Singularidades en fluidos: ¿cómo rompen las olas?

Uno de los desafíos matemáticos en el área de mecánica de fluidos son las Ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales modelan la dinámica de los fluidos a lo largo del tiempo. Dichas ecuaciones fueron primero propuestas por Leonhard Euler en 1757 y refinadas por Claude-Louis Navier y Gabriel Stokes en 1822 y 1845 respectivamente mediante un término que tenía en cuenta el rozamiento viscoso entre las partículas. Más de 250 años después, la cuestión sobre si hay o no formación de singularidades en un fluido (por ejemplo, un tornado) sigue abierta.

Otro tipo de escenarios pueden ser la formación de gotas, la colisión de frentes fríos y calientes de aire o las olas rompiendo en el mar. Fijémonos en este último: supongamos que tenemos en el plano dos fluidos con distintas densidades (agua y aire por ejemplo), incompresibles, irrotacionales y no viscosos; y fijémonos en la curva que los separa: la interfase. El movimiento de la interfase va a estar gobernado por las ecuaciones de Euler (Navier-Stokes sin rozamiento viscoso) y la fuerza de la gravedad. Estas ecuaciones se conocen como «water waves» (olas).

Recientemente, un equipo formado por varios investigadores del CSIC y del Instituto de Ciencias Matemáticas, en colaboración con otros institutos y universidades extranjeras han conseguido demostrar la existencia de singularidades de tipo «splash». El equipo está compuesto por Angel Castro (ENS París), Diego Córdoba (ICMAT – CSIC), Charles Fefferman (Princeton University), Francisco Gancedo (Universidad de Sevilla) y Javier Gómez-Serrano (ICMAT – CSIC) y sus resultados se pueden ver en el trabajo «Splash singularity for water waves», que aparecerá publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) y también se encuentra disponible en arXiv.

¿Qué es una singularidad de tipo «splash»? Una singularidad de tipo splash es aquella en la que la interfase se toca a si misma en un punto en tiempo finito, o dicho de otra forma, el fenómeno que uno observa en la  playa al ver las olas romper, en el cual la ola gira sobre sí misma y se toca.

Para terminar, el grupo de investigación pretende elevar sus expectativas a probar el siguiente resultado: existen curvas que empiezan siendo un grafo (es decir, no hay dos puntos de la curva situados estrictamente uno sobre otro), giran y se terminan convirtiendo en una singularidad de tipo splash (ver dibujo y video) y para ello pretenden combinar técnicas clásicas del análisis y aritmética de intervalos para realizar pruebas asistidas por ordenador. Tanto el resultado ya demostrado como el explicado en este último párrafo podrían representar un avance hacia un mayor entendimiento de las ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler.

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Javier Gómez-Serrano, investigador predoctoral del ICMAT.