Axiomatizar, el sueño ¿fallido? de los matemáticos

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

David Hilbert

Uno de los grandes proyectos de los matemáticos ha sido el de identificar axiomas, verdades indiscutibles, sobre los que construir todo el edificio de las matemáticas. ¿Es posible conseguir tal ambicioso objetivo?

Veamos la relevancia del proyecto. En Los Elementos, Euclides puso la primera piedra del proyecto. Identificó una serie de axiomas de los cuáles, mediante razonamientos lógicos, derivada proposiciones, teoremas y corolarios. En geometría sus famosos cinco primeros axiomas dieron mucho juego a los matemáticos que lo siguieron, especialmente el quinto: “por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela”. Los sucesivos fallidos intentos de probar que este axioma se deducía de los otro cuatro llevó a D’ Alembert a declarar este problema como “el escándalo de la geometría elemental”. La solución llegó cuando János Bolyai y Nikolái Lobachevski probaron que una nueva geometría (la hiperbólica) surgía de considerarlo independiente al considerar que si se podía trazar una. Y esto supuso una revolución que nos llevó a las geometrías no euclidianas.

Otro gran matemático, David Hilbert, actualizó la tarea de Euclides. Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 supuestos que propuso en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie (Los Fundamentos de la Geometría) como base para un tratamiento moderno de la geometría euclidiana. Otros dos grandes matemáticos siguieron más tarde esta tarea, Alfred Tarski y George Birkhoff, mejorando los logros de Hilbert. El objetivo era demostrar que la geometría euclidiana es coherente, completa y decidible: cada frase es demostrable o refutable a partir de los axiomas, y disponemos de un algoritmo que decide para cualquier frase dada si es demostrable o no.

En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigación en metamatemáticas que se conoció como el programa de Hilbert. Quería que las matemáticas se formularan sobre una base lógica sólida y completa. Creía que, en principio, esto podría lograrse demostrando que todas las matemáticas se deducen de un sistema finito de axiomas correctamente elegido; y que algún sistema de axiomas de este tipo es consistente. El propio Hilbert escribió:

“No hablamos aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas estipuladas arbitrariamente. Se trata más bien de un sistema conceptual dotado de una necesidad interna que sólo puede ser tal y no de otro modo”.

Este intento de apoyar las matemáticas axiomatizadas con principios definitivos, que pudieran desterrar las incertidumbres teóricas, acabó en fracaso. Gödel demostró que cualquier sistema formal consistente que sea lo suficientemente potente como para expresar la aritmética básica no puede demostrar su propia completitud utilizando únicamente sus propios axiomas y reglas de inferencia. En 1931, su teorema de incompletitud demostró que el gran plan de Hilbert era imposible tal como estaba planteado.

Sin embargo, como siempre ocurre en matemáticas, el trabajo de Hilbert y sus colaboradores no cayó en saco roto. La necesidad de comprender el trabajo de Gödel condujo al desarrollo de la teoría de la recursividad y, posteriormente, a la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base de la informática teórica posterior, en la obra de Alonzo Church y Alan Turing, también surgió directamente de este problema en relación con el problema de la parada. Pero esto es otra historia.

_____________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).