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Archivo de marzo 4th, 2014

Copos de nieve y sólidos platónicos

Especial Año Internacional de la Cristalografía

Los poliedros regulares y semiregulares aparecen en la disertación de Kepler sobre los cristales de nieve (veáse la entrada anterior La fascinación de los cristales de nieve) y así, en su “Strena seu de nive sexángula”. Muchos siglos atrás, los poliedros regulares, o sólidos platónicos, empezaron a fascinar a los matemáticos que, como Pitágoras o Platón, dedicaron parte de su obra al estudio de estas formas.

Desde la antigüedad conocían la existencia de cinco poliedros regulares, es decir, sólidos limitados por polígonos regulares idénticos, en los que concurren en cada vértice un número igual de caras. Estos cinco poliedros son:

  • El tetraedro, formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.
  • El hexaedro o cubo, formado por 6 caras que son cuadrados iguales.
  • El octaedro, formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.
  • El dodecaedro, formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales.
  • El icosaedro, formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.

Desde tiempos antiguos, los cinco poliedros regulares han despertado el interés de la humanidad, como puede verse en estos cinco bolas de piedra tallada encontradas en Kincardineshire, Aberdeenshire y Banff en Escocia. Estas piedras están datadas en le final del Neolítico o principios de la Edad del Bronce. Las piedras se pueden contemplar en el Museo Ashmolean de Arte y Arqueología de la Universidad de Oxford.

Aunque la definición de los sólidos platónicos se suelen atribuir a Pitágoras (cuyo padre era grabador de piedras preciosas y le dio por tanto ocasión a familiarizarse con estas formas), parece que por entonces solo conocía eltetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto, un amigo de Platón y profesor en la Academia.

En el Timeo, uno de los diálogos más famosos de Platón, aparecen descritos (de ahí la denominación de sólidos platónicos) y vinculados (de acuerdo con la Cosmogonía elaborada por Empédocles de Agrigento) a los cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua; mientras que consideró el dodecaedro como la quintaesencia, el quinto elemento, es decir, la sustancia de los cuerpos celestiales. Platón escribe:

«A la tierra le atribuimos la figura cúbica, porque la tierra es el elemento más difícil de mover, el más tenaz, el de las bases más sólidas, …, la figura sólida de la pirámide es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento (octaedro) es el elemento del aire, y la tercera (icosaedro), el del agua».

Solo son cinco

El Libro XIII de Los Elementos de Euclides está dedicado enteramente al estudio de estos poliedros.

La demostración de que solo existen estos cinco poliedros regulares, recordamos, sólidos limitados por polígonos regulares idénticos, es una de esas maravillas de las matemáticas, sencilla y elegante, y está basada en la ecuación de Euler:

C      +     V       =     A     +    2

que relaciona el número de caras (C), el número de vértices (V) y el número de aristas (A).

La construcción de los cinco sólidos platónicos podría haber respondido al intento de generalizar lo que ya conocían los pitagóricos entonces para recubrir (teselar) un plano, sólo posible con triángulos, cuadrados y hexágonos.

Los poliedros regulares (y otros semiregulares) fueron objeto de estudio por artistas y científicos, como Piero della Francesca, Luca Pacioli, o Alberto Durero. De hecho, Piero della Francesca descubrió la dualidad de los sólidos platónicos, que los clasifica en tres grupos: tetraedro que es dual de sí mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa). Esta dualidad se describe así: el sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico.

Joahnnes Kepler fue seducido por los sólidos platónicos, y construyó una cosmología basada en ellos. En su época sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno. Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas que intervienen con las órbitas de los planetas. Llamó a esta visión El Misterio Cósmico. Dentro de la órbita o esfera de Saturno Kepler inscribió un cubo; y dentro de éste la esfera de Júpiter circunscrita a un tetraedro. Inscrita en éste situó a la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio el octaedro. Y en el centro de todo el sistema el el Sol.

Afortunadamente Kepler usó las mediciones de Tycho Brahe y su visión se hizo más científica y le llevó a enunciar sus tres famosas leyes que rigen el movimiento de los astros.

Pero Kepler también usó los poliedros regulares y semiregulares para su disertación sobre los cristales de nieve (veáse la entrada anterior La fascinación de los cristales de nieve) y así, en su “Strena seu de nive sexángula”, cuando medita sobre la mejor manera de empaquetar “átomos”, y observa lo que hacen las abejas con sus celdas hexagonales, y que en su interior forma rombos para optimizar el espacio, tiene la idea de hacer algo similar con los copos de nieve. Así, construye un dodecaedro rómbico (o rombododecaedro) que llena completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos al igual que un hexágono llena el plano.

 

Precisamente el rombododecaedro desempeña un papel esencial en la demostración de la conjetura de Kepler.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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