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Archivo de febrero 7th, 2013

Hallado un número primo de más de 17 millones de cifras

Hace unos días se ha descubierto el último primo de Mersenne: M57.885.161 = 257.885.161 - 1. Este número, que tiene más de 17 millones de cifras es el primo más grande que se conoce por el momento. Ha sido hallado por  Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri, aunque es  resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet  Mersenne Prime Search). Javier Cilleruelo y Juanjo Rué, investigadores del ICMAT, hablan de la búsqueda de primos al hilo de este acontecimiento.

Desde los tiempos de Euclides sabemos que la lista de los números primos es infinita. Su argumento, que aparece el  libro IX de su obra “Los Elementos”, fue el siguiente: si p1 , …, pk fuese la lista completa de todos los primos, el número N= p1 ··· pk + 1 no sería divisible por ninguno de los primos de la lista y por lo tanto tendría que ser un nuevo número primo.

Euclides, 325 – 265 a. C

No se conoce ninguna sucesión infinita “sencilla” que conste únicamente de números primos y comprobar si un número dado es primo requiere algoritmos que son muy costosos en términos computacionales a medida que el tamaño del número aumenta. Estos algoritmos, que se conocen como tests de primalidad, son sin embargo mucho más eficientes para algunas familias especiales de números.

Una de estas familias la constituyen  los números que son de la forma Mp= 2p-1 con  p primo. Estos números, cuando son primos, se denominan primos de Mersenne. Es fácil demostrar que si nes compuesto entonces 2n – 1 también es compuesto, pero no siempre que p es primo  2p- 1 lo es. Por ejemplo, 211 – 1 = 23 · 89.

Los primeros números de Mersenne son

M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8191, M17 = 131071

El último primo, descubierto el 25 de enero de 2013, también pertenece a esta familia:

M57.885.161 = 257.885.161 - 1

Tiene más de 17 millones de cifras y es el primo más grande que se conoce. El anterior, descubierto hace 5 años, tenía 12 millones de cifras y también era un primo de Mersenne.

 

Marin Mersenne, 1588-1648

 

Los primos de Mersenne son además interesantes por su conexión con los números perfectos. Un número perfecto es aquel que es suma de sus divisores propios. Los dos primeros números perfectos pares son

6=1+2+3    y    28= 1+2+4+7+14

Euclides ya observó que todos los números de la forma 2p-1(2p-1) son números perfectos cuando 2p-1 es primo. De hecho, todos los números perfectos pares son de esta forma.

Se cree que existen infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, infinitos números perfectos pares. Pero esta conjetura ha resistido el esfuerzo de los matemáticos durante siglos.

Los números perfectos impares también constituyen un misterio: nadie ha encontrado ninguno pero tampoco se ha encontrado un argumento que demuestre que no existen.

El proyecto GIMPS.

Volviendo al hallazgo del último primo de Mersenne hasta el momento, ¿Quién ha encontrado este primo? ¿Cómo lo ha hecho?

Aunque la autoría se debe a Curtis Cooper, profesor de la University of Central Missouri, el resultado es fruto de una iniciativa creada en 1996 bajo el proyecto GIMPS (Great Internet  Mersenne Prime Search), un proyecto en el que se puede participar libre y gratuitamente instalando el programa que proporciona GIMPS. Lo que GIMPS hace es distribuir a cada usuario un intervalo para que el ordenador de cada uno compruebe si Mp  es primo para algún primo p del intervalo asignado. En realidad, para cada p, el ordenador comprueba primero si Mp  es divisible por algún primo pequeño. Eso va a ocurrir casi siempre. De no ser así, Mp pasa a ser un candidato a número primo y se procede a aplicar un test infalible denominado el test de Lucas-Lehmer.

El test consiste en calcular los elementos de la sucesión s0 = 4, si = s2i-1 – 2 para > 0,  y concluye que Mp  es primo si y sólo si sp-2 es divisible por Mp .

Cooper ha recibido la recompensa de 3.000 $ que el proyecto GIMPS concede al afortunado descubridor de un nuevo record. Hay además una recompensa extra de 150.000 $ para quien encuentre un primo con más de 100 millones de cifras, una manera muy digna de obtener un sobresueldo.

Entre los investigadores que usualmente visitan el ICMAT y el Departamento de Matemáticas de la UAM, se encuentra el profesor Pedro Berrizbeitia, de la universidad Simón Bolivar (Venezuela), que es una de las mayores autoridades en tests de primalidad. Pedro Berrizbeitia ha encontrado nuevos test de primalidad muy rápidos para familias más generales de números. En particular mejoró el famoso algoritmo AKS, que tiene un coste computacional de orden polinomial en el número de dígitos.

¿Qué utilidad tiene encontrar primos grandes?

El descubrimiento de este número primo no constituye un hito matemático de relevancia. No hay nada que ahora se entienda mejor que antes sobre los primos.  Pero cualquier matemático presumiría, con razón, de tener el honor de haber descubierto un número primo más grande mayor que todos los anteriores conocidos.

L. Euler 1707-1783

Entre los matemáticos notables que consiguieron el primo más grande en su momento figura L. Euler, que en 1772 demostró que el número

231 − 1 =2147483647

es primo. Este número fue el primo más grande que se conoció hasta 1867.

Cabe comentar en estas líneas que la oficina postal de Urbana (Illinois)  utilizó un matasellos para celebrar el descubrimiento de un nuevo record obtenido por Donald B. Gillies en la universidad de Illinois.

Podría parecer por lo comentado anteriormente que el descubrimiento de primos grandes es simplemente un divertimento para satisfacer la vanidad de algunos matemáticos. Pero nada más lejos de la realidad. Además de las teorías matemáticas que ha impulsado, el conseguir fabricar muchos números primos grandes es una necesidad hoy en día. Los primos grandes se utilizan en los sistemas criptográficos y son los que nos permiten encriptar los mensajes, realizar transacciones comerciales con seguridad, etc.

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Javier Cilleruelo (ICMAT-UAM) y Juanjo Rué (ICMAT)

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Eero Saksman en los coloquios ICMAT+UAM

El 8 de febrero tendrá lugar el siguiente coloquio de los organizados de manera conjunta por el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). El conferenciante será Eero Saksman, profesor de la Universidad de Helsinki, y colaborador del equipo de investigación de Dragan Vukotic en la UAM. Vukotic, organizador de la visita, presenta a su invitado.

Eero Saksman (Universidad de Helsinki, Finlandia) visitará el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid desde el 3 al 10 de febrero de 2013, gracias a la financiación del Campus de Excelencia Internacional UAM+CSIC.

Saksman impartirá el próximo coloquio ICMAT – UAM el viernes 8 de febrero, bajo el título de Random conformal weldings and multiplicative chaos. Tendrá lugar en el Aula 520 del Departamento de Matemáticas de la UAM. En su conferencia discutirán las construcciones recientes de curvas de Jordan aleatorias obtenidas por el denominado conformal welding (soldaduras conformes), relacionadas con el famoso proceso SLE (Stochastic Löwner evolution). El caos continuo multiplicativo juega un papel fundamental en este tema, y también se comentarán los recientes avances en este campo.

Eero Saksman

Saksman es Catedrático del Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Helsinki. Defendió su tesis doctoral  (“Weak Compactness and Weak Essential Spectra of Elementary Operators” ) en 1994 en la misma institución bajo la supervisión de Lassi Päivärinta y Hans-Olav Tylli.

Después de ocupar varias puestos en esta misma universidad y también en la Academia de Finlandia, obtuvo una cátedra en 2001 en la Universidad de  Tampere,  y posteriormente despempeñó este mismo cargo del 2002 al 2007 en Jyväskylä. En 2007 retornó a la Universidad de Helsinki.

Ha sido profesor visitante en las Universidades de California en Santa Barbara, de Michigan en Ann Arbor, Delaware en Newark, Berna, Paris VI, Lund, en las Universidades Politécnicas de Berlin y Trondheim, y en distintos institutos de investigación, como el Mittag-Leffler, el CIRM, o IPAM en Los Angeles. Ha impartido alrededor de 50 conferencias como invitado, ha organizado varios encuentros y semestres especiales y es miembro de la Junta del Instituto Mittag-Leffler .

Sus intereses como matemático son muy amplios, desde el análisis puro a la probabilidad y las aplicaciones. Ha conseguido resultados importantes en las estimaciones locales precisas de integrabilidad de aplicaciones cuasiconformes y propuso una construcción directa para las soldaduras conformes aleatorias (random conformal weldings). También ha trabajado en espacios de Hardy y en series de Dirichlet.

Entre otros temas, ha trabajado también en teoría de operadores, espacios de funciones y ecuaciones en derivas parciales. Recientemente ha obtenido una demostración probabilística de la desigualdad de Harnack para funciones p-harmónicas.

Saksman es cofundador del método de cadenas de Markov de Monte Carlo autorreguladoras, un tema muy actual en estadística computacional.

Hasta el momento ha dirigido cuatro tesis doctorales, Entre sus colaboradores se incluyen Kari Astala, Mario Bonk, David Drasin, Håkan Hedenmalm, Juha Heinonen, Tadeusz Iwaniec, Peter W. Jones, Tero Kilpeläinen, Juha Kinnunen, Pekka Koskela, Antti Kupiainen, Juan Manfredi, Olli Martio,  István Prause, Steffen Rohde, Kristian Seip, Carl Sundberg, Jari Taskinen, así como varios matemáticos españoles, como Eva Gallardo, María José González y Manuel González.

Daniel Faraco y Dmitry Yakubovich (miembros del ICMAT), entre otros, también trabajan en estos temas.

Saksman es autor de más de 50 artículos de investigación. Los últimos seis son:

-       MR3010794 Laitila, Jussi; Nieminen, Pekka J.; Saksman, Eero; Tylli, Hans-Olav: Compact and Weakly Compact Composition Operators on BMOA. Complex Anal. Oper. Theory 7 (2013), no. 1, 163–181.

-        MR2984080 Drasin, David; Saksman, Eero: Optimal growth of entire functions frequently hypercyclic for  the differentiation operator. J. Funct. Anal. 263 (2012), no. 11, 3674–3688.

-       MR2889706 Olsen, Jan-Fredrik; Saksman, Eero: On the boundary behaviour of the Hardy spaces of Dirichlet  series and a frame bound estimate. J. Reine Angew. Math. 663 (2012), 33–66.

-       MR2869025 Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz; Prause, István; Saksman, Eero: Burkholder integrals, Morrey’s problem and quasiconformal mappings. J. Amer. Math. Soc. 25 (2012), no. 2, 507–531.

-       R2892610 Astala, Kari; Jones, Peter; Kupiainen, Antti; Saksman, Eero: Random conformal weldings. Acta Math. 207 (2011), no. 2, 203–254. 82Bxx (30C35 30C62 60G22 60J67).

-       MR2759732 Saksman, Eero; Vihola, Matti On the ergodicity of the adaptive Metropolis algorithm on unbounded domains. Ann. Appl. Probab. 20 (2010), no. 6, 2178–2203. 60J10.

Más información:

Sobre los coloquios conjuntos ICMAT+UAM.

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Dragan Vukotic es investigador de la Universidad Autónoma de Madrid.

 

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