Lotería Nacional: la esperanza es lo primero que se pierde

Una frase muy socorrida en España es eso de que “la esperanza es lo último que se pierde”.  Bueno, pues si de jugar a la lotería se trata, asuma que la esperanza es lo primero que se pierde.

Es diciembre, el mes favorito para los aficionados a la lotería Nacional, confiados en que el sorteo de Navidad les toque el Gordo y puedan salir de la penuria, o como suelen decir los agraciados en las entrevistas televisivas o radiofónicas, “tapar algunos agujeros”. Y es también el mes en el que los medios nos insisten a los matemáticos para que comentemos las probabilidades de ganar un premio, o si hay números mejores que otros, o si conocemos algún método seguro para ganar.

Si se sortean 100.000 números, la probabilidad de acertar el primer premio es 1 sobre 100.000; quizás la dificultad se ve mejor si decimos que la de no acertar es 99.999 sobre 100.000, o sea, casi seguro que no nos toca. Como hay muchos premios, que toque algo o al menos obtengamos el reintegro de lo jugado, es de un 15%, así que ya no nos vamos tan descontentos.

Pero el concepto fundamental en las loterías es el de esperanza matemática (o valor esperado), que además de tener en cuenta la probabilidad de acertar, considera la cuantía del premio y el costo del billete. Es el resultado de multiplicar la probabilidad por lo apostado. Para tener una idea sencilla, imaginemos un juego con un dado de seis caras y apuestas de 1 euro a acertar el resultado. Si por acertar recibiera 6 euros, la esperanza sería 6 x (1/6) = 1, y el juego sería justo. Si el premio por acertar fuera de 3 euros, la esperanza sería 3 x (1/6) = ½, menor que 1, y el juego sería desfavorable para el jugador. Si el premio fueran 12 euros, entonces 12 x (1/6) = 2, y el juego sería favorable para el jugador.

Vayamos ahora a la lotería nacional de Navidad. Un décimo cuesta 20 euros y puede ganar 400.000 euros, es decir, cada euro aportaría 20.000. Como la probabilidad de acertar es 1/100.000, la esperanza será 20.000 x (1/100.000) = 1/5, o sea, el 20% o 0,2; el juego es muy desfavorable para el jugador. Si calculamos la esperanza teniendo en cuenta todos los premios, el resultado no mejora mucho.

¿Cuándo nació el concepto de esperanza matemática?

La idea se originó a mediados del siglo XVII, como consecuencia de un debate sobre cómo repartir las apuestas de un juego de forma justa entre dos jugadores, que tienen que terminar su partida antes de que ésta se acabe. El escritor y matemático aficionado francés Chevalier de Méré en 1654 se lo planteó a Blaise Pascal, como un problema irresoluble por las matemáticas. cuando se trataba de su aplicación al mundo real. Pascal, como matemático Pascal lo comentó en varias cartas con Pierre de Fermat, y llegaron a una solución, aunque de manera independiente y diferente, basados en el principio de que el valor de una ganancia futura debe ser directamente proporcional a la probabilidad de obtenerla.

Otro gran matemático, el holandés Christiaan Huygens también se interesó por el problema en su visita a París en 1655, y publicó sus resultados en 1657, en su tratado De ratiociniis in ludo aleæ, uno de las obras seminales sobre la teoría de la probabilidad.

En 1814, Pierre-Simon Laplace publicó su tratado Théorie analytique des probabilités, donde se definía explícitamente el concepto de valor esperado o esperanza matemática; esto es lo que escribía Laplace:

… esta ventaja en la teoría del azar es el producto de la suma esperada por la probabilidad de obtenerla; es la suma parcial que debe resultar cuando no queremos correr los riesgos del acontecimiento al suponer que la división se hace proporcional a las probabilidades. Esta división es la única equitativa cuando se eliminan todas las circunstancias extrañas; porque un grado igual de probabilidad da un derecho igual para la suma esperada. Llamaremos a esta ventaja esperanza matemática.

Digamos finalmente que en 1901, el matemático inglés William Allen Whitworth usó por primera vez el símbolo E para este concepto, ya que en alemán se escribe Erwartungswert, en español Esperanza matemática y en francés Espérance mathématique.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).