acuerdo con el profesor, estaban exentos de estudiar los corolarios del libro de texto de matemáticas, que precisamente trataba de las cónicas. 38 de los 87 estudiantes de la clase fueron expulsados, y la facultad contactó con sus padres, quiénes les obligaron a firmar una declaración que decía: “Nosotros, los firmantes, habiendo iniciado una oposición a las autoridades de Yale, reconocemos nuestra culpa en esta resistencia, y prometemos, si se nos vuelve a admitir en clase, obediencia a las leyes del Colegio de Yale”.

Pero cinco años más tarde, en 1830, se produjo otro incidente similar. Los estudiantes en Yale tenían permiso para consultar los diagramas de los libros de texto, incluso durante los exámenes, cuando tenían que resolver problemas de cónicas. Pero de repente, se les prohibió este uso, y estaban obligados a hacer ellos mismos los dibujos. Así que se negaron a hacer el examen final. El resultado fue que 43 de los 96 estudiantes fueron expulsados de Yale, y las autoridades de la universidad solicitaron a todas las universidades del entorno, que no los admitieran. El incidente ha pasado a la historia como “La rebelión de las secciones cónicas”.

Una de las causas de esta rebelión fue que, al introducir los encerados en las clases sobre 1820, se esperaba que los estudiantes pudieran dibujar los gráficos con tiza en los mismos, y dejar de usar los diagramas de los libros.

En cualquier caso, parece que esos fueron años conflictivos en Yale, y en 1827 hubo otra gran rebelión, llamada la “del pan y la mantequilla”, en contra de la baja calidad de los alimentos servidos en la cafetería.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

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