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Archivo de enero 14th, 2013

“Las estructuras matemáticas para nosotros naturales podrían carecer de todo interés y no haber sido jamás exploradas por inteligencias de otro tipo”

Reseña de: “El cerebro de los matemáticos” de David Ruelle

por Daniel Peralta Salas (ICMAT)

Es una obra imprescindible, que complementa desde un punto de vista más actual, las obras clásicas de Poincaré y Hadamard sobre el pensamiento matemático.

El interminable tiempo de espera de un vuelo de conexión en un aeropuerto es en ocasiones una buena oportunidad para leer algún libro interesante. Hace poco, mientras me encontraba en el aeropuerto de Ciudad de México, aproveché para leer un trabajo recientemente traducido al español (por la editorial Antoni Bosch) y que tenía pendiente en mi agenda de libros de lectura imprescindible. Se trata de “El cerebro de los matemáticos”, del célebre físico-matemático David Ruelle. Hacía tiempo que no leía un libro de divulgación científica, pero en cuanto supe de la existencia de este, no dudé en ir a una librería para adquirirlo.

Aparte del tema central del libro, un análisis sobre la forma de pensar de los matemáticos y los problemas que abordan, que me resulta de gran interés, el elemento principal que me lanzó a la lectura de esta obra es el prestigio de su autor. David Ruelle (Bélgica, 1935) es actualmente profesor emérito del IHES en Francia, una de las instituciones matemáticas más importantes del mundo en la que trabajan matemáticos de la talla de Mikhail Gromov, Alain Connes y Laurent Lafforgue.

El cerebro de los matemáticos” es un conjunto de reflexiones de su autor sobre cómo piensan los matemáticos a la hora de resolver un problema y cómo se ve afectado este pensamiento por su propia personalidad y circunstancia

“El cerebro de los matemáticos” es un conjunto de reflexiones de su autor sobre cómo piensan los matemáticos a la hora de resolver un problema y cómo se ve afectado este pensamiento por sus ideologías, prejuicios, relaciones personales, en definitiva por el hecho de ser humanos. Por otro lado, también se tratan temas de la lógica matemática y la metamatemática, como los célebres teoremas de Gödel, las máquinas de Turing, y los axiomas y paradojas de la teoría de conjuntos (desde Cantor hasta Russell). Todo esto se ve complementado con diversas anécdotas de tipo personal del autor, notas históricas y algunas explicaciones técnicas para los lectores con conocimientos matemáticos de nivel más avanzado.

Se trata de un libro de una enorme riqueza, con una gran cantidad de información bien condensada en 200 páginas, que se entrelaza y desarrolla de una forma inteligente y ágil. El libro no aburre en ningún momento, de hecho contiene abundante bibliografía técnica suplementaria para quien quiera profundizar en alguno de los temas que se abordan.

Es de una obra imprescindible, que complementa desde un punto de vista más actual, las obras clásicas de Poincaré y Hadamard sobre el pensamiento matemático. La tesis principal de Ruelle, que expondré con detalle más adelante, es interesante, provocativa y da pie a un intenso debate, aunque debo reconocer que esperaba una conclusión más clara y original del autor.

De esta manera, uno de los debates cruciales del libro -¿son las estructuras matemáticas que estudiamos naturales e inevitables?- queda sin respuesta. Ruelle no se pronuncia al respecto claramente, aunque plantea la duda de hasta qué punto la estructura del cerebro humano determina nuestro conocimiento.

También tengo que decir que, en líneas generales, no creo que la mayoría de matemáticos profesionales se sorprendan demasiado tras la lectura de este trabajo, que en ningún caso lamentarían, pero creo que sí puede ser muy revelador para el público general, y puede mostrar una cara de los matemáticos que para los no profesionales podría parece ausente.

De hecho, el objeto del trabajo no es tanto “el cerebro” sino “la mente” de los matemáticos, su forma de pensar y generar ideas. En este respecto, uno echa de menos una discusión más profunda de los aspectos fisiológicos y neurológicos del tema tratado, que el autor pasa por encima, y preguntas del estilo de ¿cuál es la capacidad física máxima de comprensión del cerebro humano? ¿limita esto nuestro desarrollo de las matemáticas? se tratan de una forma meramente cualitativa, aunque iluminadora.

 La estructura de la ciencia depende en gran medida de la naturaleza y organización particular del cerebro humano

La tesis principal del autor es que la estructura de la ciencia depende en gran medida de la naturaleza y organización particular del cerebro humano. Esto lo ilustra mediante una hipotética conversación entre un científico terrestre y otro alienígena, en la que el intercambio de ideas podría ser difícil, si no imposible, por la existencia de distintos intereses y formas de pensar y ver las cosas.

¿Son las matemáticas un lenguaje universal?

Esta afirmación no sorprende demasiado, al menos a los ávidos lectores de ciencia ficción que recuerden por ejemplo la muy distinta forma de pensar de los insectores en la novela “El juego de Ender”. El punto más controvertido (¡e interesante!) de la tesis de Ruelle es que plantea el problema de comunicación también en el área de las matemáticas. Esta opinión sí es mas heterodoxa, recordemos que tradicionalmente (por ejemplo la novela “Contacto” de Carl Sagan) el lenguaje matemático se ha considerado universal y la secuencia de los números primos es el paradigma de herramienta que cualquier civilización inteligente debería conocer.

El autor plantea la duda, aunque, como hemos dicho, no la resuelve, sino que sólo da una serie de argumentos plausibles, de si las estructuras matemáticas que manejamos son realmente naturales e inevitables. Reconoce que la mayoría de matemáticos actuales pensaría que así es, pero afirma que no hay respuesta objetiva al respecto y que la estructura del cerebro humano podría jugar un papel de gran relevancia.

Otra civilización más avanzada, podría desarrollar una matemática muy distinta de la nuestra, en la que los problemas, los conceptos y la forma de abordarlos serían totalmente diferentes

Uno de los argumentos que da es la biología del cerebro: lento, neuronal, con mala memoria, sometido a estímulos visuales y lingüísticos y carente de precisión formal. Esto contrasta con los ordenadores, capaces de cálculos inimaginables para el cerebro humano, por lo que una civilización poseedora de una inteligencia estructuralmente similar a la de los ordenadores, aunque mucho más avanzada, podría desarrollar una matemática muy distinta de la nuestra, en la que los problemas, los conceptos y la forma de abordarlos serían totalmente diferentes.

El punto crucial no es que se lleguen a conclusiones contradictorias con una u otra matemática, sino que las estructuras matemáticas interesantes y naturales para nosotros podrían carecer de todo interés y no haber sido jamás exploradas por inteligencias de otro tipo (es discutible, sin embargo, que algo así pudiera suceder con pilares tan básicos como los números primos).

Matemáticas reales

Varios argumentos de Ruelle para justificar su tesis están basados en lo que él denomina “matemáticas reales”, que son las matemáticas tal y como las trabajan y desarrollan los matemáticos profesionales. El autor afirma muy acertadamente que la demostración de un nuevo teorema o el desarrollo de una nueva estructura o teoría matemática no es una concatenación lógica de silogismos basados en unos pocos axiomas.

El motor de la investigación matemática son las ideas, que se desarrollan mediante la intuición (o gusto personal), los argumentos heurísticos, las imágenes y las conjeturas a través de un laberinto de oscuridad que poco a poco se va iluminando tras un tiempo de ceguera

El motor de la investigación matemática son las ideas, que se desarrollan mediante la intuición (o gusto personal), los argumentos heurísticos, las imágenes y las conjeturas a través de un laberinto de oscuridad que poco a poco se va iluminando tras un tiempo de ceguera (aunque lamentablemente, en muchas ocasiones la luz no es suficientemente potente como para mostrar la salida). Esta es una de las pocas veces que leo afirmaciones tan claras en relación a este tema, lo cual me alegra enormemente, habitualmente parece que es un tabú decir cómo se piensa realmente y se da una falsa imagen de que los matemáticos somos máquinas lógicas andantes.

Según el autor, los axiomas de la teoría de conjuntos (la célebre teoría ZFC) en última instancia no juegan un papel demasiado relevante y los teoremas de incompletitud de Gödel no quitan habitualmente el sueño a los matemáticos (a nivel personal, en mi trabajo diario no suelo plantearme que alguno de los teoremas que quiero probar podría ser indecidible). Naturalmente, como muy bien apunta el autor, entre los matemáticos hay diversos estilos de abordar las demostraciones y escribirlas, pone los ejemplos de Serre, con un estilo más formal y Bourbakista, y Smale, con un estilo más geométrico y cualitativo, pero todos comparten el denominador común de pensar con ideas y no con símbolos.

En su argumentación incluye muy acertadamente el uso del lenguaje, un elemento clave para el pensamiento y transmisión de las matemáticas. Estoy de acuerdo en su afirmación de que sería imposible en la práctica (aunque sí en principio), e incomprensible para la mayoría de los seres humanos, escribir las demostraciones de sofisticados teoremas actuales (pongamos la demostración de la conjetura de Poincaré) con expresiones simbólicas formales basadas en estrictas reglas de operación.

El lenguaje, con sus limitaciones, imprecisiones e ilógica ocasional, se convierte así en el vehículo de la transmisión matemática, pero también en su envoltura creadora

El lenguaje, con sus limitaciones, imprecisiones e ilógica ocasional, se convierte así en el vehículo de la transmisión matemática, pero también en su envoltura creadora (no me imagino intentando probar un teorema, por ejemplo sobre nudos en mecánica de fluidos, sin pensarlo en términos lingüísticos y gráficos).

Las conexiones escondidas en el inconsciente

Otro elemento que Ruelle introduce es el papel del inconsciente, en efecto todos los que trabajamos en matemáticas (yo diría que esto es extensible, de hecho, a cualquier otra actividad creadora) sabemos bien que cuando un problema reposa unos días en el fondo mental, sin pensar en ello conscientemente, muchas veces al volver a retomarlo lo entendemos mejor y vemos alguna conexión que se nos había escapado.

Todas estas reflexiones llevan al autor a plantear la duda de hasta qué punto las matemáticas dependen de la estructura cerebral humana, y creo que es una duda razonable. Posiblemente el lector no profesional de las matemáticas se sorprenderá mucho de todas estas explicaciones de Ruelle y de ver cómo trabaja un matemático realmente (¡no somos ordenadores y los teoremas no salen a la primera! ni siquiera a los más inteligentes medallistas Fields). Esta es, en mi opinión, una de las principales contribuciones de esta obra, es un lujo que un investigador tan respetado como David Ruelle explique por escrito las principales motivaciones y formas de pensar de los matemáticos para un público general, lo cual puede ayudar a acercar esta inmerecidamente temida materia a muchas personas.

Los argumentos filosóficos anteriores se complementan a lo largo del libro con interesantes anécdotas y notas históricas. Destacan las reflexiones de Ruelle sobre las matemáticas en la antigua Unión Soviética, el grupo francés Bourbaki y el matemático inglés Alan Turing.

Me gustaría hacer énfasis en el capítulo en el que el autor habla sobre Alexander Grothendieck, al que conoció bien durante los años en los que trabajó en el IHES. Quizás no tan conocido por el público general, Grothendieck es uno de los grandes matemáticos del siglo XX (medallista Fields en 1966), y se considera el principal fundador de la geometría algebraica moderna que ha derivado en múltiples y profundas conexiones con otras áreas de las matemáticas. Grothendieck abandonó el IHES en 1970 por diferencias irreconciliables con la dirección, e increíblemente no consiguió encontrar una posición académica adecuada a su rango en toda Francia (hay opiniones diversas sobre si este aparente rechazo fue debido en mayor o menor medida a la idiosincrasia de Grothendieck).

Es en este punto donde Ruelle hace una crítica profunda y sin censuras de lo que él considera el fuerte corporativismo francés, donde la procedencia de una École Normale Supérieure, el formar parte del CNRS o alguna otra prestigiosa institución, las afinidades con partidos políticos, la nacionalidad etc. pueden pesar más que el talento y logros personales. No es este el momento de revisar la historia de Grothendieck (de personalidad compleja), pero no puedo estar más de acuerdo con el autor en su reflexión final sobre este acontecimiento: “El ostracismo de Grothendieck es una ignominia que deja una mancha indeleble en la historia de las matemáticas del siglo XX”.

Enfatiza la importancia de la física (así como de otras ciencias) a la hora de sugerir problemas matemáticos interesantes, y como impulsor de ideas para abordar viejos y nuevos problemas

En esta obra no podía faltar, dada la trayectoria de su autor, un capítulo dedicado a las matemáticas motivadas por la física teórica. Ruelle enfatiza la importancia de la física (así como de otras ciencias) a la hora de sugerir problemas matemáticos interesantes, y como impulsor de ideas para abordar viejos y nuevos problemas. Y al revés, las matemáticas dan poder de predicción y rigor a las ciencias naturales. Pone como ejemplo la física estadística, cuyas ideas han sido catalizador de nuevos resultados y planteamientos en la teoría de los sistemas dinámicos, concretamente la teoría ergódica y del caos.

A pesar de la tesis principal del autor, no hay ninguna duda en este libro sobre la verdad de los teoremas matemáticos, aunque Ruelle no se considera un matemático platónico en el estilo fuerte de Roger Penrose (cuya obra “La Nueva Mente del Emperador” está de hecho bastante relacionada con el libro de Ruelle, aunque desde una visión muy atrevida y heterodoxa de la física del cerebro).

El libro abre el debate y expone multitud de argumentos y reflexiones sobre nuestra matemática, y si sus conceptos, estructuras y axiomas deberían ser los mismos que los de otras civilizaciones con estructuras biológicas muy distintas, no en el sentido de contradicción, sino de diferenciación de principio. Esta es una pregunta compleja que merece más análisis y estudio (seguramente desde un punto de vista más interdisciplinar en el que se introduzcan también argumentos químicos, biológicos y sociológicos). A la espera de futuros trabajos en esta dirección, me gustaría concluir con una de las frases de Ruelle del último capítulo de su libro, una reflexión que condensa muy bien por qué muchos de los que trabajamos en matemáticas elegimos hace años dedicarnos a esta hermosa disciplina: “¿Existe algo más allá de este mundo de incertidumbres? Sí, existen las matemáticas, que generan conocimiento, no meras opiniones”.

David Ruelle

David Ruelle (Bélgica, 1935) es actualmente profesor emérito del IHES en Francia. Las líneas de investigación de Ruelle son la física estadística y los sistemas dinámicos, y es conocido por acuñar el término de atractor extraño, junto con Floris Takens, en su famoso artículo “On the nature of turbulence” de 1971. En este artículo los autores plantean un enfoque a la turbulencia hidrodinámica en las ecuaciones de Navier-Stokes desde el punto de vista de los sistemas dinámicos. Concretamente, definen la turbulencia como la existencia de un atractor extraño y caótico (en un espacio de dimensión infinita) y sugieren un mecanismo para generar turbulencia basado en sucesivas bifurcaciones de tipo Hopf a medida que cierto parámetro (por ejemplo el número de Reynolds) varía.

Esta fue posiblemente mi primera lectura sobre la relación entre los sistemas dinámicos y la mecánica de fluidos, causándome un profundo respeto por la profundidad y originalidad de sus autores. Esta búsqueda de lecturas profundas y originales fue la que me llevó a leer en las horas muertas del aeropuerto de Ciudad de México este gran libro que recomiendo una vez más, a los lectores de Matemáticas y sus Fronteras.

“El cerebro de los matemáticos”, David Ruelle. Editoral: ANTONI BOSCH. Nº de páginas: 208 págs. ISBN: 9788495348487

Daniel Peralta Salas es investigador de Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

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