Cinco puntos definen una cónica

Seguimos con nuestro repaso por el mundo de las cónicas y hoy hablaremos de otro de los hitos en su estudio, el Teorema de los cinco puntos, que afirma que cinco puntos de un plano son suficientes para construir una cónica. Afinando más, 3 de esos puntos no pueden ser colineales, porque entonces el resultado sería una cónica degenerada y podría no ser única.

La razón para este resultado es muy simple si consideramos la ecuación general de una cónica:

Ax2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0

entonces, las coordenadas (xi,yi) de los cinco puntos, i = 1, …, 5, deben cumplir la ecuación anterior. Por lo tanto, obtenemos un sistema de cinco ecuaciones con seis incógintas, pero como el sistema es homogéneo, podemos considerar F = 1, y el resultado saldrá de manera inmediata.

La demostración es todavía más evidente cuando se considera la geometría proyectiva, porque en el plano proyectivo RP2  (que se obtiene de R3 identificando todos los puntos de cada recta que pasa por el origen) cada cónica está definida por exactamente cinco números.

Otra cuestión interesante, y que pone de manifiesto esa dualidad entre puntos y rectas, es que se pueden considerar construcciones de cónicas partiendo de m puntos y n rectas, con m+n = 5, donde m y n varían de 0 a 5. En el caso de las rectas, la noción de ser un punto de la cónica se traduce en ser recta tangente a la cónica.

Una de las técnicas modernas más interesantes para estudiar las propiedades de las cónicas consiste en calcular lo que se llama su espacio de moduli. Ya que la ecuación de una cónica incluye 6 coeficientes, A, B, C, D, E, F, y poder eliminar uno, por ejemplo, F, y obtener coordenadas homogéneas (A/F, B/F, C/F, D/F, E/F) (supononiendo, claro está que F no es 0), vemos que existe una correspondencia biyectiva entre cónicas en un plano y puntos del espacio proyectivo RP5 (obtenido de R6 identificando los puntos de las rectas pasando por el origen). Así que RP5 es el espacio de moduli de las cónicas planas. Esto implica que cualquier problema de contar incidencias o tangencias para las cónicas se puede traducir en un problema de intersecciones en el espacio proyectivo RP5 . De hecho, este es el principio en la llamada geometría enumerativa, que tiene en cuenta problemas enumerativos a los que tan aficionados eran los griegos, y es hoy en día una rama muy activa de la geometría algebraica.

Cónica tangente a cinco dadas

Así, podíamos pensar no solo en cuantas cónicas pasan por unos puntos y son tangentes a unas rectas dadas, sino también si son tangentes a unas cónicas prefijadas. Esto enlaza con el famoso problema planteado en 1848 por Jakob Steiner, de la Universidad de Berlín: Dadas cinco cónicas en el plano, ¿cuántas cónicas son tangentes a todas ellas? El propio Steiner dio una respuesta, 7776 = 65, pero estaba equivocado. La respuesta correcta es 3264, como probaron Ernest de Jonquières en 1859, y Chasles en 1864 (aunque el primero no publicó el resultado por respeto a la enorme reputación de Steiner). La geometría enumerativa y la teoría de intersección, dan la respuesta. En el artículo “Enumerative Algebraic Geometry of Conics”, de Andrew Bashelor, Amy Ksir y Will Traves en Amer. Math. Monthly, 115 (8): 701–728, ) se da la respuesta completa a este problema.

Jacob Steiner

Debemos recordar que el llamado Teorema de los cinco puntos tiene una historia antigua. El resultado parece haber sido conocido desde hace mucho, pero no hemos sido capaces de encontrar un autor primero tanto del enunciado como de la prueba. En el artículo “Conic  sections  through  five  points  classical,  projective,  conformal”, de Eckhard Matthias Sigurd Hitzer se comenta como en 1844,  200 años después del Teorema de Pascal, el matemático alemán Hermann    Grassmann inventósi “Teoría de la extensión”,  usó el teorema del francés para encontrar una fórmula explícita de la cónica pasando por cinco puntos.

Hermann Grassmann

A medida que se han ido desarrollando las matemáticas, la geometría analítica, la geometría proyectiva, o la moderna geometría algebraica, ha ido proporcionando no solo nuevas demostraciones, sino generalizaciones y nuevos desarrollos matemáticos. Debemos recordar que hay pocos matemáticos relevantes desde los antiguos griegos hasta el sigo XX cuyo nombre no esté asociado de una manera u otra a las cónicas.

Más recientemente, el uso de programas como Geogebra, ha permitido que este y muchos otros resultados puedan ser abordados en el aula de una manera visual, sin que esto suponga ninguna pérdida de rigor matemático. Esto nos lleva a reivindicar la mayor inclusión de contenidos geométricos en los curricula académicos, acompañados de los programas tecnológicos que ayudan a explicarlos y trabajarlos conjuntamente con los alumnos.

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Agustín Carrillo de Albornoz (Catedrático de Matemáticas y Secretario General de la FESPM y de la FISEM) y  Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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23 comentarios

  6. Es un artículo muy interesante que explica de forma clara y concisa los fundamentos básicos de las matemáticas. Me ha gustado mucho leerlo y me ha ayudado a entender mejor el tema. ¡Gracias por compartirlo!

  9. I found the explanation of how five points uniquely define a conic section really interesting. It’s a concept I’ve struggled with before, and this helped clarify it.

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  21. I really enjoyed the way this post ties the concrete algebra of the general conic equation to the more abstract projective view. Starting with Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, it is elegant that imposing five points gives a homogeneous 5×6 system; fixing F = 1 (when possible) leaves a unique non-degenerate conic, provided no three points are collinear. The line-condition analogy also fascinates me: a conic is determined by five pieces of point/line data, where a tangent line behaves like a point

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  22. What a fascinating tour through the geometry of conics! The theorem that five points determine a conic is one of those elegant results that connects algebra and geometry so neatly. I especially appreciated your explanation of the linear algebra: plugging the five points into the general equation \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\) gives a homogeneous system, and fixing one coefficient leaves exactly five unknowns to determine. It makes the uniqueness almost obvious.

    The projective viewpoint you mention is even more compelling: in \(\mathbb{RP}^2\) a conic is specified by five numbers, and the duality with lines—where tangents replace points—is a beautiful extension. I had never thought about the mixed problem of \(m\) points and \(n\) lines with \(m + n = 5\) before reading this.

    The leap to the moduli space \(\mathbb{RP}^5\) is a great example of how nineteenth-century problems still shape modern algebraic geometry. I was intrigued by the mention of Steiner’s 1848 question and the correction from his \(7776\) to the true \(3264\) conics tangent to five given ones—exactly the kind of enumerative geometry that rewards slow, repeated study.

    On that note, for anyone trying to master these ideas through online lectures or video tutorials, I’ve found it helpful to loop tricky explanations and watch them at reduced speed. A browser-based tool like https://repeater.online/ is perfect for that: you can repeat any section of an audio or video lecture until the projective argument clicks, without installing anything. Thanks for the clear exposition!

  23. I really enjoyed this walk through the theorem that five points determine a conic. The way you explain the general equation Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 and reduce the problem to five equations in six unknowns, then normalize F = 1 because the system is homogeneous, makes the existence-and-uniqueness argument almost obvious. It’s a lovely example of how a little linear algebra clears up a classical result.

    The projective viewpoint is even more elegant. You note that in RP² each conic is defined by exactly five numbers, which fits perfectly with the five-point condition. I also appreciated the mention of the point-line duality and the m + n = 5 constructions, where tangency conditions replace incidence conditions. That duality feels like a hint that the same underlying structure governs many seemingly different problems.

    Your discussion of the moduli space RP⁵ and its connection to enumerative geometry is what grabbed me most. The jump from counting conics through points to Steiner’s question about conics tangent to five given conics—and

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