Una nueva visión de la geometría: Felix Klein

“La matemática ha avanzado por aquellos que se distinguieron más por su intuición que por rigurosas pruebas.”

Felix Klein

Hoy reseñamos en Matemáticas y sus fronteras un interesante libro publicado recientemente en la clección “Genios de las Matemáticas”, de RBA. Se trata de la obra “Una nueva visión de la geometría: Felix Klein”, de Roberto Rodríguez del Río , profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid.

La figura de Felix Klein es singular: un matemático que hizo investigación pura, pero que también se interesó por las aplicaciones a otas ciencias y a la industria, sin olvidar su preocupación por la enseñanza de las matemáticas en las aulas alemanas e internacionales. Klein tuvo también un papel importante en la organización internacional de las matemáticas, y fue el primer presidente de ICMI, las siglas inglesas de la Comisión Internacional para la Educación Matemática, funada en 1908 y germen y parte hoy en día de la futura Unión Matemática Internacional (IMU).

La vida de Klein se desarrolla en un período fascinante de las matemáticas, entre la segunda mitad del siglo XIX y principios del siglo XX. Es el tiempo en el que se descubren las geometrías no euclidianas, por obra de Janos Bolyai, Nikolai Lobachevsky y Bernhard Riemann. Y es también el tiempo en el que comeinza a fructificar las ideas de Niels Abel y Evariste Galois; el primero probando que, en general, no hay solución por radicales para la ecuación de quinto gardo, el segundo dando la manera de sbaer cuando e introduciendo la teoría de grupos.

Y Felix Klein aunará la geometría y el álgebra en su programa e Erlangen, mostrando que lo que define una gemetría es el grupo de transformaciones que la deja invariante, un logro extraordinario. Klein se traslada de Erlangen a Munich, y luego a Leipzig, recalando finalmente en Gotinga, donde consigue crear uno de los centros míticos de la historia de las matemáticas. Es aquí donde Klein muestra sus extraordinarias dotes de organizador.

En 1900 comienza a interesarse por la enseñanza de las matemáticas que culmina con su obra “Matemáticas elementales desde el punto de vista superior”, que supone una revolución en la Didáctica de esta disciplina.

Roberto Rodríguez del Río ha escrito un libro ameno, que va repasando la biografía de Felix Klein y su obra; son poco más de 150 páginas que se leen con auténtico deleite. Lo recomiendo a cualquier lector con curiosidad por las matemáticas.

La botella de Klein

Una de las construcciones más celebradas de Felix Klein es la llamada “botella de Klein”, en 1882. Consideramos un rectángulo, identificamos dos de los lados opuestos para formar un cilindro, y después los dos círculos pero en sentidos opuestos. Aunque se denominó en principio “superficie de Klein”, “Kleinsche Fläche”, una desafortunada traducción del alemán la convirtió en la “Kleinsche Flasche”, botella de Klein, y esto, unido a la forma peculiar de la superficie, definió su nombre para la posteridad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).