Matemáticas y Secretos: Fundamentos Matemáticos de la Nueva Criptología

La Criptología,  ciencia que estudia la seguridad en la transmisión de información, es tan antigua como nuestra capacidad de comunicarnos. Sin embargo, si buscamos construcciones criptográficas basadas en ideas matemáticas hemos de remontarnos a la época de Julio César, y observar no sin cierto asombro que la mayoría de las técnicas criptográficas empleadas hasta la primera mitad del siglo veinte eran simples esquemas de cifrado basados en conceptos tan elementales como la transposición y permutación de signos. Cierto, tales técnicas y su mecanización fueron más que suficientes para construir complejos sistemas y máquinas de cifrado que trajeron en jaque a militares y matemáticos. Bien conocida es, por ejemplo, la historia de la máquina de cifrado ENIGMA, utilizada por el ejército alemán durante la Segunda Guerra Mundial y derrotada (al menos parcialmente) por los servicios de Bletchley Park, capitaneados por Alan Turing y que contaron con la inestimable ayuda de las investigaciones realizadas por matemáticos polacos. Hoy resulta curioso pensar que, tanto en el diseño como en el criptoanálisis de ENIGMA el esfuerzo científico esencial era el de diseñar ingenios mecánicos capaces de realizar sencillas operaciones de permutación y transposición a gran velocidad.
 

Aunque sería lógico pensar que la primera revolución criptológica del Siglo XX llegó precisamente con el desarrollo de los ordenadores, fue en realidad el surgimiento de la Teoría de la Información de Claude Shannon lo que estableció los cimientos de la Criptología actual. La teoría de Shannon analiza en rigor las posibilidades y limitaciones de una comunicación confiable, cuando el canal de transmisión no es seguro en un cierto sentido; con ello, sienta las bases matemáticas del razonamiento criptológico. La segunda revolución llegaría mucho más tarde, con la publicación en 1979 del artículo “New Directions in Cryptography” con el que nace la llamada Criptología de Clave Pública. En ella, se asume que los individuos que interaccionan a través de un canal vulnerable no han tenido oportunidad de acordar un valor secreto compartido y común, por lo que la robustez de los métodos criptográficos ya no dependerá únicamente de mantener ciertas claves en secreto, sino también de la dificultad de resolver ciertos problemas matemáticos. Así, en contraste con la seguridad incondicional que, en el sentido de la Teoría de la Información, no requiere hipótesis computacionales para demostrar la robustez de un sistema, aparece ahora la seguridad computacional. Así, poco después de la publicación del artículo de Diffie y Hellman, Rivest, Shamir y Adleman proponen el criptosistema RSA, que es hoy en día la base tras la mayoría de los estándares de cifrado y firma digital. La seguridad del RSA se basa en la dificultad computacional de factorizar enteros muy grandes, hipótesis sin embargo hoy cuestionada por los nuevos modelos de computación cuántica.
 

Así, ¿en qué punto nos encontramos hoy? Pues en una especie de renacimiento en el que se están sentando las bases para definir la seguridad con extrema precisión, diferenciando entre los distintos tipos de amenazas (participantes deshonestos, adversarios externos con capacidad computacional ilimitada, espías con acceso a tecnologías diversas) y objetivos (seguridad incondicional, seguridad a corto o largo plazo, etc.). Los nuevos modelos completan las teorías desarrolladas a lo largo del siglo pasado y son el resultado de nuevas sinergias que aglutinan esfuerzos desde distintas áreas; álgebra, teoría de números, matemática discreta, física, informática teórica, etc.
 
 
El papel de las matemáticas es por tanto cada vez más relevante dentro de la Criptología moderna; no sólo ya, como en el pasado, por proporcionar hipótesis computacionales para diseños criptográficos si no, esencialmente, como fuente de formalismo para el desarrollo  de la teoría de seguridad demostrable. Por otro lado, la computación cuántica pone en entredicho la vigencia de las hipótesis computacionales tradicionalmente usadas en criptografía provenientes en su mayoría de la Teoría de Números (dificultad de factorizar enteros, de computar logaritmos discretos en ciertos grupos cíclicos). Así, es necesario buscar nuevos problemas computacionalmente difíciles en otras áreas de las matemáticas que sirvan de alternativa en un futuro no tan lejano (teoría de grupos, geometría algebraica, etc.).
 
Desde la Asociación Internacional para la Investigación en Criptología, se impulsa y apoya la interacción entre científicos de distintas áreas, y en ella es cada vez mayor la presencia y relevancia de la comunidad matemática internacional. Uno de los congresos anuales más relevantes que organiza dicha asociación, el Eurocrypt, está este año organizado por el departamento de Matemática Aplicada IV de la Universidad Politécnica de Cataluña (http://www.iacr.org/conferences/eurocrypt2007/). Una oportunidad extraordinaria para acercarnos al mundo de la Criptología, desde las matemáticas o desde la mera curiosidad científica que surge del instinto del ser humano por preservar su privacidad.

 
 
 
 
 

                                                                   María Isabel González Vasco
        Departamento de Matemática Aplicada
        Universidad Rey Juan Carlos

 

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Comentarios

por favor màs informaciòn de las matemàticas

En América Latina, especialmente en los países del Tercer Mundo, están demaciado atrazados en la enseñanza y aprendizaje de la matermática, nosotros hemos pensado que una de las faltas es inutilización de dibujo, pero un dibujo que sea la construcción de propocisiones matemáticas, es decir el profesor de matemáticas desarrllaría las actividades abstracta y el profesor de dibujo dibujaría la proppocisión que han recibido. Así, fortalecería el aprendizaje de la matemática, desarrollaría el pensamiento, crearía mayores detrezas y apalicaría a pintar la realidad del ser.

Por primera vez en la historia del Colegio Fiscal Experimental Nacional Benigno Malo, de la ciudad de Cuenca, República del Ecuador, América del Sur,se propone a crear una asignatura con el nombre de Dibujo Científico con Fundamentación Matemática y aplicación de la Geometría y Trigonometría; con la finalidad de facilitar el aprendizaje de las matemáticas, desarrollar el pensamiento y ampliar el conocimiento de los estudiantes.Consiste en dibujar toda proposición matemática aprendida. Los profesores de matemáticas deben saber mucho de dibujo, así como los profesores de dibujo deben conocer mucha matemática, aún más que el mismo matemático.Esta asignatura de dibujo cientício no es dibujo técnico, ni dibujo artístico. Es un trabajo de graficación de las expresiones matemáticas.

Una vez aprendido los conceptos matemáticos y desarrollado las repectivas fórmulas, el estudiante pasa a graficar lo aprendido, o dibujar los conceptos verbales emitidos por lso tutores. Toda actividad de construcción de proposiciones matemáticas son graficables.

Necesito saber más sobre las matemáticas, desde lo escencial hasta lo más avnzado posible, así que necesito que me informen si me pueden dar un curso a distancia lo antes posible para que en un futuro pueda dar clases sobre esta materia.

Soy profesor de matemática y dibujo científico en el Colegio Benigno Malo de la ciudad de Cuenca, Ecuador, América del Sur, hoy estoy enseñándo Dibujo Científico, que consiste en graficar todo lo que los estudiantes aprenden en la matemática. El Profesor de matemáticas enseña y yo dibujo. El dibujo científico, o sea, el dibujo aplicado solamente al aprendizaje de la matemática, no es dibujo técnico, ni dibujo artístico, sino un ayuda a aprender las matemáticas. Entonces, veo que estas páginas que estoy revisando me está sugeriendo mucho, como es la criptología.

me gustaria impartir docencia a mis alumnos como estoy aprendiendo el fundamento de la matematica pero mi pais es muy pobre en conocimiento tiene muchas lagunas y mi estudiante no entenderian nada de lo que yo estoy aprendiendo en mi maestria no encuentro la manera de poder darme a entender ayudame

quiero saver algunos trucos matematicos

Necesito contenido de problema algebraicos, funciones algebraicas,

resolucion de problemas de ecuaciones algebraicas, geometria plana

DESEO SABER ALGUNOS TRUCOS MATEMATICOS.

Me llamo Manuel Federico Muñoz Velásquez, también soy un aficionado al desarrollo de las matemáticas y sus fundamentos. He visto que la naturaleza que nos rodea, las sociedad que nos acompaña, la vida diaria que nos lleva, las ideas abstractas que de repente nos ilumina y las buenas ganas que tenemos por saber, todo en beneficio de los demás, son los primeros fundamentos para aprender cualquier ciencia. No digamos nada más, por que las ciencias de la matemáticas son las primeras en acompañarnos. También soy de un país pobre, mi familia es pobre, mis alumnos estudiantes también son pobres. Mi país, el Ecuador, tiene petróleo, grandes plantaciones de banano, café, arroz, azucar, cacao, cultivos de marsicos; pero, ¿qué es lo que pasa? Tenemos malos gobernantes, corruptos, egoistas, la riqueza de la nación se acumula en la mano de estos mandatarios y no se distribuye en iguales proporciones. Tenemos lugosos autos, elegantes vestimentas, hombres muy preparados, grandes empresarios, sin embargo, son el 3% de la población nacional. El 85% son pobres, el resto , estos es, el 12% de los ecuatorianos vivimos en condiciones no deseables como personas. Profesores mal pagados, empelados con sueldos de miseria. Pero, los pobres también tenemos la cuilpa, somos desorganizados, no somos creativos, también somos egoistas, dejados, en fin, culpables del descalabro económico nacional. Por eso me idee que hay que hacer algo con nuestros estudiantes pobres, los que dicen que las matemáticas no es ciencia para los pobres, por que no pueden aprender, algo no real ni verdad. Hay que aprender a aprender las matemáticas, aunque sea por los razgos antepasados, el dibujo, la gráfica, los trazos, las construcciones, las pinturas, etc. Por eso, el dibujo aplicado a una ciencia, se llama Dibujo Científico, estos aplicado a las matemáticas.

quisiera que lo resuelvan

El dibujo que enseña a aprender las matemáticas, es una metodología muy sencilla: antes de decir nada de matemáticas describa puntos, lineas, construya superficies, en fin haga figuras.

ida estas figuras y entonces suelte las matemáticas. Si quiere enseñar "Productos Notables", por ejemplo, la suma de A más B, elenado al cuadrado, primero deles el valor magnitudinal de A, luego el de B, construya la suma de A más B, dibuje el cuadrado de la suma de A más B. Queda dibujado un cuadrado que tiene la suma de A m-as B, por cada lado. Como paso segundo, analice, explique la construcción y luego la fundamentación matemática. Haga que el estudiante vuelva a construir otro dibujo. Tercero, comente con el estudiante. Para hacer este trabajo emplee solamente un máximo de cuarenta minutos, por que se cansa, tanto el estudiante como el profesor y no aprende nada.

Hola a todos curso ultimo semestre de Administracion de Empresas y soy unaficionado de las matematicas cosa que aqui en Colombia es bastante raro para unos y tediosos para otros colegas porque solo los ingenieros ,matematicos y fisicos pueden comprender tal lenguaje mientras economistas,contadores y administradores de empresas encuentran inutiles cada fundamento matematico.En Colombia hay mucho excepticismo a la educacion superior ya que las opurtinidades laborales son cada vez mas escasas pero lo peor es que quieren crear empresas con la misma mediocridad,mientras que la educacion es mas una mercancia que un objetivo social.

Interesante, José de la Hoz, en Colombia, estudainte de Administración de empresas, ya en el último toque para graduarse de Administrador de Empresas, tiene mucho digusto por el aprendizaje de las matemáticas: "raro para unos y tedioso para otros". Eso pasa en centros de formación superior, especilamente en aquellos centros superiores, sean estos: universidades, institutos superiores, academias u otros, los que se han fundado para: comercializar la educación; vender teorías, conocimientos, recopilación de la práctica, que son elementos universales de la formación en el desarrollo del hombre y que son "patrimonio de la humanidad" por lo tanto no son negociables. Esos mercaderes de los pensamientos, patrimonios de la humanidad, no promueven, no se dedidan a enseñar lo que son las matemáticas y sus fundamentos necesarios para mover empresas, mover la sociedad, mover el desarrollo de las naciones, solamente sae dedican a dictar unos cuentos teoremas y cobrar su valor, por eso es razo y tedioso el aprendizaje de las matemáticas. Nosotros temenos que tomar la rienda para dar el verdadero valor de las matemáticas en el manejo de la empresas, sean estas de producción, de comercialización, de servicios o en empresas educativas. Vender educación pero que sirva tanto para el proveedor como también para el demandante, en iguales condiciones. Hasta pronto. Manuel Federico Muñoz Velasquez.

La Criptología, o sea la ciencia de la seguridad en la información, una disciplina muy antigua como el hombre, pero demaciada moderna como el tiempo. Todo ser que informa busdca su seguridad para lograr su objetivo. Parece que toda la naturaleza itende a informar. Muchos decimos que solamente los racionales inofrmamos, pero las avejas, las ratas, las aves, etc. Un mugido de una vaca informa su estado de ánimo al toro. Una gata en el tejado con su chillido hace entender al gato. Hoy, necesitamos informar con toda seguridad, rápidez y exactitud, además conocer al instante si logro hacerlo bien, o saber si recibieron la información. Esa precisión, implícitamente, está utilizando la matemática.

hola que tal a todos , soy un chico de apenas 16 anos que le encantan las matemaicas , en especial el algebra y en mi colegio las ensenan muy bien solo lo que es teoria pero no en la practica…………y eso me molesta .. eso no importa estoy trabajando en una invension de formulas para ecuaciones de tercer grado y si alguien quier ayudarme este es mi correo edwinkid_89@hotmail.com .ahhh y otra cosa como todos sabemos el algebra viene de los egipcios y babilonios desde hace ya mucho tiempo ….yo los considero como las mentes mas brillantes .y mientras nosotros los colombianos apenas vemos lo basico del algebra .los egipcios ya han inventado nuevas formulas algebraicas y nuevos teoremas que nosotros nunca no los hemos imaginado ………. espero algun dia que los colombianos seamos considerados unas mentes brillantes…. como newton

no se hacer ninguna ecución y mi profer me dice que debía saber desde primero y no me enseña , me siento estupido y tengo 13 , y ahora uso el correo de mi hermano porque el mio caduco y quiero saber porque me siento estupido yo quisiera que me enseñaras todo lo que debía aprender desde primero de secundaria todos los sabádos a las 8:00 am porfa estoy muy triste .

Gracias a Matemáticas y Secretos: Fundamentos Matemáticos de la Nueva Criptología, estamos conociendo la manera de pensar sobre una ciencia que es útil, práctica y ejercida todos los días y a cada instante. Con lo que estamos demostrando que no es cierto el odio que tienen los estudiantes sobre la asignatura de la matemática, peor el profesor. Mas bien, es un conductor, guía o tutor, hermano y amigo que le enseña que las expresiones cuantitativas se realizan en todos los días y por todos los seres que poblamos sobre la tierra, unos somos conscientes otros no. los que no tienen conciencia aún siendo seres racionales no vivien la matemática.

Muchos trabajamos con los sectores más necesitados del mundo entero, sin embargo nos vemos muy inutilizados por los cambios vertiginosos delmundo en sus aspectos socvialers, económicos y culturales. Pero, hemos puesto nuestro empeño para seguir nuestras investigaciones sobre la matemática y su graficación, por una parte. Por otra, hemos puesto todo el empeño para dejar construido la idea de que el estudio de la matemática es sumanete sensillo, práctico y deportivo. Al trazar uno de los elementos de geometría nos sentimos muy capaces para desarrollar, defender y promocionar el estudio de la matemática por medio de la técnicva del dibujo.

saber

Estamos muy preocupados cuando pensamos en los demás sobre la extesión de la cultura hacia los sectores poblacionales de las clases desposeidas. Muchos teoricos piensan que solamente los que han tenido la oportunidad de cursar estudios en las instituciones de enseñanza superior hacen cultura, hacen teoría, investigan y crean paradigmas. LOs campesinos de un pequeño pueblo, llamado CAñar, terminan una obra de ingeniería hidráulica, más de trescientos kilómetros de canal de riego terminan de construir a base de fuerza manual, con la solidridad de la vecindad, con sus propios recursos, sin necesidad de instrumentos electrónicos sofisticados, ni altos costos de estudios técnicos, ni personal especializado e importado. Hay que tomar este ejemplo y mejorar la tecnología propia de las comunidades, en especial el trabajo comunitario, llamado desde hace 10000 años a C, "La minga".

las matematicas con excelemte…pero ay q saver los metodos paraser bueno en mate..

Por primera vez en la historia del Colegio Fiscal Experimental Nacional Benigno Malo, de la ciudad de Cuenca, República del Ecuador, América del Sur,se propone a crear una asignatura con el nombre de Dibujo Científico con Fundamentación Matemática y aplicación de la Geometría y Trigonometría; con la finalidad de facilitar el aprendizaje de las matemáticas, desarrollar el pensamiento y ampliar el conocimiento de los estudiantes.Consiste en dibujar toda proposición matemática aprendida. Los profesores de matemáticas deben saber mucho de dibujo, así como los profesores de dibujo deben conocer mucha matemática, aún más que el mismo matemático.Esta asignatura de dibujo cientício no es dibujo técnico, ni dibujo artístico. Es un trabajo de graficación de las expresiones matemáticas.

Comentario por manuel muñoz velásquez el 30 Junio 2007 @ 21:42
Una vez aprendido los conceptos matemáticos y desarrollado las repectivas fórmulas, el estudiante pasa a graficar lo aprendido, o dibujar los conceptos verbales emitidos por lso tutores. Toda actividad de construcción de proposiciones matemáticas son graficables.

Comentario por Jesús Salgado Flores el 7 Agosto 2007 @ 17:10
Necesito saber más sobre las matemáticas, desde lo escencial hasta lo más avnzado posible, así que necesito que me informen si me pueden dar un curso a distancia lo antes posible para que en un futuro pueda dar clases sobre esta materia.

Comentario por Manuel Federico Muñoz Vel&# el 24 Octubre 2007 @ 10:17
Soy profesor de matemática y dibujo científico en el Colegio Benigno Malo de la ciudad de Cuenca, Ecuador, América del Sur, hoy estoy enseñándo Dibujo Científico, que consiste en graficar todo lo que los estudiantes aprenden en la matemática. El Profesor de matemáticas enseña y yo dibujo. El dibujo científico, o sea, el dibujo aplicado solamente al aprendizaje de la matemática, no es dibujo técnico, ni dibujo artístico, sino un ayuda a aprender las matemáticas. Entonces, veo que estas páginas que estoy revisando me está sugeriendo mucho, como es la criptología.

Comentario por cuyen peralta el 15 Noviembre 2007 @ 7:41
me gustaria impartir docencia a mis alumnos como estoy aprendiendo el fundamento de la matematica pero mi pais es muy pobre en conocimiento tiene muchas lagunas y mi estudiante no entenderian nada de lo que yo estoy aprendiendo en mi maestria no encuentro la manera de poder darme a entender ayudame

Comentario por angelica arlette may sanchez el 1 Febrero 2008 @ 17:54
quiero saver algunos trucos matematicos

Comentario por xavier f. velasquez r. el 7 Febrero 2008 @ 13:32
Necesito contenido de problema algebraicos, funciones algebraicas,

resolucion de problemas de ecuaciones algebraicas, geometria plana

Comentario por CARLOS HUMBERTO VILLEGAS TORO el 24 Febrero 2008 @ 14:21
DESEO SABER ALGUNOS TRUCOS MATEMATICOS.

Comentario por manuel federico muñoz vel&# el 7 Mayo 2008 @ 11:27
Me llamo Manuel Federico Muñoz Velásquez, también soy un aficionado al desarrollo de las matemáticas y sus fundamentos. He visto que la naturaleza que nos rodea, las sociedad que nos acompaña, la vida diaria que nos lleva, las ideas abstractas que de repente nos ilumina y las buenas ganas que tenemos por saber, todo en beneficio de los demás, son los primeros fundamentos para aprender cualquier ciencia. No digamos nada más, por que las ciencias de la matemáticas son las primeras en acompañarnos. También soy de un país pobre, mi familia es pobre, mis alumnos estudiantes también son pobres. Mi país, el Ecuador, tiene petróleo, grandes plantaciones de banano, café, arroz, azucar, cacao, cultivos de marsicos; pero, ¿qué es lo que pasa? Tenemos malos gobernantes, corruptos, egoistas, la riqueza de la nación se acumula en la mano de estos mandatarios y no se distribuye en iguales proporciones. Tenemos lugosos autos, elegantes vestimentas, hombres muy preparados, grandes empresarios, sin embargo, son el 3% de la población nacional. El 85% son pobres, el resto , estos es, el 12% de los ecuatorianos vivimos en condiciones no deseables como personas. Profesores mal pagados, empelados con sueldos de miseria. Pero, los pobres también tenemos la cuilpa, somos desorganizados, no somos creativos, también somos egoistas, dejados, en fin, culpables del descalabro económico nacional. Por eso me idee que hay que hacer algo con nuestros estudiantes pobres, los que dicen que las matemáticas no es ciencia para los pobres, por que no pueden aprender, algo no real ni verdad. Hay que aprender a aprender las matemáticas, aunque sea por los razgos antepasados, el dibujo, la gráfica, los trazos, las construcciones, las pinturas, etc. Por e
axel p-e-n-e

Quiero desarrollar sobre el Fundamento Matemático en el Dibujo Científico, partiendo de un principio general que “todo número es dibujable”. El objeto de la ciencia de las matemáticas son las cantidades, expresadas en números. La enseñanza y el apredizaje de la Matemática se facilita con la graficación. El dibujo que no es artístico ni técnico es aplicable a la ciencia, es eete caso a la ciencai de la matemática.

Saludos. Estoy probando mi correo.

Próximamente mi primera lección sobre cómo trabajar con el Dibujo Científico.

PRIMERA LECCIÓN. TEORÍA DE NÚMEROS. CONCEPTO, ORIGEN, TIPOS DE NÚMEROS. Utilice una hoja de papel cuadriculado. Dibuje un punto en la mitad de la hoja. Ese punto tiene un nombre: Punto de origen. Simbolice con Po. (Po). Encamine, haga andar en una sola dirección a ese punto hasta una cierta distancia, párelo y sera la primera parada P1, (P1), a la misma distancia, en la misma dirección, la segunda parada P2, (P2). De la misma manera: P3, P4, P5, etc. Ha generado una semirecta. Del Po, hacia la izquierda haga el mismo trabajo. P-1, Punto menos uno; P-2, Punto menos 2, o -P1; -P2; -P3; -P4, -P5; pero, en la misma dirección. A la misma distancia, o magnitud. Enumere los puntos positivos con números positivos; los puntos negativos con números negativos. La línea recorrida por el punto es la Recta Numérica. El movimiento del punto origina la línea recta. Da el concepto real, dibujo visible,dibujo palpable, hecho concrete del número. No un número abstracto. Imaginaario, olbidable. Se ha sembrado dos tipos de números: Positivos y negativos. Además, sin hablar se ha dado conceptos de física: Sentido, Dirección, magnitud y Gráfico.

Toma tu cuaderno y señala un punto en cualquier parte de la hoja. Dale un nombre a ese punto, por ejemplo: Punto de origen, Po. Luego, mueve el punto en cualquier dirección. Párale a una distancia que tu deseas, y dale otro nombre a la nueva parada, por ejemplo: P1. Sigue con el mismo sistema y en la misma dirección. Luego, será P2, P3, P4, etc. El movimiento del punto desde Po hasta P4, forma una línea. Dale el nombre a la línea. Los matemáticos han denominado “Recta numérica”. El punto que se mueve en sentido del lado izquierdo a la derecha, se llama “Recta numérica”. Pero, hay muchas formas de movimiento del punto, aún no se ha dado el nombre. Démosla nosotros.El punto camina en una diercción. Toma un sentido. Diseña una cantidad de puntitos desde Po hasta P1. Es deicr, una magnitud.

Registra tu cuaderno, sobre el origen del Punto. Po. El Punto es “caprichopozo”. Se mueve en la dirección de su deseo. Desde Po se mueve en sentido vertical. De abajo hacia arriba. Disena o dibuja: Po, luego P1, P2, P3, P4, etc. O, en el sentido contrario: Po, -P1, -P2, -P3, _P4, etc. Ahora, recorriendo el camino del punto, tenemos el ” El “Plano Cartesiano”.

El movimiento del punto, es la seguridad de todos los científicos. Todos y cada una de las personas hacemos ciencia. Unas, con conciencia, razonamiento, con principios, con normas, premeditando, con una profundidad prediseñada. Otras, al azar, sin mucho probema, pero quizá con mayor seguridad. Ejemplo: En una guerra, el que dispara un misil, con “todas las de ley”. Pero, el que se defiende de los peligros de verdad, con dispara una onda cargada de piedra, lo hace con toda seguridad. La seguridad en lo único que tiene ese momento. “Davil mató a goliat con el disparo de una onda. Asó podemos pensar en el Criptología.

Si el movimiento del punto geométrico origina la línea geométrica; ahora, la línea geométrica origina una superficie. Si una superficie es una figura geométrica plana, tiene dos dimensiones: axb; lo que es igual: 4×5, entonces: es un cuadrilátero cualquiera. Una figura de cuatro lados. El Dibujo Científico, desarrolla:1. Grafica “A”, una línea de la dimensión 4; 2. luego, grafica “B” de la dimensión 5. 3. Multiplica “A” por “B”, resulta AB, un rectángulo “A” por un lado Y “B” por otro. 4. Luego, explique las propiedades de un réctángulo. Has dibujado un rectángulo, calculado en área. Ahora fija en los elementos. Pinta y aplica. Mira el dibujo te da inicait5ivas ámplias pra aprender lás matemáticas. Todo cpncepto matemático inicia su desarrollo con el dibujo. Pero, las matemática luego las grandes expresiones cuantitativas científicas son graficables antes de su resolución.

Espero una idea que lleve adelante a la mía sobre las enseñanzas de la matemática a través del dibujo. Los sensatos ya me han dado el visto bueno. Pero los profesores de las ciencias cuánticas áun están dudando.Me dijo un colega.

E

A los estudiosos de las ciencias de la csntidad, de todo el mundo, felicitamos por que siempre hay alguien qque se dedica a pesar del odio y menosrecio a los amtemáticos.

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