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En busca de la solución perdida

Especial Año Internacional de la Cristalografía

La historia de la resolución de las ecuaciones algebraicas está ligada al estudio de las simetrías, fundamentales para la descripción y comprensión de la estructura cristalina. Pero además, la búsqueda de estas soluciones fue uno de los grandes desafíos de la ciencia. Se extiende durante siglos e involucra a algunos de las grandes mentes matemáticas de todos los tiempos: mesopotámicos, egipcios, griegos, árabes, renacentistas… El recorrido empieza en Egipto, con las primeras descripciones detalladas del procedimiento para resolver ecuaciones de segundo grado.

Papiro de Rhind

Los primeros escritos de resolución detallada de ecuaciones se encuentran en el papiro Rhind, del 1650 a.C. En este fascinante escrito, de 5’49 m de largo, se presentan gran parte de las matemáticas que se conocen del antiguo Egipto, en ochenta y siete problemas, principalmente cuestiones prácticas, como la división de tierras, o el cálculo de la inclinación de una pirámide, pero también problemas introducidos para los estudiantes de la época. Muchos de ellos se resuelven con ecuaciones, en las que la incógnita se denomina AHA (que significa montón). Las ecuaciones de primer grado, como las que aparecen en el papiro, parece que tenían mucha presencia en las matemáticas egipcias.

También encontramos indicios de las primeras ecuaciones en China. En “Nueve capítulos sobre las artes matemáticas” (que se estima entre el 206 a. C. y el 211 d.C., aparecen también problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales (y tres incógnitas).

Pero la dificultad de resolver ecuaciones no está en el número de incógnitas que tengas, si no en el grado de las mismas. El salto teórico se da con el aumento de exponente de la variable: ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas, de grado cuatro, cinco…

Sin embargo, su aparición es muy natural. Al medir y querer hacer cálculos sobre distancias, usamos variables lineales. Cuando se quiere calcular o hacer cálculos sobre áreas, la cosa se complica, porque el área de las figuras se calcula como producto de sus lados. El área del cuadrado es el lado elevado al cuadrado. La expresión del área del cuadrado de lado x es x^2. Por tanto, si se quiere calcular el lado del cuadrado cuya área es cuatro, se obtiene : x^2=4; x=+-2.

En los documentos egipcios sí aparecen ecuaciones como la anterior, que involucran x^2 pero  no a la vez x^2 y x. Y la solución que daban era solo la positiva, porque el número representaba cantidades que tenían que ser positivas, como distancias.

Los griegos, pese al avance sustancial que hicieron en la disciplina, se centraron en otras áreas como geometría y lógica, y dejaron de lado las ecuaciones. De hecho, e n la época griega había una falta muy común: la gente pensaba que el área de una figura depende enteramente de su perímeto. No creían, por ejemplo, con un perímetro de 48 estadios, doblara la capacidad de Megalópolis, con 50 estadios de perímetro. Es fácil ver que el área no solo depende del perímetro. Si se ata un cordel por los extremos para conseguir un lazo, manteniendo siempre el perímetro, puede verse que si se alarga hasta tenar una línea doble el área encerrada es mínima, mientras que si se extiende hasta formar una circunferencia, el área recogida será mucho mayor (de hecho, la mayor que puede conseguirse con ese perímetro).

La siguiente evolución del algebra, fue el paso de las formas retóricas de los babilónicos, a las formas simbólicas, que mantenemos hoy en día, imprescindibles para la concepción abstracta de la matemática. Esta etapa la representa Diofanto de Alejandría (que se estima que vivió entre el año 150 a. C. y el 270 d. C), autor del influyente tratado Arithmetica. En el escrito, principalmente dedicado a lo que hoy llamamos Teoría de Números, también resuelve numerosos problemas algebraicos con destreza, aunque considera solo las soluciones que podían expresarse como números naturales o fracciones de números naturales. No hay duda de que Diofanto sabía resolver las ecuaciones de segundo grado de los tres tipos: ax^2+bx+c=0, ax^2+bx+c=0, ax^2+c=0, ax^2+bx+ =0,

Sin embargo, la verdadera pregunta, más allá de que se pueda  o no resolver ecuaciones de segundo grado, es si existe una fórmula universal que pueda aplicarse siempre para obtener soluciones. Del colegio recordamos que sí, la hay:

X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/2ª

Pero: ¿quién dio con esta fórmula? Seguiremos con esta historia en siguientes entradas.

Más información:

Sobre la historia de la resolución de ecuaciones: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

Entradas del Año Internacional de la Cristalografía: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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