Matemáticas y sus fronteras

El Premio Abel y las matemáticas discretas en España

El reciente Premio Abel concedido a László Lovász y Avi Wigderson, y del que dimos cuenta en Matemáticas y sus fronteras, nos lleva a una reflexión sobre la relación entre la llamada matemática discreta y la teoría de computación.

Uno de los nombres claves en la computación es, sin ninguna duda, el matemático Alan Turing, quien diseñó uno de los constructos mentales más relevantes del siglo XX, la máquina de Turing. Esos algoritmos son la esencia del software que subyace en nuestros ordenadores y es una clara muestra de cómo lo discreto es esencial para la computación.

Como es bien conocido, los ordenadores trabajan con un sistema binario de numeración, con unos y ceros (1 abierto, 0 cerrado), y en cantidades discretas. Lovász es un experto en teoría de grafos (recuerdo una excelente conferencia suya sobre grafos muy grandes), y los grafos son esenciales en muchas cuestiones de la computación. Sus primeros resultados los desarrolló con el propio Paul Erdös.

En su trabajo posteror, desarrolló algoritmos para tratar de resolver problemas. Uno de sus resultados más notables fue el llamado algoritmo LLL de reducción de bases de celosía Lenstra-Lenstra-Lovász, un algoritmo en tiempo polinómico que debe su nombre a las iniciales de sus creadores Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra y László Lovász. Este algoritmo se usa para la factorización de polinomios con coeficientes racionales, para encontrar aproximaciones racionales simultáneas a los números reales, y para resolver problemas de programación lineal. Se usa además en criptografía.

Por otra parte, Wigderson estudia los problemas computacionales para tratar de determinar la dificultad de los algoritmos para resolverlos, en lo que se conoce como teoría de la complejidad. El problema clave es en cuánto tiempo (o en cuántos pasos) el algoritmo resolvería el problema. La clase general de preguntas para las que algún algoritmo puede proporcionar una respuesta en tiempo polinómico se denomina “clase P”. Para algunas preguntas, no hay una forma conocida de encontrar una respuesta rápidamente, pero si se proporciona información que muestre cuál es la respuesta, es posible verificar la respuesta rápidamente. La clase de preguntas cuya respuesta puede verificarse en tiempo polinómico se denomina NP, que significa “tiempo polinómico no determinista”. Pues bien, uno de los siete problemas del milenio es precisamente probar si P es igual o no a NP.

Uno de los resultados más sorprendentes de Wigderson es que los problemas difíciles (hard) se pueden resolver si se usan algoritmos ales leatoriedad en los problemas computacionales. Muchos problemas difíciles pueden resolverse con mayor rapidez si se abordan con algoritmos que dependen de la aleatoriedad. Poco después fue capaz de probar que en realidad esos algoritmos se podían convertir en otros deterministas que eran tan eficaces como los aleatorios.

La citación del premio Abel dice que “Gracias al liderazgo de Lovász y Wigderson, la matemática discreta y el campo relativamente joven de la informática teórica se han establecido como áreas centrales de la matemática moderna”.

Las tres cuestiones que nos planteamos son las siguientes. Si tan importantes son las investigaciones en matemáticas discretas en relación con sus aplicaciones a la computación:

1. Cuál es el nivel de la investigación matemática española en combinatoria, teoría de grafos y en general en matemática discreta?

2. ¿Existen en España equipos interdisciplinares de matemáticos e informáticos que aborden estas cuestiones?

3. ¿Cuál es el impacto de estas investigaciones en la tecnología desarrollada en España?

En 2005 publicamos un estudio titulado La investigación matemática española de difusión internacional: estudio bibliométrico del período 1996-2001, elaborado por María Bordons, Isabel Gómez, María Teresa Fernández, Fernanda Morillo, David Martín de Diego y yo mismo, una colaboración con el entonces CINDOC, en el que examinamos la especialización de las matemáticas españolas en relación con Europa, Estados Unidos y el mundo, comparando la sproducciones relativas en los campos de la MSC. De ese estudio, concluíamos:

Resulta muy llamativa la alta actividad relativa de España en Análisis funcional (código46). Menos llamativo, pero también digno de resaltar es la actividad del país en Análisis de Fourier (código 42) y Teoría de juegos (código 91). Por el contrario, España muestra baja actividad relativa en algunos temas como Combinatoria (código 5), Teoría de números (código 11), Teoría de sistemas (código 93) y Mecánica de fluidos (código 76), temas a los que el mundo dedica cerca del 3% de la producción en cada caso, y en los que nuestro país muestra un IE<0,7.

Para comprobar si la situación había variado en estos últimos años, haciendo una consulta grosera en MathSciNet. Así, desde 2005 a 20020, se encuentran 1394 papers de autores españoles con la clasificación de “Combinatoria”, una media de 87 por año. La mayoría de la producción se centra en el ámbito de las universidades catalanas y andaluzas, con una más reducida presencia de la UC3M y la URJC de Madrid.

La producción, aunque parece haber aumentado (un 1,95% del total mundial), se mantiene por debajo de la de otras líneas de investigación en cuanto a cantidad que no en calidad, lo que indica que es una disciplina que precisa aumentar el número de investigadores.

En cuanto a las colaboraciones con la informática, me gustaría destacar las del grupo GAPCOMB (Geometric, Algebraic and Probabilistic Combinatorics), asentado en la Universidad Politécnica de Cataluña y apoyado por la Barcelona Graduate School of Mathematics. Pero es claro que necesitaríamos más grupos donde se produzca ese cruce de caminos entre ambas disciplinas

En cuanto al tercer tema, me temo que no soy capaz de identificar actividades en ese sentido (y agradecería recibir información sobre ellas si es que ya existen).

En conclusión, este Premio Abel nos llama la atención sobre la relevancia de la Combinatoria sino también sobre la necesidad de impulsarala más en España.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

El Premio Abel 2021, concedido a Laszló Lovász y Avi Wigderson

La Academia Noruega de Ciencias y Letras ha anunciado su decisión sobre el Premio Abel 2021, que ha recaído en los matemáticos László Lovász, del Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi y de la Universidad Eötvös Loránd de Budapest, Hungría, y Avi Wigderson, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE.UU.), “por sus contribuciones fundacionales a la informática teórica y a la matemática discreta, y por su papel destacado en la configuración de éstas como campos centrales de la matemática moderna”.

Trazaremos unas breve biografías de ambos matemáticos. László Lovász nació  en 1948 en Budapest, y es fruto de la excelente escuela matemática húngara, especialmente brillante en algunos temas como la matemática discreta. László Lovász fue un alumno superdotado, ganador de medallas de oro en tres Olimpiadas Matemáticas Internacionales (164, 1965 y 1966), en dos ocasiones con la puntuación máxima.

 

Lovász obtuvo su grado de Ph.D. en 1970 de la Universidad Eötvös Loránd, Budapest, donde trabajó hasta 1975. Sin abandonar Hungría, pasó a la Universidad de Szeged, hasta 1982, regresando entonces a Eötvös  y crear el Departamento de Ciencias de la Computación. Después fue profesor de la Universidad de Yale durante la década de 1990, colaborando como investigador en el Microsoft Research Center hasta 2006. Entonces volvió a Hungría para dirigir el Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias.

Entre los premios que ha ganado, están el Premio Wolf de 1999, el Premio Knuth de 1999, el Premio Gödel de 2001, el Premio Bolyai en 2007 y el Premio Kyoto de 2010, todos ellos de un indudable prestigio.

Su trabajo de investigación se centra en la combinatoria y la teoría de grafos, y sus aplicaciones a la complejidad en computación, un ejemplo extraordinario de cómo una investigación básica incide en las aplicaciones de frontera. Su labor se traduce en más de 300 artículos y libros que han conseguido un impacto enorme.

 

Tuve la oportunidad de trabajar 8 años con Laci Lovász, de 2007 a 2010 como Presidente de la Unión Matemática Internacional (IMU) y de 2011 a 2014 como exPresidente. Tras su labor en IMU, fue elegido presidente de la Academia de Ciencias de Hungría entre 2014 y 2020.

En 2007 lo invitamos a Madrid para participar en un Simposio de la Fundación Areces, Las fronteras de las Matemáticas, que coordiné con mi colega de la Real Academia de Ciencias, Manuel López Pellicer. En todos estos años, he podido apreciar no sólo su extraordinaria calidad matemática, pero también su calidad humana, su sencillez y su siempre bonhomía.

 

En cuanto al otro premiado, Avi Wigderson nació en Haifa (Israel) en 1956. Ingresó en el Technion en 1977, y se licenció en Ciencias de la Computación en 1980. Se trasladó a Princeton para realizar sus estudios de posgrado, y se doctoró en 1983. En 1986 Wigderson regresó a Israel para ocupar un puesto en la Universidad Hebrea de Jerusalén. Al año siguiente fue nombrado profesor titular en 1991. En 1999 también aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, y en 2003 renunció a su puesto en la Universidad Hebrea para residir a tiempo completo en el IAS.

Además de la medalla Nevanlinna, concedido por la IMU en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en Zúrich en 1994, obtuvo como Lovasz los Premios Gödel (2009) y Knuth (2019).

Su investigación es muy amplia en intereses que incluyen la teoría de la complejidad, los algoritmos paralelos, la teoría de grafos, la criptografía, la computación distribuida y las redes neuronales.

Según la Academia Noruega, la teoría de la “complejidad computacional” -que se ocupa de la velocidad y la eficiencia de los algoritmos- surgió en la década de los 70 y ahora es un campo establecido tanto en las matemáticas como en la informática teórica. “Lovász y Wigderson han sido las principales fuerzas de este desarrollo en las últimas décadas. Sus trabajos se entrelazan de muchas maneras y, en particular, ambos han hecho contribuciones fundamentales para entender la aleatoriedad en la computación y para explorar los límites de la computación eficiente”, afirmó Hans Munthe-Kaas, presidente del Comité Abel.

Este es el vídeo del anuncio

Un premio muy merecido por ambos científicos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

Klara y el Sol, o la melancolía de la máquina

Acabo de terminar la lectura de la última novela de Kazuo Ishiguro, el escritor británico que obtuvo el Premio Nobel de Literatura en 2017. Klara y el Sol es su primera novela tras el premio y una fascinante incursión en la ciencia-ficción.

 

 

La novela se desarrolla en un inquietante futuro distópico, sobre el que no se dan muchos detalles. En una reciente entrevista en La Vanguardia, Ishiguro decía: “En mi novela, la gente ya no es desempleada sino post-empleada, desaparece la idea capitalista del trabajo”. Por eso, “en mi discurso del Nobel animé a las generaciones jóvenes a plantear nuevas ideas con el humanismo en su centro, porque las viejas ideas ya no son suficientes”.

Aparentemente, en esta sociedad, los niños tienen la posibilidad de ser mejorados genéticamente, aunque algunos padres obtan por no hacerlo. Josie, de 14 años, es una de esas niñas mejoradas pero en la que algo ha salido mal y padece una enfermedad posiblemente terminal. Por ello, su madre compra una AA, una amiga artificial, Klara, que es la auténtica protagonista de la novela y la narradora de la misma.

La Inteligencia Artificial y los robots son temas usuales en la literatura de ciencia-ficción desde hace muchas décadas, pero es interesante como escritores no especialistas y de altura, como es el caso de Ishiguro, se interesan por ellos. No hace poco, podíamos disfrutar de la novela de Ian Macewan, Máquinas como yo, en la que aparecía el mismísimo Alan Turing. Probablemente la inteligencia artificial, en su sentido más amplio, está cada vez más cerca de nuestras vidas.

 

Tampoco es esta la primera incursión de Ishiguro en el género, ya lo hizo con Nunca me abandones, en la que narra el proceso de desarrollo y aprendizaje de una niña (Kathy H) internada en un centro en Inglaterra donde los niños –clonados – son criados para ser donantes de órganos.

Klara y el sol es una indagación sobre lo que es ser humano, cuál es su esencia, una vez despojado de lo superficial, de las matemáticas y de los algoritmos, ¿hay algo más?, ¿el corazón?, ¿el alma?, ¿qué significa el amor de un ser humano por otro?, ¿y puede una AA convertirse en un humano indistinguible del original?

Klara está construida con algoritmos, sin duda (por cierto, nunca llegamos a intuir su forma física), pero la salvación de Josie no se produce por la ciencia. Una AA se alimenta del sol, y Klara piensa que el sol es capaz de producir los mejores efectos en todo lo vivo, no solo en las inteligencias artificiales. Así que trama su plan para curar a Klara en un acto completamente pagano y mágico,  haciendo un pacto secreto con el astro. Aunque no es tan simple, ya que lo que Klara está combatiendo es la polución moderna, causante sin duda de muchas enfermedades, quizás la de Josie. El pacto funciona, y cuando Klara cumple su ritual sacrificial, Josie se cura y puede hacer una vida normal como joven genéticamente mejorada.

¿Y qué pasa con Klara? Acaba en el depósito de AAs una vez terminada su función, feliz y melancólica. Por eso creo que Ishiguro hubiera acertado con el subtítulo que propongo. De hecho, en una reciente reseña sobre la novela en Vulture, se dice:

Klara es especialmente sensible a la melancolía, y se da cuenta de que incluso cuando la gente se abraza con alegría, puede hacer una mueca de dolor. La directora explica: “A veces… la gente siente un dolor junto a su felicidad”. De todas las lecciones que aprende Klara, ésa es la que parece escribir más profundamente en su código. Ishiguro está haciendo algo bastante complicado aquí, señalando nuestras propias funciones de simpatía bastante disfuncionales.

Recomiendo el libro; Ishiguro ha sido capaz de remover nuestro espíritu una vez más.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Historias de pi: las agujas del conde de Buffon

El problema de la aguja de Buffon es una cuestión planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, Conde de Buffon, y relaciona de una manera sorprendente la teoría de probabilidades con el número π.

 

En su obra Essai d’Arithmetique Morale, publicada en 1777, Buffon propone este problema:

Supongo que en una habitación en la que el suelo está simplemente dividido por juntas paralelas uno lanza un palo al aire, y que uno de los jugadores apuesta a que el palo no cruzará paralelas en el suelo, y que el otro, por el contrario, apuesta a que el palo cruzará alguna de estas paralelas; se pregunta por las probabilidades de estos dos jugadores. Se puede jugar a este juego en un tablero de damas con una aguja de coser o un alfiler sin cabeza.

Este problema fue el primero en lo que se llama probabilidad geométrica, y la solución, que ahora mostraremos, es que la probabilidad de que la aguja cruce una de las líneas paralelas viene dada por la fórmula

p = (2/π) (l/L)

donde l es la longitud de la aguja y L la anchura que separa las paralelas (se supone que l < L). Aquí la probabilidad se entiende que si arrojamos N veces la aguja y en P de ellas la aguja cruza una paralela, entonces p es el límite de esos cocientes.

Hay muchas pruebas matemáticas de este resultado, y aquí recordamos una bastante intuitiva. Sea X un punto de la aguja, por ejemplo uno de sus extremos (el más cercano a una de las rectas paralelas), y denotemos por d la distancia de ese extremo a la paralela más próxima. La otra variable es el ángulo  θ que forma la aguja con la paralela. Las dos variables que necesitamos para describir la aguja son precisamente estas dos, (d, θ), donde 0 ≤ d ≤ L y 0 ≤ θ  ≤ π. Un simple cálculo trigonométrico nos indica que habrá cruce si

d < (L/2) sen θ

Para calcular  lo que tenemos que hacer es dividir los casos favorables por los totales. Es decir, el área bajo la curva de la función (L/2) sen θ entre 0 y π, dividida por el área del rectángulo de lados L y π. Ese cociente nos da precisamente la probabilidad buscada.

Georges-Louis Leclerc  nació el 7 de septiembre de 1707 en Montbard, Francia, y falleció el16 de abril de 1788 en París.  Fue un naturalista, con amplios conocimientos matemáticos y astrónomicos. Su influencia fue enorme, autor de una enciclopédica Historia Natural (L’Histoire Naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du Roi) en 36 volúmenes en vida y 8 más tras su fallecimiento. Buffon ocupó el cargo de director del Jardín Real (hoy conocido como Jardin des Plantes).

Fue nombrado Conde de Buffon en 1773. Como muestra de su relevancia en Francia, decir que en1776, Luis XVI encargó una estatua suya al escultor Augustin Pajou, estatua erigida a la entrada del Museo de Historia Natural con la inscripción: Majestati Naturæ par ingenium (“un genio a la altura de la majestad de la Naturaleza”). Su muerte a los 80 años fue causada por sus problemas de cálculos renales.

Una de las aplicaciones del problema de la aguja de Buffon es el cálculo de las expresiones decimales de π, lo que resulta en una extraordinaria relación entre paralelas y el círculo. Para ello se usa el método de Montecarlo y de esto hablaremos en otra entrada.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Historias de pi: los calculadores

En entradas anteriores (De la geometría al número y Calculando el área del círculo) hemos visto como π era la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, y como se fue identificando su naturaleza a lo largo de los siglos hasta definirlo como un número irracional y trascendente. Nos ocuparemos hoy de los esfuerzos para calcular su valor aproximado.

 

Las primeras aproximaciones escritas de π se encuentran en Babilonia y Egipto. En Babilonia, una tablilla de arcilla fechada entre 1900 y 1600 a.C. tiene un enunciado geométrico en el que se calcula π como 25/8 = 3,125. En Egipto, el Papiro Rhind, al que se le supone una antigüedad de unos 1800 a.C., presenta una fórmula de aproximación para el área de un círculo en la que π se toma como el doble de 16/9, aproximadamente 3,16 (el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9). Por su parte, los matemáticos indios, alrededor del siglo IV a.C. dan un valor de 339/108 ≈ 3,139.  Las matemáticas chinas, tan desconocidas, parece ser que usaban el valor aproximado de 3, pero también se encuentran una aproximación como raíz cuadrada de 10 y 3,14 (la historia de π y las matemáticas chinas merecen una entrada propia en este blog).

Uno de los documentos más antiguos en la propia Biblia. En el Libro I de los Reyes, se lee

Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su contorno. Debajo del borde había calabazas todo en derredor; daban vuelta al Mar a largo de treinta codos; había dos filas de calabazas fundidas en una sola pieza.

y en el Libro II de las Crónicas

Hizo el Mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordón de treinta codos medía su contorno.

Ambos textos arrojan un valor aproximado para π de 3, lejos de las aproximaciones previas.

Hemos comentado en entradas anteriores las aproximaciones de Arquímedes mediante polígonos inscritos, aunque, obviamente, la geometría tenía sus límites. El último gran intento de calcular π por este método fue realizado por el jesuita matemático y astrónomo austríaco Christoph Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando una mejora trigonométrica debida al matemático holandés Willebrord Snell.

Otros métodos recurren a la trigonometría, por ejemplo a fórmulas del tipo de la obtenida por John Machin en 1706:

π/4 = 4 arctan (1/5) – arctan (1/239)

con las que llegó a aproximar 100 cifras decimales. Con fórmulas similares, se ha llegado a aproximar π hasta con 1.241.100.000.000 dígitos.

Expresar π como suma de una serie es otra de las técnicas para encontrar más y más decimales, y en esto Srinisava Ramanujan fue un auténtico genio:

 

Las expansiones decimales de π suelen calcularse con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein. El algoritmo de Chudnovsky es otro método rápido para calcular los dígitos de π, basado en las fórmulas de Ramanujan.

Se han escrito también programas para calcular π a muchos dígitos en ordenadores personales. En nuestros días, la caza de decimales de π se ha convertido en un auténtico desafío.

Obviamente, antes de la llegada de los ordenadores era mucho más difícil calcular π, y como muestra decir que en el siglo XIX, William Shanks tardó 15 años en calcularlo con 707 decimales, aunque posteriormente se descubrió que había cometido un error y solo se le concedieron 527 decimales correctos. Con los ordenadores, la cuestión cambia radicalmente; de hecho, en 2019, en el día de π, Googe consiguió un record, ¡31,4 billones de decimales!

Uno de los mejores calculadores de π fue el japonés Yasumasa Kanada, fallecido el 11 de febrero de 2020, y profesor del Departamento de Ciencias de la Información de la Universidad de Tokio hasta 2015. Estableció el récord 11 de las últimas 21 veces.

El récord lo tiene ahora Timothy Mullican, norteamericano de Huntsville, Alabama, quien obtuvo el 29 de enero de 2020 la friolera de 50 billones de dígitos utilizando el algoritmo de Chudnovsky. El cálculo le llevó más de 8 meses en total. Intentó este récord para poner a prueba los límites de su hardware y, durante el proceso de intento del récord, Timothy fundó una organización sin ánimo de lucro llamada North Alabama Charitable Computing, que reutiliza equipos de computación y almacenamiento de grado empresarial para la investigación STEM. Timothy tiene previsto donar el servidor y los discos duros utilizados en el intento para proporcionar potencia informática a los científicos y a diversos proyectos de investigación.

Y si, el cálculo de los decimales de π se usa en computación para probar el hardware de los ordenadores.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

La cuna de Newton

Soon you’ll attain the stability you strive for
In the only way that it’s granted
In a place among the fossils of our time.

Crown of creation, Jefferson Airplane

 

Uno de los dipositivos que a veces vemos en las mesas de los despachos consiste en una colección de péndulos (habitualmente cinco esferas) suspendidos de dos barras. Cuando movemos uno de los péndulos en los dos extremos y lo lanzamos contra el resto, el empuje se transmite a través de las tres esferas fijas de manera que la quinta se balancea hacia delante. Lo que poca gente conoce es que este dispositivo se llama la cuna de Newton (Newton cradle, en inglés).

La explicación de este movimiento descansa en la propiedad del sistema de conservación del momento. El momento que lleva la bola que dejamos caer se transmite a la última. Suponemos, claro está, que no hay pérdidas debidas a la fricción, con lo que el sistema repetirá indefinidamente el movimiento.

El choque entre dos o más cuerpos es elástico cuando se conserva la energía cinética total del sistema de cuerpos durante la interacción. Durante la misma, la cantidad de movimiento (el momento, producto de la masa del cuerpo por la velocidad) también se conserva, siguiendo las leyes de Newton.

Las bolas suelen ser de acero, para evitar deformaciones que llevarían a perder energía, y además son elásticas (se pueden suponer perfectamente elásticas).

Aunque este tipo de dispositivos (las variaciones son muchas) parezcan más un juguete que un experimento mecánico de gran profundidad académica, los choques elásticos e inelásticos son de gran importancia por sus aplicaciones a la ingeniería. Yo mismo he escrito algunos artículos usando la mecánica geométrica para estudiar tanto choques como problemas de impacto cuando tenemos ligaduras no holónomas (pensemos por ejemplo en un disco rodando o una bola que choca con una pared y queremos estudiar que pasará tras el impacto).

Una pregunta inmediata es la razón del nombre. Digamos que este dispositivo de denomina también como péndulo de Newton, bolas de Newton, balancín de Newton o clicker de bolas ejecutivo (ya que el dispositivo hace un clic cada vez que las bolas chocan, lo que hacen repetidamente a un ritmo constante).

Este tipo de colisiones fue estudiado por el matemático holandés Christiaan Huygens, en su obra De Motu Corporum ex Percussione (Sobre el movimiento de los cuerpos por colisión), publicada póstumamente en 1703. En esa obra, Huygens estudia la colisión de dos péndulos, aunque es el francés Abbé Mariotte quien prueba la ley de impacto. Newton era conocedor de estos trabajos.

Parece ser que a principios de 1967, un actor y narrador de libros inglés, Simon Prebble, acuñó el nombre de “cuna de Newton” para la versión de madera fabricada por su empresa, Scientific Demonstrations Ltd. Prebble buscaba formas de ganar dinero extra y su modelo de madera le recordaba la forma de una “cuna para un gato”; lo de Newton fue un homenaje a Sir Isaac Newton, ya que el juguete cumplía perfectamente sus leyes del movimiento. La cadena de grandes almacenes Harrods recibió su primera producción, y fue un éxito inmediato. Prebble también construyó una versión de tamaño gigante para promocionarla, pero fue desmontada después de que una de las bolas oscilantes dejara inconsciente a un niño. Algunos autores discrepan de este origen y se lo atribuyen al mismo Edmé Mariotte.

Posteriormente, el escultor (y futuro director de cine) Richard Loncraine creó un diseño cromado que llamó Ballrace y que vendía en una tienda de Carnaby Street. Digamos que Prebble no fue capaz de patentar su diseño con el argumento de que no mejoraba los resultados de Newton. Aquí podemos encontrar diseños de este y otros artefactos.

La cuna de Newton se ha usado en muchos momentos como elemento decorativo en cine y televisión. Como curiosidad final, digamos que el grupo de rock Jefferson Airplane utilizó la cuna en el álbum de 1968 Crown of Creation como dispositivo rítmico para crear polirritmias en un tema instrumental.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Un mes lleno de matemáticas

Desde hace muchos años, en el mundo anglosajón el 14 de marzo es conmemorado por los matemáticos como el día de pi, debido a que la fecha se escribe 3 /14. Se ha querido dar un marco institucional a esta celebración, y así el pasado 26 de noviembre de 2019, en su 40.ª Conferencia General, la UNESCO proclamó el 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas, a propuesta de la Unión Matemática Internacional (IMU). La primera celebración tuvo lugar el 14 de marzo de 2020.

Cada año se dedicará a una temática especial, tratando de despertar la creatividad y mostrando las conexiones entre las matemáticas y todo tipo de campos, conceptos e ideas. El Día Internacional de las Matemáticas es la oportunidad de explicar y celebrar el papel esencial que las matemáticas y la educación matemática desempeñan en los avances de la ciencia y la tecnología, la mejora de la calidad de vida, el empoderamiento de las mujeres y las niñas, y la contribución a la consecución de los Objetivos de Desarrollo Sostenible de la Agenda 2030 (ODS1-17) de las Naciones Unidas. El tema de 2021 es Matemáticas para un mundo mejor. Esta declaración ha animado a todos los matemáticos del mundo a proponer actividades de todo tipo en torno a la fecha, siguiendo este eje temático.

En España, La Red de Divulgación Matemática (DiMa), una plataforma formada por divulgadores/as de las matemáticas, con apoyo de instituciones (universidades y centros de investigación) y sociedades, lanzó la propuesta de dedicar todo el mes de marzo a desarrollar actividades de divulgación matemática alrededor de la temática propuesta para el idm314. Las actividades concretas se realizarán en diferentes ciudades a lo largo de todo el territorio de nuestro país, favoreciendo la idea de un diseño en red que optimice los recursos comunes. Estas actividades se van a desarrollar en al menos 10 autonomías españolas.

En la página web se pueden encontrar todas estas actividades, desde exposiciones a conferencias, talleres, elaboración de materiales divulgativos, paseos matemáticos, escape room virtuales, por citar solo las más relevantes. Todo este proyecto se ha realizado bajo la excelente coordinación de Edith Padrón (Universidad de La Laguna).

Quería destacar en particular la iniciativa de Sostenibilidad que se ha desarrollado y que se pueden utilizar también en euskera y gallego.

Por mi parte, he colaborado en dos actividades de las que me siento muy orgulloso. Uno es la Exposición virtual (la pandemia manda) para la que elaboré el material Números naturales: de contar a encriptar información. Para la que conté con la inestimable colaboración de José Luís Álvarez García y Javier Cayetano Rodríguez para el diseño de las aplicaciones interactivas (y bajo la coordinación de Antonio Pérez, una auténtica institución en la divulgación de las matemáticas).

Y también agradezco a Raúl Ibáñez y Pedro Alegría que contaran conmigo para la iniciativa de Matemáticas+Literatura y esas geniales tarjetas literarias.

Mis mejores deseos para este mes y animar a matemáticos y no matemáticos, a niños, jóvenes, adultos y mayores a disfrutar de todas estas actividades.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Flaubert y las matemáticas que secan el corazón

Mathématiques: Dessèchent le coeur.

Gustave Flaubert: Dictionnaire des idées reçues (1913)

Gustave Flaubert es un clásico, sin ninguna duda, pero lo que no conoce todo el mundo es que tenía una cierta curiosidad por las matemáticas. Me ha tocado leer recientemente en mi club de lectura El loro de Flaubert, una auténtica obra maestra de Julian Barnes, e investigando un poquito encontré la frase que inicia esta entrada del blog. Pero, ¿por qué este sentimiento sobre las matemáticas?

 

En una carta que Gustave Flaubert escribe a su hermana Caroline el 16 de mayo de 1841, le plantea un problema matemático:

“Ya que estás estudiando geometría y trigonometría, te voy a plantear un problema: Un barco está en el mar, salió de Boston cargado de algodón, tiene 200 toneladas. Está navegando hacia Le Havre, el mástil principal está roto, hay espuma en el castillo de proa, hay doce pasajeros, el viento sopla del N.S.E., el reloj marca las 3 de la tarde, es Mayo, …. ¿Cuál es la edad del capitán?”

Existe una versión más simple del problema de Flaubert:

“Un capitán posee 26 ovejas y 10 cabras. ¿Qué edad tiene el capitán?”

Las respuestas a este problema han sido de todo tipo, algunas muy ingeniosas tratando de ver la calificación que podría tener el capitán para llevar una carga como esa y de ahí deducir la edad mínima para que tuviese ese permiso. En fin, sabemos que el problema no tiene solución, porque a pesar de dar muchísimos datos, nada está relacionado con la edad del capitán. Esto queda muy claro en la carta original de Flaubert.

No cabe duda que Flaubert tenía sentido del humor. Pero volvamos a la frase inicial y a ese concepto de las matemáticas como una disciplina que “seca el corazón”. Esa frase aparece en el Diccionario de ideas recibidas,  que podría haber sido un apéndice en su obra inconclusa Bouvard et Pecuchet. ¿Era esa la idea que tenía Fluabert sobre las matemáticas?

Por otra parte, en Bouvard et Pecuchet, Raymond Quenau es el primero en señalar la ausencia de las matemáticas, el único saber ausente. Quenau dice:

“Es curioso constatar que, entre las ciencias que Bouvard y Pécuchet se comprometen a estudiar, las matemáticas son casi las únicas que no aparecen.  Sin embargo, podemos verlos intentando demostrar el teorema de Fermat, asombrados por la afirmación de que la recta es una curva y finalmente escandalizados por la distribución de los números primos.”

Digamos que Flaubert no la stenía en mala consideración si nos atenemos a la definición de Mecánica: Partie inférieure des mathématiques.

En el interesante artículo Le bourdon mathématique de Flaubert , de Francisco González Fernández, se puede encontrar un detallado análisis de lo que Flaubert pensaba de las matemáticas. Parece que no eran materia de su gusto, y así le escribe a su amigo Ernest Chevalier:

“Te escribo esto en en el aula de este buen Padre Gors que está disertando sobre el mayor común divisor, con un aburrimiento sin igual, que me aturde tanto que no puedo entender ni una gota, sólo puedo ver fuego en él.  Le ruego que no se olvide de enviarme sus cursos de matemáticas, física y filosofía.  Es sobre todo el primero el que realmente necesito, tendré que borronear algún papel con números, voy a tener suficiente para matarme…”

Y sigue otro día: “Tengo la ventaja de estar bajo la dirección del padre Gors, que hace raíces cuadradas. ¡Qué importa si es griego o cuadrado, la sopa es lamentable…”

Flaubert es expulsado y debe preparar el bachillerato solo, y se dedica a pedir apuntes de filosfía, física y matemáticas a su amigo, y dice:

“Hago física, y creo que esa parte la haré bien. Pero Todavía quedan esos demonios matemáticos (todavía estoy trabajando en las fracciones, y no conozco la tabla de multiplicar, prefiero la de Jay -un famoso restaurador de Rouen- que el de la multiplicación) y el griego”.

Probablemente lo que Flaubert no soportaba era la manera en que se enseñaban entonces las matemáticas, a las que les faltaba el corazón, lo que permite percibirlas de forma más humana, y por lo tanto, apreciarlas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

La máquina de Ramanujan

Hace unos días varios medios periodísticos se hacían eco de un desarrollo informático que se decía capaz de generar nuevas conjeturas matemáticas usando la inteligencia artificial, bautizando al proyecto como “la máquina de Ramanujan”.

 

La información venía de un artículo publicado en Nature:

Raayoni, G., Gottlieb, S., Manor, Y. et al. Generating conjectures on fundamental constants with the Ramanujan Machine. Nature 590, 67–73 (2021),

por varios estudiantes de investigadores del Instituto Tecnológico de Israel (más conocido como el Technion) coordinados por el profesor Ido Kaminer.

 

En su página web, los creadores de la “máquina de Ramanujan” dicen:

“Constantes fundamentales como e y π son omnipresentes en diversos campos de la ciencia, como la física, la biología, la química, la geometría y la matemática abstracta. Sin embargo, desde hace siglos las nuevas fórmulas matemáticas que relacionan las constantes fundamentales son escasas y suelen descubrirse esporádicamente por intuición o ingenio matemático.”

Los autores sostienen que la Máquina de Ramanujan ha descubierto docenas de nuevas conjeturas. Conjeturas aquí son entendidas como fórmulas matemáticas que implican a esas constantes. Y lo que proponen a la comunidad matemática es tan simple como esto: aquí tienen las fórmulas, ahora ustedes lo tienen que probar. Y también invitan a desarrollar nuevos algoritmos. La zanahoria es que si usted prueba una de esas nuevas fórmulas o desarrolla nuevos algoritmos a partir de los suyos, la fórmula o el algoritmo llevará su nombre.

Pero no todo parece tan idílico y han comenzado a surgir dudas y en algún caso, críticas muy duras. Por ejemplo, el matemático John Carlos Baez (Universidad de California en Riverside) publicó en su cuenta de twitter:

“Aquí están algunas de las fórmulas descubiertas por este algoritmo.  Será divertido ver lo que dirán los expertos en fracciones continuas de tipo Ramanujan. ¿Son consecuencias fáciles de resultados conocidos, o se necesitarán nuevas ideas para demostrarlos?”

 

Digamos que la historia no es reciente, este tuit es del 3 de julio de 2019. El blog Persiflage era muy duro en una entrada del 7 d ejulio de 2019:

“La idea de intentar automatizar los métodos para encontrar identidades es interesante. Pero si se quiere afirmar que se ha encontrado algo nuevo, se requiere alguna justificación. Para empezar, debería esperarse que al menos hicieras una búsqueda superficial en la literatura. ¿Tal vez incluso debería consultar a un experto? Si los autores se hubieran contentado con ser más modestos con sus afirmaciones, explicando simplemente que la automatización era su principal objetivo, y que sólo esperaban utilizar estas ideas para hacer nuevos descubrimientos, no habría tenido ningún problema con su artículo. Por supuesto, nadie se habría enterado del artículo.”

Y llegaba a calificar todo esto de un montaje y un fraude. Pero más recientemente, las críticas ya no son tan duras y el 11 de febrero de 2021 decía:

“No tenía intención de volver a hablar de la Máquina de Ramanujan, pero en los últimos días ha habido un aluvión de (intentos de) comentarios trolls en ese post, así que después de echar un breve vistazo a la última versión, he pensado en ofreceros mis actualizaciones. (Lo prometo por última vez). Probablemente lo más bonito que tengo que decir sobre el documento actualizado es que es mejor que el original. Mis quejas sobre el tono del documento siguen siendo las mismas, pero no creo que sea necesario que las repase aquí. En cuanto al mérito intelectual, creo que vale la pena hacer las siguientes observaciones. En primer lugar, sólo me refiero a las contribuciones a las matemáticas. En segundo lugar, lo que cuenta como una nueva conjetura no es realmente tan obvio como parece.”

Estaremos atentos a los posibles desarrollos de esta “máquina de Ramanujan” y el futuro próximo dirá si estamos ante un Ramanujan digital que como el original, deducía fórmulas que dejaron estupefactos a los matemáticos británicos. De momento, el creador del proyecto, Ido Kaminer, dice:

“Nuestros resultados son impresionantes porque al ordenador no le importa si demostrar la fórmula es fácil o difícil, y no basa los nuevos resultados en ningún conocimiento matemático previo, sino sólo en los números de las constantes matemáticas. En gran medida, nuestros algoritmos funcionan de la misma manera que el propio Ramanujan, que presentó resultados sin pruebas. Es importante señalar que el propio algoritmo es incapaz de demostrar las conjeturas que ha encontrado: en este punto, la tarea queda a cargo de matemáticos humanos”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Alexandre Vandermonde, un polímata en la Revolución Francesa

“El oído del virtuoso no demuestra nada cuando se trata de precisión matemática…”

Alexandre Vandermonde

Alexandre-Théophile Vandermonde nació en París el 28 de febrero de 1735. Su padre, Jacques-François Vandermonde, era cirujano mayor en la Compañía de Indias en Macao, donde contrajo matrimonio y nació su hijo Charles. A su vuelta a París, viudo, contrajo un segundo matrimonio del que nació Alexandre.

Si Charles siguió la carrera de su padre, este no fue el caso de Alexandre, que aunque realizó los estudios de derecho, era un apasionado de la música, y el violín su instrumento favorito. Su posición acomodada debido a la herencia paterna que asume a la muerte de su hermanastro fallecido en 1762, le permite dedicarse a los estudios que le apetecen. Frecuenta a los autores de la Enciclopedia, como Diderot y D´Alembert, y también a géometras como Fontaine y Dionis du Séjour

Su Mémoire sur la résolution des équations, presentado en 1770, le abre las puertas de la Academia de Ciencias en 1771, institución donde continuará su carrera matemática. En este trabajo también estudia la ecuación de quinto grado, y adelanta en cierto sentido los resultados posteriores de Evariste Galois.

Presentó en sus dos primeros años otros tres trabajos que representan la totalidad de su producción matemática. Esas obras fueron:

Remarques sur des problèmes de situation (1771), en donde estudió los movimentos de los caballos en el ajedrez. El problema es el siguiente: un recorrido de un caballo es una secuencia de movimientos de un caballo en un tablero de ajedrez de tal manera que el caballo visita cada casilla exactamente una vez. Si el caballo termina en una casilla que está a un movimiento de caballo de la casilla inicial (de modo que podría recorrer el tablero de nuevo inmediatamente, siguiendo el mismo camino), el recorrido es cerrado; de lo contrario, es abierto. Es un tipo de problema particular del de los caminos hamiltonianos. Este artículo tiene además la particularidad de ser un precedente de la yteoría de nudos, sobre la que afirmó:

“Cualesquiera que sean los giros de un sistema de hilos en el espacio, siempre se puede obtener una expresión para el cálculo de sus dimensiones, pero esta expresión será de poca utilidad en la práctica. El artesano que confecciona una trenza, una red o unos nudos se preocupará, no de las cuestiones de medida, sino de las de posición: lo que ve allí es la manera en que se entrelazan los hilos”

Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) fue sobre combinatoria;

Mémoire sur l’élimination (1772) sobre los fundamentos de la teoría de los determinantes. Curiosamente, aunque su nombre se asocia al llamado determinante de Vandermonde, no aparece tal cosa en su memoria.

Sobre la investigación matemática de Vandermonde existió en su época una cierta polémica, recibiendo muchas alabanzas de los grandes matemáticos pero también críticas. Más tarde, H.  Lebesgue dijo que “Vandermonde no se dio cuenta de la importancia de su propia investigación porque no había reflexionado lo suficiente. Si realmente tenía genio y fue más allá de su tiempo, su trabajo sólo puede entenderse a la luz de las investigaciones contemporáneas de Lagrange, y de las posteriores de Gauss, Abel o Galois.”

Pero no se dedicó solo a las matemáticas, Vandermonde fue un auténtico polímata, y la química entraba entre sus intereses. En 1777 publicó los resultados de los experimentos que había realizado con Bézout y el químico Lavoisier sobre las bajas temperaturas, en particular investigando los efectos de una helada muy severa ocurrida en 1776. Diez años más tarde, publicó dos trabajos sobre la fabricación de acero, con Monge y Bertholet, con el objeto de mejorar las bayonetas de los soldados.

De nuevo aparece su amor por la música. En 1778 se había propuesto construir un nuevo sistema de armonía, y construye una tabal de acordes que podía ser tocada con una máquina, mezclando sus habilidades de matemáticas, ingeniería y música. Y sigue trabajando sobre este tema, presentando una teoría mejorada usando las matemáticas.

 

Es 1783 es nombrado conservador del “Cabinet des Mécaniques du Roi”, embrión del futuro Conservatoire des Arts et Métiers. Debemos decir también que Vandermonde desarrolló una gran actividad política, dentro de la Revolución francesa y fue en numerosas ocasiones encargado por la República de numerosas tareas relacionadas con casi cualquier tema que uno podría imaginar, incluso la salud.

Y no acaban aquí sus tareas. Juega un paper relevante en la Ecole normale, y en 1795 es propuesto como primer catedrático de economía política, el primero en la historia de Francia.  Aunque ya está en sus últimos momentos de su vida y la propia Ecole está a punto de desaparecer (renacerá en 1808). Fallece el 1 de enero de 1796, dicen algunos que de inanición.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).