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La historia de la independencia de las cónicas

Sale al mercado editorial la última entrega por ahora de la colección Miradas Matemáticas, la número 14. En este caso, una historia de las cónicas acompañada de numerosas construcciones geométricas usando Geogebra.

 

 

Las cónicas son las curvas que resultan cuando seccionamos un cono con un plano. Así aparecen  la elipse, la hipérbola y la parábola. Su historia es antigua, y se remonta a la antigua Grecia, con los trabajos de Hipócrates de Quíos o Menecmo, aunque el gran nombre asociado a las cónicas es Apolonio de Perga.

Las cónicas (cuyo nombre genérico tiene su raíz obviamente en el cono), despertaron el interés de muchos matemáticos en siglos posteriores. Y poco a poco, fueron independizándose del cono. En dos direcciones. En primer lugar, una geométrica en la que pudieron ser definidas como lugares geométricos en el plano, sin referencias al cono. Y en segundo lugar, una independencia basada en el álgebra, al definirlas por ecuaciones una vez introducido un sistema de coordenadas. En ambos casos, esas alternativas han dado lugar a una gran riqueza de resultados de todo tipo, y muchos de ellos son descritos en este libro.

Y no solo son entes matemáticos, ya que desempeñaron un papel fundamental en la formulación de las leyes de Kepler que describen el movimiento de los astros, ya que sus órbitas son precisamente elipses en las que uno de sus focos es el Sol. En la actualidad, las cónicas siguen estando muy presentes en la vida cotidiana: podemos encontrarlas en numerosos diseños y logotipos o en estructuras arquitectónicas, en las antenas parabólicas, en los faros de los automóviles, etc.

Como comentario final, decir que este libro está acompañado de las construcciones sobre cónicas que se pueden hacer con Geogebra, proporcionando así un instrumento que va más allá de una mera lectura, tanto para profesores como estudiantes o simplemente personas con curiosidad por las matemáticas.

Sobre la colección

Miradas Matemáticas es un proyecto conjunto de la Editorial Catarata con la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), para publicar libros en torno a la didáctica de las matemáticas y a su divulgación.

Señalar también que la colección va tomando forma, catorce libros son ya un número apreciable y podemos decir que está ya consolidada. Varios libros más están ahora en cartera, en diferentes fases de evaluación algunos, otros ya en trámites de revisión e irán apareciendo en los próximos meses.

Sobre los autores

Agustín Carrillo de Albornoz Torres. Es licenciado en Matemáticas por la Unversidad de Granada. Catedrático de Educación Secundaria, ha desarrollado su labor profesional en distintos centros de la provincia de Jaén y pertenece a la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. Desde el año 1984 en el que impartió el primer curso sobre uso de las TIC como recurso en el aula de matemáticas, se ha dedicado a promover el uso de las tecnologías a través de cursos de formación, tanto presenciales como virtuales, impartiendo conferencias en congresos nacionales e internacionales, con especial presencia en la mayoría de los países iberoamericanos.

 

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Manuel de León. Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

Manuel de León

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La física de Fermat

Las dos entradas anteriores sobre Pierre de Fermat confirman que su legado es sin duda alguna muy importante. Sin embargo, la falta de interés de la época en problemas tan fundamentales como son los de la teoría de números, condujeron los intereses de Fermat por otros derroteros.

Pierre de Fermat

Aunque su motivación por la física era moderada, una de sus contribuciones se ha convertido en uno de los enunciados más importantes de la óptica geométrica. Fermat denominaba a la física “la filosofía natural”. Según Fermat, la verdad de las ciencias físicas sólo podría ser encontrada a través de la experimentación, en contra de la opinión de Descartes, quien se convirtió en su “enemigo” por las continuas disputas entre los dos científicos. Descartes utilizaba el método racionalista, que es el sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento, en contraste con el empirismo, que resalta el papel de la experiencia, sobre todo el sentido de la percepción. Según Fermat, la verdad en las ciencias físicas sólo podría encontrarse a través de los sentidos y fue un seguidor acérrimo de estas teorías, propuestas por filósofos como Hume o Locke. Es paradójico que Fermat, desinteresado en las ciencias físicas, abogara por el método empirista, más cercano a la física experimental que a su afición a las matemáticas.

Para Descartes, la luz se transmitía por colisión entre partículas, hablando del símil del bastón de un ciego que al chocar con algo, su mano transmitía el impulso. La luz opera de forma similar, transmitiendo impulso entre partículas.  Además, el impulso es una fuerza que podía interpretarse vectorialmente, y cuyas leyes de reflexión y refracción se podrían deducir. La ley de la refracción de Descartes es la que hoy en día se conoce como ley de Snell, o ley de propagación de la luz entre dos medios de diferentes índices de refracción (por ejemplo, aire y agua). Desde la experiencia de las bolas de billar, tras el choque, se espera que la bola salga disparada y se aleje de la dirección normal. Sin embargo, al cambiar la resistencia del medio, el ángulo de rebote decrece y se acerca a la normal. La interpretación de Descartes es que el medio ejerce una fuerza.

Refracción de un lápiz

Fermat leyó la obra de Descartes, probablemente porque se la había enviado Jean de Beaugrand, que mantenía disputas serias con Descartes. Fermat detectó dos importantes errores en la obra de Descartes. El abate Mersenne está también, como siempre, en medio de estos debates. Descartes escribe a Mersenne.

« le défaut qu’il trouve en ma démonstration n’est qu’imaginaire et montre assez qu’il n’a regardé mon traité que de travers. et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu’il prend de rêver encore sur cette matière»

Fermat replica

«  Ce n’est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j’estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d’autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

La querella está servida. No es hasta quince años mas tarde que Fermat elabora su teoría. Aunque el planteamiento de Fermat se basaba en el camino más óptimo para el recorrido de la luz, un estudio detallado desvela que en realidad lo que estaba optimizando era el tiempo. El principio debería ser reescrito de la siguiente manera: “los procesos físicos toman el camino que tardan menos tiempo en recorrer”.  Aunque el problema se corresponde con el de un proceso físico, sin embargo, el planteamiento de Fermat no dejó de ser de carácter matemático, un postulado axiomático lejos del empirismo.

 

Ley de la refracción

“La refracción se produce cuando la luz atraviesa un medio transparente de cierta densidad a uno de densidad distinta. La ley dice que el seno del ángulo formado entre el rayo incidente y la normal es al seno del ángulo entre la normal y el refractado como las respectivas velocidades son una a otra y como el inverso de los respectivos índices de refracción uno a otro”.

Para su demostración, Fermat planteó el principio extremal, que requiere el cálculo de máximos o mínimos. En este caso particular, el tiempo mínimo que tardaría la luz en recorrer un camino. Lo que Fermat no esperaba es que su planteamiento de optimización en términos de minimización de una función, sería el preludio de casi todas las teorías físicas. Por ejemplo, en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler Lagrange se derivan de la minimización de un funcional cuyos extremos se mantienen fijos. Igualmente se derivan las leyes de la relatividad o de la mecánica cuántica.

Para sorpresa de Fermat, la ley derivada del principio de mínima acción para la refracción de la luz era idéntica a la planteada por Descartes.  Más sorpresa sería aún  hoy en día si Fermat levantara la cabeza y viera que su ley de minimización es el principio de la física y también de las matemáticas aplicadas. El análisis numérico se encarga del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a una solución óptima real, obtenida de un principio de minimización. Si Fermat o Lagrange fueron los padres de los principios de minimización, Richard Bell podría ser el padre de los principios de minimización computacionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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