Laboratorio Viktor Ginzburg en el ICMAT: Un viaje de ida y vuelta entre la geometría simpléctica y los sistemas dinámicos

Esta semana arranca uno de los cinco Laboratorios ICMAT programados hasta el momento, que traerán al centro a prestigiosos matemáticos internacionales para realizar colaboraciones prolongadas con grupos de investigación del ICMAT: el Laboratorio  Viktor Ginzburg. Eva Miranda (UPC) y Francisco Presas (ICMAT), dos de los responsables de la actividad, entrevistan a Ginzburg (Universidad de  California en Santa Cruz) a modo de presentación, y charlan con él sobre la conjetura de Seifert, la evolución de su carrera y el seguir aprendiendo matemáticas de los estudiantes.

El próximo día 22 de febrero a las 12 del mediodía se inaugurará el Laboratorio Viktor Ginzburg del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). La charla inaugural tratará sobre Órbitas periódicas de campos Hamiltonianos y tendrá lugar en el Aula Naranja del ICMAT en el Campus de Cantoblanco.

El laboratorio es una iniciativa conjunta de varios miembros del ICMAT -Alberto Enciso, David Martin, Daniel Peralta, Francisco Presas- y de Eva Miranda de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). El principal objetivo del laboratorio es reforzar la investigación y los vínculos entre las áreas de la Geometría y Topología Simpléctica y de Contacto y el área de Sistemas Dinámicos.

El profesor Viktor Ginzburg es actualmente catedrático en la Universidad de California en Santa Cruz. Tras realizar su máster en la Universidad de Moscú Moscow Institute of Steel and Alloys realizó su tesis doctoral bajo la supervisión de Alan Weinstein en la Universidad de Berkeley. Tras diversos puestos en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de Berkeley (MSRI, por sus siglas en inglés) y en Stanford, Viktor Ginzburg se instaló en Santa Cruz. Su trabajo de investigación se centra fundamentalmente en la Topología Simpléctica y el estudio sistemas dinámicos Hamiltonianos. En concreto se ocupa del problema de la existencia de órbitas periódicas en sistemas dinámicos Hamiltonianos, analizado sobre todo desde el punto de vista de la Topología Simpléctica. Con motivo de su inminente llegada a Madrid, le hicimos una pequeña entrevista que incluimos a continuación.

P: Ha estado en contacto con el grupo GESTA (Geometría Simpléctica con Técnicas Algebraica) en España de forma bastante intensa en los últimos años:  fue conferenciante en los encuentros GESTA 2010 en Lisboa y también lo será en el de 2013 que tendrá lugar en Toulouse este mes de junio, además de haber co-organizado la conferencia GESTA 2011 en Castro Urdiales,  ¿qué motiva esta intensa colaboración?

R: Europa, y España como parte de la red europea, se está convirtiendo en una región mucho más activa en el ámbito de la Geometría y la Topología Simpléctica que Estados Unidos. Durante el transcurso de los últimos diez años, el centro geográfico de este campo se ha ido desplazando  gradualmente de los EE.UU. a Europa que es donde muchos de los jóvenes matemáticos se están instalando incluso tras haber obtenido sus doctorados en los EE.UU. Esto ocurre a pesar de la crisis, que ha afectado tanto a Europa como a los EE.UU. Probablemente hay muchas razones para ello y uno podría discutir mucho, o quizás más bien especular acerca de ello, pero creo que hay un  patrón que es imposible de negar.

¿Cuáles son sus expectativas sobre posibles colaboraciones en España y en general más en Europa gracias a este laboratorio?

Por mi parte, me siento muy emocionado con esta oportunidad y las posibles colaboraciones que puedan surgir. Tengo muchas ganas de formar parte de esta red de investigación tan activa.

P: Uno de los planes del laboratorio es tener un estudiante de doctorado en común con los demás miembros del Laboratorio. Esto parece una sinergia muy positiva entre ambos lados del proyecto. ¿cuáles son sus planes para este proyecto?

R: Me gustaría aprender técnicas matemáticas nuevas gracias a esta oportunidad, de la misma manera que con la plaza postdoctoral anunciada recientemente que también formará parte del Laboratorio. Creo que lo mejor que su puede esperar de su estudiante de tesis o de su postdoc es aprender matemáticas de él o de ella. Creo que esta es una oportunidad particularmente interesante porque el estudiante estará co-supervisado por miembros del ICMAT y el postdoc también va interactuar con ambas partes. Es mi oportunidad para aprender cosas nuevas: uno siempre puede enseñar a un  perro viejo nuevos trucos. Además, las matemáticas tiene mucho que ver con las interacciones, ya sean las interacciones entre diferentes personas o las diferentes áreas o perspectivas diferentes. Así es como surgen las  ideas innovadoras.

P: Empezó con un tema de investigación relacionado con la cohomología de Poisson y proyectos relacionados con acciones de grupos de Lie y más adelante se concentró en los aspectos de topología simpléctica, ¿por qué este cambio?

R: En paralelo a los aspectos de Geometría de Poisson  ya estaba interesado en el estudio de  órbitas periódicas de una carga en un campo magnético. Hace muchos años, cuando yo todavía estaba en Rusia, Vladimir Arnold [matemático ruso] me sugirió el siguiente  problema: estudiar la existencia de órbitas periódicas de carga en una superficie en un campo magnético que no se anula para todos los niveles de baja energía y también sus análogos en dimensión superior. Desde entonces, muchas personas trabajaron en esta y otras preguntas relacionadas con el uso de una gran variedad de métodos: Novikov, Taimanov, Contreras, Paternain y también  mi antiguo alumno  Ely Kerman. Yo también he ido  trabajando en éste problema a intervalos en diversos períodos. Fue Kerman quien sugirió que utilizáramos métodos de Topología Simpléctica, y más concretamente homología de Floer, y eso es lo que hicimos; resultó ser un enfoque muy acertado: la técnica es particularmente adecuada para el problema. De hecho, hace varios años, junto con mi antigua alumna, Basak Gurel, fuimos capaces de responder finalmente a la pregunta original de Arnold. Necesité más de veinte años. En cualquier caso, volviendo a su pregunta, una vez que me acostumbré a utilizar la maquinaria de la homología de  Floer me puse a buscar otras aplicaciones.

P: ¿Puede explicar en pocas líneas la conjetura de Seifert?

R: La conjetura de Seifert es originalmente una pregunta, no una conjetura. La pregunta en cuestión es sobre si un campo que no se anula en una 3-esfera debe tener una órbita periódica. La pregunta fue formulada efectivamente por Seifert, hasta donde yo sé, que demostró que esto es lo que ocurre con los campos de vectores cercanos a la fibración de Hopf. Uno puede formular  una pregunta similar para otras variedades, así como para algunas clases especiales de campos vectoriales. En algunos casos, la respuesta es obviamente negativa: por ejemplo, para los toros. Por otra parte, para las esferas  de dimensión impar (y empezando con las de dimensión 5), los campos de vectores sin órbitas periódicas existen, pero su existencia no es evidente. Este es un teorema de Wilson desde 1966. En dimensión 3, la cuestión es mucho más difícil. Schweitzer construyó un contraejemplo en la categoría C^1 hace unos cuarenta años, pero no fue hasta 1994 que Krystina Kuperberg encontró un contraejemplo infinitas veces diferenciable. Es extremadamente no trivial, original e importante, ya que presenta un nuevo tipo de dinámica. Muchas otras personas han trabajado en este problema.

P: Hay también una versión Hamiltoniana de la pregunta, ¿verdad?

R: Sí: se sabe que un Hamiltoniano propio y no autónomo en el espacio euclidiano tiene órbitas periódicas para casi todos los niveles de energía. Este es el célebre teorema de casi-existencia  es debido a Hofer y Zehnder y  a Struwe, estrechamente relacionado con el trabajo original de Viterbo en la conjetura de Weinstein. Pero, ¿tiene que tener órbitas periódicas en todos los niveles de energía normales? En otras palabras, es la condición de tipo contacto en la conjetura de Weinstein para hipersuperficies realmente necesaria? Aquí hemos sido capaces de construir ejemplos de Hamiltonianos con uno o varios niveles regulares sin órbitas periódicas. Curiosamente, incluso ahora, después de más de diez años, no se sabe mucho más. Por ejemplo, no se conocen ejemplos donde los valores de energía  «aperiódicos» se acumulan a un valor normal con o sin órbitas periódicas.

Más información:

Viktor Ginzburg trabaja tanto en la prueba de la existencia de órbitas periódicas de los sistemas de este tipo (por ejemplo, la conjetura de Conley) como en la construcción de ejemplos de sistemas Hamiltonianos sin órbitas periódicas. A un nivel más técnico, utiliza varios aspectos de la homología de Floer para estudiar el problema de la existencia. Está particularmente interesado en los sistemas que describen el movimiento de una carga en un campo magnético. Un campo de investigación más reciente es la Topología Simpléctica de subvariedades coisótropas. También ha trabajado en la geometría de Poisson y en las acciones Hamiltonianas de grupos compactos.

Se puede encontrar más información sobre el Laboratorio, sus actividades programadas y los programas relacionados en la página web: http://www.icmat.es/severoochoa/Activities/ICMat_Laboratories/Ginzburg

Los Laboratorios ICMAT

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Eva Miranda (UPC, Barcelona) y Francisco Presas (ICMAT, Madrid)