Una demostración imposible del Teorema de Pitágoras

El 18 de marzo de 2023, dos estudiantes del St. Mary’s Academy (New Orleans) presentaron un trabajo en la sesión espacial AMS Special Session on Undergraduate Mathematics and Statistics Research, del AMS Spring Southeastern Sectional Meeting celebrado en el Georgia Institute of Technology, de Atlanta. Su trabajo se titulaba An Impossible Proof Of Pythagora (Una demostración imposible de Pitágoras) y las autoras se llamaban Ne’Kiya D Jackson y Calcea Rujean Johnson.

El abstract de su trabajo causó ya sensación en el programa; decía esto:

En los 2000 años transcurridos desde que se descubrió la trigonometría, siempre se ha dado por sentado que cualquier supuesta demostración del Teorema de Pitágoras basada en la trigonometría debe ser circular. De hecho, en el libro que contiene la mayor colección conocida de pruebas (The Pythagorean Proposition de Elisha Loomis) el autor afirma rotundamente que «No hay pruebas trigonométricas, porque todas las fórmulas fundamentales de la trigonometría se basan a su vez en la verdad del Teorema de Pitágoras.» Pero eso no es del todo cierto: en nuestra conferencia presentamos una nueva demostración del Teorema de Pitágoras que se basa en un resultado fundamental de la trigonometría -la Ley de los Senos- y mostramos que la demostración es independiente de la identidad trigonométrica pitagórica

sen² θ + cos²  θ = 1.

Esa identidad y el teorema de Pitágoras son esencialmente lo mismo, y prácticamente todas las pruebas conocidas se basaban en esta relación, de manera que probar el teorema de Pitágoras pasaba por hacer razonamientos cíclicos. Estas dos chicas probaron que se podía hacer de otra manera, directamente de la trigonometría, usando el teorema del seno, semejanzas de triángulos y sumas de series geométricas. No era la primera prueba, pero esta es nueva. Ne’Kiya D Jackson y Calcea Rujean Johnson han sabido mirar donde otros no lo hicieron.

Esta presentación supuso un gran revuelo mediático, y han aparecido en periódicos, en televisiones, y en todo tipo de redes sociales. Y en muchos se puede ver esa reacción tan criticada por los matemáticos de “yo soy de letras”, o “yo no soy una persona de matemáticas”.

Ahora, las autoras han publicado su artículo en una revista de la Mathematical Association of America (MAA), la popular The American Mathematical Monthly:

Ne’Kiya Jackson & Calcea Johnson (2024) Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem, The American Mathematical Monthly, 131:9, 739-752, DOI: 10.1080/00029890.2024.2370240

Esta revista publica artículos y notas sobre las matemáticas y la profesión. Sus lectores abarcan un amplio espectro de intereses matemáticos, e incluyen tanto matemáticos profesionales como estudiantes de matemáticas de todos los niveles universitarios. Es una revista más bien dirigida al profesor y a las curiosidades matemáticas que a la investigación académica. Esto debería también prevenir a los medios de lanzar proclamas sobre una revolución en las matemáticas.

Me parece que las conclusiones de las autoras en su artículo merecen ser conocidas en su totalidad:

Puede que el lector se sorprenda al saber que el catalizador que nos llevó a iniciar este proyecto fue una pregunta extra de un concurso de matemáticas de secundaria. La pregunta extra consistía en crear una nueva demostración del teorema de Pitágoras. Motivadas por el premio de 500 dólares, decidimos emprender esta tarea de forma independiente. Resultó ser mucho más difícil de lo que habíamos imaginado, y pasamos muchas noches intentando, sin éxito, crear una demostración. Después de aproximadamente un mes de trabajo mental, cada una de nosotras completó y presentó su trabajo. El Sr. Rich, voluntario de matemáticas de nuestro instituto, creía que nuestras pruebas eran lo bastante novedosas como para presentarlas en un congreso de matemáticas. Ninguna de las dos confiaba tanto en nuestro trabajo en ese momento, pero decidimos seguir adelante de todos modos. Fue entonces cuando empezamos a trabajar juntos.

Durante los dos o tres meses siguientes dedicamos todo nuestro tiempo libre a perfeccionar y pulir nuestro trabajo. Trabajábamos juntas y por nuestra cuenta después de clase, los fines de semana e incluso durante las vacaciones. En el proceso, con el Sr. Rich como profesor asesor, creamos pruebas adicionales. Hicimos todo esto sin saber si nos permitirían participar en la conferencia, algo que normalmente sólo hacen los matemáticos profesionales y, ocasionalmente, los estudiantes universitarios. Para nuestra sorpresa, se tomaron en serio nuestro trabajo del instituto y nos aprobaron para presentarlo en la conferencia de la Sección Sureste de la Sociedad Matemática Americana en marzo de 2023. Ser los más jóvenes de la sala y los presentadores más jóvenes era aterrador, pero saber que esta era la culminación de todos nuestros esfuerzos anteriores nos dio la confianza para presentarlo.

Hay muchas lecciones en estas frases. Por una parte, el estímulo de un premio en metálico (modesto, pero interesante para estudiantes de instituto); por otra parte, el trabajo constante en persecución de una ilusión, con el apoyo de un profesor que les generó una confianza en su valía que muchas veces las chicas no tienen. Y la generosidad de una organización modélica como la AMS, siempre a favor de las causas nobles como animar a las chicas a confiar en sus capacidades.

Las dos amigas, Ne’Kiya y Calcea, no seguirán estudios de matemáticas; Ne’Kiya estudia bioquímica en la Universidad Xavier de Luisiana, y Calcea estudia Ingeniería medioambiental en el Roger Hadfield Ogden Honors College de la Universidad Estatal de Luisiana. Pero no olvidarán nunca estos momentos de esfuerzo y gloria. Aquí os dejamos con un video donde explican sus resultados.

_____________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).