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La magia de los cuadrados

Sabemos que los cuadrados son los polígonos de cuatro lados, pero con cuadrados los matemáticos han hecho construcciones curiosas que nos hacen pensar más allá de la pura geometría. Vamos a hablar de dos tipos de cuadrados: en esta entrada de los mágicos, y en una próxima, de los latinos.

Un cuadrado mágico es una tabla en cuyas entradas se incluyen números enteros de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma. Esa suma se denomina la constante mágica.

En este cuadrado mágico

la constante mágica es 15. En general, si nuestro cuadrado mágico tuviera n filas y n columnas, esa constante es n(n2+1)/2.

Existen algoritmos para construir cuadrados mágicos, y no se nos ocurre mejor referencia que esta de El Aleph, el blog de Miguel Ángel Morales en El País.

Las aplicaciones de los cuadrados mágicos no van más allá del divertimento matemático, pero sí han venido asociados históricamente a la magia y el esoterismo.

Los cuadrados mágicos eran ya conocidos por los matemáticos chinos en el año 650 aC, y también por los matemáticos árabes en el siglo VII. Se encontraron cuadrados mágicos de órdenes 5 y 6 en Bagdad en el año 983 (el Rasa’il Ihkwan al-Safa).

Placa de hierro con un cuadrado mágico de orden 6 de la dinastía Yuan (1271–1368).

 

De acuerdo con la leyenda, hubo una vez en China una enorme inundación. Cuando el rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, surgió una tortuga con un cuadrado de números en su caparazón, un cuadrado mágico precisamente como el que hemos dibujado arriba. Esto se tomó como una manera de controlar el río y protegerse de las inundaciones.

La introducción de los cuadrados mágicos en Occidente se produjo con Emanuel Moschopoulos en el siglo XIV,  quien dio algunos métodos para su construcción. A partir de entonces, estas construcciones atrajeron la atención de grandes matemáticos como Fermat, Pascal, Leibniz, o el mismísimo Euler.

Vamos a comentar uno de los cuadrados mágicos más famosos, el que aparece en el cuadro de Alberto Durero, Melancolia.

Melancolia, de Alberto Durero

Este es uno de los tres grabados de Durero, que con El caballero, la Muerte y el Diablo, y San Jerónimo en su gabinete, constituyen las Estampas Maestras. Observemos  el cuadro de Durero de manera más meticulosa y el cuadrado mágico en la parte superior derecha. La magia del cuadro reside en el número 34

 

La suma de todas las columnas del cuadrado es 34

La suma de todas las columnas del cuadrado es 34

La suma de las cuatro esquinas es 34

Desplazamos los campos en sentido de las agujas del reloj y la suma sigue siendo 34

Si los desplazamos de nuevo, la suma también es 34

La suma de las casillas centrales también es 34

La suma de los extremos medios también es 34

La suma de las diagonales principales también da 34

 

Estos, también dan 34

Y para finalizar, las dos cifras centrales de la última fila, dan el año en que se realizó el cuadro (¿mera coincidencia?)

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Matemáticas y pintura

Las relaciones entre las matemáticas y las artes son profundas y han sido objeto de estudio y debate en numerosas ocasiones. En esta entrada nos vamos a referir sobre todo a la pintura. Y el primer nombre que se nos viene a la cabeza es el de Leonardo da Vinci, el hombre renacentista por excelencia, el polímata por antonomasia.

Leonardo da Vinci

Leonardo escribe un Trattato della Pittura, que en su primera parte debate sobre Se la pittura è scienza o no, y escribe:

“Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, se essa non passa per le matematiche dimostrazioni; e se tu dirai che le scienze, che principiano e finiscono nella mente, abbiano verità, questo non si concede, ma si nega per molte ragioni; e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienza, senza la quale nulla dà di sé certezza.”

Leonardo, no se olvide, fue un estudioso de las matemáticas. Mantenía una gran amistad con Luca Pacioli, de nombre completo Fray Luca Bartolomeo de Pacioli (Sansepolcro, 1445 – 1517), fraile franciscano y matemático italiano, precursor del cálculo de probabilidades. Pacioli analizó sistemáticamente el método contable de la partida doble usado por los comerciantes venecianos en su obra Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (Venecia, 1494), que a pesar de su título latino, incluye la primera obra matemática impresa en lengua romance.

Su obra más divulgada e influyente es De Divina Proportione, escrita en Milán entre 1496 y 1498, y que trata, en su primera parte, de los polígonos y la perspectiva usada por los pintores del Quattrocento (Compendio Divina Proportione); en la segunda, de las ideas arquitectónicas de Vitruvio (Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita); y en la tercera, de los sólidos platónicos o regulares (De quinque corporibus regularibus).

Para ilustrarlo encargó dibujos a Leonardo da Vinci, que en la época formaba parte de la corte milanesa de Ludovico Sforza (il Moro).

Digamos también que la razón aúrea ha sido muy popular en la pintura renacentista. El ejemplo por antonomasia es  “La Mona Lisa” y su cara inmersa en rectángulos  aureos.

El artista alemán Alberto Durero fue también decisivo en el desarrollo de la pintura con su estudio de la perspectiva, «perspectiva es una palabra latina; significa mirar a través», de manera que a partir del Renacimiento el cuadro se transformó en una «ventana abierta al mundo» y la perspectiva artificial se erigió en el método a seguir para reconstruir una figura tridimensional por su proyección trazada sobre una superficie plana. En una misiva enviada a Piero della Francesca, Durero señala que: «Lo primero es el ojo que ve; lo segundo, el objeto visto; lo tercero, la distancia intermedia».

La perspectiva de Durero

El también renacentista Leon Battista Alberti escribió: “el primer requisito para un pintor es conocer la geometría”. Su obsesión era escribir un tratado sobre reglas teóricas repletas de cánones matemáticos. En su obra “de Statua” da las proporciones del cuerpo humano. En “De pictura” da la definición de perspectiva científica y en “De re aedificatoria” describe la arquitectura en proporción aurea. Así, Durero también estuvo muy interesado en la influencia de la ciencia en la pintura.

El pintor Miguel Ángel también estudió la geometría y las proporciones. Por ejemplo, en su obra “La sagrada familia” (el “Tondo Doni”) albergada en la galeria Uffizi de Florencia, tiene una composición espacial estratégicamente elegida. La siguiente fotografía muestra una estrella pentagonal que describe el posicionamiento de los personajes.

Tondo Doni

No es de extrañar que aparezca un pentagrama, dada su relación con la razón aúrea. En efecto, cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea. La estrella incluye diez triángulos isósceles. Cinco tienen ángulos agudos y cinco obtusos, cuya razón  entre lados mayor y menor es el número aureo.

Otro ejemplo más actual de obra artística incluyendo el pentagrama es “Leda atómica” de Salvador Dalí. Está claro, por tanto, que la proporción del pentagrama no quedó  atrás en el renacimiento, sino que ha influenciado la pintura más contemporánea.

Leda atómica

La interpretación de la estrella de cinco puntas en la pintura ha transcendido más allá de su pura interpretación geométrica, asociando a los pintores con la masonería, el esoterismo o la magia, muy lejano de su gusto inicial por los poliedros.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

 

 

 

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