VEO, VEO ¿QUÉ VES?

Esta exposición presenta una colección de figuras geométricas que aparecen en las investigaciones de la disciplina matemática clásica llamada Geometría Algebraica. Esta se propone estudiar ecuaciones algebraicas como x²
+y²+z²=1 o y²+z³=z⁴+x²z². Tales ecuaciones surgen en muchas circunstancias en matemáticas, informática, física, ingeniería y en contextos industriales. Su perfecta comprensión es crucial en los problemas respectivos.

¿Qué significa resolver una ecuación? Esto requiere un minuto de explicación. Recordamos que un punto en el espacio viene dado por sus tres coordenadas x, y, z. Estos tres números representan la ubicación del punto con respecto a un punto origen, como una lámpara en un cuarto viene localizada por sus tres distancias a las paredes y al suelo.

Elegimos un tal punto, por ejemplo el punto P con coordenadas (3,-1,2). En la ecuación dada, podemos sustituir las variables x, y, z por los tres números y verificar si se da la igualdad. En nuestra segunda ecuación y²+z³=z⁴+x²z², la expresión de la izquierda nos da (-1)²+2³=1+8=9. La expresión de la derecha nos da 2⁴+3²2²=16+9×4=16+36=52. Concluimos que las dos expresiones no coinciden al sustituir los números. Se dice que el punto P no satisface la ecuación o que no es solución de la ecuación.

Otros puntos sí satisfacen la ecuación, por ejemplo los puntos (1,1,1) o (-1,2v3,2), como se verifica inmediatamente, salvo errores de cálculo. De estos puntos solución, de hecho, hay muchos, aunque no todos los puntos del espacio son solución de la ecuación, como vimos antes.

Poniéndose en el espacio de tres dimensiones –es el espacio donde vivimos– podemos, al menos teóricamente, pegar una pequeñísima bola de cola (es decir, una cola-bola) en todos los puntos solución de la ecuación. Alisando un poco esta montaña de bolitas, el objeto que obtendremos es una superficie como un pañuelo o una capa de nieve. Se llama la superficie algebraica asociada a la ecuación.

Ejemplos son la superficie de una esfera o de un salvavidas o de un cono. Son también soluciones de ecuaciones algebraicas.

Ahora empieza el juego: ¿qué figura sale al escoger tal o cual ecuación? E, inversamente, ¿cómo elegir la ecuación para obtener tal o cual figura?

En la exposición se ven algunos protagonistas de este juego (que, obviamente, no sólo es un juego, tiene importantes implicaciones en muchos campos). Se indica junto al dibujo la ecuación que lo define (salvo en casos muy complicados, donde la ecuación es tan larga que no cabría en el cuadro).

Como las ecuaciones algebraicas presentan a menudo el núcleo de un problema difícil, es transcendente comprender bien las formas geométricas que pueden ocurrir en las superficies asociadas.

¿Qué ves? Pásense por la exposición e intenten describir las muchas facetas que animan estas superficies. ¿Qué ves? Se ven colinas, valles, cortes, picos, intersecciones, cúspides, agujeros, aristas, cantos y muchas cosas mas, en diversas configuraciones y combinaciones.

Dos características se observan inmediatamente. Las figuras son bastante sencillas y naturales (porque las ecuaciones son las más sencillas). Esparcen una belleza reconcentrada. Y en algunos puntos la superficie no es tan agradable al tacto: pincha. Al tocarla podríamos cortarnos, o no es cómoda para sentarse encima. Estos puntos, que se llaman las singularidades de la superficie, son los lugares donde la superficie no es lisa como el pompis de un bebé o una duna de arena en la playa. Son los puntos más interesantes, porque corresponden, en el problema matemático que hay detrás, a las rupturas, a los saltos y, en el extremo, a las catástrofes. Lo que vemos sólo es la visualización de un fenómeno más profundo algebraico y analítico, la no diferenciabilidad de una función en un punto.

Algunas palabras sobre los autores y el modo de producción de los dibujos.
Somos un grupo de matemáticos en la Universidad de Innsbruck, situado en la provincia montañosa del Tirol, en Austria. La idea de producir estos cuadros se nos ocurrió durante nuestras investigaciones en geometría algebraica al enterarnos de que muchos matemáticos se quedaban sorprendidos cuando veían qué pinta tenían las superficies sobre las cuales estaban trabajando teóricamente desde hacía mucho tiempo.

Los dibujos en cuestión se produjeron con el programa POV-Ray, que se puede obtener gratuitamente en la red (no es nuestro programa). Es un programa que emite un rayo virtual desde una posición fija (la cámara) y lo interseca con la superficie. Se toma nota del punto (o de los puntos) de intersección y se pasa al siguiente rayo. Así, el programa reconstruye una cantidad enorme de puntos en la superficie que, después, permite visualizar el objeto con sus colores, curvaturas, sombras y reflejos.

Nuestra (modesta) contribución es la selección de la posición de la cámara, de las luces, de la textura y de algunos parámetros más (la transparencia, el borde, los ángulos, el ambiente, …). Parece simple, pero en general requiere mucho tiempo para llegar a un dibujo satisfactorio.

Si quiere saber más o pedir reproducciones de los dibujos, entren en contacto con nosotros dirigiéndose por favor a la pagina web. Gracias por su atención.