La demostración de un teorema

Todos hemos oído alguna vez sobre esos problemas abiertos en las matemáticas casi imposibles en su resolución, que de ser conseguida, puede ser premiada con un millón de dólares. Son los denominados “problemas del milenio”, atacados por muchos, pero de los 7 problemas abiertos en diferentes áreas de las matemáticas, sólo uno ha sido resuelto.

Si quisiéramos saber cómo de avanzadas están las resoluciones de los otros seis, deberíamos preguntar a los más expertos, y muchas veces, la respuesta es inconclusa o dubitativa. De hecho, la prueba a uno de los grandes problemas no incluído en el listado de los siete problemas del milenio (ya que había sido resuelto antes del 2000), “el último teorema de Fermat”, se guardó recelosamente y se trabajó en solitario en un despacho de Cambrige, cuyo principal autor es el inglés Andrew Wiles.

El problema de Fermat ha permanecido abierto desde hace 350 años, cuando Pierre de Fermat afirmó haber encontrado la prueba en el margen de un libro de Diofanto. Por cierto, uno de los problemas de ese libro, La Aritmética, tiene el siguiente enunciado: “Descomponer un cuadrado dado en dos cuadrados”. En el margen del libro, Fermat escribió:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Es decir:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Se cree que Fermat pudo demostrarlo para los casos n=3,4,  según su correspondencia con sus colegas. A partir de ahí, quizás pensó que la generalización sería sencilla pero desde luego no lo era. A lo largo de los siglos, numerosos matemáticos desde Leonhard Euler a Sophie Germain trataron de resolverlo consiguiendo sólo resultados parciales.

El caso n=2 es el famoso teorema de Pitágoras, que se enseña en las escuelas y es universalmente conocido. Las demostraciones para n mayor o igual que 3 han acabado en numerosos intentos fallidos a lo largo de la historia. El matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764) a quien se le recuerda por la también famosa conjetura que lleva su nombre, revivió el interés por la prueba, que no había suscitado mucho entre los contemporáneos de Fermat, más interesados en problemas de cálculo que en teoría de números.

Los comentarios de Goldbach captaron el interés de otro eminente matemático nacido 40 años más tarde que Fermat, el brillante Leonhard Euler, sin embargo, sólo lo probó para n=3. No obstante, n=3 no sólo constituye un resultado para un único número, sino para todos los múltiplos de 3, es decir, para la secuencia 6, 9, 12, 15…lo que implica una infinidad de números.

Si el teorema se demostrase para los números primos, su prueba estaría completa, pues cualquier número es múltiplo de primos. La prueba se estancó con n=5, que resultó de verdadera complejidad.

El denominado príncipe de las matemáticas, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) también buscó su resolución, de forma fallida, por lo que excusó su abandono “por la falta de interés del problema”, comentario inoportuno fruto de su frustración.

Sophie Germain (1776-1831) se enfrentó a múltiples problemas matemáticos y físicos a lo largo de su carrera. A pesar de no haber gozado de educación formal, venció los obstáculos a la carrera científica vetada a las mujeres durante el siglo XIX y demostró su extraordinario talento. Sophie Germain probó que para dos primos P y p,  tales que (P=2p+1) y que cumplen otras propiedades, en particular, que p no divide a xyz, donde xⁿ+yⁿ=zⁿ son las incógnitas del problema de Fermat, el teorema se cumple para n=p.

Posteriormente, los matemáticos Legendre y Dirichlet lo probaron para n=5 mediante la teoría de formas cuadráticas.

En décadas posteriores, vinieron los intentos de demostración de Lamé, Cauchy y Kummer. Lamé probó el caso n=7 basándose en el álgebra de números complejos. Cauchy casi lo probó de forma general con un enfoque similar al de Lamé. Sin embargo, Kummer, a finales del siglo XIX proclamó la incorrección de las pruebas de Lamé y Cauchy: ambos habían cometido el error de asumir la factorización única de de los números complejos. El problema de la factorización de los números complejos ayudó a Kummer a establecer su teoría de los ideales. Demostró que existen ciertos primos regulares para los que el teorema de Fermat se cumple. Así, el teorema se demostró para todos los casos en que n fuera menor que 100 excepto para 37, 69 y 67.

En el siglo XX se puso de moda la dotación económica por la resolución de problemas matemáticos importantes. Paul Wolfskehl instauró un premio de 100.000 marcos a quien demostrara o refutara el último teorema de Fermat.

El desarrollo de los ordenadores también contribuyó muy positivamente en la prueba del teorema. Por ejemplo, una de las conjeturas planteadas por Euler, en que afirmaba que la siguiente ecuación no tiene soluciones

x⁴+y⁴+z⁴=w⁴

se demostró falsa con un contraejemplo en 1988 con solución (x=2.682.440, y=15.365.639, z=18.796.760, w=20.615.673).

En 1983, el matemático y medallista Fields Gerd Faltings demostró un resultado conocido hoy en día como el Teorema de Faltings que como corolario probaba que para n mayor que 4, si existen soluciones naturales a la ecuación de Fermat, el número sería finito. Esto no demuestra el teorema, pero supone un resultado importante. Faltings basaba su resultado en la geometría algebraica. Faltings en particular relacionó el último teorema de Fermat con superficies similares a una rosquilla, que en vez de tener un único agujero central, puede tener muchos. Cuanto más grande es n, mayor número de agujeros tendrán las “rosquillas”. La existencia de más de un agujero implicaba como mucho, un número finito de soluciones a la ecuación de Fermat.

Después de la aparición inesperada geometría diferencial en el estudio del último teorema de Fermat, el siguiente avance consistió en el estudio de curvas elípticas. Son curvas de la forma

y²=x³+ax+b,

con a,b,c números enteros. Esta ecuación es la llamada forma normal de Weierstrass de una curva elíptica, que debe satisfacer además una condición de no singularidad. Se llaman elípticas aunque no representen elipses, pero sí aparecen al tratar de calcular la longitud de un arco de elipse. El cálculo se resolvía con integrales que se denominaron elípticas, y cuyas inversas son las llamadas funciones elípticas estudiadas por Niels Abel. Estas funciones son doblemente periódicas en el cuerpo de los números complejos y por tanto se pueden identificar a un cociente del plano complejo por un retículo, dando lugar a una curva compleja, que topológicamente es equivalente a un toro. Recordemos además que las elipses aparecen tras las leyes de Johannes Kepler en el estudio de las trayectorias planetarias.

Por otra parte, existen las llamadas formas modulares, o funciones en un espacio hiperbólico. Cada forma modular, siguiendo el símil de Simon Singh con el ADN, tiene una tupla de números representativos que la caracterizan por completo. De forma análoga, se establecen tuplas para la caracterización de las curvas elípticas.

El famoso postulado de Taniyama-Shimura dice que a cada forma modular le corresponde una curva elíptica y viceversa. Años después, en 1980, el matemático alemán Gerhard Frey planteó que el último teorema de Fermat podría representarse como una curva elíptica muy especial, cuya correspondencia modular no podría establecerse. Así, si la curva elíptica que describiera el teorema de Fermat existiera, habría un contrajemplo para la conjetura japonesa y se refutaría.

En la década de los 90, el inglés Andrew Wiles decidió probar la conjetura de Taniyama-Shimura, que demostraría automáticamente el teorema de Fermat. Los enfoques de Wiles fueron múltiples y muy macerados durante años de recogimiento y silencio. Inicialmente utilizó, igual que Kummer, la teoría de grupos. Su enfoque también se basó en la teoría de Iwasawa. Finalmente, su prueba, presentada en una serie de conferencias en la Universidad de Cambridge, se basaba en su segunda estrategia, el método de Kolyvagin-Flach, que superaba todos los errores iniciales del resto de métodos. La prueba de Wiles tenía un error que solventó en un año más de trabajo con la ayuda de su estudiante Richard Taylor. El artículo de publicó finalmente en Annals of Mathematics resolviendo así uno de los problemas más estudiados durante los últimos 350 años.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).