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Para resolver la Conjetura Débil de Goldbach han sido necesarias técnicas teóricas y computacionales

Entrevista a Harald Helfgott, investigador del CNRS

Harald Helfgott

Hace tan solo unas semanas una serie de trabajos, que suman más de 200 páginas, pusieron fin a la historia de una conjetura matemática que llevaba abierta casi tres siglos. Gracias al trabajo del matemático Harald Andrés Helfgott (Lima, 1977), la Conjetura Débil de Goldbach, que afirma que todo número impar puede escribirse como suma de tres primos, ya puede considerarse un teorema. Helfgott es doctor por la Universidad de Princeton y ha trabajado en centros de investigación punteros como la Universidad de Yale, Berkeley, Montreal y Bristol. Actualmente es investigador en el CNRS francés, en la École Normale Supérieure de París. Hablamos con Helfgott sobre esta hazaña intelectual.

Para empezar, felicidades por este resultado histórico. Imaginamos que estará muy satisfecho.

Si, claro, aunque un poquito cansado también.

Se trata de probar que todo número impar mayor que cinco se puede expresar como la suma de tres primos. Por ejemplo, 7=3+2+2, 9= 3+3+3, etc.

¿Cuál es exactamente el problema matemático que ha conseguido resolver?

Es la llamada Conjetura Débil de Goldbach. Se trata de probar que todo número impar mayor que cinco se puede expresar como la suma de tres primos. Por ejemplo, 7=3+2+2, 9= 3+3+3, etc.

¿Cuándo se planteó por primera vez esta conjetura?

La enunció el matemático Christian Goldbach en el siglo XIX, en correspondencia con su gran amigo Euler. Ambos vivían en Rusia, uno en Moscú y otro en San Petesburgo, y mantenían una copiosa comunicación.

Y desde aquel momento, ¿qué resultados previos se conocían en relación a este problema?

En el siglo XIX se conocía el problema pero nadie llegó a probar nada. Más adelante, a principios del siglo XX los matemáticos británicos Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura era cierta para números impares más grandes que una cierta constante no especificada, siempre que se asumiera la llamada Hipótesis Generalizada de Riemann [La hipótesis de Riemann, que es un caso particular de esta hipótesis generalizada, se encuentra en la lista de los siete Problemas del Milenio de la Fundación Clay]. Quince años después, para sorpresa de muchos, Vinogradov demostró que el mismo resultado era cierto de manera incondicional, es decir, que no hacía falta asumir la Hipótesis Generalizada de Riemann. En nuestra prueba, sin embargo, ha vuelto a aparecer este gran resultado.

Comencé a pensar en este problema a finales de 2005

Harald Helfgott

Entonces, si ya se sabía que la propiedad era cierta a partir de un determinado número, ¿cuál era el problema? ¿porqué no se podía comprobar la veracidad de la conjetura usando la potencia computacional de los ordenadores?

El inconveniente es que se sabía que la conjetura era cierta para números sumamente grandes, más allá de la escala astronómica: no había ninguna posibilidad de corroborar dicho cálculo para una cantidad de números impares tan monstruosa. A lo largo de los años hubo mejoras graduales en estas cotas, hasta que hace diez años Liu y Wang llegaron a un resultado que aseguraba que el resultado era cierto para números impares mayores que e^3100, cuyo valor es del orden de 2.10^1346.  Dicha comprobación sigue siendo intratable en términos computacionales.

Y usted ha mejorado esta cota, ¿no es así?

Sí, la prueba propuesta en mi articulo comienza a ser valida a partir de 10^30, y la acabo de mejorar a 10^29. En verdad podría mejorarse sin gran problema a 10^28 o 10^27. La verificación numérica  que aparece en el articulo conjunto que tengo con David Platt cubre todos los casos hasta 8,8·10^30 es decir, es mas que suficiente. De todas maneras no es el calculo más grande que hemos tenido que desarrollar en la demostración.

¿Puede explicarnos la filosofía detrás de este método?

Generalmente, en teoría de números se pretenden probar propiedades que se cumplen para todos los números enteros. En este caso particular, por ejemplo, queremos saber que todos los números enteros impares y mayores que cinco son suma de tres primos. Sin embargo, esta verificación no es siempre fácil, y una de las maneras de abordar estos problemas es usando las herramientas de la teoría analítica de números. Dichas técnicas permiten demostrar que la propiedad bajo estudio es cierta a partir de un cierto número en delante. Entonces, para ver que la propiedad es cierta para todos los números solo se debe verificar a mano, uno por uno, los números anteriores al que da el método.

El problema se reformula en términos de la obtención de una estimación y de un error: a partir de cierto valor el error es muy pequeño en comparación al de la estimación, por lo que se puede asegurar que el resultado es cierto a partir de ese número.

Pero, ¿por qué sabemos que se cumple para números grandes, pero no para todos?

El problema se reformula en términos de la obtención de una estimación y de un error: a partir de cierto valor el error es muy pequeño en comparación al de la estimación, por lo que se puede asegurar que el resultado es cierto a partir de ese número. Para los números más pequeños que dicho valor crítico el error es mayor que la estimación, y la técnica analítica deja de ser aplicable. A veces dicho número crítico es muy lejano y no es posible (por consideraciones computacionales) comprobar la propiedad para todos los números anteriores. Así que en esta situación no sabemos si el resultado es cierto o no para todos los números, sino que únicamente para valores suficientemente grandes.

He abordado la conjetura con el Método del Círculo

¿Cuáles son a grandes rasgos las ideas de su demostración?

He abordado la Conjetura Débil de Goldbach con el llamado Método del Círculo, una herramienta clásica de la teoría analítica de números, que es la que en este caso nos permite afirmar que la conjetura es cierta a partir de un número en adelante. Como ya he señalado, hasta ahora ese lugar era muy lejano, y  lo he acercado, usando mejoras substanciales del método. He reducido el término a partir del cual se que el resultado es cierto a 10^30. Una vez hecho esto, la cantidad de números que había que comprobar ‘a mano’ era mucho menor, y me ha sido posible hacerlo.

¿Cómo han mejorado el método?

Una de las cosas que tuve que hacer para mejorar los métodos existentes consistía en comprobar que un versión finita de la Hipotesis Generalizada de Riemman es cierta. El tipo de comprobación que hemos hecho tiene una larga historia, comenzando con Riemann y pasando por Turing. David Platt, en su tesis doctoral, rompió los récords anteriores en la materia: su comprobación iba casi tan lejos como lo que necesitaba. En coordinación conmigo, y gracias al tiempo de ordenador donado por varias instituciones, ha logrado extender su calculo bastante mas allá de lo que al final utilicé.

¿Qué papel juega el ordenador en la demostración?

La parte más importante, como ya se ha indicado, fue la comprobación de la Hipótesis Generalizada de Riemann en una serie de casos concretos. Después, el ordenador nos sirvió para verificar que cada impar menor a 10^30 (o incluso 8,8·10^30) podía expresarse como suma de tres primos. Otras personas habían hecho cálculos similares para números menores que 10^18,  por tanto no fue un gran esfuerzo probarlo hasta 10^30. De hecho, el programador, David Platt, y yo llegamos bastante más lejos en el cálculo.

De las 200 páginas que ocupa el resultado, dividido en dos artículos y un apéndice, ¿qué peso tiene cada parte –la computacional y la teórica-?

Han sido necesarias técnicas teóricas y computacionales para resolver la Conjetura débil de Goldbach. Desde mi perspectiva lo importante han sido las mejoras teóricas, cualitativas, que luego se han traducido en mejoras cuantitativas en el contexto computacional. Yo no me plantee la resolución haciendo pequeñas mejoras de lo que ya sabíamos, sino comenzando desde cero aunque, evidentemente, inspirado por las ideas de mis predecesores. Así, empecé a trabajar con el objetivo de hacer todas las mejoras cualitativas posibles y luego eso me llevó a resultados numéricos mucho mejores que los existentes.

Además el método se podrá usar en otros contextos, ¿no es así?

Si, es un resultado general que mejora técnicas muy utilizadas en teoría analítica de números, por lo que se puede usar en un amplio abanico de problemas. De todas maneras, el verdadero aprendizaje de todo esto es que el método del círculo está íntimamente interconectado con otra herramienta analítica de gran importancia, la denominada Técnica de la gran criba. De hasta tal punto que son prácticamente una misma cosa, y sería muy interesante explotar esta unión en mayor medida.

Mis métodos no son aplicables a la Conjetura Fuerte de Godbach, , no sabemos qué herramienta hace falta.

Y su trabajo, ¿es aplicable para resolver la Conjetura Fuerte de Goldbach [que afirma que todo número par se obtiene como suma de dos primos; y continua abierto en la actualidad]?

No, no sabemos qué herramienta será la que venza a la conjetura fuerte, todavía parece que su resolución está muy lejos. No podría decir si va a ser resuelta con por estas vías, pero desde luego el método del círculo por sí mismo no resuelve la Conjetura Fuerte de Goldbach, porque en ese caso la contribución del término de error es mayor que la de la estimación propiamente, y por más lejos que nos vayamos no podemos decir que el resultado sea cierto.

Hablando un poco sobre su relación con el problema, ¿cuando fue la primera vez que pensó que este problema podía atacarse?

Comencé a pensar en este problema a finales de 2005, y realmente consideré ponerme a trabajar en la demostración para todos los números impares desde el comienzo de 2006. Desde entonces he estado con ello, pero además tenía otros artículos que terminar, cosas que hacer, etc.

Es un matemático que ha trabajado en múltiples disciplinas matemáticas ¿qué otros temas le interesan principalmente, además de la teoría de números?

Al iniciar mi carrera investigadora empecé a trabajar en combinatoria y computación. Con 20 años, durante mi tesis doctoral, dirigí mi interés hacia la teoría analítica de números. Ya hacia el final del doctorado estaba también trabajando en otros temas: geometría diofántica, curvas elípticas, etc. En Montreal, donde estaba haciendo una estancia postdoctoral, me interesé mucho por la combinatoria aditiva en grupos no conmutativos, lo que se convirtió en mi otro tema principal de investigación. Además este tema me trajo de vuelta a la teoría analítica de números.

¿Cómo llegó a la investigación matemática?

Escribí mi primer artículo sobre combinatoria con otro matemático, Ira Gessel, antes de empezar el doctorado, bastante joven. Para mi la investigación siempre fue lo más importante, me resultaba más sencillo trabajar en un problema que leer tratados muy largos, la resolución de problemas siempre fue mi inclinación.

¿Cuáles han sido, según su punto de vista, sus resultados más importantes?

Mis resultados más conocidos, antes de la Conjetura Débil de Goldbach, eran los relacionados con el crecimiento de grupos. En este contexto, la investigación en combinatoria aritmética no conmutativa es un campo muy nuevo y activo, sobre todo en el caso de conjuntos finitos. También podría destacarse mi trabajo sobre ecuaciones diofánticas, de curvas elípticas con Akshay Venkatesh, de la Universidad de Stanford, y los desarrollados por mi propia cuenta. Además he hecho algunas cosas relacionadas con criba en el plano, con Venkatesh también, y su interacción con ciertas estructuras algebraicas.

Juanjo Rué es investigador del ICMAT.

Ágata A. Timón es reponsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

 

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