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El escándalo de la geometría elemental


La geometría ha perdido peso en la enseñanza de la Secundaria, de manera que estudiantes de 14 o 15 años, en muchos centros, tienen unas vagas nociones de lo que es el perímetro de un polígono, de la relación de la longitud de la circunferencia con su diámetro, o sobre los cálculos más elementales de áreas o volúmenes. La geometría tiene un valor formativo enorme en la enseñanza de las matemáticas, por su carácter visual. Está muy bien que nuestros alumnos sepan resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado, pero sería deseable que supieran asociar une ecuación lineal a una recta, o una de segundo grado a una parábola. El título, provocador, hace alusión a uno de los problemas más fascinantes de la geometría y quiere llamar la atención sobre como esta disciplina puede ser estimulante para animar al estudiante a acometerla sin miedo y con entusiasmo.



Una de las más apasionantes historias de las matemáticas se remonta a Euclides de Alejandría, el más relevante matemático de la antigüedad. Euclides es conocido por su obra Los Elementos (el segundo libro más editado tras la Biblia).

Apenas existen datos fiables de su vida. Así, Euclides, deviene con el tiempo en un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Según Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración de un teorema, le había preguntado por la ganancia que cabía obtener de cosas de este género, Euclides, volviéndose hacia un sirviente, había ordenado: «Dale tres óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende».

En otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por una vía de acceso a los conocimientos geométricos más fácil y simple que las demostraciones de los Elementos, Euclides había respondido: «No hay camino de reyes en geometría»

Los Elementos constan de trece libros, clasificados así:

·       Libros I a VI: Geometría Plana

·       Libros VII a IX: Teoría de Números

·       Libro X: Números irracionales

·       Libros XI a XIII: geometría del espacio

Es notable su claridad (Einstein los leyó de niño y quedó fascinado por el libro).

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados.  Los famosos cinco postulados de Euclides son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. 

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

 IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.

V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El Quinto Postulado se puede escribir de una forma más familiar como:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Esta formulación alternativa es debida a Proclo, quién nació en 411 en Constantinopla (Estambul), y murió en 485 en Atenas, Grecia. Proclo dirigió la Academia de Platón y comentó los Elementos de Euclides. El resultado de Proclo se atribuyó erróneamente durante muchos años a John Playfair (1748 – 1819), geómetra, geólogo y físico, y se conoció como Axioma de Playfair.

Se sucedieron muchos intentos históricos para probar que el quinto axioma se deducía de los otros cuatro (muchas pruebas falsas), por matemáticos como Wallis, 1663; Girolano Sacheri (supuso que era falso y quiso llegar a una contradicción); Lambert; Legendre (40 años de trabajo sobre el tema probó que el quinto postulado era equivalente a que la suma de los ángulos de triángulo es de 180º).

Estos repetidos fracasos llevaron a D’ Alembert a calificar este problema en 1767 como el escándalo de la geometría elemental.


Gauss fue el primero en entender el problema. Comenzó a trabajar en él con 15 años en 1782. En 1817 llegó al convencimiento que el quinto axioma era independiente de los otros cuatro. Comenzó a idear una geometría en la cuál se podía trazar más de una paralela por un punto externo. Gauss nunca publicó su trabajo, lo mantuvo en secreto para evitar controversias con Kant.


Gauss discutió este tema con su amigo, el matemático Farkas Bolyai, quién había sido autor de varias pruebas falsas. Su hijo, el matemático János Bolyai, a pesar de que su padre le advirtió que no malgastara su tiempo en esto, trabajó en el problema. En 1823 Bolyai escribió a su padre: “He descubierto cosas tan maravillosas que  estoy asombrado … de la nada he creado un nuevo mundo.”




Dos años después escribió sus resultados como un apéndice en el libro de su padre. Gauss quedó impresionado, pero Bolyai no había construido la nueva geometría, solo había probado que era posible.

 

Ni Bolyai ni Gauss conocían el trabajo de Lobachevsky publicado en 1829. Este fue publicado en ruso en una revista local (Kazan Messenger), trabajo que había sido rechazado por Ostrogradski. Lobachevsky publicó sus Geometrical investigations on the theory of parallels en 1840 (61 páginas). Un resumen en francés en el Journal de Crelle le dio difusión, pero los matemáticos no aceptaron sus ideas revolucionarias.


Lobachevsky reemplazó el quinto postulado de Euclides por este:

Existen dos rectas paralelas a una dada por un punto externo a la recta. 

Otro importante actor en esta historia es Riemann, cuya tesis doctoral dirigió Gauss, y que impartió su lección inaugural el 10 de junio de 1854 en la que reformuló el concepto de geometría. Geometría era, para Riemann, espacio más una estructura (la métrica) que permitía medir. Su trabajo se publicó en 1868, dos años después de morir.



Riemann trabajó en una geometría en la que las paralelas no son posibles, la geometría esférica. Estas geometrías no eran diferentes de la geometría euclídea en el sentido que no había contradicciones.

El primero en colocar la geometría de Bolyai-Lobachevsky al mismo nivel que la euclídea, fue Eugeni Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió Essay on the interpretation of non-Euclidean geometry y dio un modelo en dimensión 2 en un espacio euclídeo de dimensión 3, la seudo-esfera. En este modelo, los cuatro primeros axiomas se cumplían pero no el quinto.

El modelo lo completó Klein en 1871 quién dio además modelos de otras geometrías no-euclideas, como la de Riemann. Klein demostró que hay tres tipos de geometrías:

·       Hiperbólica (Bolyai – Lobachevsky)

·      Esférica (Riemann)

·       Euclídea.

Estas nuevas geometrías son las que aparecen cuando queremos estudiar nuestro universo (son sus posibles formas).


Esta es la nueva visión del universo en el que vivimos tras la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein, que incorpora el tiempo al espacio. Muchos otros nombres de físicos y matemáticos están ligados a estos avances durante el siglo XX. La historia continúa.

 




Manuel de León (CSIC y Real Academia de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).


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Comentarios

Yo creo que es imprescindible una formación más sólida de los alumnos de Secundaria, no solo en geometría, sino en todas las otras ramas de la matemática. A mi entender, un sistema educativo debe estar centrado en dos grandes pilares, el lenguaje y las matemáticas como herramientas básicas del conocimiento.

En mi experiencia como profesor de Universidad, los alumnos procedentes de la enseñanza secundaria acceden a la Universidad con unos conocimientos de matemáticas bastante escasos y, sobre todo, sin suficiente "entrenamiento" en matemáticas. Entrenamiento que solo se consigue ejercitando de manera continua los conceptos teóricos mediante la resolución de problemas. Es vital volver a introducir una cultura del esfuerzo en matemáticas desde niveles muy básicos de la educación para que los estudiantes adquieran una verdadera comprensión de los conceptos matemáticos y así eliminar el tópico de la "dificultad" de las matemáticas. Nos jugamos mucho en el empeño, por eso agradezco que se publiquen artículos como este

Estoy totalmente de acuerdo, la Geometría puede resultar fascinante si se utilizan herramientas novedosas. Por ejemplo, los programas "Regla y Compás", o "Geogebra", de Geometría dinámica, que son de libre uso, similares al comercial y más popular "Cabri", permiten al usuario comprender de una manera muy intuitiva, algunos teoremas geométricos elementales.

Creo que esa vía puede enganchar a muchos alumnos, porque les permite practicar con su inseparable ordenador.

Hay una asignatura denominada "Geometría de Ayer y Hoy", donde se hace un repaso por distintas épocas y aspectos de la Geometría plana: euclidiana, analítica, una introducción a las no euclidianas y fractal.

Esa asignatura se imparte en ADA-Madrid, con 60 alumnos por año, a distancia, por Internet, así que parece que la Geometría sigue interesando a muchos jóvenes.

Gracias por la noticia y saludos cordiales.

La asociación de una ecuación lineal con una recta y de una de segundo grado con una cónica sigue formando parte del núcleo de la enseñanza secundaria porque es geometría analítica.

Lo que ha desaparecido es la geometría elemental inspirada en Euclides, pero más intuitiva, y con ella se ha llevado la belleza de las demostraciones geométricas y el hábito de la deducción.

Es normal en primero de bachillerato (M I – Geometría Analítica Plana) tener que contar cuales son los puntos notables de un triángulo porque no se ha dado o no recuerdan nada.

La geometría de la circunferencia (ángulo inscrito, interior, etc) es tan de arqueología como la trigonometría esférica.

Cuándo mandamos a nuestros mejores alumnos a las olimpiadas sabemos qué no van a hacer: la geometría. Con la excepción de una preparación específica fuera de programa si los seleccionados están muy entusiasmados.

Recordaré siempre mi reválida elemental (14 años): Calcula el seno (o coseno) del ángulo diedro de un tetraedro regular. Hoy es un ejercicio incomprensible para los alumnos de 18 años.

Creo que en estos momentos el logro sería el uso interactivo de Cabri y Derive (o sus equivalentes)

Muybuen artículo. Me devolvió el interés por la Geometría Analítica!!!

El antiguo Postulado Quinto de Euclides al fin fue demostrado, lo consigna un opúsculo que se titula “EL FASCINANTE UNIVERSO DE LA GEOMETRIA”. Quien tenga interés en conocer de este estudio, solo me envía el correo electrónico
que yo le enviaré todo ese opúsculo. Escazú,Costa Rica. 21 de diciembre del 2010.

[...] durante siglos tratando de probar que era consecuencia de los otros cuatro (veáse la entrada El escándalo de la geometría elemental en este mismo blog). János Bolyai (1802-1860) y Nikolai Lobachevsky [...]

(requerido)

(requerido)


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