Siempre habrá infinitos números primos

Son muchas las ocasiones en las que lamentamos el desconocimiento de la mayoría de los periodistas sobre las matemáticas, pero quizás el problema sea que este desconocimiento de los aspectos más básicos de la disciplina sean descnocidos por el público general.

El pasado viernes tuve ocasión de leer este comentario en el Boletín Semanal de la Real Sociedad Matemática Española (RSME):

Dice el matemático Noga Alon: «Me entrevistaron en la radio israelí, y dije que hace más de 2000 años Euclides demostró que hay infinitos primos. El presentador me interrumpió y preguntó: “¿Siguen existiendo infinitos primos?”

Hice un comentario en Twitter y enseguida comenzaron a redistribuirlo )cas 18000 impresiones cuando escribo estas líneas). Digamos en primer lugar qu la ntrevista era debida a la reciente concesión del Premio Shaw a Noga Alon, un brillante matemático, “por sus notables contribuciones a la matemática discreta y a la teoría de modelos, con una interacción notable con la geometría algebraica, la topología y la informática.” Por cierto, tuve ocasión de conocerlo personalmente cuando actuó como Presidente del Comité Científico del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Madrid en 2006, y aprecié su calidad matemática así como su trabajo de selección de conferenciantes, tarea siempre compleja y delicada.

No conozco la respuesta de Alon a la pregunta, pero la infinitud de los números primos es algo que aprendemos en la escuela y no deberíamos olvidar ya que es un hecho tan relevante como cualquier obra literaria, artística o la vida de cualquier personaje famoso. Y no debería decir “tan”, ya que es mucho más relevante. Porque era cierto antes de que Euclides lo probara y seguirá siendo cierto cuando nuestra especie ya no exista en el universo.

No voy a contar aquí para que sirven los números primos, esos ladrillos con los que construimos los demás números naturales, pero me van a permitr que, en desagravio a Euclides, Eratóstenes y a los propios números primos, que incluya una demostración de su infnitud.

Teorema.- Hay infinitos números primos.    

Prueba:

 Recordemos que un úmero es primo si es divisible por él mismo y el 1, y que el 1 no es número primo, el más pequeño es el 2. Y veamos que hay infinitos números primos. Lo haremos por el método de reducción al absurdo, es decir, supondremos que hay un número primo p que es el último número primo y veremos que eso es imposible.

   Supongamos que p es el número primo más grande y construyamos otro número q:

q = (2 x 3 x 5 x 7 x … x p) + 1

resultado de multiplicar todos los números primos hasta el último, p; y después sumarle 1.

Si q es primo, hemos terminado, ya que hemos encontrado un primo mayor que todos los que habíamos supuesto que existían. Y si q es compuesto, es decir, no es primo, entonces existirá algún primo p de la lista que lo divida. Pero ese p dividirá entonces a q – 2 x 3 x 5 x 7 x … x p _, que es 1, lo que no puede ocurrir.

No lo olviden nunca, esto siempre será verdad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).