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Polinomios de nudos, o la historia del matemático que entraba en su despacho por la ventana

El grupo de un nodo no es el único invariante que se puede definir en teoría de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen información preciosa del nudo en cuestión.

James Alexander

Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander, ya que fue propuesto por el matemático norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. James Alexander formó parte de la élite topológica de Princeton (con Oswald Veblen y Solomon Lefschetz, por ejemplo) de hecho fue uno de los primeros matemáticos contratados en el Instituto de Estudios Avanzados. Provenía de una importante familia en Princeton, y como curiosidad, diremos que su gran afición era el montañismo, escalando cimas en los Alpes franceses y suizos y en las Montañas Rocosas. Pero esa afición le llevó también a escalar a menudo los edificios del campus, y, todos en el campus conocían que para entrar en su despacho en el último piso del edificio de matemáticas (el famoso Fine Hall) prefería la ventana y no la puerta.

 

El edificio Fine Hall de Princeton, sede de su Departamento de Matemáticas

Alexander fue perseguido por sus ideas socialistas durante la caza de brujas organizada por el senador Joseph McCarthy, y desapareció durante los últimos años de su vida, sometido a reclusión, aunque firmó en 1954 la carta de apoyo  a Robert Oppenheimer.

Ya habíamos comentado que Alexander, en colaboración con Garland Briggs, había encontrado los mismos resultados que Kurt Reidemeister. De hecho, es uno de los grandes pioneros en el desarrollo de las teorías de homología y cohomología.

Nudo trébol

Recordemos como calculó Alexander el polinomio de un nudo. Se considera su diagrama (orientado), tal y como explicamos en una entrada anterior; y suponemos que hay n cruces. El diagrama divide el plano en n+2 regiones, y entonces se construye lo que se llama una matriz de incidencia, que será una matriz de n filas y n+2 columnas. La componente que corresponde a una región y a un cruce dados será: 0 si la región no es adyacente al cruce; en otro caso, usaremos estas reglas, teniendo en cuenta la posición de la región vista desde el arco entrante pasando por debajo del otro arco del cruce:

A la izquierda antes del cruce: -t

A la derecha antes del cruce 1

A la izquierda después del cruce: t

A la derecha después del cruce: -1

Se eliminan ahora las columnas (2) correspondientes a regiones adyacentes, nos queda una matriz n x n, y calculamos su determinante: ese es el polinomio de Alexander (salvo alguna renormalización).

Por ejemplo, el ppolinomio de Alexander del trébol es

t + t -1 – 1

Por cierto, en este enlace se puede ver como construir un nudo de trébol. Y este video nos enseña como calcular el Polinomio de Alexander de un nudo

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El polinomio de Alexander del nudo trivial (no está anudado) es 1, pero hay nudos no triviales que también tienen polinomio de Alexander 1, así que no es un invariante completo.

John Conway

Unos 60 años del descubrimiento de Alexander, el matemático John Conway introdujo una nueva versión, creando un polinomio que se obtiene de una manera algorítmica muy sencilla. En realidad, este polinomio no era más que el de Alexander tras un cambio de variable, y hoy se conoce como polinomio de Alexander-Conway. Este es el polinomio de Conway del trébol

z 2 + 1

El siguiente paso en esta historia es el llamado polinomio de Jones, en 1984, que da inicio a la llamada teoría combinatoria de nudos. Pero esa es otra historia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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